浅谈对现代数学的理解

浅淡对现代数学的理解

摘要：数学作为一门基础学科，是各学科领域进行科学研究工作不可或缺的知识。随着工程技术日新月异的发展，对数学的要求愈来愈高，现代数学的观点、方法已渗透到工程技术的各个领域，要求工程技术人员不仅具备经典的数学知识和处理问题的方法，还要求了解现代数学的内容和方法。通过课程学习，大致了解现代数学基础的知识体系，发展历史。本文在课程学习基础上总结了现代数学思想方法的发展过程、研究现状以及未来发展趋势。

关键词：现代数学；特点；趋势

1 现代数学是的发展历史

纵观数学的历史发展，可以清楚的划分为初等数学、高等数学和现代数学三个阶段。从古代到十七世纪初为初等数学阶段；从十七世纪初到十九世纪末为高等数学阶段；从十九世纪末开始，数学进入了现代数学阶段。

按照传统的、经典的说法，数学是研究“显示世界的数量关系和空间形式”的科学[1,2]，或者简单地说，是研究数和形的科学。然而作为数学对象的数和形，在三个阶段里是很不相同的。在初等数学阶段，“数”是常量，“形”是孤立的、简单的几何形体。初等数学分别研究常量见的代数运算和几何形体内部以及相互间的对应关系，形成了代数和几何两大领域。

高等数学以笛卡尔(R. Descartes)建立解析几何（1637）为起点，17世纪89年代微积分的建立是这一阶段最显赫的成就和标志。在高等数学阶段，数是变量，形是曲线和曲面，高等数学研究它们之间各种函数和变换关系。这时数和形紧密的联系在起来，但大体上还是个成系统的。由于发轫与微积分的方向数学的兴起和发展，数学形成为代数、几何和分析三大领域。

现代数学阶段以康托尔（G. Cantor）建立集合论（1874）为起点。正如数学家陈省身所说：“康托尔的集合论，独创新意，高瞻远瞩，为数学立了基础。”[3]29世纪以后，用公理化体系和结构观点来通观数学，成为现代数学的明显标志，现代数学阶段的研究对象是一般的集合、各种空间和流形。它们都能用集合和映射的概念统一起来，已很难区分哪些是属于数的范畴，哪些属于形的范畴了。

二．现代数学思想

现代数学作为数学发展的新阶段，它必然在数学的固有特点（抽象性、精确可靠性、广泛应用性等）方面有所发展，这些特点相互间又是彼此联系的。

1. 高度的抽象和统一

抽象性是数学这门科学的一个最基本、最显著的特点。而现代数学更加充分、更加积极主动的发挥着这一特点。现代数学的研究对象、研究内容和研究方法，都呈现出高度的抽象和统一。

所谓抽象和统一，就是把不同对象中共同的、本质的东西抽象出来，作为高一层次的对象加以研究，从而把原来许多不同的对象统一起来，求得共同的本质的规律。一个最简单的例子就是各种算术应用问题可以用代数统一起来，掌握算术的最好的方法就是学会代数。

抽象和统一是一个完整概念的两个方面。为了统一必须抽象，有了抽象就能统一，并且还扩大了范围。集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括。把一般的集合作为现代数学的研究对象，这就能把数学的个不同领域统一起来，并极大地扩大了数学的范围。例如流形是三位空间中的曲线、曲面

和区域的抽象概括，流形不仅把它们统一起来，并且推广到高维空间中。

在以前的数学发展中，抽象化的进度是比较缓慢的。只是在它对原来层次的研究已充分详尽地展开，客观上实有必要时才进入更高层次的研究。现代数学的发展状况则完全不同，抽象化的进入大大加快了。正如数学家L. Loomis所说：“现代数学的特点之一，就是当一种新的数学对象刚刚定义和讨论不多时，就立即考查全体这样对象的集合。”[4]向高一层次作抽象正是研究原来层次对象的一个重要方法。

现代数学是高度的抽象和统一，这“高度”二字的含义是指他不断地和积极主动地想更高层次做抽象，数学家们自觉地、运用自如地发挥着抽象化的特点和威力。

以代数学科的发展为例：算术的发展有好几千年，进入以解一次、二次方程为主的小代数发展也近千年，19世纪初发展以方程论（包括高次方程和线性方程组）为中心的大代数；19世纪以来约百年之久发展了研究矩阵、置换群、数域等具体的代数结构的高等代数；20世纪20年代开始发展用统一观点、从公理出发研究各种代数系统（如群、环、域、模等）的抽象代数（也称近似代数）；20世纪40年代以后又出现了以一般代数系统为研究对象的泛代数。这里从算术——小代数——大代数——高等代数——近世代数——泛代数每一个比一个层次更高、更抽象，抽象化的进度越来越快。

再如，从微积分建立以来，人们长期研究的都是一维、二维和三维欧氏空间的微积分，研究得很充分。因为现实空间都是三维的，加上时间变量才有四维时空的概念。后来多参数、多变量的问题需要研究更高维数，才有必要研究一般的n维欧氏空间，以后又由于物理问题的需要，在1900年前后提出了无限维空间，即Hilbert空间的研究；不久在1906年Frechet提出一般的距离空

间，并在其中讨论极限、连续等；很快到了1914年Hausdoff又提出拓扑空间，并在其中讨论极限、连续等。这里从低维欧氏空间——n维欧氏空间——Hilbert空间——距离空间——拓扑空间，也是一个比一个层次更高、更抽象，抽象化进度越来越快。二高一层次的研究直接有助于低一层次研究的深入。

有了高度的抽象和统一，才能更深入地揭示本质的数学规律和得到更广泛的应用。此外，人们为了能把一代代积累起来、并且迅速递增的数学知识，加以整理和流传下去，也必须努力把它们加以简化和统一。中首先要求数学语言和符号的简化，用一些简单基本的词汇、符号，尽量包含更多的信息，刻画复杂的数学规律。现在全世界研究基本形成了一套数学符号系统，它们简明、抽象、准确、有效，知识现代数学发展的必要条件

之一。

现代数学的高度抽象和统一，更能显示数学的美。以广义Stocks公式为例，写它只

用九个字符：d

V V

ωω

?

=

??，它却把微积分中的牛顿—莱布尼茨公式，格林公式，Stocks 公式和奥-高公式，这一系列基本公式都作为简单特例而统一起来了。广义Stocks公式内容极为丰富，它适用于任何高维的空间和一般的流形，二它的形式又特别简单。现代数学的简洁、统一、对称、和谐的美，在它的身上得到了充分的体现。

2. 注重公理化体系的建立和结构的分析

希腊数学家欧几里德在其《几何原本》中首创的公理化方法为数学家和物理学家树立了如何建立科学理论体系的光辉典范。所谓公理化方法，就是以尽可能少的原始概念和不加证明的公理作为基础，用逻辑推理来建立演绎的科学理论。

“几何原本”的公理化体系有不完善的地方，1899年Hilbert的“几何基础”出版。Hilbert为几何建立了严密的公理化体系，并

由此创导了现代公理化方法。Hilbett 的现代公理化方法的重大贡献有两个，一个是原始概念本身应是不加定义的，Hilbert 明确指出欧几里得关于点、线、面的定义并不重要.“我们必定可以用桌子、椅子、啤酒瓶来代替点线面”[5]，这样就使公理化体系达到了更高的抽象、扩大了它的应用范围。另一个是 Hilbert 明确提出了公理系统的三个基本要求，即相容性，独立性和完备性。20世纪以来数学家们以Hilbert 的几何公理化系统为楷模，努力为各个数学分支建立公理化体系。

公理化方法，不仅能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，并能促进新数学理论的建立和发展。一个突出的例子就是在欧氏几何的公理系统中，只要换一条平行公理，就导致肺欧几何的建立。非欧几何的发现是数学史上一个重要的里程碑[6]，而欧氏几何与非欧几何的天壤之别，根源仅仅在于一条平行公理的不同，这就充分显示出公理化方法的威力。

形成于20世纪30年代的法国数学家团体——布尔巴基学派，以康托尔的几何论为出发点，系统地运用Hilbert 的公理化思想方法，提出用结构的观点统观数学。他们用全局观点分析和比较了各个数学分支的公理体系结构，并按照结构的不同和内在联系对数学加以分类和重建，力图将整个数学大厦组建成一个渊源统一、脉络清晰、枝繁叶茂、井然有序的理论体系。他们认为，“数

学。至少纯数学是研究抽象结构的理论。”

[7]这一观点对现代数学的发展有着深刻的影响。

早在16

世纪，为解二次方程就引进了

i 虚数。直到19世纪，人们认识到复数i x y +可与平面上的点(,)x y 对应起来，两者间有

相同的结构，从而复数的研究有了世纪意义而获得了飞速的发展和应用。没有复数，就没有电学，就没有近代文明。这个例子充分显示了吧一个陌生的对象纳入一个已知的结构之中，知识多么地重要，会产生多么巨大惊人的效益。

所谓“数学结构”是指遵从一些公理的几何和映射所组成的系统。布尔巴基学派提出了数学中的三种基本结构，即序结构、代数结构金额拓扑结构。以后数学家们认为测度结构也是一种基本结构。对这些基本结构作各种交错复合，可派生出许许多多不同的数学结构。例如，序结构中有偏序、全序等，代数结构中有群、域、线性空间等，拓扑结构中有距离空间、拓扑空间等。而全序域、拓扑群、距离线性空间都是两个基本结构的复合，有序距离线性空间则是三种基本结构的复合。

“结构”也是数学家的工具。[8]按照结构分析来划分和概括数学个分支的研究领域，不但使数学形成统一的整体，而且能清楚地看出各个不同分支的相互联系。结构的观点有助于数学理论和解决数学问题；我们一旦认识到所研究的对象满足某种结构，就立刻可以运用那种结构领域内的概念和定理，从而可以节省四维劳动，布尔巴基学派在代数几何，代数拓扑、泛函分析、广义函数、李群等现代数学领域中做出了辉煌的贡献，这和他们掌握“结构”的思想，充分运用这个现代数学工具是分不开的。

数学是扎根于客观现实世界的，数学结构也必须是客观世界现实存在的结构的抽象概括。上述四种基本结构的每一个都是实数系统的某个侧面的抽象。序结构是从数的大小顺序抽象出来的，代数结构是从算术运算规律抽象出来，拓扑结构是距离、邻域概念的抽象，测度结构是长度、面积、体积概念的抽象，它使形式脱离空间，使关系脱离

数量，把纯形式与纯关系都用“结构”一词概括，结构就成了数学研究的对象[9]。

数学世界是很庞大、多样的，由以上四种基本结构和由它们派生出来的各个数学结构，当然不能把现有一切数学分支都概括进去。这有待于未概括进去的那些数学分支的发展成熟和建立公理化体系，还有待于从反映现实世界的数学模型中抽象出新的基本结构，布尔巴基学派自己就宣称“无论在数量方面，还是本质方面，结构都不是始终不变的…，数学的进一步发展将导致基本结构的数量的增长。”[8]“数学的重点在发现那些有广泛应用的以及反映了世界的深层内涵的结构。”[10]

3. 注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域

现代数学的一个显著特征就是其不同分支间的相互渗透和联系[11]。其结果有的使原来的学科面貌完全改观，有的相互结合发展成新的数学分支。前者典型的例子是微分几何、微分方程、概率论等，这些学科的名称前都可以分别加上“古典”或“现代”二字，以区别这些学科从研究对象到研究方法都发生了巨大变化。后者的例子有代数几何，代数拓扑、微分拓扑、积分几何等，从这些学科的名称可以知道它们是由哪些学科相结合的产物。

数学中不同分支和不同领域的相互结合和渗透，使得现代数学完全改变了经典数学中代数、几何、分析三足鼎立的局面。本来三者各自形成独立的体系，个有其独特的研究方法。代数方法注重公理体系结构，几何方法富有几何的直观，分析方法则以精细的分析见长。现代数学则把这三者结合起来，综合运用代数、几何和分析的研究方法。“泛函分析”作为现代数学的基础之一和主要研究领域之一，就最充分地显示了这三种方法综合运用的卓越成效。

一些看来相距甚远、甚至方向相反的数学领域，现在也有了密切的联系。研究有限量的离散数学（如数论，代数等）与研究无限的连续性数学（如微积分，拓扑等）是两个对立的方向。而解析数论、代数拓扑等学科则把两者结合起来。数学的发展证明：离散数学和连续数学是相互关联和相互促进的，它们的界限也变得不那么分明了。今天连续性问题的解决离不开离散性的计算机，而许多离散现象的重要结果也需要运用微积分的分析方法来证明。

研究确定性现象的数学（如微风方程、微风动力系统）和研究随机现象的数学（如概率论、数理统计）也是反方向相反又相互联系的，并且随这各自的发展，越来越表现出相互结合的趋势。研究随机现象和过程的数学离不开确定数学来作为工具，而且这种依赖的广度和深度日益增加，从而导致了一系列确定数学分支的随机化，如随机微分方程，随机泛函分析，随机线性算子等学科相继出现。另一方面，随机数学也为确定数学提供了计算和证明的工具与技巧。例如，49年代出现的蒙特卡洛法，随着计算机的发展，其应用愈来愈广，它对高维问题的计算尤为有效。

在数学的专门化、复杂性日益增长的同时，个主要学科中许多思想渐趋统一，各主要学科的界限渐渐模糊，尽管数学学科的内容十分浩繁，范围十分广大，新的领域不断开辟20世纪60年代以来出现了如飞标准分析、突变论、模糊数学以及运筹学与计算数学中许多新的分支学科），但数学毕竟还是一个不可分割的有机整体。

4. 研究更加符合实际的数学模型，解决更复杂的问题

数学的现代发展，不仅表现在现代数学的新领域和高层次中，还大量地表现为用现代数学的观点、方法和工具，来研究原来数学领域和层次中的理论，和解决现实世界中复杂的数学问题。

现代数学正在向复杂性进军，人们研究的对象愈来愈复杂。在运用数学方法研究复杂问题时，关键在于能够建立既能反映问题本质，又是简化了的数学模型。简化是为了便于进行数学处理。由于生产和科技的发展，提出解决的问题所需的精度日益提高，原来的数学模型已比能满足需要；同时由于现代数学的发展，特别是计算机的发展，使处理和计算复杂数学模型也成为可能，于是要研究的数学模型和要解决的数学问题就愈来愈复杂。有简单到复杂，知识现代数学发展的总的不可逆转的趋势。数学模型的复杂化有下列种种表现：

（1）从单变量到多变量，从低维到高维由于参数、变量、维数的个数，由一到多，由低到高，与此相应发展起来的数学学科有：多线性代数，多复变函数、n维欧氏空间和一般流形上的微积分，多元统计分析等，正是这些多元和高维的情形成为当前数学家的主要工作领域。从一元到多元，从低维到高维，不仅在计算的量的方面按指数增长，而且有着质的差别。特别应指出的是：“n维欧氏空间除n=9以外，具有唯一的微分结构，但是四维欧氏空间中，至少存在两种不同的微分结构，这种质的差别对拓扑学是十分惊人的结果，它也许反映了某些深刻的物理学原理。”[12]维数向来都是整数，但好几个学科，由于研究一些复杂图形的需要出现了饶有兴趣的分数维几何。

（2）从线性到非线性

事物的运动和变化一般都是非线性的，但在局部范围和平缓变化的情况下，为了简化问题可以看成是线性的。线性化的数学模型一直得到广泛和充分的研究，19世纪的数学、力学和物理都可说是线性的世界。20世纪以来，随着科技和生产的发展需要，必须研究诸如：大范围、大变形、大扰动、高速度、高精度、强力、高能、剧变等情形的问题，这里无一不涉及非线性的现象，非线性问题的研究远比线性问题困难得多。它已成为当前科学中许多数学研究的主要内容，已形成的非线性数学学科有高次方程、非线性常微和偏微方程、非线性泛函分析、非线性规划、非线性控制等等。许多重要的工程设计和实际间题的定性和定量的解决，也都取决于对非线性影响的认识。

（3）从局部到整体

从局部性态和结构的研究转向整体的性态和结构，这是现代数学发展的一个重要的思潮，相应出现的数学学科有：大范围分析、大范围变分法、积分几何、代数拓扑、动力系统、整体随机过程等等。微分几何的变化最能说明局部到整体的发展，古典微分几何是以三维空间中的曲线和曲面为研究对象，并且主要是研究局部的性态和结构，现代微分几何的研究对象是微分流形，并且主要是研究流形的整体性态和结构。90年代陈省身教授结合拓扑方法，首创应用纤维丛概念于微分几何的研究，引进了后来通称的“陈示性类”[13]，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具，为现代微分几何奠定了基础。

（4）从连续到间断，从稳定到分岔

自然现象和技术过程在发展变化中，常会从一个状态跳跃到另一状态，也即经过一段时间的连续变化后，产生不连续的跳跃，如物态的相变，固体的断裂，气体的激波等等。研究间断面的数学理论以前只出现在一些应用数学和力学学科(如气体力学)中，1969年法国R. T'hom提出了第一个描述突变现象的数学模型，从此诞生了“突变理论”这一新的数学学科研究一含有参数的动力系统中，随着参数的变化，平衡态的数目由一个分裂为两个或多个的现象就称为分叉问题，它在诸如结构稳定性、化学过程、湍流等许多实际间题中都非常重要。分叉理论可用来研究一些非线性方程的解，逐次分叉又会导致向浑沌的过渡。浑沌也是自然界

普遍存在的一种现象，它不借助于随机的外因，而是由非线性系统本身自发产生的内在随机性。突变、分叉、和浑沌都是当今数学、力学和物理等科学界普遍关注的热门课题。（5）从精确到模糊

现代数学建立在集合论的基础上，本来一个集合包含哪些元素是完全确定的，不能用它描述普遍存在的模糊现象。1965年美国L. Zadeh发表的论文“模糊集合”[14]标志着模糊数学的诞生，它发展得很快，已渗透到许多数学分支，模糊逻辑、模糊映射，模糊拓扑，模糊泛函分析，模糊控制等等纷纷出现，许多复杂的科技领域(如人工智能)和大量的人文、社会科学都需要把模糊现象定量化，这就离不开模糊数学的研究。

（6）其它

从静态到动态，从平衡到不平衡，从光滑到非光滑，从适定性问题到不适定性问题，从固定边界条件到自由边界条件等等。

5 与电子计算机的紧密联系

电子计算机的出现，是20世纪人类科学的最大成就之一，“计算机革命媲”对经济与社会的影响可与工业革命媲美”[15]，计算机使很大一部分智力活动机械化。它从下面两个方面冲击，影响和促进现代数学的发展，从而改变着数学本身的特点和面貌。

一方面，计算机强大的计算能力使数学如虎添冀，比以往任何时候都更有威力和渗透力，原先那些因太复杂、需要大量重复运算而难以处理的问题都可以由高速计算机直接给出其数值解答。计算机的这一用途，不仅极大地扩展了数学的应用范围，也改变了人们对数学问题解的观念，过去认为满意的解是解的分析表达式，现在则认为成功的解是指一个算法，输入计算机后将给出所需要的数值解，于是各种算法、程序和软件的研究迅速发展起来，并直接引入科技生产中去。计算机还改变了数学应用的实践方式，比如天文学中超新星的爆炸过程、地学中的地壳运动，都难以在实验室里进行实验，却可以用计算机通过数学模型来模拟，从而对各种理论解释进行检验。又如在工程技术中一些新设计，也可用计算机模拟来预[16]其新性能，从而得知怎样改进和优化。因此人们认为，科学研究除了传统的理论工作和实验工作而外，还出现了计算机实验或数学实验。由于它与实际做实验相比，在多、快、好、省各方面都有着极大的优越性，因而它越来越多地取代了实际实验。

另一方面，计算机给数学理论研究提出了一系列新课题：如符号计算，程序化、机器证明、图象显示、数值软件，和人工智能等等。这些新课题的研究将日益扩大计算机的功能，进一步解放人的大脑，计算机给数学的理论研究也提供了新方法。计算机不仅用于计算，还能进行定理的证明，例如“四色定理”这样著名的理论难题正是借助于计算机才解决的。特别是在数学家的探索和归纳阶段，计算机成为非常有效的助手，它帮助数学家从大量的原始数据资料中去筛选素材，检验猜想，用图象显示信息，指出进一步理解和前进的道路。计算机结束了长期以来，数学工作者的工具就是纸和笔，而进入了数学成果的机器生产的时代。

3现代数学发展趋势

现代数学已成为现代科技发展的强大动力，正因为现代数学的抽象化程度越来越高，其内容和方法日趋综合和统一，使数学的应用越来越广泛了。数学已不再只有物理和工程这两大基本用户，“数学方法渗透进、支配着一切自然科学的理论分支，它已愈来愈成为衡量成就的主要标志。”[17]尤其突出的是数学在生物科学各分支的成功应用。

纯数学与应用数学之间没有明确的界限，从能否有应用的角度去划分纯数学与应用数学是没有意义的。罗巴切夫斯基说：“任何一门数学分支，不管它如何抽象，总有一

天会在现实世界的现象中找到应用”。[18]正

是他和黎曼分别创造的非欧几何，为爱因斯坦的相对论提供了数学框架，开创了近代物理的新纪元。

数学为什么能有如此大的效力，特别是许多完全没有考虑到应用，只是由于数学自己内部的原因所创造发展的一些抽象概念，到后来都能出人意外地在科学和技术上获得意义重大的应用，使得许多数学家和科学家们惊叹不已，认为是神秘的谜，“科学的发展需要数学，但是历史告诉我们，他们需要的数学，往往为数学家早已发展”[19]，历史上这样的例子举不胜举，数学能够超前描述客观世界的根本原因，在于物质世界的统一性和科学的整体性。数学和一切自然科学都是统一的客观物质世界的不同侧面的反映。

现代数学的发展也日益广泛和深入地渗透到社会科学领域，最突出的是经济学，“现今的经济学实际上是应用数学的一个分支”[20]，运用数学方进行定量决策，也逐渐成为当今决策和管理科学的主流，数学不仅在经济学，计划管理这样的社会科学上广泛应用。数学的现代发展，已直接进人社会经济生活的各个领域，数学成为社会生产力。

当今人类进入信息时代，信息时代是数学大发展的时代，人类社会日益走向数学化，从来没有象现在这样，人们需要进行数学式的思维。可能在21世纪末就会出现，所谓数学地理解问题，恐怕就是数学的思考方式，它包括诸如建立模型、抽象化、优化、逻辑分析、推理计算、从数据进行预测、推断、评估、以及运用符号等等，这些数学思考方式的经验和能力是人类的宝贵智慧。17世纪工业革命时代，培根提出“知识就是力量”的响亮口号，在今天信息时代，知识爆

炸，应该说“智慧比知识更有力量”。[21]参考文献[1]恩格斯.反杜林论(1970年版)[M].人民出版社, P35.

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