(完整版)初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含标准答案解析)
a 2 a a
b
3．下列计算错误的是（
）
A ． 4．估计
B ． C
的运算结果应在（
初二二次根式所有知识点总结和常考题
知识点：
1、二次根式： 形如
a (a ≥ 0) 的式子。①二次根式必须满足：含有 二次根号“ ”；被开方数 a 必须是非负数。②非负性
2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：
（1） 如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2） 如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、二次根式有关公式
（1） ( a )2
= a (a ≥ 0) （2） = a （3） 乘法公式 = ? b (a ≥ 0, b ≥ 0)
（4） 除法公式
= (a ≥ 0, b 0) 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被 开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的 先算括号里的。
常考题：
一．选择题（共 14 小题）
1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 式子
有意义的 x 的取值范围是（
）
A. x ≥﹣且 x ≠1
B ．x ≠1
C ．
D ．
． D ．
）
A.6 到 7 之间 B ．7 到 8 之间 C ．8 到 9 之间 D ．9 到 10 之间
ab a b
5．如果 =1﹣2a ，则（ ）
A ．a ＜
B ．a ≤
C ．a ＞
D ．a ≥ 6．若 =（x +y ）2，则 x ﹣y 的值为（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．2
D ．3
7． 是整数，则正整数 n 的最小值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 8. 化简 的结果是（ ） A ． B ． C ． D ． 9. k 、m 、n 为三整数，若 =k ， =15 ，=6 ，则下列有关
于 k 、m 、n 的大小关系，何者正确？（ ）
A ．k ＜m=n
B ．m=n ＜k
C ．m ＜n ＜k
D ．m ＜k ＜n
10. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，则
化简后为（
）
A.7 B ．﹣7 C ．2a ﹣15 D ． 无 法 确 定
11．把
根号外的因式移入根号内得（
）
A ．
B ．
C ．
D ． 12. 已知 是正整数，则实数 n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3
13. 若式子
有意义，则点 P （a ，b ）在（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ． 第 四 象 限 14．已知 m=1+ ，n=1﹣ ，则代数式的值为（
）
A ．9
B ．±3
C ．3
D ．5
二．填空题（共 13 小题）
15. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，则|a ﹣1|+
=．
16. 计算：
的结果是．
17. 化简：
（ ）﹣
﹣| ﹣3|=． 18. 如果最简二次根式
与
是同类二次根式，则 a=．
﹣
﹣
﹣
19．定义运算“@”的运算法则为：x@y= ，则（2@6）@8=．
20．化简
× ﹣4× ×（1﹣ ）0 的结果是．
21．计算：
=．
22. 三角形的三边长分别为
，
，
，则这个三角形的周长为
cm ．
23. 如果最简二次根式与能合并，那么 a=．
24. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2 和 6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果保留根号）
25. 实数 p 在数轴上的位置如图所示，化简
=．
26．计算： =．
27. 已知 a 、b 为有理数，m 、n 分别表示
的整数部分和小数部分，且
amn +bn 2=1，则 2a +b=．
三．解答题（共 13 小题）
28. 阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ，一样的式
子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
==
（二）
=
=
=
﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
=
=
=
=
﹣1（四）
（1） 请用不同的方法化简
．
（2）?参照（三）式得=；
?参照（四）式得=．
（3）化简：+++…+ ．
29．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+ ．
30．先化简，再求值：，其中．
31．先化简，再求值：，其中x=1+ ，y=1﹣．
32.先化简，再求值：，其中．
33.已知a=，求的值．
34.对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．
甲的解答：+= += + ﹣a= ﹣a= ；
乙的解答：+= += +a﹣=a= ．
请你判断谁的答案是错误的，为什么？
35.一个三角形的三边长分别为、、
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
36.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：
…①（其中a、b、c 为三角形的三边长，s 为
面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s= …②（其中p=．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计
算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
37.已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．
38.计算或化简：
（1）；
（2）（a＞0，b＞0）．
39.先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+ =m，=，那么便有：
== ± （a＞
b）．例如：化简．
解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12
即+ =7，×=
∴===2+ ．
由上述例题的方法化简：．
40.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+ =（1+ ）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b =（m+n ）2（其中a、b、m、n 均为整数），则有
a+b=m2+2n2+2mn ．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式
的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n 均为正整数时，若a+b= ，用含m、n 的式子
分别表示a、b，得：a=，b=；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n 填空：+=（+ ）2；（3）若a+4= ，且a、m、n 均为正整数，求a 的值？
初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题
练习(含答案解读)
参考答案与试卷解读
一．选择题（共 14 小题） 1．（2005?岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】B 、D 选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C 选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式． 【解答】解：因为：B 、=4 ； ；
；
所以这三项都不是最简二次根式．故选 A ． 【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意： （1） 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2） 在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于 2，也不是最简二次根式．
2．（2013?娄底）式子有意义的 x 的取值范围是（
）
A ．x ≥﹣ 且 x ≠1
B ．x ≠1
C ．
D ．
【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，2x +1≥0 且 x ﹣1≠0， 解得 x ≥﹣且 x ≠1．
故选 A ．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．
3．（2007?荆州）下列计算错误的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断． 【解答】解：A 、 ==7 ，正确； B 、 = =2 ，正确； C 、 + =3 +5 =8 ，正确； D 、 ，故错误．故选 D ．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
C 、 =
D 、 =2
4．（2008?芜湖）估计的运算结果应在（）
A.6到7 之间B．7 到8 之间C．8 到9 之间D．9 到10 之间
【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【解答】解：∵=4+ ，而4＜＜5，
∴原式运算的结果在8 到9 之间；
故选C．
【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
5．（2011?烟台）如果=1﹣2a，则（）
A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥
【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出 a 的取值范围即可．
【解答】解：∵，
∴1﹣2a≥0，
解得a≤
．故选：
B．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．
6．（2009?荆门）若=（x+y）2，则x﹣y 的值为（）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y 的值，再代入代数式即可．
【解答】解：∵=（x+y）2有意义，
∴x﹣1≥0 且1﹣x≥0，
∴x=1，y=﹣1，
∴x﹣y=1﹣（﹣1）
=2．故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：
概念：式子（a≥0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
7．（2012 秋?麻城市校级期末）是整数，则正整数n 的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】本题可将24 拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6 得出62即可得出整数，由此可得出n 的值．
【解答】解：∵==2 ，
∴当n=6 时，=6，
∴原式=2 =12，
∴n 的最小值为
6．故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．
8．（2013?佛山）化简的结果是（）
A．B．C．D．
【分析】分子、分母同时乘以（ +1）即可．
【解答】解：原式= = =2+ ．
故选：D．
【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
9．（2013?台湾）k、m、n 为三整数，若
=k ，=15 ，=6 ，则下列有关于k、m、n 的大小关系，何者正确？（）
A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n
【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m 及n 的值，即可作出判断．
【解答】解：=3 ，=15 ，=6 ，
可得：k=3，m=2，n=5，
则m＜k＜
n．故选：D
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
10．（2011?菏泽）实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）
A.7B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【分析】先从实数 a 在数轴上的位置，得出 a 的取值范围，然后求出（a﹣4）和
（a﹣11）的取值范围，再开方化简．
【解答】解：从实数 a 在数轴上的位置可得，
5＜a＜10，
所以a﹣4＞0，
a﹣11＜0，
则，
=a﹣4+11﹣a，
=7．
故选A．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．
11．（2013 秋?五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．
【解答】解：∵成立，
∴﹣＞0，即m＜0，
原式=﹣=﹣
．
故选：D．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．
12．（2009?绵阳）已知是正整数，则实数n 的最大值为（）
A．12 B．11 C．8 D．3
【分析】如果实数n 取最大值，那么12﹣n 有最小值；又知是正整数，而
最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．
【解答】解：当等于最小的正整数1 时，n 取最大值，则n=11．故选B．
【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1 时，n 取最大值．
13．（2005?辽宁）若式子有意义，则点P（a，b）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b 的取值范围
进行判断．
【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴点（a，b）在第三象
限．故选C．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号．
14．（2013?上城区一模）已知m=1+ ，n=1﹣，则代数式的值为
（）
A．9 B．±3 C．3 D．5
【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．
【解答】解：m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，
原式====3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．
二．填空题（共13 小题）
15．（2004?山西）实数a 在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= 1 ．
【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1 与
0，a﹣2 与0 的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．
【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
∴|a﹣1|+ =a﹣1+2﹣
a=1．故答案为：1．
【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．
二次根式的化简规律总结：当a≥0 时，=a；当a≤0 时，=﹣a．
﹣
16．（2013?南京）计算： 的结果是 ．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式=
=
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
17．（2013?泰安）化简：
（ ）﹣
﹣|
﹣3|= ﹣6 ．
【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可． 【解答】解：
（
=﹣3﹣2﹣（3﹣
），
=﹣6．
故答案为：﹣6．
）﹣﹣| ﹣3|
【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解
题关键．
18．（2006?广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 a= 5 ．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴3a ﹣8=17﹣2a ，解得：a=5．
【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．
19．（2007?芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= 6 ．
【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算． 【解答】解：∵x@y= ， ∴（2@6）@8= @8=4@8= =6， 故答案为：6．
【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律， 再计算．
20．（2014?荆州）化简
×
﹣4×
×（1﹣ ）0 的结果是 ．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零
﹣ ﹣
【解答】解：
= 指数幂的意义计算得到原式=2
，然后合并即可．
【解答】解：原式=2 ×﹣4× ×1
=2
=．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式， 再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
21．（2014?广元）计算： = ﹣2 ．
【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解． =﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．
22．（2013?宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为 5 cm ．
【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为+
+
，化简合并同类二次根式．
【解答】解：这个三角形的周长为
+
+
=2
+2
+3
=5
+2
（cm ）．
故答案为：5+2（cm ）．
【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．
23．（2012 秋?浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么 a= 1 ．
【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【解答】解：根据题意得，1+a=4a ﹣2， 移项合并，得 3a=3， 系数化为 1，得 a=1． 故答案为：1．
﹣ ﹣
﹣ ﹣
【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
24．（2006?宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2 和6，那么矩形内阴影部分的面积是 2﹣2 ．（结果保留根号）
【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+ ）? =2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．
【解答】解：矩形内阴影部分的面积是
（+）?﹣2﹣6=2 +6﹣2﹣6=2 ﹣2．
【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．
25．（2003?河南）实数p 在数轴上的位置如图所示，化简=
1 ．
【分析】根据数轴确定p 的取值范围，再利用二次根式的性质化简．
【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，
∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，
∴=p﹣1+2﹣p=1．
【点评】此题从数轴读取p 的取值范围是关键．
26．（2009?泸州）计算：= 2 ．
【分析】运用二次根式的性质：=|a|，由于2＞，故=2﹣．
【解答】解：原式=2﹣+=2．
【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
27．（2011?凉山州）已知a、b 为有理数，m、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．
【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用
﹣a 表示．再分别代入amn+bn2=1 进行计算．
【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1 得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1
化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，
等式两边相对照，因为结果不含，
所以6a+16b=1 且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．
所以2a+b=3﹣
0.5=2.5．故答案为：
2.5．
【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
三．解答题（共13 小题）
28．（2009?邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）
=== ﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
==== ﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
（2）?参照（三）式得=；
?参照（四）式得=．
（3）化简：+++…+ ．
【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；
（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．
【解答】解：（1）=，=；
（2）原式=
+…+
= + +…+
=．
【点评】学会分母有理化的两种方法．
29．（2014?张家界）计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+ ．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2 ，然后合并即可．
【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2
=﹣7+3 ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．
30．（2009?广州）先化简，再求值：，其中．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．
【解答】解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，
当a=时，
原式=6+3﹣3=6 ．
【点评】本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．
31．（2005?沈阳）先化简，再求值：，其中
x=1+ ，y=1﹣．
【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
【解答】解：原式=
=
=；
当x=1+，y=1﹣时，
原式=．
【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
32．（2010?莱芜）先化简，再求值：，其中．
【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x 的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2 看作一个整体．
【解答】解：原式=
=
=
=﹣（x+4），
当时，
原式= = = ．
【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
33．（2008?余姚市校级自主招生）已知a=，求的
值．
【分析】先化简，再代入求值即可．
【解答】解：∵a=，
∴a=2﹣＜1，
﹣
∴原式=
=a﹣1﹣
=a﹣1+
=2﹣﹣1+2+
=4﹣1
=3．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．
34．（2002?辽宁）对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙
两人的解答不同．
甲的解答：+= += + ﹣a= ﹣a= ；
乙的解答：+= += +a﹣=a= ．
请你判断谁的答案是错误的，为什么？
【分析】因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4 ＜0，所以≠a﹣，故错误的是
乙．
【解答】解：甲的解答：a= 时，﹣a=5﹣=4 ＞0，所以= ﹣a ，正确；
乙的解答：因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4 ＜0，所以≠a﹣，错误；
因此，我们可以判断乙的解答是错误的．
【点评】应熟练掌握二次根式的性质：=﹣a（a≤0）．
35．（2011?上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【解答】解：（1）周长= ++
=
=，
（2）当x=20 时，周长=，
（或当x=时，周长=等）
【点评】对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．36．（2005?台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：
…①（其中a、b、c 为三角形的三边长，s 为
面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s= …②（其中p=．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
【分析】（1）代入计算即可；
（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公
式，再进行计算．
【解答】解：（1）s= ，
= ；
p= （5+7+8）=10，
又s=；
（2）=（﹣
）
=，
=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），
=（2p﹣2a）（2p﹣2b）?2p?（2p﹣2c），
=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），
∴= ．
（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）
【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．
37．（2009 秋?金口河区期末）已知：，，求代数
式x2﹣xy+y2值．
【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y 的差与积的形式，从而简便计算．
【解答】解：∵，，
∴xy= ×2= ，x﹣y=
∴原式=（x﹣y）2+xy=5+ = ．
【点评】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算．
38．（2010 秋?灌云县校级期末）计算或化简：
（1）；
（2）（a＞0，b＞0）．
【分析】（1）先化简，再运用分配律计算；
（2）先化简，再根据乘除法的法则计算．
【解答】解：（1）原式=
=6﹣12 ﹣6
=6﹣18 ；
（2）原式=﹣×
=﹣3a2b2×
=﹣a2b ．
【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
39．（2013 秋?故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+ =m，=，那么便有：
== ± （a＞
b）．例如：化简．
解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12 即+ =7，×=
∴===2+ ．
由上述例题的方法化简：．
【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．
【解答】解：根据，可得m=13，n=42，
∵6+7=13，6×7=42，
∴== ．
【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．
40．（2013?黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+ =（1+ ）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b =（m+n ）2（其中a、b、m、n 均为整数），则有
a+b =m2+2n2+2mn ．
二次根式知识点总结大全
二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）；（2） ==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． a （a ＞0） a -（a ＜
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． a ≥0， b ≥0 =b ≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、 概念与性质 例1、下列各式 1 -， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x --+315；（2）22)-(x 例3、在根式 1) ， 最简二次根式是（）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)
例4、已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、已知数a ，b ，若2 ()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a二次根式经典难题含答案
二次根式经典难题 1. 当__________时，212x x ++-有意义。 2. 若1 1m m -++有意义，则m 的取值范围是 。 3. 当__________x 时，()21x -是二次根式。 4. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=。 5. 若242x x =，则x 的取值范围是 。 6. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。 7. 化简：()2211x x x -+的结果是 。 8. 当15x ≤时，()215_____________x x -+-=。 9. 把1 a a -的根号外的因式移到根号内等于 。 10. 使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 。 11. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=。 12. 在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 15. 若23a ，则()()2223a a ---等于（ ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若()424A a =+，则A =（ ） A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a + 18. 能使等式22x x x x =--成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. 计算：()()222112a a -+-的值是（ ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时， a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2 ≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方 根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ，b a + 与 b a - ，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>
二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例：1.已知：0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。 3、运用数形结合，进行二次根式化简 例：.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 初二数学二次根式知识点归纳 1.二次根式定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式. 2.二次根式的性质： ①≥0(a≥0) 这是因为(a≥0)表示a的算术平方根，根据算术平方根的意义，当a>0时，>0，当a=0时，= 0 . ∴≥0.利用这一性质，可以解决下面问题：若 ， 则x=－2，y=2； ②()2= a (a≥0)，在探究这一性质时，教科书所采用的方法是不完全归纳法，而根据算术平方根的意义有：如果x2=a(x≥0)，则x=，所以代入上式得()2=a． ③= a (a≥0) ，根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是：因为当a≥0时，a2的算术平方根是a, 所以. 3.代数式：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子，叫代数式. 4.利用二次根式性质化简：利用=a(a≥0)化简某些代数式时，一般应将被开方数化为完全平方式，如化简(x>－1)=. 典例讲解 例1、填空题： （1）式子中x的取值范围是______________. （2）当x满足条件______________时，式子有意义. （3）当x=______________时，有最小值，最小值是______________. （4）如果是正整数，那么x能取的最小自然数是______________. 答案： （1）x>－2 （2）x≥0且x≠1 （3）－25；9 （4）6 例2、选择题： （1）化简的值为（） A. 4 B.－4 C.±4 D. 16 （2）下列各组数中，互为相反数的是（） A. －2与 B. C.－2和 D. 2和 （3）若x≥0，那么等于（） A. x B.－x C.－2x D. 2x （4）当a≥1，则=（） A.2a－1 B. 1－2a C.－1 D. 1 （5）在实数范围内分解因式：x2－3=（） A. (x＋3)(x－3) B. (x＋)(x－) 《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( ) A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4 二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注： 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根 式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注： 因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注： 二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本 身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实 数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． 二次根式 1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如 3、 分母≠0 4、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0） 一、 二次根式的概念 一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数 为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如2 5 可以写作 5 。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。其中a ≥0是 a 有意 义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。 （5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分 数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 2 3 2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ； （4）3 -8 ； （5）x 2 +2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 1 2 ） 二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？ （1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1 二、二次根式的性质： 练习：计算（1）（3 5 ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）- （- 18 ）2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系： 人教版初中数学二次根式知识点复习 一、选择题 1．a 的取值范围为() A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不存在 【答案】C 【解析】 试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． ~ 所以a=0．故选C ． 2． ） A ．±3 B ．-3 C ．3 D ．9 【答案】C 【解析】 【分析】 进行计算即可． — 【详解】 ， 故选：C. 【点睛】 此题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键. 3．若代数式1y x = -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．0x ≥且1x ≠ C ．0x > D ．0x >且1x ≠ ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围． 【详解】 根据题意得：010x x ≥??-≠? ， 解得：x≥0且x≠1． 故选：B ． 【点睛】 | 此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 4． = ） A ．0x ≥ B ．6x ≥ C ．06x ≤≤ D ．x 为一切实数 【答案】B 【解析】 = ∴x≥0,x -6≥0, 》 ∴x 6≥. 故选B. 5．下列运算正确的是（ ） A ． B ）2 =2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 ` 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可. 【详解】 根据二次根式的加减，可知 A 选项错误； 根据二次根式的性质2=a （a≥02=2，所以B 选项正确； (0)=0(=0)(0)a a a a a a ??=??-? ＞＜﹣11|=11，所以C 选项错误； D D 选项错误． 故选B ． 【点睛】 、 此题主要考查了的二次根式的性质2=a （a≥ 0(0)=0(=0)(0)a a a a a a ??=??-? ＞＜，正确利用 性质和运算法则计算是解题关键. （易错题精选）初中数学二次根式难题汇编及答案解析 一、选择题 1．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2a a b -+的结果为（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】C 【解析】 试题分析：利用数轴得出a+b 的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可： ∵由数轴可知，b ＞0＞a ，且 |a|＞|b|， ()2a a b a a b b +=-++=. 故选C ． 考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴． 2．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， ∴a ≥2007， ∴20062007a a a --=可化为a 2006a 2007a -+-=， 20072006a -=， ∴a-2007=20062， ∴22006a -=2007． 故选C ． 【点睛】 本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键． 3．下列计算中，正确的是( ) A ．35344= B 1a ab b b =(a ＞0，b ＞0) C ．5539335777?= D ．()()22483248324832670÷? +-= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的乘法法则：a ?b ＝ab （a≥0，b≥0），二次根式的除法法则：a b ＝a b （a≥0，b ＞0）进行计算即可． 【详解】 A 、534 ＝532，故原题计算错误； B 、 a a b b ÷＝1a b ab ?＝1b （a ＞0，b ＞0），故原题计算正确； C 、559377?＝368577?＝6857 ，故原题计算错误； D 、()()22483248324832÷? +-＝32 ×165＝245，故原题计算错误； 故选：B ． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则． 4．下列式子为最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：选项A ，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A 符合题意； 选项B ，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B 不符合题意； 选项C ，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C 不符合题意； 选项D ，被开方数含分母， D 不符合题意， 故选A ． 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 2、21 x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________。 练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、 x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3） . （5）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （6）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2） 1 21 +-x （3）45++x x (6) . （7）若1)1(-= -x x x x ，则x 的取值范围是 （8）若1 31 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 2 9922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 二次根式知识点归纳及典型例题 1.二次根式定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式. 2.二次根式的性质： ①≥0(a≥0),这是因为(a≥0)表示a的算术平方根，根据算术平方根的意义， 当a>0时，>0，当a=0时，= 0 . ∴≥0.利用这一性质，可以解决下面问题：若，则x=－2，y=2. ②()2= a (a≥0)，在探究这一性质时，教科书所采用的方法是不完全归纳法，而 根据算术平方根的意义有：如果x2=a(x≥0)，则x=，所以代入上式得()2=a．③= a (a≥0) ，根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是：因为当a≥0 时，a2的算术平方根是a, 所以. 3.代数式：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子，叫代数式. 4.利用二次根式性质化简：利用=a(a≥0)化简某些代数式时，一般应将被开方数化为完全平方式，如化简(x>－1)=. 典例讲解 例1、填空题：（1）式子中x的取值范围是______________. （2）当x满足条件______________时，式子有意义. （3）当x=__________时，有最小值，最小值是_________. （4）如果是正整数，那么x能取的最小自然数是________. 答案：（1）x>－2 （2）x≥0且x≠1 （3）－25；9 （4）6 例2、选择题： （1）化简的值为（） A. 4 B.－4 C.±4 D. 16 （2）下列各组数中，互为相反数的是（） A. －2与 B. C.－2和 D. 2和 （3）若x≥0，那么等于（） A.x B.－x C.－2x D. 2x （4）当a≥1，则=（） A.2a－1 B. 1－2a C.－1 D. 1（5）在实数范围内分解因式：x2－3=（） A.(x＋3)(x－3) B.(x＋)(x－) C.(x＋)(x－) D.(x＋9)(x－9) 答案：（1）A （2）A （3）B （4）A （5）C 例3、用带有根号的式子表示： （1）已知一个正方体的表面积是S.求它的棱长. 解：设它的棱长为x，则所以,故它的棱长为． （2）一个圆的半径是10cm，是它面积2倍的正方形的边长为多少？ 二次根式经典难题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 二次根式经典难题 1. 当__________时，212x x ++-有意义。 2. 若11 m m -++有意义，则m 的取值范围是 。 3. 当__________x 时，()21x -是二次根式。 4. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=。 5. 若242x x =，则x 的取值范围是 。 6. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。 7. 化简：()2211x x x -+p 的结果是 。 8. 当15x ≤p 时，()215_____________x x -+-=。 9. 把1a a -的根号外的因式移到根号内等于 。 10. 使等式()()1111x x x x +-=-+g 成立的条件是 。 11. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则() 2005_____________a b -=。 12. 在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 15. 若23a p p ，则()()2223a a ---等于（ ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若()4 24A a =+，则A =（ ） A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a + 18. 能使等式2 2x x x x =--成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x f D. 2x ≥ 19. 计算： ()()222112a a -+-的值是（ ） 八年级初二数学二次根式知识点及练习题及解析 一、选择题 1．下列计算，正确的是（ ） A ．= B ．= C ．0= D ．10= 2． ） A B ． C ． D ． 3．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ） A ． 2 a b =+ B 22a b =+ C a b =+ D a b =+ 4．下列计算正确的是（ ） A = B = C 2 6 D 4= 5．下列计算正确的是（ ） A B C D 6．已知x 1x 2，则x?2＋x?2等于( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 7．m 能取的最小整数值是（ ） A ．m = 0 B ．m = 1 C ．m = 2 D ．m = 3 8．在函数y= 3 x -中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2且x≠3 B ．x≤2且x≠3 C ．x≠3 D ．x≤－2 9．下列式子一定是二次根式的是 ( ) A B C D 10．若a ，b ＝，则a b 的值为（ ） A ．1 2 B ．1 4 C ．3 21 + D 11．下列各式计算正确的是（ ） A ． 2 3= B 5=± C =D ．3= 12．下列运算正确的是（ ） A = B 2= C = D 9= 二、填空题 13．已知 112a b +=，求535a ab b a ab b ++=-+_____． 14．甲容器中装有浓度为a ，乙容器中装有浓度为b ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________． 15．已知，n=1的值________． 16．已知x ，y 为实数，y =1 3 x -求5x +6y 的值________. 17．计算： 2008 2009 ?-=_________． 18．已知x ＝ 12，y ＝1 2 ，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 19．观察分析下列数据：0，，-3，的规律得到第10个数据应是__________． 20．下列各式： 是最简二次根式的是:_____（填序号） 三、解答题 21．计算： （1（2）)((2 22 +-+． 【答案】(1) 【分析】 （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】 （1 = = （2） )((2 22 +-+ =2 2 23 --+ =5-4-3+2 =0 二次根式 1 L 1 已知a 3，求.a ——的值。5级 a 石 当m 在可以取值范围内取不同的值时，代数式 ■, 27 _ 4m ? 2m 2 的最小值是 ___________ 5级 如实数a,b,c 满足a = 2b ….'2， ab = 0且ab ' 3 c 2 1 = 0，则竺= 5级 2 4 a 已知A = 4 心a 2是a 2的算术平方根， B / 是2-b 的立方根，5级 求A B 的n 次方根。 已知x ? y 「72，且0 ：：： x ：：： y ，那么满足题给式的整数对 x, y 有 ___________ 组。5级 已知11 -x ? 16 - x = 7，求?.11 - x -」6 -x 的值。5 级 若 x ■ y = 3 5 - 2 ， x - y = , 3弋J2 - , 5，求 xy 。5 级 已知 Xj = 4 - ,10 2 5，x 2 = 4 i 10 ■ 2 5，求 x 1 x 2 的值。5 级 若 m 适合关系式 3x 5y - 2 - m ? 2x 3y - m = x -199 y ? 199 一 x - y ， 求m 的值。5级 t 2u - v ■ v - 2u 3 2 2 若u, v 满足v ，那么U - U ? V ■ V = _______5级 \'4u+3v Y4u+3v 2 已知最简二次根式a ? b - 2和.2a - b 能够合并，贝U a-b= _______ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 1 1 + —+2=5，所以恋 a + = J5 a ■ a a, b, c 满足 a = 2b ： 2，且 ab 3 2 解：由已知得: 2b 2b 討1 因为ab = 0，所以c = 0， 难度 5 知识点 二次根式答案 二次根式 编号1 1已知a 1 的值。 ■. a 难度 5 级 知识点 二次根式 编号 2 2当m 在可以取值范围内取不同的值时，代数式 27 - 4m - 2m 2 的最小值是 解：原式 =25 亠〔2 - 4m 2m 2 = . 25 2 1 因为2 1 2 2 -m) >0，所以当2(1 —m) =0时，即 m = 1时原式有最小值为?. 25 = 5。 难度 5 知识点 二次根式 编号 3 难度 5 级 知识点 二次根式 编号 4 4已知A =4a “la 2是a 2的算术平方根, B =3a 2 b . b 是 2~'b 的立方根, 求A B 的n 次方根。 解：丿 4—"2，解得: 3a 2b -9 =3 a _ 2，故 A= 4=2，B =3 -1--1，A B=1。 b = 3 当n 为奇数时，\ A B = 1 ；当n 为偶数时，二n A ? B 二1。 难度 5 级 知识点 二次根式 编号 5 解：因为 3如实数 c 2 」=0,则虫= 4 a —c 2 2 +1Y 川 + ——I + 2 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________. 人教版初二二次根式知识点总结大全 【知识回顾】 1、二次根式：式子（ 0）叫做二次根式。a 2、最简二次根式：必须同时满足下列条件： 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不含根式。 3、同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4、二次根式的性质： （1）（）2= （ 0）；（2）a a2 5、二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab = （a0，b0）； ba（b0，a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法 交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算（ 0）（ 0 ） 0 （ =0）； 【典型例题】 1、概念与性质例1 下列各式1） 2221,2)5,3,4)5(),6,7)13xa，其中是二次根式的是_________（填序号）例 2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）；（2）x x3152)-(x 例 3、在根式1) 22;)3;4)75abyabc，最简二次根式是（） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4) 例 4、已知： 。。 2,2181 xyyxxy 例 5、（xx 龙岩）已知数 a，b ，若2()b=b a，则 ( ) a 27 - 4m + 2m 2 x y 6 - x 6 - x 1. 已知 a + 1 a = 3 ，求 二次根式 + 1 的 值 。 2. 当 m 在可以取值范围内取不同的值时，代数式 的最小值是 3. 如实数 a , b , c 满足 a = 2b + ， ab ≠ 0 且 ab + 3 c 2 + 1 = 0 ，则 bc = 2 4 a 4. 已知 A = 4a -b -3 a + 2 是 a + 2 的算术平方根， B = 3a +2b -9 2 - b 是 2 - b 的立方根， 求 A + B 的 n 次方根。 5. 已 知 + = ， 且 0 < x < y ， 那 么 满 足 题 给 式 的 整 数 对 (x , y )有 组。 5. 已知 + = 7 ，求 - 的值。 6. 若 x + y = ， x - y = ，求 xy 。 a 2 72 11 - x 11 - x 3 5 - 2 3 2 - 5 2x + 3y - m x - 199 + y 199 - x - y v - 2u 4u + 3v a + b - 2 7. 已 知 x 1 = ， x 2 = ，求 x 1 + x 2 的值。 8. 若 m 适合关系式求 m 的值。 + = ? ， 9. 若u , v 满足v = + + 3 ，那么u 2 - u ? v + v 2 = 2 10. 已知最简二次根式 和 2a - b 能够合并，则 a-b= 4 - 10 + 2 5 4 + 10 + 2 5 3x + 5 y - 2 - m 2u - v 4u + 3v初二数学二次根式知识点归纳
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