4-第二篇 第2章 遗传算法的基本实现技术

第 2 章 遗传算法的基本实现技术
在第一章中，以实例简述的形式提供了遗传算法的一个基本框架。基于对自然界中生物遗传和进化机 理的模仿，许多学者针对不同的问题，设计了不同的编码方法和不同的遗传算子来模仿不同环境下生物的 遗传特性。这样，由不同的编码方法和不同的遗传算子就构成了各种特点的遗传算法，下面我们根据遗传 算法的基本构成要素来阐述其基本的实现技术。
2.1 编码方法
遗传算法的特点之一是不对求解问题的决策变量直接进行操作，而是通过对个体编码，并进行交叉与 变异的进化运算过程，不断搜索出适应度较高的新个体，最终寻求出问题的最优解或近似最优解。由于遗 传算法不能直接处理问题空间或解空间的参数，必须把它们转换成表达空间或搜索空间的染色体，这一转 换操作称为编码。
2.1.1 编码原则 应用遗传算法计算时，遇到的首要问题就是编码，可以说它是整个计算的一个关键步骤。编码方法除
决定了个体的染色体排列形式，还决定了个体从搜索空间的基因型变换到解空间的表现型时的解码方法。 编码方法也影响到交叉算子、变异算子等遗传算子的运算方法。由此可见，编码方法在很大程度上决定了 如何进行群体的遗传进化运算以及遗传进化运算的效率。一个好的编码方法，有可能使遗传运算和操作过 程简单地执行；一个差的编码方法，一方面影响运算精度和储存量，另一方面可能使交叉及变异等运算难 以实现。如果编码方法和交叉处理不当，在遗传算法中因交叉而生成的个体有可能成为无用解或无效解。
另外，编码和交叉的策略是互相依存的，恰当地设计编码和交叉的策略与方法，对充分发挥遗传算法 的效能是十分重要的，在设计编码策略时，常考虑以下三个问题：
1. 完备性：对问题空间的任何一个点有搜索空间的一个点与之对应。即问题空间的所有可能解都能 表示为所设计的基因编码形式。
2. 健全性：对于表达空间中的任何一个点都有问题空间中的一个点与之对应。即任何一个基因编码 都对应于一个可能解；
3. 非冗余性：问题空间和表达空间一一对应。 上述三点表明，编码策略必须保证从问题空间到表达空间有一对一的映射关系。 应该注意的是，对于很多问题，很难设计出同时满足上述 3 个性质的编码方案，不管怎样，完备性是 必须满足的性质，在有些情况下，虽然产生无效解并不完全都是有害的，在大部分情况下是影响运算效率 的。 上述三个编码评估规范虽然带有普遍意义，但缺乏具体的指导思想，特别是满足这些规范的编码不一 定能有效地提高遗传算法的搜索效率。 De Jong 提出了较为客观明确的编码评估准则，他称之为编码原则，又称之为编码规则： 1. 有意义基因块编码规则：应使用能易于产生与所求问题相关的低阶、短定义长度模式的编码方案。 在此原则中，模式是指具有某些基因相似性的个体集合，而具有低阶、短定义长度且适应度较高的模 式称为构造优良个体的基因块。该编码原则理解为应使用易于生成适应度较高的个体编码方案。 2. 最小字符集编码原则：所设计的编码方案应采用最小字符集以使问题得到自然的表示或描述。 在此原则中说明常常使用二进制编码方法的原因，因为它满足这条编码原则的要求。根据理论分析表 明，与其他编码字符集相比，二进制编码方案能包含最大的模式数，它可使得遗传算法在确定的规模群体 中能够处理最多的模式。 上述 De Jong 编码原则，仅仅是为编码设计提出了一定的准则，它并不适合于所有的问题，在处理实 际应用问题时，必须对编码方法、交叉运算方法、变异运算方法、解码方法等统筹考虑。以便对问题求解 简便，寻求遗传运算效率最高的编码方法。

2.1.2 二进制编码方法 二进制编码是将问题空间的变量映射成由 0，1 组成的表达空间的编码串，此操作称为二进制编码。
解码是将表达空间的二进制编码串还原成其问题空间的变量。 由于很多数值与非数值优化问题都可用二进制编码来表示，且二进制编码的表达模式最多，所以二进
制编码方法是遗传算法中最常用的一种编码方法，它具有如下优点： 1. 编码、解码操作简单易行； 2. 交叉、变异等遗传操作便于实现； 3. 符合 De Jong 的最小字符集编码原则； 4. 便于用模式定理进行分析，因为模式定理就是以二进制为基础的。
1） 编码
二进制编码符号串的长度(位数) l 与问题所要求的求解精度 δ 有关。假设某一十进制参数的取值范围
是[Umin ,Umax ]，且用长度为 l 的二进制编码串来表示该参数，它总共能够产生 2l 种不同的编码，则二进
制编码与十进制参数之间的对应关系如下：
二进制数
十进制数
00000L00000 = 0 → Umin 00000L00001 = 1 → Umin + δ
M MM M
M
11111L11111 = 2l ?1 → Umax
上述关系可用图 2-1 示意：
0
U U min min + δ
…… U max
十进制数轴 (共2l个数, 2l –1个间隔)
012
……
2l ?1
图 2-1 十进制数的对应关系
十进制数轴 (共2l个数, 2l –1个间隔)
则二进制编码的编码精度 δ 为：
δ = Umax ?Umin 2l ?1
（2-1）
例如，Umin=1.5, Umax=4.5,用长度(位数) l =2 的二进制表示，则编码精度 δ =1；若用长度(位数) l =4
的二进制表示，则编码精度 δ =0.2。
但在实际应用中，往往是根据问题对精度的要求先给出编码精度，然后求出需多少长度的二进制数方
能表示。由（2-1）式，二进制数长度 l 应能满足（2-2）式：
2l ≥ (U max ?U min ) / δ +1
（2-2）
令 M = (U max ?U min ) /δ +1 ，意义是从 Umin 到 Umax 在编码精度为 δ 时总共要表示的数值个数。 例如，Umin=1, Umax=5，求 l 。

① 若是整型变量，则编码精度 δ =1，由 2l ≥ (U max ?U min ) / δ +1 = 5 有 l =3。即表示的数值个数 M=5，
要用 3 位长的二进制串才能表示。但注意到 2l = 23 = 8 ，即 3 位长的二进制串总共可表示 8 个数，而实际
只有 5 个数需要表示，这就出现了 3 个多余码，换言之，有 3 个二进制串将多余出来。
②若是连续变量，编码精度 δ =0.2，由 2l ≥ (U max ?U min ) / δ +1 = 21 有 l =5。即 M=21，要用 5 位长
的二进制串才能表示。但 25 = 32 ，而实际只有 21 个数需要表示，这就出现了 11 个多余码。
但无论是整型变量还是连续变量，一旦出现多余码，在后面用解码公式解码时将会出现错误，即无法 实现既要保证给定的编码精度，又要满足十进制中的 Umin 和 Umax 分别要对应二进制数中的 00…00 和 11…11 两个条件。
解决的方法有两个：
① 调整编码精度。上例中的连续变量问题，先由 δ =0.2 根据式（2-2）求出 l =5，然后由式（2-1）重 新确定δ = 0.129 。
这种方法对连续变量是可行的，因为精度调高将会使解更加精确，只是搜索效率会随之降低。但对整 型变量，编码精度只能是 1，因而只能采取下列方法。
② 调整对应关系。上例中的整型变量问题，由 δ =1， l =3，根据式（2-1）求出 Umax=8，换言之， 只有将上界调到 8，方能保证 δ =1、用 l =3 的二进制表示时无多余码。但这样处理往往使获得的解超出了
原问题确定的可行区间，因而实际上该法并不一定可行。
若要既保证 δ =1， l =3，又要保证上下界不变，只有人为地把问题空间的变量可选择数增加到
2l = 23 = 8 个，或者说将 3 个表达空间的多余码在问题空间内找 3 个可选择的数与之对应，这样处理意味
着有些点可重复选择，表 2-1 是一种对应关系。
表 2-1 消除多余码的一种对应关系
原对应关系
各点代号
Umin Umin+δ Umin+2δ
问题空间可选点 x
1
2
3
表达空间对应串
000
001
010
Umin+3δ 4 011
Umax 5
100
新增对应关系
Umin Umin+δ Umax
1
2
5
101
110
111
2） 解码
假设某一个体编码的二进制串是 X : blbl?1bl?2 Lb2b1 ，对应问题空间的上下界限为 Umax 及 Umin，则对
应的解码公式为：
∑ x
=
U min
+
(
n i=1
bi
2i?1
)
U
max
2
l
?U ?1
min
（2-2）
式(2-2)在无多余码的情况下，对连续及整型变量都是适用的。对注意到式(2-2)中的
U
max
2
l
?U ?1
min
实际
就是式(2-1)的编码精度,故式(2-2)可写成：
n
∑ x = U min + ( bi 2i?1)δ i=1
（2-3）
虽然式(2-2) 和式(2-3)实质上是一样的，但应用中确有区别。在整型变量存在多余码的情况下，就必

须使用式(2-3)进行解码以获得 x，这时δ = 1。当解码后如 x > U max ，就要用到表 2-1 中“新增对应关系”
栏中的给定对应关系获得 x。在 Matlab 程序中采用分支语句（switch 语句，根据不同的情况执行不同的语 句）可实现多余码及离散变量的解码问题。
n
∑ 注释：解码公式推导。若一个二进制数为 X : blbl?1bl?2 Lb2b1 ，则对应的十进制数为： bi 2i?1 。由 i =1
于二进制数的 00…00 对应十进制数的 Umin，11…11 对应 Umax，因此 X 对应的 x 就可通过插值求出，见 图 2-2。
图 2-2 解码公式推导图
[例 2.1] 有一整型变量的上下界为[0，31]，根据（2-2）式求出二进制数长度 l =5，即可用 5 位长的 二进制编码来表示该变量，整型变量的编码精度 δ = 1 。若有一编码串为 X : 01101 ，按式（2-2）可求出 其对应的十进制参数值为 x = 13 δ = 1 。
虽然二进制编码有上述的优点，但在求解连续优化问题时，它有以下缺点： 1. 相邻整数的二进制编码可能具有较大的汉明（Hamming）距离。例如 7 与 8 对应的二进制表示分 别为 0111 和 1000。因此，遗传算法要将 7 改到 8 时就必须改变二进制串的所有位值，这将降低遗传算子 的搜索效率。二进制编码的这一缺点被称为汉明悬崖（Hamming cliff）。 注释：汉明距离定义为两个码的对应码元不相同的个数，记为 D（X，Y） 如：X=01001，Y=10101，则 D（X，Y）=3 设有两个相邻整数 X=15（01111），Y=16（10000），则 D（X，Y）=5 这意味着，如果要利用遗传算法将目前的数值 15 变成 16 的话，必须改变所有的位数。 2. 二进制编码时，一般要先给出编码精度以确定编码串长。而一旦精度确定后，就很难在算法执行 过程中调整。这样使算法缺乏微调的功能。若一开始就选取较高的精度，那么编码串就很长，从而降低了 算法的效率。 3. 在求解高维优化问题时，二进制编码串非常长，也使得算法的搜索效率很低。
2.1.3 格雷码（Gray）编码方法。 格雷码可以克服二进制编码在诸如结构特征、一些连续函数优化问题中局部搜索能力差等缺陷。表 2-2
是 0～15 的十进制数对应的二进制和格雷编码。注意到两个相邻整数的格雷码值仅仅有一个码位数不相同。
表 2-2 二进制码与格雷码
十进制数
二进制数
0
0000
1
0001
格雷码 0000 0001
十进制数 8 9
二进制数 1000 1001
格雷码 1100 1101

2
0010
0011
10
1010
1111
3
0011
0010
11
1011
1110
4
0100
0110
12
1100
1010
5
0101
0111
13
1101
1011
6
0110
0101
14
1110
1001
7
0111
0100
15
1111
1000
格雷编码实际上就是一种改进的二进制编码，是通过一个变换而得到的编码，目的就是克服二进制编 码中的汉明悬崖。
设二进制编码串为 B = bmbm?1 Lb2b1 ，其对应的格雷编码串为 G = gm gm?1 L g2 g1 。
将二进制转换为格雷码的公式为：
gm = bm
gi = bi+1 ⊕ bi
i = m ?1, m ? 2,L2,1
（2-4）
式中符号 ⊕ 表示模二加法，其运算规则为：0 ⊕ 0=0，0 ⊕ 1=1，1 ⊕ 0=1，1 ⊕ 1=0。
格雷码转换为二进制编码的公式为：
bm = gm bi = bi+1 ⊕ gi
i = m ?1, m ? 2,L2,1
（2-5）
[例 2.2] 区间[0，31]中的 x = 19 、 x = 20 ，将其二进制码转换为格雷码。 x = 19 ，二进制码为 10011，由式（3-3）格雷码为 11010； x = 20 ，二进制码为 10100，由式（3-3）格雷码为 11110；
观察上面结果可以发现，对于二进制编码，当问题空间的两个数很接近时，表达空间的两个数的汉明 距离却很大，在遗传算法中通过只有一个基因座变化的变异操作是很难从一点变到相邻点的，这表明即使 已搜索到最优解附近，要想达到这个最优解也要花费一番功夫。
而格雷码的编码在问题空间的两个数很接近时，表达空间的两个数的汉明距离却很小，仅有一位差异， 通过变异操作很容易从一点变到相邻点，这样就相当于增强了遗传算法的局部搜索能力，因而格雷编码往 往容易获得更好的最优点。