一次函数的图像和性质导学案
一次函数的图象与性质导学案目标导航:
知识与技能：
1、进一步掌握一次函数图象的画法；
2、掌握一次函数系数k,b与图象位置的关系；
3、掌握一次函数的性质并会运用．
过程与方法：
让学生通过画图、观察、讨论，探究一次函数的图象及性质，培养学生数形结合的意识和能力以及分类讨论的思想
情感态度与价值观：
让学生全身心的投入教学活动中，积极参与组内讨论，合作交流
探索，发展实践能力与创新精神
学习重、难点：一次函数的图像和性质.
自主学习方案：一、自主学习教材P43------P44
二、复习回顾：1、画函数图像的步骤：
2、一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是：取两点即可画出图像，方法为：
（1）画y=kx(k≠0)的图像常选取两点
(2）画y=kx+b(k≠0)的图像常取两点
3、正比例函数y=kx(k≠0)的图像和性质：
三、学生自主探究：
（一）请在同一个平面直角坐标系中画出了下列函数的图象
1、y=2x y=2x+1 y=2x-1观察得出：
1.这三条直线互相_______，
直线y= 2x+1是由直线y= 2x向____平移____个单位长度得来的，
直线y= 2x-1是由直线y= 2x向____平移____个单位长度得来的.
2.直线y= 2x+1与y轴交于点______，直线y= 2x-1与y轴交于点______.
3、这三条直线都是从左到右逐渐_______,即y随x的增大而_______，
但直线y= 2x经过第________象限，
直线y= 2x+1经过第_________象限,
直线y= 2x-1经过第_________象限.
归纳：1.直线y = kx + b与直线y = kx的位置关系是__________.直线y = kx + b是由直线y = kx 向___________平移______个单位长度得来的.
2.函数y = kx + b与y 轴的交点坐标为__________.
当b＞0时，则交点在y轴的__半轴；当b＜0时，则交点在y轴的___半轴.
3、当k______时，图象从左到右逐渐______,y随x的增大而______.
（二）、请在同一个平面直角坐标系中画出了下列函数的图象
y=-x+4 y=-x-4
观察得出：
这三条直线都是从左到右逐渐_______,即y随x的增大而_____，
直线y= -x+4经过第_________象限,
直线y= -x-4经过第_________象限
归纳：当k______时，图象从左到右逐渐______,y随x的增大而______.
从上面的图象我们可以发现，图象的位置是由k和b的符号来决定的。因此可得到结论：
①k＞0,b＞0图象过象限②k＞0,b＜0图象过象限
③k＜0,b＞0图象过象限④k＜0,b＜0图象过象限。
x
y=2x
x
y=2x+1
x
y=-x+4
x
y=-x-4
x
y=2x-1
四、课堂评价，合作交流
（一）课堂训练
1(09湖南邵阳）在平面直角坐标系中，函数y=-2x+3的图象经过（ ） A ．一、二、三象限 B ．二、三、四象限 C ．一、三、四象限 D ．一、二、四象限
2(2009宁夏)5．一次函数y=3x-2的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3.直线y=k(x-k) (k>0)的图象经过第________象限 A ．一、二、三象限 B ．二、三、四象限 C ．一、二、四象限 D ．一、三、四象限 4、（2009年重庆市江津区）已知一次函数y=x-2
A B C D
5. 一次函数y=(a+1)x+5中，y 的值随x 的值增大而减小，则a 满足________ . 6、一次函数y=-x-5的图像不经过____象限
7、一次函数y = (m-3)x+m+1的图象经过一、二、四象限，则正整数m= ________. 8、根据一次函数的图象，说出解析式y=kx+b 中k 与b 的取值范围．K 0, b 0 9、函数y=10x-9的图象经过第_________象限,y 的值随着x 值的增大而________ 10. 下列函数中，y 随x 的增大而增大的是（ ） A. y=–3x B. y= –0.5x+1 C. y=√3 x – 4 D. y= –2x-7
（二）探究提高，能力拓展
1、 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m 的值： （1）函数值y 随x 的增大而增大； （2）函数图象与y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限； （4）函数的图象过原点
（5）函数的图象与直线y=-3x-6平行。
（6）函数的图象与y 轴的交点坐标是（0，-2）；
2、已知函数 y = kx 的图象在二、四象限，那么函数y = kx-k 的图象可能是（ ）
3、已知A(-1, y1), B(3, y2), C(-5, y3)是一次函数y=-2x+b 图象上的三点，用“<”连接y1, y2, y3， 为_________ .
4、已知A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)是一次函数y=-2x+b 图象上的三点，当x1 五 小结：这节课我们学习了一次函数的图象和性质。你掌握了吗？ 一次函数的图象位置的确定： 一次函数的性质： 六、当堂检测 1、把直线y=x+1向下平移3个单位长度，得到直线（ ） A 、y=x+4 B 、y=x-3 C 、y=x-2 D 、y=x+3 2、函数y=（m-1）x+2，当m 时，y 随x 的增大而增大 ，当m 时，y 随x 的增大而减小； 3、已知直线y=kx+b 的图象如图所示，则（ ） A 、k ＜0，b ＜0 B 、 k ＞0，b ＜0 C 、k ＜0，b ＞0 D 、 k ＞0，b ＞0 4、当 k ＜0，b ＞0时,一次函数y=kx+b 的大致图象是（ ） 5，则 b的值。 3的终边上，且｜OP｜=2，则点P的坐标？ 2 ,-3),，则定义：叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα＝； α=- 5 2，则sin α，tanα的值分别为（另外，角α的正割：secα＝ 1 cosαx 角α的余割：cscα＝ 1 sinαy 角α的余切：cotα＝ 1 2C- 3 A 1 高一数学学案 必修四第一章第3节三角函数的定义（1） 制作人：适用范围：高一使用日期：4.17 【教学目标】 1、三角函数定义； 2、利用定义求角的六个三角函数； 3、特殊角的三角函数值。 4、通过角定义的学习，进一步体会数形结合的思想方法 【教学重难点】 1、用定义求三角函数值； 2、特殊角三角函数值。 【教学内容】 1．任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义 如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直 角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点． 变式训练2：若角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=- 3 例2、求下列各角的六个三角函数值： （1）0;(2)π；（3） 3π 2 变式训练3：若点P在角 π 【课堂练习】 1、（1）已知角α终边经过点p( 1 cosα=______，sinα=______，tanα=______， cotα=______，secα=______，cscα=______。 其中，r＝OP＝x2＋y2>0． x x r r y y r叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα＝r； 2、设π A、-1；不存在 B、1；不存在 C、-1；0 D、1；0 ）。 y y x叫做角α的正切，记作tanα，即tanα＝x． r ＝； r ＝； x tanα＝y． 例1、已知角α终边过点P（2，-3），求角α的六个三角函数值。 3、如果角α的终边过点（2sin30°，-2cos30°）,则sinα的值等于（） 13 2 B- 2 D 2 4、若角α的终边经过点M（0，m）（m≠0），则下列式子无意义的是（） A、sinα B、cosα C、tanα D、cotα 15．已知角 α的终边上一点的坐标为( 3 ,- 1 ),则角α的最小正值为( 22)变式训练1：设角α的终边经过点P（3x，-4x）（x＜0），则sinα-cosα的值？ 一次函数复习课导学案 知识点系统图 一次函数 概念 一般形式： .正比例函数： 性质 k >0，y 随x 的增大而k <0，y 随x 的增大而 图象是经过 0， 和 ，0 的直线， 知识点扫描 知识点1 一次函数的意义 一次函数从解析式上理解注意两点：（1）y =kx +b 中k ，b 为，（2）k ； 从图像上理解其图像一般是一条直线，但不平行于，有时是线段、射线或点。 知识点2 一次函数大致图像与k 、b 的符号关系 知识点3 一次函数解析式的确定——待定系数法： ①将一次函数解析式设为y =kx +b （k ≠0）； ②找出函数图像上的点的坐标代入已设的关系式中，列出方程（组）； ③解出方程（组），求出k ，b ； ④将所求的值代入所设的函数关系式中。 知识点4 建立函数模型解决实际问题 建立一次函数模型解决实际问题时，一般先要判断函数关系是否是一次函数。 焦点一 一次函数的性质 例1 一次函数y =(2a +4)x -(3-b )，当a ，b 为何值时： (1)y 随x 的增大而增大； (2)图象经过第二、三、四象限； (3)图象与y 轴的交点在x 轴上方； (4)图象过原点. k_______，b_______ k_______，b_______ k_______，b_______ k_______，b_______ k_______，b_______ k_______，b_______ 焦点二 一次函数解析式的确定 例2 如图所示，直线l 过A （0，-1）、B （1，0）两点，求直线l 的解析式。 焦点三 根据图像信息解题 例3在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A 、B 两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A 村向B 村方向修筑，乙工程队从B 村向A 村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y （米）与施工时间x （天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙工程队每天修公路多少米？ （2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y （米）与施工时间x （天）之间的函数关系式． （3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 焦点四 一次函数与几何综合 例4 如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上，点B 在第象限，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转至△OA ′B ′，使点B 的对应点B ′落在y 轴的正半轴上，已知OB =2，∠BOA =30°． （1）求点B 和点A ′的坐标； （2）求经过点B 和点B ′的直线所对应的一次函数解析式，并判断点A 是否在直线BB ′上． 例2图 例4图 一次函数的图像与性质知识点总结 知识点1 、一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的 1x 一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y= 2 1x，y=-x都是正比例函数. 等都是一次函数，y= 2 知识点2、函数的图象 把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 知识点3、一次函数的图象 由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成 b，0）.但也直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（- k 不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可. 知识点4 、一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）k的正负决定直线的倾斜方向； ①k＞0时，y的值随x值的增大而增大； ②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置； ①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上； ②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同； ①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②当k＞0，b﹥0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③当k﹤0，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④当k﹤0，b﹤0时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． （5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的． 知识点5、正比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx的图象必经过原点； （2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大； （3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小． 知识点6、点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系 （1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b； （2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上． 例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上． 1.2.1任意角的三角函数（A层学案） 学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点：任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1．任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的________，记作______，即sinα＝y； ②x叫做α的________，记作______，即cosα＝x； ③y x 叫做α的________，记作______，即tanα＝ y x (x≠0)． (2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)，它到原点的距离r(r>0),r=,那么任意角α的三角函数的定义为： sinα＝ cosα＝ tanα＝ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀：。 3．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________， tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z. 角α0π 6 π 4 π 3 π 2 2 3 π 3 4 π 5 6 ππ 3 2 π2π sin αcos αtan α 二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1： （1）已知角α的终边过点 0(3,4) P--，求角α的正弦、余弦和正切值. （2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值． 知识点二：三角函数值的符号问题 例2. （1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α （2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2：判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°. 一次函数课堂导学案 学习准备 1. 一次函数的概念是：____________________________________________,它的图像是经过 ________和______两点的一条直线。 2. 正比例函数的图像和性质 ②从上升或下降趋势看，这两条直线都是从左至右_______，即随着x 的增大，y 的值______ 总结： 3. 请同学们猜想 k<0时， 结论： 4、归纳 课堂练习1 1、下列一次函数中，y 的值随x (1) y=2x-1 (2)y=-3x-5 （二）探究b 对一次函数y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)的图像的影响。 问题：k 的正负决定了函数的增减性，那么b 对函数图像的位置有什么影响呢？请同学们观察上面所画的四个图像，你得出了什么结论？ 结论： 课堂练习2 1、下列直线中，y随x增大而增大且与y轴的负半轴相交的有________ (1) y=2x+1 (2)y=-3x+5 (3) y=-0.5x+3 (4)y=0.5x-3 2、由下列图象判断一次函数b的符号。 巩固练习 1. .直线y= -2x-3与x轴的交点坐标为________,与y轴交点坐标为______,图像过____象限，y随x的增大而________ 2.已知一次函数y=x+b的图像过一二三象限，则b的值可以是（） A 2 B －4 C 0 D －2 3.一次函数y=2x-1的大致图像为 D 4.点A（2，y1）,B(4,y2)是一次函数y=4x+3图像上的两点，则y1，y2的大小关系是（） A y1>y2 B y1=y2 C y1 一次函数复习 大有中学程顺发 教学目标 1、理解一次函数的意义，会用待定系数法求一次函数的表达式。 2、会画一次函数图象，理解函数性质。 3、能根据图象求二元一次方程组的近似值，掌握求两函数图象交点坐标的方法。 4、会用一次函数解决简单的实际问题。 教学重点 1、一次函数的图象和性质 2、一次函数的应用 教学难点 一次函数和二元一次方程(组)、一元一次不等式（组）的关系。 教材分析 1、近几年来，一次函数的中考分值呈上升趋势，命题多为填空、选择（2—3分）和解答题（6—8分）且为中考命题热点。 2、本节主要内容有一次函数的图象和性质、利用一次函数的图象解决二元一次方程（组）和一元一次不等式（组）的问题、一次函数的应用、一次函数与几何的综合题等。 3、结合实际的应用问题涉及面广，也是近几年来各省市中考的热点问题，有行程、温度、利润、电话费等问题，特别是与经济相关的问题在近几年中考中比较常见。 教学过程 一、考点整合 1、一次函数定义：一般地，若两个变量x,y间的关系，可以表示成（k、b 常数且k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，当b=0时，一次函数也叫正比例函数。 2、一次函数图象的画法：正比例函数的图象是过和两点的，一次函数图象是过和两点的。 3、一次函数性质：y=kx+b(k≠0)当K>0时，y随x增大而，当K<0时，y随x增大而 4、一次函数图象与k、b的符号关系如下： 5、一次函数与一元一次方程的关系： 直线y=kx+b(k≠0)与x 轴的交点 就是一元一次方程kx+b=0的解， 6、一次函数与一元一次不等式的关系： 一次函数y=kx+b 的函数值 的自变量x 的所有值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集；一次函数y=kx+b 的函数值 的自变量x 的所有值，就是一元一次不等式kx+b<0的解集。 7、一次函数与二元一次方程（组）的关系： 一次函数表达式y=kx+b 就是一个 ，反过来任何一个二元一次方程都可转化为一次函数表达式。二元一次方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。 二、典型例题 例1：已知一次函数y=kx-k,若y 随x 增大而减小，则函数图象不经过（ ） A 第四象限 B 第三象限 C 第二象限 D 第一象限 例2：直线l 1:y=k 1x+b 与直线l 2:y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x+b>k 2x 的解为（ ） A 、x>-1 B 、x<-1 C 、x<-2 D 、无法确定 解析：根据一次函数的性质分析图象，由图可知l 1上，y 随x 的增大而减小，l 2上，y 随x 的增大而增大，当x<-1时，l 1上的值均大于l 2上的值，当x>-1时，l 2上的值均大于l 1上的值，故可得答案。 例3：如图：一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ） A 、y=-x+2 B 、y=x+2 C 、y=x-2 D 、y=-x-2 解析：本题主要考察对一次函数图象的认识，由正比例函数的图象和一次函数图象的交点的横坐标可求出一次函数图象上的一点，再根据一次函数与y 轴的交点，已知两点即可求出一次函数的解析式。 例4：某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲和乙的含量如下表所示，现用甲原 料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶，设生产A 种饮料X 瓶，解答下列问题： （1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程； (2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料的成本总额为Y 元，请写出Y 与X 的之间的关系式，并说明X 取值会使成本总额最低？ 甲 乙 A 20克 40克 B 30克 20克 分析：本题主要考察一次函数与一次不等式的应用，根据提议可得出一个不等式组，再由题意可得出一次函数的表达式，根据一次函数的性质和实际生活的意义可得答案。 解：（1）设生产A 种饮料X 瓶，根据题意得 20X+30（100-X ）≤2800 40X+20（100-X ）≤2800 y x o -1 -2 y=k 1x+b y=k 2x y x o -1 2 A B y=--x 饮料名称 原料名称 学习目标：理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等，掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域，会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。 课前预习 阅读课本P14—P17，填充下列空格 1.三角函数的定义（如图所示） 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是r （=r ），如上图所示，那么 ①比值 叫做α的正弦，记作 ，即 ； ②比值 叫做α的余弦，记作 ，即 ； ③比值 叫做α的正切，记作 ，即 ； ④比值 叫做α的余切，记作 ，即 ； ⑤比值 叫做α的正割，记作 ，即 ； ⑥比值 叫做α的余割，记作 ，即 。 2.三角函数的定义域 3.三角函数在各象限的符号 合作探究展示 角的终边 x y 0 αsin x y 0 αcos x y α tan 探究一 .已知角α的终边经过点P(4,－3)，求sin α、cos α、tan α的值； 变式一 已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值； 探究二 求下列各角的六个三角函数值：⑴0； ⑵π； ⑶2 3π。 求 43π和56 π角的正弦、余弦和正切值． 引申 填表： 探究三 确定下 列各三角函数值的符号： ⑴516cos π； ⑵?? ? ??-34sin π； ⑶21556tan ' 已知点p （tan tan ,cos αα ）在第四象限，则角α 在第 象限 当堂练习 （一）选择题 1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－ 55 B ．－ 5 C ．552 D ．2 5 2、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α= 4 2 x ，则sin α的值为 （ ） A ． 410 B ．46 C ．4 2 D ．－410 3.若0sin <α且0tan >α，则α是（ ） A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 4.设角θ终边上一点()()06,8<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值为（ ） A. 52 B.52或52- C.52 - D.与a 无关 二．填空题 一、学习目标 1、让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系； 2、会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力； 3、领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 二、学习重点 倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。 三、学习难点 倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。 四、学习过程 问题1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？ 问题2：若β=α，结果会如何，你能得出什么结论？ α2S ： α2C ： α2T ： 问题3：你能利用同角三角函数公式对α2C 进行变形吗？ 总结：公式α2S 、α2C 、α2T 叫做 ，简称 。 注意：（1）这里的“倍角”，实际上专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名称时，“三”字等不能省去。 （2）倍角公式是和角公式的特例。 （3）倍角公式中的“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α 的二倍角。 （4）倍角公式的公式特征：“倍角”与“二次”的关系。 试一试：不查表，求值： （1）sin 2230cos 2230''?= ； （2）=-π18cos 22 ； （3）=π-π8 cos 8sin 22 ；（4）= 40cos 20cos 10sin 。 例1：已知)0,2 (135cos παα-∈=且，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值。 例2：化简απ απ α222sin )3(cos )3(cos -++-。 例3：证明下列恒等式 （1）θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+； （2）1)10tan 3(40sin =- 。 例4：求函数2sin (sin cos )y x x x =+的最小正周期，以及最值。 例5：在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取使这个矩形面积最大？ 五、巩固练习 1、化简（1； （2； （3； （4。 课题：一次函数的图像和性质（学案） [教学目标] 1、会用两点法画出一次函数的图像； 2、能结合图像说出一次函数的性质； 3、掌握一次函数的性质； [教学重点] 会用两点法画出一次函数的图像，并由图像得出函数的性质。 [教学难点] 由函数图像得出函数的性质，及对函数性质的理解。 [教学过程] 一、提问复习，引入新课 1、什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？ 一般地，形如的函数，叫做正比例函数； 一般地，形如的函数，叫做一次函数。 当b=0时，y=kx+b就变成了,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 2、正比例函数的图象是什么形状？ 正比例函数的图象是 ? 二、探索新知，合作学习 1、认识一次函数的图像 画图：请大家用描点法在同一坐标系中画出函数y=2x , y=2x +1,y=2x －1的图象。 2、比一比：大家比比各自画出的一次函数的图像形状，探讨怎样快速地作它的图像 ? 作一次函数图像的步骤为： 、 、 。 ? 一次函数的图象是 。 画一次函数的图像时，只要描出合适关系式的两点，再连接两点即可。 我们通常选取（0， ）和（ ，0 ）这两个点，也就是选取图像与x 轴和y 轴的交点坐标。有时也选取（0， ）和（1, ）这两点，因题而异。 3、验一验：作正比例函数y=－2x 与一次函数y=－2x +3 、y=－2x －3图象. 4、想一想：比较上面第二组作的三个函数的相同点与不同点 (1)这三个函数的图象形状都是，并且倾斜程度； (2)函数y=－2x图象经过原点，一次函数y=－2x+3 的图象与y轴交于点， 即它可以看作由直线y=－2x向平移单位长度而得到； 一次函数y=－2x－3的图象与y轴交于点，即它可以看作由直线y=－2x 向平移单位长度而得到； 5、归纳小结： (1) 所有一次函数y=kx+b的图象都是________ (2)直线y=kx+b与直线y=kx__________； y=k1x+b1(k1≠0, k1,b1为常数）, y=k2x+b2 (k2≠0, k2,b2为常数）,当k1=k2，b1≠b2时两个函数图象互相。 (3)直线y=kx+b可以看作由直线y=kx_____ ______而得到 当，向上平移b个单位；当，向下平移b个单位 三、例题解析 例1：已知直线y=(3m+6)x+m-4，当m为何值时，直线与y轴交点在x轴下方？ 例2：已知点（3,m）、（-2,n）在直线y=5x+1上，采用多种方法比较m、n的大小。 ` 四、有奖竞猜： 《一次函数的图象和性质》教学设计 一、教学内容分析 （一）内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“19.2.2一次函数”第二课时。 （二）内容解析 函数是数学领域中最重要的内容之一，也是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型．它反映了数量之间的对应规律，是研究数量关系的重要工具．函数思想是最重要的思想，正如F.克莱因的一句名言：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考．” 一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数，它在实际生活中有着广泛的应用．一次函数的学习是建立在学习了平面直角坐标系、变量与函数和正比例函数及其图象与性质的基础上的．一次函数的第一课时主要内容是一次函数的有关概念，本节课是一次函数的第二课时，主要研究一次函数图象的形状、画法，并结合图象分析一次函数的性质．它既是正比例函数的图象和性质的拓展，又是继续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础． 1.关于一次函数的图象 学生在学习一次函数的图象之前已经学习了函数的图象和正比例函数的图象，掌握了画函数图象的基本方法——描点法，因此，对于运用列表、描点、连线画出一次函数的近似图象并不生疏，但是对于一次函数的图象为一条直线的理解则是本节课的内容，所以，教学时需要在学生动手画图象的基础上，通过对一次函数与正比例函数解析式的分析比较，使学生从数的角度加深对形的理解．在了解了一次函数的图象是一条直线，以及它和正比例函数图象之间的关系后，一次函数图象的画法可以有两种，一种是平移，另一种是两点法，突出两点法画图时如何选取合适的点． 2.关于一次函数的性质 对于一次函数的性质主要是研究一次函数中的的正负对函数增减性（图象的变化趋势）的影响，对于这个性质的探究，让学生经历“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的过程，通过对图象的研究和分析函数自身的性质,深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，渗透的是数形结合的思想．同时结合一次函数的图象与正比例函数图象之间的关系类比得出一次函数的性质． 从数学自身发展过程来看,正是由于变量与函数概念的引入,标志着初等数学向高等数学的迈进,是一种数学思想与观念的融入.无论从一次函数到反比例函数,再到以后的二次函数,甚至高中的其他各类函数,都是函数的某种具体形式,都为进一步深刻领会函数提供了一个平台.因此，后续学习中对反比例函数、二次函数的研究方法与一次函数的研究方法类似．也就是说，一次函数的学习为今后其他函数的学习提供了一种研究的模式． 一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k b - , 0）两点 三、截距 定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0 一、概念 例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） （A ）1)1(32+-=x y （B ）x x y 1+ = （C ）x y 3-= （D ）x y 5-= 例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43= （2）x y 2 2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x 例3. 下列说法中，不正确的是（ ） （A ）一次函数不一定是正比例函数 （B ）不是一次函数就一定不是正比例函数 （C ）正比例函数是特殊的一次函数 （D ）不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是（ ） （A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数 （B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例 （C ）在1=xy 中，y 与x 1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值 1.2.2同角的三角函数的基本关系 课前预习学案 预习目标： 通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。 预习内容： 复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线： 提出疑惑： 与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？ 课内探究学案 学习目标： ⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性； 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 学习过程： 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化． 【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构 成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=, 因此221x y +=,即 . 根据三角函数的定义,当()2a k k Z π π≠+∈时,有 . 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切. 【例题讲评】 例1化简： 440sin 12- 例2 已知α ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 例3求证：α αααcos sin 1sin 1cos +=- 例4已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ， ， 17.3.3 一次函数的性质 【学习目标】1.知道一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 是常数，k ≠0)常数k 和b 对的性 质的影响. 2、会用一次函数性质解决问题. 【学习重难点】通过画图、观察、讨论，归纳出一次函数的图象性质，并能够灵 活运用性质进行解题。 【学法指导】阅读教材.独立思考完成自学互助，小组内交流订正，有疑惑的 将疑惑写在疑惑栏里. 【自学互助】1.在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象： y =2x －4 x y 2 1 +2 . 观察直线y =2x －4 （1）图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 . （2）图象经过这些点：（-3， ），（-1， ），（0， ），（ ， －2），（ ， 2） （3）当x 的值越来越大时，y 的值越来越 （4）从整个函数图象来看，图像从左至右是 的.（填上升或下降） （5）当x 取何值时，y >0？ 2.请在上面的平面直角坐标系中画出了下列函数的图象 . 观察直线y=－2x －2： （1）图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 （2）图象经过这些点：（-3， ），（-1， ），（0， ），（ ，x y=1 2x+2 x y=2x-4y=-1 3x+1y=-2x-2x y=-2x-2 x y=-13x+1 －4），（ ，－8） （3）当x 的值越来越大时，y 的值越来越 （4）从整个函数图象来看，图像从左至右是 的。（填上升或下降） （5）当x 取何值时，y <0？ 【展示互导】1.一次函数的性质： （1）当0>k 时，y 随x 的增大而_______，这时函数的图像从左到右_______； （2）当0 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。 （二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 数学精品复习资料 一次函数 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1. 一次函数的意义及其图象和性质 （1）一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成 (k、b为常数，k ≠0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b 时，称y是x的正比例函数． （2）一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经 过点( ， ),( ，）的一条直线，正 比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的一条 直线，如右表所示． （3）一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而；当k＜0时，y的值随x值的增大而． （4）直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系． ① k k >? ? ? >? 直线经过第象限（直线不经过第象限）； ② k k >? ? ? ? 直线经过第象限（直线不经过第象限）； ④ k k （3）一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例 函数表达式，只需一对x 与y 的值，确定一次函数表达式，需要两对x 与y 的值。 （二）：【课前练习】 1. 已知函数：①y=－x ，②y= 3x ，③y=3x －1，④y=3x 2，⑤y= x 3 ，⑥y=7－3x 中，正比例函数有（ ） A ．①⑤ B ．①④ C ．①③ D ．③⑥ 2. 两个一次函数y 1=mx+n ．y 2=nx+n ，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ） 3. 如果直线y=kx+b 经过一、二、四象限，那么有（ ） A ．k ＞0，b ＞0； B ．k ＞0，b ＜0； C ．k < 0，b ＜0； D ．k ＜0，b ＞0 4. 生物学研究表明：某种蛇的长度y(㎝)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6cm 时，蛇长为4 5.5㎝；当蛇的尾长为14cm 时，蛇长为105.5㎝；当蛇的尾长为10cm 时，蛇长为_________㎝； 5. 若正比例函数的图象经过（－l ，5）那么这个函数的表达式为__________，y 的值随x 的减小而____________ 二：【经典考题剖析】 1.在函数y=－2x+3中当自变量x 满足______时，图象在第一象限． 解：0＜x ＜32 点拨：由y=2x+3可知图象过一、二、 四象限，与x 轴交于(32 ，0)，所以，当0＜x ＜32 时，图象在第一象限． 2.已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 为何值时： （1）y 随x 的增大而增大；（2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3；（5）图象与y 轴交点在x 轴下方． 3.杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息： （1）买进每份0．2元，卖出每份0．3元； C B A C B A C B A B 课题：28．1锐角三角函数（1） 【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 二、合作交流： 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是 一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边 的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系． 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形 一次函数的图像和性质 1、认识一次函数图像 【画图】：请大家用描点法在同一坐标系中画出函数y=－2x, y=－2x+3,y=－2x －3的图象。 x ... -2 -1 0 1 2 ... y=-2x ... ... y=－2x+3 ... ... y=－2x －3 ... ... 123456-1-2-3-4-5-6y x o 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 【练习】（1）直线5 21,321--=+-=x y x y 和x y 21-=的位置关系是 ， （2）直线y=—0.5x+2可以看作是直线y=—0.5x 向 平移 个单位得到的；直线y=—0.5x —2可以看作是直线y=—0.5x 向 平移 个单位得到的。 (3)将直线y ＝2x 向下平移5个单位，得到直线 。 (4)M 在直线y=x —1上，则M 点的坐标可以是（ ） A(—1,0) B （0,1） C(1,0) D （1，—1） 2、用两点法画一次函数图像 【实践】：用两点法在同一坐标系中画出函数y=2x －1与y=－0.5x+1的图象。 x y=2x －1 x y=－0.5x+1 123456-1-2-3-4-5-6y x o 123456-1-2-3-4-5-6 3、学习一次函数性质 【体验】：在同一直角坐标系中用两点法画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象。 x y=x+1 x y=-x+1 x y=2x+1 x y=-2x+1 【练习】做一做，画出函数y =-2x +2的图象，结合图象回答下列问题。 函数y =-2x +2的图象中： （1）随着x 的增大，y 将 （填“增大”或“减小”） （2）它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”） （3）图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 （4）当x 取何值时,y =0? （5）当x 取何值时,y ＞0? x y =-2x +2 2、函数y =3x －6的图象中： （1）随着x 的增大，y 将 （填“增大”或“减小”） （2）它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”） （3）图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 123456-1-2 -3-4-5-6y x o 1234 56-1-2 -3-4-5-6123456-1-2-3-4-5-6y x o 12 3 456-1-2-3-4-5 -6三角函数的定义导学案
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2020春北师版八年级数学下册 第17章 【学案】一次函数的性质
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