八年级数学知识点黄金分割数
八年级数学知识点：黄金分割数
八年级数学知识点：黄金分割数
黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或
1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。（5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809 （2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（goldensectionratio通常用φ表示）
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：(1-0.618)/0.618=0.6一条线段上有两个黄金分割点。无限不循环小数 a，b a:b=(a+b):a 通常用希腊字母Ф表示这个值。黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。确切值为（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一个根）黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436565 黄金分割三角形: 正五边形对角线连满
后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三
角形。由于五角形的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18°（即2*sin(π/10)）。将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。黄金矩形: 若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。黄金分割线: 由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。与数列的关系: 让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数” 斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。分数与
根式: 有限段的黄金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得
X=1/（1+X）。有限式=无限式对等式右边分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。对等式进行类似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。这样一个简洁的无穷连分式和无穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感。黄金分
割法在摄影中的应用：一幅优秀的摄影作品，不仅要有深刻的主题
思想和内容，同时还应具备与内容相一致的优美形式和协调的构图。初学摄影，在取景时了解和掌握黄金分割法。对于提高作品美学价值很有帮助。黄金分割法，就是把一条直线段分成两部分，其中一部
分对全部的比等于其余一部分对这一部分的比，常用2：3，3：5，5：8等近似值的比例关系迸引美术设计和摄影构图，这种比例也称黄金律。在摄影构图中，常使用的概略方法，就是在画面上横、竖各画两条与边平行、等分的直线，将画面分成9个相等的方块，称九宫图。直线和横线相交的4个点，称黄金分割点。根据经验，将主体景物
安排在黄金分割点附近，能更好地发挥主体景物在图面上的组织作用，有利于周围景物的协调和联系，容易引起美感，产生较好的视觉效果，使主体景物更加鲜明、突出。另外，人们看图片和书刊有个习惯，
就是由左向右移动，视线经过运动，往往视点落于右侧，所以在构图时把主要景物、醒目的形象安置在右边，更能收到良好的效果。初
学摄影取景，可选选用“黄金分割法”的练习构图，经过多次实践，有了自己的经验和体会以后，就可根据实际情况自己进行创作了。如果都千篇一律，生搬硬套这一种形式，也不可取，时间久了反而会束缚自己的创作思想，使拍出的照片四平八稳，缺乏变化，贫乏无味，就谈不上有什么艺术性。用黄金分割法确定主体的位置，并没有完
成构图的整个过程，还应注意安排必要的空间，考虑主体与陪体之间的呼应，充分表达主题的思想内容。同时，还要考虑影调，光线处理，色彩的表现等等。为了提高基本功，还有很重要的一点，就是要认
真学习美学知识，加强美学修养，并通过拍摄实践，不断总结，积累经验，多拍出一些有较高艺术水平的照片来。发现历史：由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作
图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或
1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。（5）任一数字如与前面第二个数字相比，
其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809 （2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（goldensectionratio通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：(1-0.618)/0.618=0.6一条线段上有两个黄金分割点。无限不循环小数 a，b a:b=(a+b):a 通常用希腊字母Ф表示这个值。黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。确切值为（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一个根）黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436565 黄金分割三角形: 正五边形对角线连满
后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三
角形。由于五角形的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18°（即2*sin(π/10)）。将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。黄金矩形: 若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。黄金分割线: 由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。与数列的关系: 让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，
这些数被称为“斐波那契数” 斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。分数与根式: 有限段的黄金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。有限式=无限式对等式右边分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。对等式进行类似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。这样一个简洁的无穷连分式和无穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感。
初中八年级数学知识点总结
八年级数学（上）知识点 人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。 第十一章三角形 一．知识框架 二．知识概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质 三角形的内角和：三角形的内角和为180° 三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
大自然中的黄金分割
初中数学综合实践课题设计—— 大自然中的黄金分割 龙翔学校 周福兰 ◆ 黄金分割的由来 一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。经过反复比较，他最后确定了 0.618：1的比例截断最优美。后来古希腊美学家柏拉图将这比例称为黄金分割律。中世纪的数学家开普勒对黄金分割作了很高的评价。他说：几何学有两大宝藏：一个是勾股定理，另一个是黄金分割。 那么，什么是黄金分割？ ◆ 黄金分割自述 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和CB ，如果AB AC AC CB =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。 那么，黄金比又是多少呢？如何计算呢？ 分析：设线段AB 的长度为1个单位，AC 的长度为x 个单位，则CB 为 ()x -1个单位，根据题意列出方程： 11x x x =- 由比例的基本性质得： 21x x =- 即 012=-+x x 解这个方程求得：AC= 21 5- 所以，求出黄金比为 ≈-=215AB AC 618.0
◆你知道为什么女性爱穿高跟鞋吗? 中世纪意大利的数学家菲波那契测定了大量的人体后得知，人体肚脐以下的长度与身高之比接近0.618，其中少数人的比值等于0.618的被称为：“标准美人”。因此，艺术家们在创作艺术人体时，都以黄金比为标准进行创作。 周老师的身高为162cm，肚脐眼以上的长度为70cm，你能帮周老师挑一双最适合她身高的鞋子吗？试试吧！ ◆趣味问答 （问题一）：报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳？ （问题二）：人的正常体温是37℃，对大多数人来说，体感最舒适的温度是22 ℃~23 ℃。你能解释吗？ ◆动动脑，画一画 你能利用黄金分割的数学知识设计一幅图案，送给老师吗?动动脑，画一画
上海中考数学知识点总结新 (1)
中考数学复习资料 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）
1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根（3—10分） 1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 ”。 正数a的平方根记做“a 2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 （3—6分） 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做n a 10?±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 （3分） 1、数轴
初二数学知识点总结
初二数学知识点总结 函数的定义，函数的定义域、值域、表达式，函数的图像2 一次函数和正比例函数，及其表达式、增减性、图像3 从函数的观点看方程、方程组和不等式如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。形如y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。 一、、常量、变量在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。 二、函数的概念函数的定义：一般的，在一个变化过程中如有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数、 三、函数中自变量取值范围的求法（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量
的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。 四、函数图象的定义一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 五、用描点法画函数的图象的一般步骤 1、列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。 2、描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 3、连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来。六、函数有三种表示形式（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数。、当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx，所以正比例函数是一次函数的特例、。八、正比例函数的图象与性质图象：正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0) 的图象是经过原点的一条直线，称之为直线y= kx 。 性质：当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四
上海中考数学知识点梳理
上海中考数学知识点梳理 第一单元数与运算 一、数的整除 1．内容要目 数的整除性、奇数和偶数、因数和倍数、素数和合数，公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数、分解素因数；能被2和5整除的正整数的特征。 2．基本要求 （1）知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因素等的意义；知道能被2、5整除的正整数的特征。 （2）会用短除法分解素因数；会求两个正整数的最大公因素和最小公倍数。 3．重点和难点 重点是会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。 难点是求两个正整数的最小公倍数。 4．知识结构 二、实数 1．内容要目 实数的概念，实数的运算。近似计算以及科学记数法。 2．基本要求 （1）理解开方及方根的意义，知道无理数的概念，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。（2）理解实数概念，掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算的法制，会正确进行实数的运算。 （3）会用计算器进行实数的运算，初步掌握估算、近似计算的基本方法和科学记数法。 3．重点和难点 重点是理解实数概念，会正确进行实数的运算。 难点是认识实数与数轴上的点的一一对应关系。 4．知识结构
第二单元 方程与代数 一、整式与分式 1．内容要目 代数式，整式的加减法，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方。 单项式的乘法和除法，单项式与多项式的乘法，多项式除以单项式，多项式的乘法。 乘法公式：22222()();()2a b a b a b a b a ab b +-=-±=±+ 因式分解：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法。 分式，分式的基本性质，约分，最简分式，通分，分式的乘除法，分式的加减法，整数的指数幂，整数指数幂的运算。 2．基本要求 （1）理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。 （2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代”数的数学思想；会求代数式的值。 （3）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式。 （4）理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、公式法、二次项系数为1时的十字相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法。 （5）理解分式的有关概念及其基本性质，掌握分式的加、减、乘、除运算。 （6）理解正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，掌握有关整数指数幂的乘（除）、乘方等运算的法则。 说明 ①在求代数式的值时，不涉及繁难的计算；②不涉及繁难的整式运算，多项式除法中的除式限为单项式；③在因式分解中，被分解的多项式不超过四项，不涉及添项、拆项等技巧；④不涉及繁复的分式运算。 3．重点和难点 重点是整式与分式的运算，因式分解的基本方法，整数指数幂的运算。 难点是选择适当的方法因式分解及代数式的混合运算。 4．知识结构
新人教版八年级数学下册知识点归纳总结
八年级数学（下册）知识点总结 第十六章 二次根式 1.二次根式概念：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． △ 比较数值的方法 （1）、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。 （2）、平方法 当0,0a b >>时，①如果2 2 a b >，则a b >；②如果2 2 a b <，则a b <。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较 231-与1 21 -的大小。 （4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较1514-与1413-的大小。 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
数学之美——黄金分割(图形相似)汇总
数学之美——黄金分割 前 言 数学可以说是各学科的灵魂，数学中蕴涵着文化价值、美学价值、以及经济价值，而这些价值究竟是如何体现的?随着我国教育水平的逐步提高，我们对数学这门科学的学习更加透彻，我们就以数学中的两大宝藏之一“黄金分割”为例，黄金分割是我们最常见的一种和谐比例关系，即是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”又称“黄金段”或“黄金率”。在初中教学中对黄金分割的了解还不是很深，只是对黄金分割的定义做了简单的说明和简单的练习。随着我们数学能力水平的提升，我们了解到了许多重要的与黄金分割相关联的数学知识，本节主要解决杨辉三角形等数学量与黄金分割的关系，以及与黄金分割有关的一些概念，最后，将进一步阐述黄金分割的实际应用，可见黄金分割用途之广泛，影响之深远。 另外，我真诚的希望通过本节学习，能够让学生更多的了解黄金分割的实质和内涵，对以后的学习有进一步的帮助。 一、黄金分割的起源与发展 1.1 黄金分割的定义 古希腊雅典学派的第三大数学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。证明方法为： 设有一根长为1的线段AB 在靠近B 端的地方取点C ，)(CB AC >使AC AB CB AC ::= 则点C 为AB 的黄金分割点。 设x AC =，则x BC -=1 代入定义式AC AB CB AC ::= 可得 x x x :1)1(:=- 即 012 =-+x x 解该二次方程：2151--= x 2 152-=x 其中1x 为负值舍掉。 所以 2 15-=AC 约为618.0.
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。 1.2黄金分割的发展史 据记载黄金分割是在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关“黄金分割”，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边 形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《帕乔利》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。 其实，黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多
八年级上册数学知识点归纳
八年级上册数学知识点归纳、总结人教版、 1 全等三角形的对应边、对应角相等- 2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等- 3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等- 4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等- 5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等- 6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等- 7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等- 8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上- 9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合- 10 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）- 21 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边- 22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合- 23 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°- 24 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）- 25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形- 26 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形- 27 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半- 28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半- 29 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等- 30 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上- 31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合-
初中数学知识点口诀
初中数学知识点归纳. 有理数的加法运算 同号两数来相加，绝对值加不变号。异号相加大减小，大数决定和符号。互为相反数求和，结果是零须记好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。有理数的减法运算 减正等于加负，减负等于加正。 有理数的乘法运算符号法则 同号得正异号负，一项为零积是零。合并同类项 说起合并同类项，法则千万不能忘。只求系数代数和，字母指数留原样。去、添括号法则 去括号或添括号，关键要看连接号。扩号前面是正号，去添括号不变号。括号前面是负号，去添括号都变号。解方程 已知未知闹分离，分离要靠移完成。移加变减减变加，移乘变除除变乘。平方差公式 两数和乘两数差，等于两数平方差。积化和差变两项，完全平方不是它。完全平方公式 二数和或差平方，展开式它共三项。首平方与末平方，首末二倍中间放。和的平方加联结，先减后加差平方。完全平方公式 首平方又末平方，二倍首末在中央。和的平方加再加，先减后加差平方。解一元一次方程 先去分母再括号，移项变号要记牢。同类各项去合并，系数化“1”还没好。求得未知须检验，回代值等才算了。解一元一次方程 先去分母再括号，移项合并同类项。系数化1还没好，准确无误不白忙。因式分解与乘法 和差化积是乘法，乘法本身是运算。积化和差是分解，因式分解非运算。因式分解 两式平方符号异，因式分解你别怕。两底和乘两底差，分解结果就是它。
两式平方符号同，底积2倍坐中央。 因式分解能与否，符号上面有文章。 同和异差先平方，还要加上正负号。 同正则正负就负，异则需添幂符号。 因式分解 一提二套三分组，十字相乘也上数。 四种方法都不行，拆项添项去重组。 重组无望试求根，换元或者算余数。 多种方法灵活选，连乘结果是基础。 同式相乘若出现，乘方表示要记住。【注】一提（提公因式）二套（套公式）因式分解 一提二套三分组，叉乘求根也上数。 五种方法都不行，拆项添项去重组。 对症下药稳又准，连乘结果是基础。 二次三项式的因式分解 先想完全平方式，十字相乘是其次。 两种方法行不通，求根分解去尝试。 比和比例 两数相除也叫比，两比相等叫比例。 外项积等内项积，等积可化八比例。 分别交换内外项，统统都要叫更比。 同时交换内外项，便要称其为反比。 前后项和比后项，比值不变叫合比。 前后项差比后项，组成比例是分比。 两项和比两项差，比值相等合分比。 前项和比后项和，比值不变叫等比。 解比例 外项积等内项积，列出方程并解之。 求比值 由已知去求比值，多种途径可利用。 活用比例七性质，变量替换也走红。 消元也是好办法，殊途同归会变通。 正比例与反比例 商定变量成正比，积定变量成反比。 正比例与反比例 变化过程商一定，两个变量成正比。 变化过程积一定，两个变量成反比。 判断四数成比例 四数是否成比例，递增递减先排序。 两端积等中间积，四数一定成比例。 判断四式成比例 四式是否成比例，生或降幂先排序。 两端积等中间积，四式便可成比例。
新人教版八年级数学知识点总结归纳上下册
新人教版八年级上册数学 知识点总结归纳 1第十一章三角形 第十二章全等三角形 第十三章轴对称 第十四章整式乘法和因式分解 第十五章分式
第十一章三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形
的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三?? 角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 8、三角形的面积21 =×底×高 多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
上海初中数学知识汇总
初中数学知识汇总 第一章 实数一、重要概念 1. 数的分类及概念 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准 2. 非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0） 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。 4．相反数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律） 3．运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例典型例题 1．已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。 ★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算 第二章 代数式一、重要概念 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。
高中数学史集黄金分割素材
黄金分割 （浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙 在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其 中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。（如图1） 世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他发现: 在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比， 那么这一比值就等于…，用式子表示就是: 618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们 从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。如正五边形中， Kheops (公元前Q C P 图1
莱奥纳多·达·芬奇 相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。 文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达芬奇等人。他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。 1228年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》的修订本中提出“兔子问题”，导致斐波那契数列：1，1 ，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。(即设F 1 =1，F 2 =1，F n = F n-2 + F n-1，n ≥3，则) 1525年丢勒制定了充分吸收黄金分割几何意义的比例法则，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。丢勒以为，在所有矩形中，黄金分割的矩形，即短边与长边之比为2 15 的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个 正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是 一个黄金分割形的矩形”，这使人们产生一种 “和谐”的感觉。 后来意大利伟大画家达·芬奇(1452-1519)(如右图)把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。这一命名一直延用至今。 欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J ．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商
黄金分割中的数学文化
黄金分割中的数学文化 姓名：邱秀林班级：工业工程121 学号：5404312093 摘要：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”数学中蕴涵的文化价值是客观存在的，数学的本质是一种文化，数学不仅闪烁着理性智慧的光芒，更有艺术审美的享受以及厚重的文化意向。“黄金分割”被誉为数学的两大宝藏之一，它来源于实际生活，并在实际生活中得到应用，只要留心，到处都可发现这位美的“使者”的足迹。黄金分割对我们的审美、思维方式、价值观念以及世界观等方面将产生重要的影响。 关键词：文化价值黄金分割数学美思想方法 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。 一、黄金分割的起源 人们认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关——特别是由五角星形作图的需要引起的。五角星形是一种很耐人寻味的图案，世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形。现今有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上有五角星。为什么是五角而不是其他数目的角？也许是古代留下来的习惯。 五角星形的起源甚早，现在发现最早的五角星形图案是在幼发拉底河下游马鲁克地方（现属伊拉克）发现的一块公元前3200年左右制成的泥板上。 古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。可以认为毕达哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知他已掌握了黄金分
最新上海初中数学知识点总结
上海初中数学知识点大全 1、一元一次方程根的情况 △=b2-4ac 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 当△<0时，一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质： ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。 ③平行四边形的对边/对角相等。 ④平行四边形的对角线互相平分。 菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。 矩形与正方形： ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等，四个角都是直角。 ③对角线相等的平行四边形是矩形。 ④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。 ⑤一组邻边相等的矩形是正方形。 多边形：
①N边形的内角和等于（N-2）180度 ②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度） 平均数：对于N个数X1，X2…X N，我们把（X1+X2+…+X N）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。 二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等
初二数学知识点归纳：黄金分割数1
初二数学知识点归纳：黄金分割数1 初二数学知识点归纳：黄金分割数1 黄金分割数： 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。 黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0618或1618∶1，即长段为全段的0618。0618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条下大胆断言： 一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0618，那么，这样比例会给人一种美感。
后，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。 黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点： （1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。 （2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。 （4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。 （）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。 理顺下，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。 即：（1）0．191、0．382、0．、0．618、0．809 （2）1、1．382、1．、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√-1)/2，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（gldensetinrati通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0618近似表示，通过简单的计算就可以发现：(1-0618)/0618=06一条线段
上海初二数学因式分解知识点总结
上海初二数学因式分解知识点总结 关于上海初二数学因式分解知识点总结 上海初二数学因式分解知识点总结 知识要领：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。 因式分解 同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤 注意三原则 1.分解要彻底(是否有公因式，是否可用公式) 2.最后结果只有小括号 3.最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1)) 4.最后结果每一项都为最简因式 归纳方法： 1.提公因式法。 2.公式法。 3.分组分解法。 4.凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 5.组合分解法。 6.十字相乘法。 7.双十字相乘法。
8.配方法。 9.拆项补项法。 10.换元法。 11.长除法。 12.求根法。 13.图象法。 14.主元法。 15.待定系数法。 16.特殊值法。 17.因式定理法。 知识点总结：分解因式与整式乘法为相反变形。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。 初中数学知识点：点的坐标的性质 下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 点的坐标的性质 建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的'一个点。 对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。 一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。 初中数学知识点：因式分解的一般步骤 因式分解的一般步骤
八年级数学知识点总结
八年级数学知识点总结
八年级数学（上）知识点 人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。 第十一章三角形 一．知识框架 二．知识概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质 三角形的内角和：三角形的内角和为180° 三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 （2）n边形共有 23) - n(n 条对角线。 三角形是初中数学中几何部分的基础图形，在学习过程中，教师应该多鼓励学生动脑动手，发现和探索其中的知识奥秘。注重培养学生正确的数学情操和几何思维能力。 第十二章全等三角形 一．知识框架
初二数学知识点归纳：黄金分割数1
初二数学知识点归纳：黄金分割数1 黄金分割数： 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。 黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0618或1618∶1，即长段为全段的0618。0618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条下大胆断言： 一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0618，那么，这样比例会给人一种美感。 后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，
在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。 黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点： （1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。 （2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。 （3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。 （4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。 （）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。 理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。 即：（1）0．191、0．382、0．、0．618、0．809（2）1、1．382、1．、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为/2，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（gldensetinrati通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0618来近似表示，通过