初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案
1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 正方形的性质
因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，
所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结：
（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．
而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．
例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？ 【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ． 设PF x =，则10EF x =+，1
(10)2
BF x =+． 由222
PB PF BF =+． 可得：22
21
10(10)4
x x =++． 故6x =．
2
16256ABCD S ==．
例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？ 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．
理由：连结AE 、AF ．
由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用，
∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．
同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ．
∴EF=ME+MF=BE+DF ．
例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ?
∠=，试说明EF BE DF =+。 【解析】：将△ADF 旋转到△ABC ，则△ADF ≌△ABG
∴AF=AG ，∠ADF=∠BAG ，DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF ﹢∠BAE=45° ∴∠GAB ﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°
∴△AEF ≌△AEG （SAS ） ∴EF=EG=EB ﹢BG=EB ﹢DF
例 5. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使
45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =
【解析】：欲证 AG=AB ，就图形直观来看，
应证Rt △ABE 与Rt △AGE 全等，但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢？
显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.
【证明】：把 △A FD 绕A 点旋转90°至△AHB.
∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF ，AE=AE. ∴ △AEF ≌△AEH.
例6.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,
CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ?∠=.
求证：BE CF =.
(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,
BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ?∠=,4EF =.
求GH 的长.
1.已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，
EF ,GH 交于点O ,90FOH ?
∠=,4EF =. 直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；
②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数式表示).
【解析】 (1)
证明：如
图3
图4
图2
图1
A
B C
D
E
F
12G
E
F G
C
B
A D H
图1，∵ 四边形ABCD 为正方形，
∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°， ∴ ∠EAB +∠AEB =90°. ∵ ∠EOB =∠AOF ＝90°,
∴ ∠FBC +∠AEB =90°，∴ ∠EAB =∠FBC ， ∴ △ABE ≌△BCF ， ∴ BE =CF ．
ABCD
(2) 解：如图2,过点A 作AM 如图6，点A 在线段BG 上，四边形与DEFG 都是正方形，?其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ?的面积
为
________2
cm ．
(6) (7)
2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的
图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方
形⑤的面积为________．
3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ?的面积为14平方厘米，BCE ?的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF 的面积是________．
4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以
AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。
求证：FN EC =。
5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+． 【纵向应用】
6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．
求证：BE OF 21
= 7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,
求证：CE OG 2
1=
8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥
9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G ,
GH AD ⊥于点H .
一、 求证：AF DE ⊥ ；
二、 如果2AB =,求GH 的长； 三、 求证：CG CD =
【练习题答案】
1．6cm 2
．
2．36． 3．4
2027
cm 2
（面积法）． 4.证明：FN=EC 。
证明：在正方形ABEF 和正方形BCMN 中，
图2
O ′ N
M
D G
A
E
B
C
F 13
A
D
E
F
C
G B
AB=BE=EF ，BC=BN ，∠FEN=∠EBC=90° ∵AB=2BC ∴EN=BC
∴△FEN ≌△EBC ∴FN=EC 。 5.略
6.提示：注意到基本图形中的AE=AF.
一.两次应用内角平分线定理和CE=CF 可证 二.过点O 作OG ‖DE 和CO=CG,CF=CE 可证.
3， 过点O 作OH ‖BE, OF= OH=
BE 2
1
7.提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种 8.提示：延长AE 交GF 于点M ，DC,使CH=DG,连接HF,
证四边形对角互补,法2：延长FE ，AE 证全等三角形 9.（1)略（2）
4
5
（3）作CM ⊥DG,证DM=AG= （1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （2）特征：
边：两组对边分别平行；四条边都相等； 内角：四个角都是90°；
对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。
（3）主要识别方法：
1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形
3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的平行四边形是正方形
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。 例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ?
∠=∠=．
求证：PBC ?是正三角形． 【证明】：如下图做△DGC 使与△ADP 全等，
可得△PDG 为等边△，从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,
得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG ＝15
所以∠DCP=300
，从而得出△PBC 是正三角形
例2. 如图，分别以ABC ?的AC 和BC 为一边，在ABC ?的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
【证明】：过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。
A
P
C
D
B
F
可得PQ=
2
EG FH
+。
由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ， 由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。
从而可得PQ=
2
AI BI += 2AB ，
从而得证。
例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE CF =．
【证明】：顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。
推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。
∠
AGB=300
，既得∠
EAC=300
，从而可得∠A
EC=750
。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750
. 可证：CE=CF 。
例 6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分DCE ∠．
求证：PA PF =．
【证明】：作FG ⊥CD ，FE ⊥BE ，可以得出GFEC 为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan ∠BAP=tan ∠EPF=
X Y =Z Y X Z
-+，可得YZ=XY-X 2
+XZ ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP ≌△PEF ， 得到PA ＝PF ，得证 。
例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC ++的最小值．
【证明】：顺时针旋转△BPC 600
，可得△PBE 为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF 。
既得AF=213(1)42
++ = 23+=
423
2+ A
F D E C B D F
E
P C B A A C
B
P
D
= 2(31)2+ = 2
(3
1)2
+
=
62
2
+ 。 例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长． 【证明】顺时针旋转△ABP 900
，可得如下图： 既得正方形边长L =
2222(2)()22
a +
+g =
522a
+g 。
【双基训练】
1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6，
则菱形的面积为________．
2.如图，ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AFEC ?恰是一个菱形，?则
EAB ∠=________．
【纵向应用】 3.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的
中点，
90AEF ?∠=，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．
（1）证明：BAE FEC ∠=∠； （2）证明：AGE ECF ???； （3）求AEF ?的面积．
【横向拓展】
4.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ?是等边三角形，
M 为对角线
转60
?
得到
BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋BN ，连接EN 、AM 、CM .
⑴ 求证：AMB ENB ???；
⑵ ①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；
②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM BM CM ++的最小值为13+时，求正方形的边长.
A
C
B
P
D
A D
【练习题答案】
1．36 2．【解析】连结BD 交AC 于点O ，作EM ⊥AC 于点M ． 设正方形边长为a ，则
又∵AC ∥BF ，BO ⊥AC ，EM ⊥AC ， ∴BO=EM=
12
BD=2
a ． 在Rt △AEM 中，
，
EM=
2
a ． ∴∠CAE=30°． 则∠EAB=15°．
3.（1）证明：∵∠AEF =90o
，
∴∠FEC +∠AEB =90o ．在Rt △ABE 中，∠AEB +∠BAE =90o
， ∴∠BAE =∠FEC ；
（2）证明：∵G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，
∴AG=GB=BE=EC ，且∠AGE =180o －45o =135o
． 又∵CF 是∠DCH 的平分线，
∠ECF =90o +45o =135o
．
在△AGE 和△ECF 中， ∴△AGE ≌△ECF ；
（3）解：由△AGE ≌△ECF ，得AE=EF ．
又∵∠AEF =90o
，
∴△AEF 是等腰直角三角形．
由AB=a ，BE =21a ，知AE =2
5a ， ∴S △AEF =
8
5a 2
． 4.【解析】：⑴∵△ABE 是等边三角形，
∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°. ∵∠MBN ＝60°，
∴∠MBN －∠ABN ＝∠ABE －∠ABN. 即∠BMA ＝∠NBE. 又∵MB ＝NB ，
∴△AMB ≌△ENB （SAS ）. ………………5分 ⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小. ②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时， AM ＋BM ＋CM 的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB ≌△ENB ， ∴AM ＝EN.
F
A D
B C
∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ， ∴△BMN 是等边三角形. ∴BM ＝MN.
∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短
∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长. ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ， ∴∠EBF ＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x ，则BF ＝23
x ，EF ＝2
x . 在Rt △EFC 中，
∵EF 2＋FC 2＝EC 2
， ∴（
2
x ）2＋（23x ＋x ）2
＝
()2
13+.
解得，x ＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为2.
半角模型题
半角模型题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
半角模型 例1(海淀201405-8) 如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合， 当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别 相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A B C D 例2.(海201311-24)．已知在ABC △中， 90=∠ACB ，26==CB CA ， AB CD ⊥于D ，点E 在直线CD 上，CD DE 2 1=，点F 在线段AB 上，M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点. （1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___________，___________； （2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证： 45=∠CNE ； （3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得 45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由． D C B A N F E C B A
24. （本小题满分8分） （1）AE ⊥CM ，AE =CM （2）如图，过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,，连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H . ∵ 90=∠ACB ,26==CB CA , ∴∠CAB =∠CBA =45°， 12. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥, ∴CD=AD=BD =162 AB =. ∵ M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =, ∴4 2.AF DF ==， ∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴FG = ∴.FG FM = 在△CAG 和△CBM 中， ∴△CAG ≌△CBM ． ∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠． ∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠=．在△FCG 和△FCM 中， ∴△FCG ≌△FCM ． ∴FCG FCM ∠=∠． ∴45FCH ∠=. 由（1）知AE ⊥CM ， ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE . （3）存在. AF =8. 例3．(平谷201405-24)（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，连接EF ， 则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系；
中考数学几何专项复习题-07倍半角模型知识精讲
倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1.作二倍角的平分线，构成等腰三角形. 例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形. 2.延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形. 例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形. 例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90o. 【解答】见解析 【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D. 则∠ACE＝∠A，AE＝CE， ∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC， 又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90o； 【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE.
由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90o， ∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D， ∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD， 又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90o. 【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE. ∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD， ∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E， 又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90o. 二、倍半角综合 1.由“倍”造“半” 已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可. 如图，若（） 2.由“半”造“倍” 已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可. 如图，在Rt△ABC（∠A＜45o）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，
中考数学常见几何模型简介教学总结
初中几何常见模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）
模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③.
?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？
中考数学必会几何模型：半角模型
半角模型 已知如图：①∠2=1 2 ∠AOB；②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′， ∴∠3=∠4，OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB， ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边， ∴△OEF≌△OEF′. （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°. 模型实例 例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN． （2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．
证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ． 在△ADE 和△ABM 中， ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM ． ∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN 和△AEN 中， ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ． ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ． （2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ． 即EN AD 2 1 MN AH 21?=?． 又∵MN=EN ， ∴AH=AD ． 即AH=AB ．
中考数学 几何专题——半角模型
几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等（易得等腰，且等腰均相似） 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角，旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型（90°含45°） 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF； ②△CEF的周长是正方形周长的一半； ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF 于点H．若EF=BF+DF．那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD； ③∠EAF=45°；④S△E A F=S△A B E+S△A D F；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的 是．
2.在Rt△ABC中，AB=AC，D?E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED；②∠AED=45°； ③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（） A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长． 4.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE=25．若∠EOF=45°，则F点的坐标是． 5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交
八上培优半角模型精修订
八上培优半角模型 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
八上培优5 半角模型方法：截长补短 图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。 勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。 下面是新观察第34页1~4题 1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD 上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF． 2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证： AE=EF+CF． 3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.
A C B F E A C B F E D 4．如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF． （1）求证：EF=BE+DF； （2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关 系． 3.如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
人教版八年级数学 几何培优讲义设计 第6讲 夹半角模型 无答案
知识目标 第 6 讲 夹半角模型 知识导航 夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如下图所示。 这类题目有其固定的做法，当 取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。夹 半角的常见分类： （1）90 度夹 45 度 （2）120 度夹 60 度 （3）2α夹α 题型一 90 度夹 45 度 【例 1】 如图，正方形 ABCD 中， E 在 BC 上，F 在 CD 上，且∠EAF ＝45°，求证：（1）BE ＋DF ＝EF （2）∠AEB ＝∠AEF 【练习】在例 1 的条件下，若 E 在 CB 延长线上，F 在 DC 延长线上，其余条件不变，证明： （1）DF －BE ＝EF （2）∠AEB ＋∠AEF ＝180°
夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如： （1）已知△ABC 为等腰三角形，∠ACB＝90°，M、N 是AB 上的点，∠MCN＝45°，求证：AM2＋BN2＝MN2 （2）如图，正方形ABCD 中，F 为CD 中点，点E 在BC 上，且∠EAF＝45°，求证：点E 为线段BC 靠近B 的三等分点． 题型二120 度夹60 度 【例2】已知如图，△ABC 为等边三角形，∠BDC＝120°，DB＝DC，M、N 分别是AB、AC 上的动点，且∠MDN＝60°，求证：MB＋CN＝MN． 【练习】如图，四边形ABCD 中，∠A＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC，E、F 分别在AD、DC 延长线上，且∠EBF＝60°，求证：AE＝EF＋CF．
真题演练 在等边△ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N ．D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系以及 △AMN 的周长 Q 与等边△ABC 的周长 L 的关系． （1）当点 M 、N 在边 AB 、AC 上，且 DM ＝DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； Q 此时 ＝ ；（不必证明） L （2）当点 M 、N 在边 AB 、AC 上，且当 DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）当 M 、N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN ＝2，则 Q ＝ （用含有 L 的式子表示）
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的 半角模型教案有答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD 重合，得折痕DG，使2 AD=，求AG． 【解析】：作GM⊥BD，垂足为M． 由题意可知∠ADG=GDM， 则△ADG≌△MDG． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM． 而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）． 例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，10 ==，并且P点到CD边的距离也 PA PB 等于10，求正方形ABCD的面积？ 【解析】：过P作EF AB ⊥于F交DC于E．
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
正方形角含半角模型提升 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么 例4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB = 例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点 O ,90AOF ?∠=. 求证：BE CF =. (2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点 O ,90FOH ?∠=,4EF =.求GH 的长. 【双基训练】 1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，?其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ?的面积为________2cm ． (6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________． 3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ?的面积为14平方厘米，BCE ?的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF 的面积是________． 4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以 AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。 求证：FN EC =。 5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+． 【纵向应用】 6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 2 1 = 7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 2 1= 8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥ 9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G , 图2 D G A E B C F 13 A D E F C G B
中考模型解题系列之大角夹半角模型
中考模型解题系列之大角夹半角模型 满分100分 答题时间30分钟 1.(本小题100分) （2010重庆改编）等边的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为外一点，且 ,,BD=DC.探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及 的周长Q 与等边的周长L 的关系． （I ）如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_____________；此时___________； （II ）如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=，则Q=_________（用、L 表示）． 核心考点: 全等三角形的判定与性质 旋转的性质
单选题(本大题共8小题，共100分) 1.(本小题10分)Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0 32 H A B F E 1G E F D C B A D C B A O G A B C D A B C 初中几何之截长补短模型 模型 截长补短 如图①，若证明线段AB 、CD 、EF 之间存在 EF=AB+CD ，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF 上截取EG=AB ，再证明 GF=CD 即可。 补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH=CD ， 再证明AH=EF 即可。 模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中 截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法 构造全等三角形来完成证明过程。 模型实例 例1．如图，已知在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D 。 求证：AB=AC+CD 。 例2．如图，已知OD 平分∠AOB ，DC ⊥OA 于点C ，∠A=∠GBD 求证AO+BO=2CO 。 精练1．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC 的平分线，且 AC=AB+BD 。 求∠ABC 的度数。 E A B C D E A B C D F E A B C D A O E A B C D 2．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD 。求证：AB+CD=BC 。 3．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB 。求证AC=AE+CD 。 4．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠C=30°， BE ⊥AD 于点E 。求证：AC-AB=2BE 。 5．如图，Rt △ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CE ⊥AD 交AD 于F 点，交AB 于点E 。求证：AD=2DF+CE 。 6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AC ，BC+DE=CD ，∠B+∠E=180°。求证：AD 平分∠CDE 。 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ． 而（-1）， ∴AG=BM=2）． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ． 设PF x =，则10EF x =+，1 (10)2BF x =+． 由222PB PF BF =+． 可得：2221 10(10)4 x x =++． 故6x =． 216256ABCD S ==． 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ． 由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， 半角模型例题 已知，正方形 ABCD中，∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F，且∠ EAF﹦ 45°结论 1：BE﹢ DF﹦EF 结论 2：S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3：AH﹦ AD 结论 4：△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5：当 BE﹦DF时，△ CEF的面积最小 22 2 结论 6：BM﹢DN﹦MN 结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论 8：EA、 FA是△ CEF的外角平分线 结论 9：四点共圆 结论 10：△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论 11： MN﹦EF（可由相似得到） 结论 12： S△ AEF﹦2S△ AMN（可由相似的性质得到） 结论 5 的证明： 设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时，△ AEF的面积最小 结论 6 的证明： 将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中，由勾股定理可得： 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形： △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE 结论 8 的证明： 因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3＝∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3＝∠ 4 ∴∠ 2＝∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1＝∠ 4 ∴∠ 1＝∠ 2 结论 9 的证明： 因为∠ EAN﹦∠ EBN＝ 45° ∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定 理：共边同侧等顶角） 同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型 已知：正方形 ABCD ，E、F分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF 45 ，AE、AF分别交BD于H、 G ，连EF. 一、全等关系 （）求证：① 2 2 2 平分，平分 DF BE EF ；②DG﹢ BH﹦ HG；③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系 （2）求证：①CE 2DG ；② CF 2 BH ；③ EF 2HG . （3）求证：④AB2 BG DH ；⑤ AG 2 BG HG ；⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系 （4）求证：①AG EG ；②AH FH ；③tan HCF AB . （5) 、和差关系 BE 求证：① BG DG 2BE ；② AD DF 2DH ； ③ | BE DF | 2 | BH DG | . 半角模型 例1(如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合， 当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A B CD 例2.已知在ABC △中， 90= ∠ACB ，26==CB CA ，AB CD ⊥于D ，点E 在直线 CD 上，CD DE 2 1 = ，点F 在线段AB 上，M 是 DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点. （1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___________ ，___________； （2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证： 45=∠CNE ； （3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得 45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由． D C B A N M F E D C B A 24. （本小题满分8分） （1）AE ⊥CM ，AE =CM （2）如图，过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,，连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H . ∵ 90=∠ACB ,26==CB CA , ∴∠CAB =∠CBA =45°， 12. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥, ∴CD=AD=BD =1 62 AB =. ∵M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =, ∴4 2.AF DF ==， ∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴FG = ∴.FG FM = 在△CAG 和△CBM 中， CA CB CAG CBM AG BM =?? ∠=∠??=? ，， ， ∴△CAG ≌△CBM ． ∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠． ∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠= ．在△FCG 和△FCM 中， CG CM FG FM CF CF =?? =??=? ，， ， ∴△FCG ≌△FCM ． ∴FCG FCM ∠=∠． ∴45FCH ∠= . 由（1）知AE ⊥CM ， ∴90CHN ∠= ∴ 45=∠CNE . （3）存在. AF =8. 例：如图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF； 解析： 延长CB到G，使GB=DF，连接AG， 证△ABG≌△ADF，得∠3=∠2，AG=AF， 进而求证△AGE≌△AFE， 可得GB+BE=EF，所以DF+BE=EF 特征描述：过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关. 题型识别：“等线段、共顶点、半角度” 解决方法： ①以公共顶点为中心，旋转三角形，使得相等的两线段重合； ②找出两组全等三角形，得到对应的边角相等关系。 如图，在正方形ABCD的边BC，CD上分别有点E，F，∠EAF=45°，AH⊥EF．求证：AH=AB； 分析：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，根据旋转的性质可得DF =BG ，AF =AG ，∠DAF =∠BAG ， 然后求出∠EAF =∠EAG =45°，再利用“边角边”证明△AEF 和△AEG 全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得AH =AB ． 证明：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ， 由旋转的性质得，DF =BG ，AF =AG ，∠DAF =∠BAG ． ∵∠F AG =∠BAG +∠BAF =∠DAF +∠BAF =∠BAD =90°， ∠EAF =45°， ∴∠EAF =∠EAG =45°． 在△AEF 和△AEG 中， AF AG EAF EAG AE AE =??∠=??=? ∴△AEF ≌△AEG （SAS ）， ∵AH 、AB 分别是△AEF 和△AEG 对应边上的高， ∴AH =AB ． （1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___________． （2）如图2：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°．点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点C ，使DG =BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是___________． 请你帮小王同学写出完整的证明过程． 正方形角含半角模型提升 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？ 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？ 例 4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使 45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB = 例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ? ∠=. 求证：BE CF =. (2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点 O ,90FOH ?∠=,4EF =.求GH 的长. 【双基训练】 1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，?其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ?的 面积为________2 cm ． (6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________． 3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ?的面积为14平方厘米，BCE ?的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF 的面积是________． 4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以 AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。 求证：FN EC =。 图 2 专题15 角含半角模型 破题策略 1． 等腰直角三角形角含半角 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 在BC 上且∠DAE ＝45° （1） △BAE ∽△ADE ∽△CDA （2）BD 2＋CE 2＝DE 2 ． 45° E A B C D 证明（1）易得∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠EAB ， 所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A ． （2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ，连结EF ． 45° F E A B C D 则∠EAF ＝∠EAD ＝45°，AF ＝AD ， 所以△ADE ∽△FAE （ SAS ）． 所以DE ＝ EF ． 而CF ＝BD ，∠FCE ＝∠FCA ＋∠ACE ＝90°， 所以BD 2＋ CE 2＝CF 2＋CE 2＝EF 2＝DE 2 ． 方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F ，连结AF ，DF ，EF ． 45° E A B C D 因为∠BAD ＋∠EAC ＝∠DAF ＋∠EAF ， 又因为∠BAD ＝∠DAF ， 则∠FAE ＝∠CAE ，AF ＝AB ＝AC ， 所以△FAE ∽△CAE （SAS ）． 所以EF ＝ E C ． 而DF ＝BD ， ∠DFE ＝∠AFD ＋ ∠AFE ＝90°， 所以BD 2＋ EC 2＝ FD 2＋ EF 2＝ DE 2 ． 【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的 延长线上，且∠DAE ＝45°，则BD 2＋CE 2＝DE 2 ． E D 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图： E A D F E A D ②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在 BC 上，且∠DAE ＝1 2 ∠BAC ，则以BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180° －∠BA C ． B 可以通过旋转、翻折的方法将BD ，DE ，EC 转移到一个三角形中，如图： B C E B D 几何图形之半角模型 主题半角模型 教学内容 教学目标 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 知识结构 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 典型例题精讲 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ． 而BM=BD-DM=2 2-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ． 设PF x =，则10EF x =+，1 (10)2 BF x =+． 由2 22PB PF BF =+． 可得：2 221 10 (10)4 x x =++． 故6x =． 2 16256ABCD S ==． 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥， ?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ． 由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ． 同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ． ∴EF=ME+MF=BE+DF ． 中考数学几何模型5：角含半角模型TH 名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE （2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2. 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理.. 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠ C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=1 2 ∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF. 图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小2018北师大版下册数学截长补短和半角模型[原创]
2019年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
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八年级数学——半角模型
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)
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人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)
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