离散数学必备知识点总结材料

总结离散数学知识点

第二章命题逻辑

1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；

2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；

3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；

4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；

5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；

6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；

7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；

8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；

9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)

10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则

①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；

第三章谓词逻辑

1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；

多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；

2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;

3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；

第四章集合

1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；

2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；

3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；

4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；

5.集合的分划：(等价关系)

①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；

②这几个子集相交为空，相并为全(A)；

6.集合的分划与覆盖的比较：

分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；

覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；

第五章关系

1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数

2种不同的关系；

为mn，A到B上可以定义mn

2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；

3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；

空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；

全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；

4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；

后域(ranR)：所有元素y组成的集合；

5.自反闭包：r(R)=RU

I;

x

对称闭包：s(R)=RU1-R;

传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……

6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；

7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；

8.covA={|x,y属于A，y盖住x}；

9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；

极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；

最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；

最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集

上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；

下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；

上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；

下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；

第六章函数

2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn

数；

2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；

3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；

4.单射：f:X-Y，对任意

x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；

1

满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；

双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；

5.复合函数：fog=g(f(x));

6.设函数f:A-B，g:B-C，那么

①如果f,g都是单射，则fog也是单射；

②如果f,g都是满射，则fog也是满射；

③如果f,g都是双射，则fog也是双射；

④如果fog是双射，则f是单射，g是满射；

第七章代数系统

1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；

2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，

即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；

3.判断二元运算的性质方法：

①封闭性：运算表内只有所给元素；

②交换律：主对角线两边元素对称相等；

③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；

④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；

⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；

4.同态映射：,,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；

第八章群

1.广群的性质：封闭性；

半群的性质：封闭性，结合律；

含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；

群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；

2.群没有零元；

3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；

4.循环群中幺元不能是生成元；

5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；

第十章格与布尔代数

1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；

2.格的基本性质：

1) 自反性

a≤a 对偶: a≥a

2) 反对称性

a≤b ^ b≥a => a=b

对偶:a≥b ^ b≤a => a=b

3) 传递性

a≤b ^ b≤c => a≤c

对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c

4) 最大下界描述之一

a^b≤a 对偶 avb≥a

A^b≤b 对偶 avb≥b

5）最大下界描述之二

c≤a,c≤b => c≤a^b

对偶c≥a,c≥b =>c≥avb

6) 结合律

a^(b^c)=(a^b)^c

对偶 av(bvc)=(avb)vc

7) 等幂律

a^a=a 对偶 ava=a

8) 吸收律

a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a

9) a≤b <=> a^b=a avb=b

10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd

11) 保序性

b≤c => a^b≤a^c avb≤avc

12）分配不等式

av(b^c)≤(avb)^(avc)

对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)

13）模不等式

a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c

3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；

4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；

5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；

6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；(若存在则唯一)

全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0；(若存在则唯一)

7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；

8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；

9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；

10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；

11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；

第十一章图论

1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；

2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；

3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；

4.简单图：不含平行边和环的图；

5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；

6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；

7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；

8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；

9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；

10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；

11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；

12.可达：对于图中的两个节点

v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i v

i

与

v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j

路，则称

v到j v可达；

i

13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；

单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；

弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)

14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；

割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；

15.关联矩阵：M(G)，

m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；

ij

无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；

有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：

无向图：

①行：每个节点关联的边，即节点的度；

②列：每条边关联的节点；

有向图：

③所有的入度(1)=所有的出度(0);

16.邻接矩阵：A(G)，

a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；

ij

17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)

可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；

A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；

2

A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；

3

A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；

4

A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；

P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；

18.布尔矩阵：B(G)，

v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；

i

19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；

20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；

21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；

深度优先：

①选定起始点

v；

②选择一个与

v邻接且未被访问过的节点1v；

③从

v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所

1

有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；

广度优先：

①选定起始点

v；

②访问与

v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为

第一层节点；

③在第一层节点中选定一个节点

v为起点；

1

④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；

22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；

23.构造最小生成树的三种方法：

克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；

（1）克鲁斯卡尔方法

①将所有权值按从小到大排列；

②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；

③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；

④重复③，直到所有节点都被访问过一次；

（2）管梅谷算法(破圈法)

①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；

②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；

③重复②，直到所有节点都被访问过一次；

（3）普利姆算法

①在图中任取一点为起点

v，连接边值最小的邻接点2v；

1

②以邻接点

v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值

2

比

v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1

连接

v现在的最小边值(除已连接的边值)；

1

③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；

24.关键路径

例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.

解：最早完成时间

TE(v1)=0

TE(v2)=max{0+1}=1

TE(v3)=max{0+2,1+0}=2

TE(v4)=max{0+3,2+2}=4

TE(v5)=max{1+3,4+4}=8

TE(v6)=max{2+4,8+1}=9

TE(v7)=max{1+4,2+4}=6

TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间

TL(v8)=12

TL(v7)=min{12-6}=6

TL(v6)=min{12-1}=11

TL(v5)=min{11-1}=10

TL(v4)=min{10-4}=6

TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间

TS(v1)=0-0=0

TS(v2)=2-1=1

TS(v3)=2-2=0

TS(v4)=6-4=2

TS(v5=10-8=2

TS(v6)=11-9=2

TS(v7)=6-6=0

TS(v8)=12-12=0

关键路径: v1-v3-v7-v8

25.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；

欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；

欧拉图：具有欧拉回路的图；

单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；

欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；

26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：

①连通图；②有0个或2个奇数度节点；

（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：

①连通图；②所有节点度数均为偶数；

（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：

①除两个节点外，每个节点入度=出度；

②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；

（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：

图中每个节点的出度=入度；

27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；

哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；

哈密顿图：具有哈密顿回路的图；

28.判定哈密顿图（没有充要条件）

必要条件：

任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：

图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；

29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；

方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；

30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；

31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；

32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；

33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；

34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)

设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；

35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；

36.判断G是平面图的充要条件：

图G不含同胚于K3.3或K5的子图；

37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；

②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；

完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；

判定无向图G为二部图的充要条件：

图中每条回路经过边的条数均为偶数；

38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；

39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；

40.树高：层数最大的顶点的层数；

41.二叉树：

①二叉树额基本结构状态有5种；

②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；

③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；

④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；

⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；

⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有1

2 k个(k>=1)；

⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；

⑧如果有

n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；

42.二叉树的节点遍历方法：

先根顺序（DLR）；

中根顺序（LDR）；

后根顺序（LRD）；

43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；

44.最优二叉树的构造方法：

①将给定的权值按从小到大排序；

②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；

③重复②，直达所有权值构造完毕；

45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；

每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；