2006年高考数学真题福建卷(文科)

2006年高考数学福建卷文科

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于

（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-

（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于

（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45

（3）"tan 1"α=是""4

π

α=的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不而充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（4）已知3(,),sin ,25π

απα∈=则tan()4π

α+等于

（A ）17 （B ）7 （C ）1

7

- （D ）7-

（5）已知全集,U R =且{}{}

2

|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于

（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-

（6）函数(1)1x

y x x =≠-+的反函数是 （A ）(1)1x y x x =

≠+方 （B ）(1)1x y x x =≠- （C ）1(0)x y x x -=≠ （D ）1(0)x

y x x

-=≠ （7）已知正方体外接球的体积是32

3

π，那么正方体的棱长等于

（A ） （B ）

3 （C ）3 （D ）3

（8）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有

（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种

（9）已知向量a 与b 的夹角为120o

，3,a a b =+= 则b 等于

（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1 （10）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n

（C ）若,m n αα?∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n

（11）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o

的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞

（12）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设6

3(),(),52

a f

b f ==

5(),2c f =则

（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。

（13）2

5

1()x x

-展开式中4

x 的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。

（14）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =

（15）已知实数x 、y 满足1,

1,y y x ≤???≥-??

则2x y +的最大值是＿＿＿＿。

（16）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ??

-

????

上的最小值是2-，则ω的最小值是＿＿＿＿。

三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；

（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？

（18）（本小题满分12分） 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；

（II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；

（III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。

（19）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2,CA CB CD BD AB AD ======

（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；

（III ）求点E 到平面ACD 的距离。

（20）（本小题满分12分） 已知椭圆2

212

x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的

中点在直线0x y +=上，求直线AB 的方程。

（21）（本小题满分12分）

已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最

大值是12。 （I ）求()f x 的解析式；

（II ）是否存在实数,m 使得方程37

()0f x x

+

=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

（22）（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{}n b 满足121

11

*44...4(1)(),n

n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。

B

E

2006年高考(福建卷)数学文试题答案

一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）D （2）B （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）C （11）C （12）D

1．两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a =－1，选D. 2．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d=3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B.

3．若"t a

n 1"α=，则4

k π

απ=+

，α不一定等于

4π

；而若""4

πα=则tanα=1，∴ "tan 1"α=是""4

π

α=

的必要不而充分条件，选B.

4．已知3(,),sin ,25π

απα∈=则3tan 4α=-，tan()4πα+=1tan 1

1tan 7

αα+=-，选A. 5

．

全

集

,

U R =且

{}|12{|1或3},A x x x x x =->=<->{}2|680{|24},B x x x x x =-+<=<<

∴ ()U A B e=(2,3]，选C. 6．由函数(1)1x y x x =

≠-+解得1

y

x y =+(y≠1)，∴ 原函数的反函数是(1)1x y x x =≠+. 7．正方体外接球的体积是

32

3

π，则外接球的半径R=2, 正方体的对角线的长为4，棱长等

D 8．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名

女生，则从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有33

74

A A -=186种，选B.

9．已知向量

a

与b

的夹角为

120

o

，

3,a a b =+=

3||||cos120||2

a b a b b ?=???=-

，222||||2||a b a a b b +=+?+ ，∴ 21393||||b b =-+ ，

则b =－1(舍去)或b

=4，选B.

10．对于平面α和共面的直线m 、n ，真命题是“若,m n αα?∥,则m ∥n ”，选C.

11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o

的直线与

双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

b

a

，∴ b a ≥3，离心率e 2=2

2222c a b a a

+=≥4，∴ e ≥2，选C. 12．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()l g f x x =设

644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51

()()22c f f ==<0，∴

c a b <<，选D.

二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。

（13）10 （14）

14 （15）4 （16）32

13．251()x x -展开式中，4

x 项为223243151()()10T C x x x

+=?-=，该项的系数是10.

14．已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，将y=x －1代入抛物线方程得

210ax x -+=，∴ 140a =-= ，a =

4

1

。 15．已知实数x 、y 满足1,

1,y y x ≤???≥-??

在坐标系中画出可行域，三个顶点分别

是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴ 2x y +的最大值是4.

16．函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ??

-

????

上的最小值是2-，则ωx 的取值范围是,34ωπωπ??

-????

， ∴ 32ωππ--≤或342ωππ≥， ∴

ω的最小值等于3

2

.

三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。 解：（I

）1cos 2()2(1cos 2)22

x f x x x -=

+++

132cos 22223

sin(2).

62x x x π=

++=++

()f x ∴的最小正周期2.2

T π

π=

= 由题意得222,,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-≤+

≤+

∈

即 ,.3

6

k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈

()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ?

?-+∈???

?

（II ）方法一：

先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6

y x π

=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3

sin(2)62

y x π=++的图象。

方法二：

把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=- 平移，就得到3

sin(2)62

y x π=++的图

象。

（18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。满分12分。 解：（I ）设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则

655

().666

P A ?=

=? 答：抛掷2次，向上的数不同的概率为5.6

（II ）设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。

向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1) 5种，

55().6636

P B ∴=

=? 答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为

5.36

（III ）设C 表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次，

332

5511105()(3)()().223216

P C P C ∴====

答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为

5

.16

（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。

方法一：

（I ）证明：连结OC

,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥

在AOC ?

中，由已知可得1,AO CO == 而2,AC =

222,AO CO AC ∴+=

90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥

,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD

（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角

在OME ?中，

111,222

EM AB OE DC =

=== OM 是直角AOC ?斜边AC 上的中线，1

1,2

OM AC ∴=

=

cos 4

OEM ∴∠=

∴异面直线AB 与CD

所成角的大小为arccos

4

（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h

,

11

(33)

E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --??=∴= 在ACD ?

中，2,CA CD AD ===

12ACD S ?∴==

而211,22CDE AO S ?==

= A

B

M

D

E

O

C

1

.

7

CDE

ACD

AO S

h

S

?

?

∴===

∴点E到平面ACD

的距离为

7

方法二：

（I）同方法一。

（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),

B D-

1

(0,0,1),((1,0,1),(1,

2

C A E BA CD

=-=-

.

cos,

4

BACD

BA CD

BA CD

∴<>==

∴异面直线AB与CD所成角

的大小为

（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),

n x y z

=

则

.(,,).(1,0,1)0,

.(,,1)0,

n AD x y z

n AC x y z

?=--=

?

?

=-=

??

0,

0.

x z

z

+=

??

∴

-=

令1,

y=

得(

n=

是平面ACD的一个法向量。

又

1

(

2

EC=-

∴点E到平面ACD的距离

.

EC n

h

n

===

（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，

考查运算能力和综合解题能力。满分12分。

解：（I）22

2,1,1,(1,0),: 2.

a b c F l x

==∴=-=-

圆过点O、F，

y

∴圆心M 在直线1

2

x =-上。

设1

(,),2

M t -则圆半径

13()(2).22

r =---=

由,OM r =3,2

=

解得t =

∴所求圆的方程为2219

()(.24

x y ++±=

（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠

代入2

21,2

x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-= 直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根，

记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y

则2

122

4,21

k x x k +=-+ 2012002212(),(1),22121

k k x x x y k x k k =+=-=+=++

线段AB 的中点N 在直线0x y +=上，

∴2002

220,2121k k

x y k k +=-+=++ 0k ∴=，或1

.2

k =

当直线AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点F 不在直线0x y +=上。

∴直线AB 的方程是0,y =或210.x y -+=

（21）本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。 （I ）解： ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),

∴可设()(5)(0).f x ax x a =->

()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=

由已知，得612,a =

22,

()2(5)210().

a f x x x x x x R ∴=∴=-=-∈

（II ）方程37

()0f x x

+

=等价于方程32210370.x x -+= 设32()21037,h x x x =-+ 则2'()6202(310).h x x x x x =-=-

当10

(0,)3x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当10

(,)3

x ∈+∞时，'()0,()h x h x >是增函数。

101

(3)10,()0,(4)50,327

h h h =>=-<=>

∴方程()0h x =在区间1010

(3,),(,4)33

内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)+∞内没

有实数根，

所以存在惟一的自然数3,m =使得方程37

()0f x x

+

=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根。

（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。

（I ）证明：2132,n n n a a a ++=-

21112*21

12(),1,3,2().

n n n n n n n n

a a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴

=∈-

{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列。

（II ）解：由（I ）得*

12(),n

n n a a n N +-=∈

112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+

12*

22...2121().

n n n n N --=++++=-∈

（III ）证明：121

11

44...4(1),n

n b b b b n a ---=+

12(...)42,n n b b b nb +++∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20.n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④ ④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=

*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈

{}n b ∴是等差数列。