【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之68判断三角形形状
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之68判断三角形形状
一、选择题（共40小题；共200分）
1. 在中，若，则的形状是
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 不能确定
2. 内角，，的对边分别为，，，若，则的形状一定是
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
3. 在锐角中，角，所对的边长分别为，．若，则角等于
A. B. C. D.
4. 若的三个内角满足，则
A. 一定是锐角三角形
B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形
D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5. 在中，，则一定是
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
6. 在中，若，则这个三角形一定是
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
7. 中，，那么此三角形是
A. 等边三角形
B. 锐角三角形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形
8. 在中，，，分别为角，，所对的边，若，则此三角形一定是
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰或直角三角形
9. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的
形状为
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
10. 在中，已知，则是
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
11. 若，则为
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 等腰直角三角形
12. 在中，若，，则形状为
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
13. 在中，若，则是
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等腰直角三角形
14. 在中，若，，则一定是
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
15. 在中，内角、、的对边分别是、、．若，
则是
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
16. 在中，若，则为
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形
17. 设中，，且，则此三角形为
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
18. 在中，角，，的对边分别为，，，且，则是
A. 直角三角形
B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
19. 角为的一个内角，若，则这个三角形为
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形
20. 在中，若，则是
A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 直角三角形
21. 若关于的方程有一个根为，则中一定有
A. B. C. D.
22. 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则
A. 和都是锐角三角形
B. 和都是钝角三角形
C. 是钝角三角形，是锐角三角形
D. 是锐角三角形，是钝角三角形
23. 中，角，，所对的边分别为，，，且，则为
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形
24. 若的三个内角，，满足，则
A. 一定是锐角三角形
B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形
D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
25. 设，，为三角形的三边长，且，，若
，则三角形的形状为
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
26. 若的三个内角满足，则
A. 一定是锐角三角形
B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形
D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
27. 中的内角，，所对的边分别为，，，若，，则
的形状为
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
28. 若三角形中，，则此三角形的形状是
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
29. 在中，若，则的形状一定是
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形
30. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的
形状为
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
31. 已知中，角、、的对边分别是、、，若，则是
A. 等腰直角三角形
B. 锐角三角形
C. 等边三角形
D. 钝角三角形
32. 在中，关于的方程无实数根，则的
形状为
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
33. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等边三角形
34. 在中，，则是
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等边三角形
35. 已知三个向量，，共线，其中、、、、、
分别是的三条边及相对三个角，则的形状是
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
36. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．若
，则的形状是
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
37. 在中，若，则此三角形为
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
38. 在中，，则是
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
39. 在中，，分别为的重心和外心，且，则的形状是
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 上述三种情况都有可能
40. 在中，若，则的形状是
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定
二、填空题（共40小题；共200分）
41. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，则的形状
是三角形．
42. 已知中，，且，则的形状为．
43. 在中，、、分别是角、、的对边，且成等差数列，成等
比数列，则三角形的形状是．
44. 在中，若，则的形状一定是．
45. 在中，，，则的形状为．
46. 中，若，则这个三角形是三角形．
47. 在中，若，，则的形状是三角形．
48. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，则三
角形的形状为．
49. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，则的形状
是．
50. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，则的
形状为三角形．
51. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，则的形状
是．
52. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则
的形状为．
53. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的形
状是三角形．（填“直角”、“钝角”或“锐角”等）
54. 若，是的两个内角，且，则是三角形．
55. 在中，若，则是三角形．
56. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则
是三角形．
57. 在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“为等腰三角形”
的条件．
58. 若，内角，的对边分别为，，则三角形的形状
为．
59. 在中，，，所对的边分别是，，，已知，，，则
的形状是．
60. 在中，已知，则的形状是三角形．
61. 中，，是它的两边，是的面积，若，则的形状
为．
62. 在中，，则该三角形的形状为．
63. 在中，已知，那么的形状是．
64. 在中，已知，则的形状是．
65. 在中，，则的形状为．
66. 在中，内角，，所对的边分别为，，若，
，当的面积取最大值时，的形状为．
67. 直角三角形的斜边在平面内，直角顶点在内的射影是，则的形状
为．
68. 在中，若，，则的形状是．
69. 已知在中，，，则的形状是．
70. 在中，若，，则的形状为．
71. 在斜三角形中，内角，，所对的边分别是，，．若，
则的形状为．
72. 对于，有如下命题：
①若，则一定为等腰三角形．
②若，则一定为等腰三角形．
③若，则一定为钝角三角形．
④若，则一定为锐角三角形．
则其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上）
73. 如果满足，，的锐角有且只有一个，那么实数的取值范围
是．
74. 以下列结论：①中，若，则；②若，则与的夹角为钝角；
③将函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象；④函
数在在上的值域为；⑤若，则为钝角三角形．
则上述结论正确的是．（填相应结论对应的序号）
75. 在中，已知，，，那么是三角形．
76. 在中，内角为，，，若，则的形状一定是．
77. 在中，，则三角形为三角形．
78. 若一个钝角三角形的三条边长分别是，，，则的取值范围是 .
79. 已知，则的形状为．
80. 在中，给出以下结论：
①若，则为钝角三角形；
②若，则角为；
③若，则为锐角三角形；
④若，则．
其中正确结论的序号是．
三、解答题（共20小题；共260分）
81. 在中，已知，试判断的形状.
82. 在中，若，试判断的形状．
83. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，，
且为锐角，试判断的形状．
84. 在中，内角，，所对的边长分别为，，，若试判断
的形状．
85. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，向量，
，且．
（1）求角的大小；
（2）若，试判断取得最大值时形状．
86. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）判断的形状；
（2）求的取值范围．
87. 已知，，分别是的三个内角，，的对边．
（1）若面积，，，求，的值；
（2）若，且，试判断的形状．
88. 在中，角，，所对的边分别是，，，且，，成等差数列．
（1）若，，求；
（2）若，，成等差数列，试判断的形状．
89. 在中，，，分别是三内角，，对应的三边，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，判断的形状．
90. 在中，三内角，，的对边分别是，，．
（1）若，，，求；
（2）若，，试判断的形状．
91. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，，
．
（1）求角的大小；
（2）求的面积．
92. 在中，，分别为内角，，所对的边，且，试判断
的形状．
93. 在中，三个内角，，的对边分别为，，，且满足
，试判断的形状．
94. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，试判断
的形状．
95. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，又三边，，满足
，试判断的形状．
96. 在中，，，的对边分别为，，，若，，判断
的形状．
97. 中，，且，试判断的形状．
98. 已知函数（其中），点，，
从左到右依次是函数图象上三点，且．（1）证明：函数在上是减函数；
（2）求证：是钝角三角形；
（3）试问，能否是等腰三角形?若能，求面积的最大值；若不能，请说明理由．99. 在中，如果，且为锐角，判断此三角形的形状．
100. 在中，三个内角，，的对边分别是，，，其中，且．（1）求证：是直角三角形．
（2）设圆过，，三点，点位于劣弧上，．求四边形的面积．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. D 【解析】由已知及正弦定理可知：，因为为三角形的内角，所以，故，
又因为为锐角三角形，所以，故．
4. C
5. C
【解析】因为，即，
所以，所以，为钝角．
故为钝角三角形．
6. D 【解析】因为，
所以．
移项、整理，得，
即．
又因为，，
所以．
所以即．
所以一定是等腰三角形．
7. C 8. C 9. A 【解析】则由正弦定理，可得
所以，即，
所以，所以是直角三角形．
10. C
【解析】在中，，
故，
即，
故．
11. A 【解析】因为，
所以，
所以．
12. C 【解析】由正弦定理知，
，
则可化为：，
因为，
所以．
所以，
所以或，
又，所以，
所以，所以为等边三角形．
13. A 【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，即
所以为等腰三角形．
14. B 【解析】因为，
所以．
当为锐角，为钝角时，，，成立；
当、均为锐角时，，，成立此时．
故一定是钝角三角形．
15. B
【解析】原式可化为，
于是．
由以上结论知，
因此是直角三角形．
16. C 【解析】由已知得，即，．
所以．
所以，或，
所以，或．
17. D【解析】因为，所以或．又因为，所以，即．若，则，无意义．所以为等边三角形．
18. A 【解析】在中，
因为，
所以，
所以，
所以由余弦定理知，
所以，
所以，
所以，
所以是以为直角的直角三角形
19. B 【解析】将两边同时平方得，，
由，得．
因为为的一个内角，
所以，
所以，，从而角是钝角，
所以是钝角三角形．
20. C
【解析】由题意知．
因为，，
所以，，
所以，
所以是等腰直角三角形．
21. A 【解析】方程有一个根为，则，
，即，也即，而
，所以，所以．
22. D 【解析】由条件可知的三个内角的余弦值均大于，
则使锐角三角形，且两个三角形都不可能是直角三角形．
假设也是锐角三角形，
则，
所以，同理，得，．
又，
所以，
即．
这与三角形内角和等于矛盾，所以假设不成立，
即是钝角三角形．
23. A 【解析】因为依题意可知，
所以，，
所以为直角．
24. C 【解析】因为角，，满足，
所以根据正弦定理，得，整理得．
设，，，由余弦定理得：，
因为是三角形内角，得，
所以由，得为钝角，
因此，是钝角三角形．
25. B
【解析】因为
所以，即，
所以，即，故三角形的形状为直角三角形．
26. C 【解析】由：及正弦定理，得，由余弦定理，得，所以角为钝角．
27. C 【解析】由已知及正弦定理得，，故，即，所以，又，
所以．
同理可得，
所以为等边三角形．
28. B 【解析】因为中，，
所以已知等式变形得：，
即，
整理得：，
即，
所以或（不合题意，舍去），
所以，
则此三角形形状为直角三角形．
29. A 30. A
【解析】结合已知，
由正弦定理可知，
即，
故，
故三角形为直角三角形．
31. A 【解析】由正弦定理得：，
因为，，
所以．
，．
即，．
即是等腰直角三角形．
32. B 33. A 34. C 35. B
【解析】因为与共线，
所以，
由正弦定理得，
因为，，
所以，
化简得．
又因为，，
所以，
可得．
同理，由与共线得到，
所以中，，可得是等边三角形．
36. C 37. B 38. C 【解析】因为，所以，即
，即，所以．
39. B 【解析】解析：如图，取的中点，连接，因为，，所以
．因为是的重心，所以．因为是中点，所以．所以，由①②两式及已知可得，即，所以，由余弦定理可知．
40. C
【解析】因为，，所以原式可化简为
即，即，根据余弦函数单调性可得，所以或，所以是是钝角三角形．
第二部分
41. 等腰
【解析】方法一：由余弦定理，得，即，从而．
方法二：由正弦定理，得，从而，故．
方法三：，则，故．
42. 等腰直角三角形
【解析】由正弦定理得，，，为外接圆的半径，所以
，．所以，．所以为等腰直角三角形．
43. 等边三角形
【解析】由成等差数列，得
由成等比数列，得再结合正弦定理，得
联立消去，化简得，
从而，所以是等边三角形．
44. 等腰三角形
【解析】由，得，
所以，
所以是等腰三角形．
45. 等边三角形
【解析】由余弦定理得，
即，
所以，所以．
又因为，
所以为等边三角形
46. 钝角
【解析】因为，
所以，
即，即．
又，所以为钝角．
47. 等边
【解析】由，得，则，
所以，则，
所以等边三角形．
48. 等边三角形
【解析】因为，所以．又，所以，所以是等边三角形．
49. 等边三角形
【解析】由正弦定理和题设得，所以
．又，所以，所以为等边三角形．
50. 直角
【解析】由已知得，
所以，
所以．
又，
所以，，
所以为直角三角形．
51. 等腰三角形或直角三角形
【解析】由正弦定理，得，
从而或．
故是直角三角形或等腰三角形．
52. 等腰或直角三角形
【解析】因为，
所以．
所以，
所以．
所以，
所以或．
因为，，
所以或．
所以为直角三角形或等腰三角形．
53. 钝角
54. 钝角
【解析】因为，，是的内角，
所以，且，即，由已知得，即，
所以，
所以，
所以一定为钝角，
所以一定为钝角三角形．
55. 直角
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，即或，
所以是直角三角形．
56. 钝角
【解析】由，得，所以，所以，即为钝角三角形．
57. 充分不必要
【解析】若，由正弦定理得，
即，
所以，
即，
所以，
即，
所以是等腰三角形．
若是等腰三角形，
当时，不一定成立，
所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件．
58. 等腰三角形或直角三角形
【解析】因为在中，，
所以，所以由正弦定理得：，，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以为等腰或直角三角形．
59. 直角三角形
60. 等腰
61. 等腰直角三角形
【解析】在中，，是它的两边长，是的面积，，可得．
再由，可得，故有，且，可得：是等腰直角三角形．
62. 等腰三角形
【解析】方法一：由，由余弦定理得，解得．
方法二：由，得．
，，
．
即．．
63. 等腰三角形
【解析】由，得，
所以，所以，所以，所以，
所以为等腰三角形．
64. 等腰三角形
65. 钝角三角形
【解析】因为，
所以可令，，．
又最大，，
所以为钝角，从而该三角形为钝角三角形．
66. 等腰三角形
【解析】因为，
所以，
所以，又，所以．
由，解得（当且仅当时等号成立）．
因为，
当且仅当时，“”成立，
所以的形状为等腰三角形．
67. 钝角三角形
68. 正三角形
【解析】由余弦定理得．因为，所以
．整理上式可得，所以．又，所以．因此，
为正三角形．
69. 等边三角形
【解析】由余弦定理，得，
即，整理，得，
所以，所以．
所以是等边三角形．
70. 等腰直角三角形
【解析】由，得．，即，同时．
又由，得．，即．
71. 等腰三角形
【解析】由得，，所以或．
因为，所以．
72. ②③④
【解析】①中或，所以可以是等腰三角形或直角三角形；
②在中，，由正弦定理得，所以一定为等腰三角形；
③等价于，由正弦定理得，由余弦定理得，所以
为钝角三角形；
④．所以为锐角三角形．
73.
【解析】当时，不能构成三角形；当，即，时，
三角形为直角三角形，不符合题意；当，即，即时，能构造一个锐角三角形与一个钝角三角形，满足条件；当，即时，要使为锐角
三角形，必有，则，即，解得．
综上可知，实数的取值范围是．
74. ①④⑤
75. 直角
【解析】因为，所以，所以
，所以，所以，
所以是直角三角形．
76. 直角三角形
77. 等腰
【解析】由已知得，所以，又，所以．
78. 或
79. 等腰或直角三角形
【解析】或，所以为等腰或直角三角形．
80. ①
【解析】①由，得
则角为钝角，故①正确；
②由，得
则，故②错误；
③由，得
则为锐角，但不能保证、都是锐角，故③错误；
④由，得，，，则
故④错误．
第三部分
81. 由已知得，
由正弦定理和余弦定理，得
整理，得，
即，
所以或，
故是等腰三角形或直角三角形．
82. 由已知，
得，
即，
即
所以．
由于、是三角形的内角，故，，．故只可能或，
即或．
83. 由，得．
由，得．
又因为为锐角，
所以，
又由正弦定理，得，
将代入，得
所以，即，
所以
所以．
所以是等腰直角三角形．
84. 由已知得，
，
，．
所以或，
所以或．
所以是直角三角形或等腰三角形．
85. （1）由，，
又因为，
所以．
解得．
因为，所以．
（2）在中且，
所以．
因为，
所以，
即当且仅当时，取得最大值，
又由（1）知，
所以．
故取得最大值时，为等边三角形．
86. （1）由，结合正弦定理可得，，
即，得，
因为，
所以，则，
所以，即为等腰三角形．
（2）
因为，
所以，则．
即的取值范围是．
87. （1）因为，所以，得，
由余弦定理得：，
所以．
（2）由余弦定理得：，所以，所以；在中，，所以，
所以是等腰直角三角形．
88. （1）由，，得．
由，得，得，
又，
所以，则．
所以．
（2）由，得，
又，得，得，所以，
高一数学专项练习题
高一数学专项练习题 高一数学专项练习题 高一数学专项练习一. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数唯一的零点在区间内，那么下面命题错误的( ) A 函数在或内有零点 B 函数在内无零点 C 函数在内有零点 D 函数在内不一定有零点 2.若，，则与的关系是 ( ) A B C D 3. 函数零点的个数为 ( ) A B C D 4. 已知函数y=f(x)有反函数，则方程f(x)=0 ( ) A 有且仅有一个根 B 至多有一个根 C 至少有一个根 D 以上结论都不对 5. 某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林( ) A 亩 B 亩 C 亩 D 亩 二. 填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。 6.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是
7.函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为 8. 设函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在[a,b]上有实根. 9. 若点(2,1)既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=__________________，=__________________ 三. 解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10.(本小题13分) 某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少? 11.(本小题14分) 设与分别是实系数方程和的一个根，且，求证：方程有且仅有一根介于和之间。 12.(本小题14分) 函数在区间上有最大值，求实数的值 B组题(共100分) 四. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是( ) A (-2,6) B [-2,6] C {-2,6｝ D (-,-2)(6,+)
解三角形典型例题
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A （2017贵州遵义高一期末）5．如图是一个算法流程图，则输出的n的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=0 执行循环体，n=1 满足条件21≤16，执行循环体，n=2 满足条件22≤16，执行循环体，n=3 满足条件23≤16，执行循环体，n=4 满足条件24≤16，执行循环体，n=5 不满足条件25≤16，退出循环，输出n的值为5． 故选：C． 10．（2017安徽马鞍山高一期末）如图所示，程序框图的输出结果为（） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】EF：程序框图． 【专题】27 ：图表型；5K ：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=121时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=1，k=1 满足条件S＜100，S=4，k=2 满足条件S＜100，S=13，k=3 满足条件S＜100，S=40，k=4 满足条件S＜100，S=121，k=5 不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图和算法，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查． （2017湖北荆州高二月考）5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（） A．105 B．16 C．15 D．1 【考点】E7：循环结构． 【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i ﹣1），由此能够求出结果． 【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构， 它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1） ∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15． 故选C． （2017黑龙江大庆中学高二期中）9．运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（） 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 例3：在△ABC 中，已知 22 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状． （2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状． 例6：已知△ABC 中，5 4 cos = A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 例7、△ABC 的内角A 、 B 、 C 的对边abc,若abc 成等比数列，且c=2a ，则△ABC 的形状为（ ） ∴△ABC 为钝角三角形。 例8 △ABC 中，sinA=2sinBcosC,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ABC 的形状为（ ） 例9△ABC 中A 、B 、C 的对边abc ，且满足（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,试判断△ABC 的形状。 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 1、 在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::1)a b c =，试判断三角形的形状。 所以三角形为锐角三角形。 3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A 试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形. 4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ ABC 为( ) A 、三边均不相等的三角形 B 、直角三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、等边三角形 5、在ABC ?中，设,,,BC a CA b AB c === 若,a b b c c a ?=?=? 判断ABC ?的形状。 6、在△ABC 中，cos cos b A a B =试判断三角形的形状 故此三角形是等腰三角形. 7、在ABC ?中，如果lg a lg c -=lgsin B =-B 为锐角判断此三角形的形状。 故此三角形是等腰直角三角形。 巩固练习：在ABC ?中，若 22 tan :tan :,A B a b =试判断ABC ?的形状。 ABC ∴?为等腰三角形或直角三角形。 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4） （特别适合按14523顺序的省份） 必修1 第一章 集合测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A={a ，b ，c},下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c} C. {a ，e} D.{a ，b ，c ，d} 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A ∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若B A ={1，2，3，4，5}，则x=（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 判断三角形形状的常用方法 判定三角形的形状，在数学竞赛中经常出现，这类试题灵活多变，解决这类问题，要根据题目的特点，选用恰当的方法，它往往将代数、几何、三角等知识之间的联系，用到的数学思想方法较多，具有一定的技巧，本文结合近几年的各类数学竞赛题，介绍判定三角形形状的一些常用技法，供读者参考。 一、配方法 例 1. （2001年初二“希望杯”第二试）若?ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足 a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，则?ABC 是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解：由条件a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，三式相加得 a b c a b b c c a 4442222220++---= 配方得： 12 022*******[()()()]a b b c c a -+-+-= 因为a 、b 、c 是三角形的边长，所以 a b b c c a 222222000-=-=-=，， 得a b c BC ==，?A 为等边三角形，故选D 。 例 2. （2002年河南省初二数学竞赛）?ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足a b c a b c 222325215++=?+..，则?ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 以上答案都不对 解析：初看本题很难入手，先化简条件等式，即去分母化简整理得： 44138120222a b c ac bc ++--= 到此思路已经明朗，配方得 423022()()a c b c -+-= 所以a c -=0且230b c -= 得c a b a ==，32 所以?ABC 是等腰三角形，故选B 。 二、因式分解 例 3. （2002年太原市初中数学竞赛）已知a 、b 、c 为三角形的三边，且满足a ab ac bc b bc ba ca 2200+--=+--=，，则?ABC 是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形 解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式： （1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）； （2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 正余弦定理与三角形形状的判断 一、掌握基本原理 常用的定理或公式主要有以下几个： （1）在△ABC 中，A + B + C = π， 2 22C B A -=+π， () C B A s i n s i n =+，()C B A cos cos -=+， sin （A+B/2）=cos （C/2），2 cot 2tan C B A =+ ． （2）正余弦定理及其变式： 如a = 2R sin A ，b 2 + c 2－a 2 =2b c cos A ，这里， R 为三角形外接圆的半径． （限于篇幅，定理原文及其它相关变式请读者自己回忆并写出）． （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ．（用余弦定理很容易证得，请读者作为练习自行证之） 二、弄清题目类型 1.目标明确型 例1 在△ABC 中，a 2+b 2=c 2+ab ，且sin A sin B = 4 3 ，求证：△ABC 为等边三角形. 分析：由a 2+b 2=c 2+ab ，知，用余弦定理可求出C 角， 证明：由余弦定理，得c 2=a 2+b 2－2ab cos C . ∵a 2+b 2=c 2+ab ， ∴ab －2ab cos C =0. ∴cos C = 21 ，∴C =60° ∵sin A sin B =43，cos （A +B ）=cos （180°－C ）=cos120°=－2 1 ， cos （A +B ）=cos A cos B －sin A sin B ， ∴cos A cos B = 4 1. ∴cos （A －B ）=cos A cos B +sin A sin B =1. ∵－π＜A －B ＜π，∴A －B =0. ∴A =B =60° ∴△ABC 是等边三角形. 评注：这类题目往往由于目标明确，在利用正弦定理或余弦定理得出一些初步结论之后能够很快确定后续思路．尤其本题中首先得出了一个特殊角，加之sin A sin B =4 3 ，则更容易联想到三角形内角和定理了． 解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 判断三角形形状 解三角形是高考考察的重要内容，借助三角变换、正余弦定理和向量解与三角形有关的问题是高考命题的新趋势。而判断三角形形状也是高考命题的重点． 一、运用三角函数的公式判断三角形形状 例1．在△ABC中，sinBsinC＝cos2 ，则此三角形是（）． A.等边三角形 B.三边不等的三角形 C.等腰三角形 D.以上答案都不对 解析：利用倍角公式和两角和（差）公式化简判断． 解：选C．∵sinBsinC＝cos2 ，∴sinBsinC＝， ∴2sinBsinC＝1+cosA，∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴2＝1-cos（B+C），∴2sinBsinC＝1- cosB cosC+ sinBsinC，∴sinBsinC +cosB cosC=1，∴cos（B-C）=1，∴在△ABC中，B-C=0，∴B=C，∴△ABC是等腰三角形． 2.设A、B、C是△ABC的三个内角，且tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根，那么△ABC是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：利用二次函数的韦达定理和正切的两角和公式化简判断． 解：选A. ∵tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根，∴，∵tan（A+B）= = = ，∴tanC=- tan（A+B）=-，∴△ABC是钝角三角形． 点评：1．运用三角函数公式进行化简，其中往往用三角形内角和定理A＋B＋C＝π通过诱导公式转化为一个角．然后通过这个角的值判断三角形的形状． 2．而三角形内角和定理A＋B＋C＝π一方面可转化角， 如sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），sin =cos ，cos =sin ，另一方面可判断三个内角的范围不能超出（0，）。 二、运用正弦定理和余弦定理判断三角形形状 利用平面向量判断三角形形状 1．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ?=，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．上述均不是 【答案】B 【解析】 【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+代入计算，再利用向量的线性运算求解． 【详解】 如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ， 则G 在AD 上，13 GD AD =，OD BC ， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ?=+?=?+? 221111()()()53326 GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =?=?=?+?-=-=， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<， 由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：B ． 2．若O 为ABC ?所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -?-++=，则ABC ?的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断. 【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -?-++=，即()0CB AC CB CB AB ?+=?=， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠= ，故ABC ?为直角三角形. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题. 3．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形 D ．等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】 解：0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ??? ，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， 《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ． 分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解． 解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有， 则有 说明还可以这样求： 高中数学基础知识与练习 题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 第一讲集合与逻辑用语 第1节集合及其运算 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示). (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 集合间的基本关系 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少 有一个元素不是A中的元素 A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则 集 合A的补集为?U A 图形表示 意义 {x|x∈A，或 x∈B}{x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且x?A} 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A； ?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )；?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B ). ★练习 1.已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，则(?R A )∩B ＝________. 2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) .4 3.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于( ) A.(－1，3) B.(－1，0) C.(0，2) D.(2，3) 4.(2015·浙江卷)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q 等于( ) A.[3，4) B.(2，3] C.(－1，2) D.(－1，3] 一、选择题 1.(2015·安徽卷)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(?U B )等于( ) A.{1，2，5，6} B.{1}C.{2} D.{1，2，3，4} 2. (2015·南昌监测)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( ) B.1 3.(2015·长春监测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝??????x ???x ＋1x －2≥0，则P ∩Q 等于 ( ) A.(－∞，2) B.(－∞，－1] C.[0，＋∞) D.(2，＋∞) 4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A ＝{x |－1＜x ≤2，x ∈N }，集合B ＝{2，3}，则A ∪B 等于( ) A.{2} B.{1，2，3} C.{－1，0，1，2，3} D.{0，1，2，3} 5.已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) 判定三角形形状的十种方法 数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。 1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0, 则△ABC为等腰三角形。 2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0, 则△ABC为等边三角形。 3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形； 若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形； 若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。 4、若有（a2-b2）（a2+b2-c2）=0， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形。 5、若有a=b且a2+b2=c2， 则△ABC为等腰直角三角形。 以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。 6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB, 则△ABC为直角三角形或等腰三角形。 7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。 8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中 的最大角), 则△ABC为钝角三角形。 9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如 tanA=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。 10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如 cosA=，b=c,则△ABC为等边三角形。 以下就一些具体实例进行分析解答： 一、利用方程根的性质： 例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一 个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三 角形为（） （A）锐角三角形；（B）钝角三角形； （C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角 三角形； (“缙云杯”初中数学邀请赛) 解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加， 得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾， ∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相同的根， ∴ =-（a+c），即b2+c2=a2，故△ABC是以a为斜边 的直角三角形，故应选（D） 二、利用根的判别式 高中数学《函数》测试题 一、选择题(共50分)： 1．已知函数y f x =+()1的图象过点（3，2），则函数f x ()的图象关于x 轴的对称图形一定过点 A. （2，-2） B. （2，2） C. （-4，2） D. （4，-2） 2．如果奇函数()f x 在区间[](),0a b b a >>上是增函数，且最小值为m ，那么()f x 在区间[],b a --上是 A.增函数且最小值为m B.增函数且最大值为m - C.减函数且最小值为m D.减函数且最大值为m - 3. 与函数() lg 210.1 x y -=的图象相同的函数解析式是 A ．121()2y x x =-> B ．1 21 y x = - } C ．11()212y x x = >- D ．1 21 y x = - 4．对一切实数x ，不等式1||2++x a x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．-∞(，－2］ B ．［－2，2］ C ．［－2，)+∞ D ．［0，)+∞ 5．已知函数)12(+=x f y 是定义在R 上的奇函数，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称，则)()(x g x g -+的值为 A ．2 B ．0 C ．1 D ．不能确定 6．把函数)(x f y =的图像沿x 轴向右平移2个单位，所得的图像为C ,C 关于x 轴对称的图像为x y 2=的 图像，则)(x f y =的函数表达式为 A. 2 2 +=x y B. 2 2 +-=x y C. 2 2 --=x y D. )2(log 2+-=x y 7. 当01a b <<<时，下列不等式中正确的是 A.b b a a )1()1(1 ->- B.(1)(1) a b a b +>+ 】 C.2 )1()1(b b a a ->- D.(1)(1)a b a b ->- 8．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2 --+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是 A.1[,)2-+∞ B. [)+∞,0 C. [)+∞,1 D.2 [,)3 +∞ 9．已知(31)4,1()log , 1a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1(0,)3 C.1[,1)7 D.11 [,)73 10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴。洗浴时，已知每分钟放水 34升，在放水的同时按4升/分钟的匀加速度自动注水。当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供 A ．3人洗浴 B ．4人洗浴 C ．5人洗浴 D ．6人洗浴 二、填空题(共25分) 11．已知偶函数()f x 在[]0,2内单调递减，若()()0.511,(log ),lg 0.54 a f b f c f =-==，则,,a b c 之间的大小关系为 。 12. 函数log a y x =在[2,)+∞上恒有1y >，则a 的取值范围是 。 【 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月11日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1 (3) 授课章节名称： 第6章 微分方程 第1节 微分方程的概念 教学目的： 1、理解微分方程及相关概念 2、初步认识根据实际问题建立微分方程的过程 教学重点：微分方程及相关概念 教学难点：微分方程相关概念的正确理解 教学方法：举例；讲解；练习 教学手段：传统式 作业： P250 3、4、5 教案实施效果追记： 第6章 微分方程 第1节 微分方程的概念 复习及课题引入（时间：5分钟） 我们在中学学习并求解过什么方程？它们的解有什么特点？ 讲授新内容（时间：90分钟） 下看两个例子 例 1 设作直线运动的物体的速度是)/(cos )(s m t t v =，当)(2 s t π =，物体 经过的路程为m s 10=，求物体的运动规律。 解 设物体的运动方程为)(t s s =，由导数的物理意义有 t dt ds cos = （1） 根据题意，函数)(t s 还应满足条件 10)2 (=π s （2） 对方程（1）两端积分得 C t s +=sin （3） 其中C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式得 C +=2 sin 10π 即9=C ，于是得所求物体的运动方程为 9sin +=t s 例 2 一条曲线通过点)1,0(，且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为 23x ，求这曲线的方程。 解 设所求曲线为)(x y y =，由导数的几何意义有 23x dx dy = （4） 由于曲线过点)1,0(，因此有 1)0(=y （5） 对方程（4）两端积分得 C x dx x y +==?323 （6） 其中C 为任意常数。把条件（5）代入（6）式得 C +=01 即1=C ，于是得所求曲线的方程为 13+=x y 两个例子中的方程（1）和（4）都含有未知函数的导数，对这样的方程我们有定义。 定义：凡含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。高中数学题库——算法
正弦余弦定理判断三角形形状专题
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