2018-2019学年清华附中高三12月月考数学试卷 (理)试卷及答案

清华附中高三2018年12月月考试卷

数学（理）

（清华附中高16级） 2018.12 一．选择题：（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离为(B)

(A)1

2

(B) 1 (C) 2 (D)3

2. 在定义域内单调递增，且为奇函数的为（A ） (A) 3x y =

(B)

(C)x

y 1

-=

(D)1-=x y

3. 甲、乙等四人排成一排，甲与乙不相邻的排法的种数有（B ） (A) 6

(B) 12

(C) 18

(D) 24

4. 右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该

程序框图输出的结果为（C ）

(A)6 (B) 7 (C) 8 (D) 9

5.数列{}n a 是无穷项等比数列，则“{}n a 单调递增”是“123a a a <<”的（C ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件

(C) 充分且必要条件

(D) 既不充分

又不必要条件

6. 设实数,x y 满足22(2)3x y -+=，那么

y

x

的最大值是 2x y =

(A)

12

(B)

3

(C)

2

(D)

7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个

侧面的面积中最大的是(C) （A ）3 （B

）（C ）6 （D

）

8. 在棱长为2正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，点P 是侧面11AA D D 上一动点，且CP ⊥1B E ，则线段CP 的取值范围为(B)

(A) [

3

(B) [

2

(C) [3

(D) [2 二．填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）

9. . 已知双曲线C :2

2

14

y x -=，则双曲线C 的渐近线的方程为___.2y x =±

10. 在二项式6

21()x x

+

的展开式中，常数项为___________.(15) 11. 函数()f x 在[0,2]上的图象连续不断，能说明命题“若函数()f x 在(0,2)存在唯一

零点，则(0)(2)0f f ?<”为假命题的一个函数为()f x =___________. 12. 在△ABC 中，B =60°，且c =8，b -a =4，则b =____7________.

13.实数,x y 满足3,

0,60.x x y x y ??

+??-+?

≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a

的取值范围是________. [1,1]-

14. 已知两个集合,A B ，满足B A ?．若对任意的x A ?，存在,i j a a B ?()i j ≠，使得

12i j x a a λλ=

+（12,{1,0,1}λλ?）

，则称B 为A 的一个基集．若 {1,2,3,4,5,6,7,8A =，则其基集

B 元素个数的最小值是 4 ． 三．解答题：（共6小题，17、20题每题14分，其余每题13分，共80分）

15．已知函数2π

()sin(2)2cos 16

f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求()f x 在区间7π

[0,]12

上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为2

π()sin(2)(2cos 1)6

f x x x ωω=-+-

ππ

(sin 2cos

cos 2sin )cos 266

x x x ωωω=-+

1

2cos 222

x x ωω=

+ π

sin(2)6

x ω=+，

所以()f x 的最小正周期 2π

π2T ω=

=, 解得 1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6

f x x =+．

因为 7π12x ≤≤

0，所以 ππ4π2663x +≤≤． 所以，当ππ262x +

=，即π

6

x =时，()f x 取得最大值为1；

当π4π263x +

=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为- 16. 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间

所能维持的时间称为手机的待机时间．

为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型

D

号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：

其中，a ，b 是正整数，且a b <．

（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，

求X 的分布列；

（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时

间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．

解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型

手机中有5

56407

?

=台手机的待机时间不少于123小时． （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3．

4711(0)35C P X ===； 1334

47

C C 12(1)35C P X ===；

22

3447C C 18(2)35C P X ===； 34

47C 4(3)35

C P X ===．

所以，X 的分布列为：

（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待

机时间的方差最小时，124a =，125b =．

17. 在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为P AC ⊥底面ABCD ，P A =PC= (Ⅰ) 求证：PB =PD ；

D

证明：记AC ∩BD =O ，连结PO ， ∵ 底面ABCD 为正方形， ∴ OA =OC=OB =OD =2. ∵ P A =PC ， ∴ PO ⊥AC ，

∵ 平面P AC ∩底面ABCD=AC ，PO ?平面P AC ， ∴ PO ⊥底面ABCD . ∵ BD ?底面ABCD ， ∴ PO ⊥BD . ∴ PB =PD .

(Ⅱ) 点M ，N 分别在棱P A ，PC 上，PM =AM ，求直线PB 与平面DMN 解：以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，OP

方向分别为x 轴，y 轴，z 如图所示， 由(Ⅰ)可知 OP =2.

可得P (0,0,2)，A (0,-2,0), B (2,0,0), C (0,2,0), D (-2,0,0), 可得，M (0,-1,1), N (0,1, 1).

(2,1,1)DM =-，(0,2,0)MN =. 设平面DMN 的法向量n =(,,)x y z ， ∵ 0DM ?=n ，0MN ?=n ，

∴ 20,

0.x y z y -+=???=

令1x =，可得n =(1,0,2)-.

(2,0,2)PB =-, cos=

||||PB PB ??n n 10.

∴ 直线PB 与平面DMN 所成角的正弦值为

10

. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，平面DMN 与直线PB 的交点为Q ，在线段BC 上，是否存在一点H ，使得DQ ⊥PH ，若存在，求BH 的长，若不存在，请说明理由.

解：记(2,0,2)PQ PB λλλ==-，可得(2,0,22)Q λλ-， (22,0,22DQ λλ=+-，DQ ?n =0，

可得，22440λλ+-+=，解得13λ=.

可得，84

(,0,)33

DQ =.

记(2,2,0)BH tBC t t ==-，可得(22,2,0)H t t -， (22,2,2P H t t =--，若DQ ⊥PH ，则0DQ PH ?=，

84(22)(2)033t -+?-=，解得1

2

t =.

故BH =.

另：取PO 的中点E ，说明,,D E Q 均在平面PBD 与平面DMN 的交线上. 18. 抛物线2:2(0)C y px p =>上的点(4,)M M y 到其准线的距离为5. (Ⅰ) 求抛物线C 的标准方程；

解：在抛物线2:2(0)C y px p =>中，其准线方程为4512

p

x =-=-=-， 解得，2p =.

故抛物线C 的标准方程为24y x =.

(Ⅱ)过点(2,0)P 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，Q 是y 轴上一点，且Q ,A ,B 三点不共线)，直线AQ 与直线2x =-交于点N ，判断直线PQ 与BN 的位置关系，并说明理由.

解：设直线l 的方程为2x my =+，

联立方程，24,

2.

y x x my ?=?=+?

消元得，2480y my --=，

216320m ?=+>恒成立. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，

由韦达定理可得，124y y m +=，128y y =-； 设(0,)Q t ， 11AQ y t k x -=

，直线AQ 的方程为1

1

y t

y x t x -=+， 令2x =-，解得11

1

(2)2x t y y x +-=

，

∴ 11

1

(2)2(2,

)x t y N x +--.

BN k =

11

21

2(2)22

x t y y x x +--

+

1211

121

(2)22x y x t y

x x x -+-=

+ 1211

121

(2)(2)22m y y x t y x x x +-++=

+

12121

22

12

2

2()(2)216

my y y y x t y y x ++-+=

+ 11

88(2)

42m m x t x -+-+=

+

2

t

=-，

又2

PQ t

k =-, 显然PQ 与AN 不在同一条直线上，

故直线PQ 与AN 平行.

19.已知函数()(1)(0)x f x x e ax x =--≥.

(Ⅰ)求函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距； 解：∵ ()(1)(0)x f x x e ax x =--≥， ∴ '()x f x xe a =-， ∴ '(1)f e a =-， 又(1)f a =-，

可得，函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线方程为()(1)y a e a x +=--， ()y e a x e =--.

故()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为e -. (Ⅱ) 若函数()f x 的最小值为23e -，求实数a 的值.

解：(1) 当0a ≤时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在[0,)+∞上单调递增，则()f x 在[0,)+∞上的最小值为(0)1f =-, 不符合题意.

(2) 当0a >时，'(0)0f a =-<，'()(1)0a f a a e =->，且'()x f x x e a =-在[0,)+∞

单调递增，可得存在唯一实数(0,)t a ∈，使得'()0f t =. 函数'(),()f x f x 随x 的变化而变化如下表：

所以函数()f x 的最小值为()(1)t f t t e at =--，其中0t te a -=，

因此22(1)3t t t e e -+-=-，即22(1)3t t t e e -+=，显然2t =是该方程的一个解. 设2()(1)(0)t g t t t e t =-+>，2'()()0t g t t t e =+>，可得()g t 在(0,)+∞上单调递增， 可知，2t =是方程22(1)3t t t e e -+=的唯一解. ∴ 22t a te e ==.且符合题意.

20.已知n 是给定的不小于3正整数，如果数列:A 12,,

,n a a a 满足：对于任意的

1,2,,i n =，均有()

1

i S A a n <

-，其中12()=n S A a a a +++，那么称数列A 为“紧密数

列”.

(Ⅰ) 若“紧密数列”1234:,,,A a a a a 为等差数列，11a =，求数列A 的公差d 的取值范围;

解：当0d ≥时，数列1234:,,,A a a a a 中的最大项为4a ， 则4()3S A a <

，即46133d d ++<，解得1

3

d <； 又 0d ≥，可得1

03

d ≤<

.

当0d <时，数列1234:,,,A a a a a 中的最大项为1a ， 则1()3S A a <

，即4613d +<，解得1

6

d >-； 又 0d <，可得1

06

d -<<.

综上所述，数列A 的公差d 的取值范围为11

63

d -<<.

(Ⅱ) 数列:A 12,,,n a a a 为“紧密数列”

，求证：对于任意互不相等的,,{1,2,

,}i j k n ∈，均有i j k a a a +>；

证明：假设存在不相等的,,{1,2,,}i j k n ∈，有i j k a a a +≤，

在数列:A 12,,

,n a a a 中，除,i j a a 为，其他所有数之和'(2)1

S

S n n <-?

-， 因此：'i j S S a a =++ (2)

1k n S a n -<

+- (2)11

n S S

n n -<

+-- S <. 矛盾，假设不成立.

因此对于任意互不相等的,,{1,2,,}i j k n ∈，均有i j k a a a +>.

(Ⅲ) 数列:A 12,,

,n a a a 为“紧密数列”，对于任意的1,2,,i n =，i a Z ∈，且

10(11)i i a a i n +-≠≤≤-成立，求()S A 的最小值n T . 解：数列:A 12,,

,n a a a 为“紧密数列”

，

对于任意的1,2,,i n =，均有()

1

i S A a n <

-， 又i a Z ∈，

则存在{1,2,

,1}p n ∈-，使得 ()1i S A p a n -≤

-，其中

()1

S A p

Z n -∈-, 因为10(11)i i a a i n +-≠≤≤-，可知 (1)当n 为偶数时， 在数列A 中，能够达到

()1S A p n --的项不超过2

n

个， 则

()()12

S A p n

n S A n -?-≥-， 1

()(1)2

S A n n p n ≥

-+. 当1p =时，1

()(1)2

S A n n ≥

+； 当,2

1,2

k n

k a n k ???=??+??为偶数，为奇数.

时，1()(1)2S A n n =+，且2222(1)i n n n a n ++≤<

-, 数列A 为紧密数列. (2)当n 为奇数时， 在数列A 中，能够达到

()1S A p n --的项不超过1

2

n +个， 则

()1

()12

S A p n n S A n --?-≥-， 2

1()(21)2

S A n n p n ≥

-++.

当1p =时，21

()(1)2

S A n ≥+；

当1

,2

1,2

k n k a n k -???=?+???为偶数，为奇数.

时，21()(1)2S A n =+，且21122(1)i n n a n ++≤<

-, 数列A 为紧密数列.

综上所述，()S A 的最小值2,2

1,.2

2+n n n

n T n n ???=?+???为偶数，为奇数，其中3n ≥.