中考数学几何旋转经典例题68778

旋转知识点归纳

知识点1:旋转的定义及其有关概念

在平面，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时针转动090得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的围是在平面旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质

由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质：

⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等.

例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则ADD '∠的度数是（ ）Ｄ

Ａ．25

Ｂ．30 Ｃ．35 Ｄ．45

知识点3:旋转作图

1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角.

2.理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.

'

图1

图2

3.掌握作图的步骤:(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角；（2）分析图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；（4）连接作出的各个关键点，并标上字母；（5）写出结论.

例2 如图3，小明将△ABC 绕O 点旋转得到△C B A '''，其中点C B A '''、、分别是A 、B 、C 的对应点.随即又将△ABC 的边AC 、BC 及旋转中心O 擦去(不留痕迹),他说他还能把旋转中心O 及△ABC 的位置找到,你认为可以吗?若可以,试确定旋转中心及的位置;如不可以,请说明理由.

解：连接A A '，B B ',分别作A A '，B B '的垂直平分线，相交于O 点，则O 点即为旋转中心.再作C '关于点的对应点,连接,则的位置就确定了.如图4所示.

评注:旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键.

考点4:钟表的旋转问题

钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动,其中时针12小时旋转一周,则每小时旋转

,3012

3600

0=这样时针每分钟旋转;5.00分针每小时旋转一周,则每分钟旋转.66036000=

例3 从1点到1点25分,分针转了多少度角?时针转了多少度角?1点25分时时针与分针的夹角是多少度?

A

图3

'

解读生活中的旋转

一.旋转及其基本性质

1.旋转的概念

在平面,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.

2.旋转的基本性质

(1)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;

(2)对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.

3.理解旋转中的不变量

图形旋转的主要因素是旋转的方向和旋转的角度,图形在旋转过程中,图形中的每一点都按同样的方向旋转了相同的角度.图形在旋转后点的位置改变,但线段的长度不变,对应点到旋转中心的距离不变,每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等.

总结:旋转过程中,每一个点都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.

二.旋转前后两个图形的比较

图形是由点组成的,图形中的主要元素有线段和角,也有一些其他可度量的元素,所以从这两个方面加以分析.旋转的特点有以下几个方面:

(1)旋转前后两个图形的形状和大小没有发生改变,位置发生了改变;

(2)对应线段相等，对应角相等;

(3)每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的，它们都是旋转角.

三.旋转作图

1.旋转作图的依据是:图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点到旋转中心的距离相等.

2.旋转作图的条件

(1)图形原来所在的位置;(2)旋转中心;(3)图形旋转的方向;(4)图形的旋转角度.

3.旋转作图的具体步骤为: (1) 分析题目的要求,找出旋转中心、旋转角； (2) 分析所作的图形，找出构造图形的关键点；

(3)

沿一定的方向，按一定的角度，通过攫取线段的方法，旋转各个关键点。

①连：即连图形中的每一个关键点与旋转中心； ②转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度；

③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；为了避免作图时的混乱，每个点独立完成后，再进行下一个点的旋转； (4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母； (5)写出结论（方格纸作图可以略写结论）. 四.旋转作图的考查形式

(1)已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形； (2)已知原图、旋转中心和一对对应线段，求作旋转后的图形； (3)已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形. 五.典例剖析

例1如图1，D 是等腰Rt ABC △一点，BC 是斜边，如果将ABD △绕点A 逆时针方向旋转到ACD '△的位置，则ADD '∠的度数是（ ）

Ａ．25

Ｂ．30

Ｃ．35

Ｄ．45

例2如图2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能．．

与其自身重合的是（ ） Ａ．72

Ｂ．108

Ｃ．144 Ｄ．216

例3在如图3的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．

D

图1

（1）画出ABC △向平移4个单位后的111A B C △； （2）画出ABC △绕点O 顺时针旋转90后的

222A B C △，并求点A 旋转到2A 所经过的路线长．

学好旋转的三个要点

旋转在实际生活中随处可见．因此，学好旋转的知识有利于我们解决实际问题，学习时应注意把握好以下几点：

一、正确理解旋转的概念

在平面，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫做旋转中心．旋转不改变图形的形状和大小． 理解这个概念应注意以下两点：

1．旋转和平移一样，是图形的一种基本变换； 2．图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．

例 如图1，ABC △是等腰直角三角形，90AB AC BAC ==?，∠，D 是BC 上一点，ACD △经过

旋转后到达

ABE △的位置．

（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？

（3）若P 是AC 的中点，那么经过上述旋转后，点P 旋转到了什么位置？ 解：（1）点A 是旋转中心； （2）顺时针旋转了90?； （3）点P 旋转到了AB 的中点． 二、掌握旋转的特征

图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等；旋转前后图形的大小、形状都不发生变化． 例2 如图2所示，是国际奥林匹克运动会会旗（五环旗）

的标志图案，它

图4

图3

A

C

B E P

图1

是由五个半径相同的圆组成的，它象征着五的体育健儿，为发展奥林匹克精神而团结起来，携手拼搏．观察此图案，结合我们所学习的图形变换知识，完成下列题目：

（1）整个图案可以看做是什么图形？

（2）此图案可以看做是把一个圆经过多次什么变换运动得到的？

解：（1）这个图案是轴对称图形．

（2）既可以看做是由一个圆经过4次平移得到的，又可以看做是一个圆经过4次旋转得到的（你能分析吗，提示：旋转中心可以不在图案上）．

三、会寻找旋转中心

知道了旋转中心及旋转角，可以作出一个图形旋转后的图形．那么知道一个图形及其旋转后的图形时，如何确定旋转中心呢？

确定旋转中心的关键是确定两个图形上的两组对应点构成的对应线段的旋转中心，由旋转特征可知，这两组对应点的旋转中心就是整个图形的旋转中心．

由旋转特征可知，如果已知图形上点A关于旋转中心O的对应点是A'，则有OA OA'

=，所以点O必在线段AA'的垂直平分线上；如果图形上点B关于旋转中心O的对应点是B'，则OB OB'

=，所以点O必在线段BB'的垂直平分线上．这样两个对应点A和A'以及B和B'连线的垂直平分线的交点就是旋转中心．例3 如图3所示，四边形ABCD绕某点旋转后到四边形A B C D

''''，你能确定旋转中心吗?试一试．分析：我们可以用待定位置法．假定点O就是旋转中心，由于对应点到旋转中心的距离相等，则有OA OA OB OB

''

==

，，从而O一定是线段AA'和线段BB'的垂直平分线的交点上．

解：如图3所示，连结AA BB

''

，．

分别作AA BB

''

，的垂直平分线，两直线交于点O．则点O就是旋转中心．

例 2 如图4，ABC

△是等边三角形，点D G

，分别是AB AC

，的中点，四边形BDEF和四边形AGHK都是正方形．

（1）试确定正方形AGHK绕某点旋转得正方形EFBD的旋转中心．

（2）正方形BDEF旋转多少度时可以与正方形AGHK重合？

分析：因为四边形AGHK和四边形BDEF都是正方形，所以情况较多，我们只选择其中一个讲解，图1

图4

其它情况请同学们自己探索，欢迎你把自己的探索成果告诉我们．

解：（1）选择BD 和GH 作为对应线段（点B 对应点G ，点D 的对应点为点H ）．

连接DG DH BG ，，，则易知DB DG GH ==，连接点D 与线段BG 的中点M 并延长，连接点G 与线段DH 的中点并延长，两直线相交于点O ，则有GO 垂直平分DH DO ，垂直平分BG ，则点O 就是旋转中心．BOG ∠为旋转角．

（2）150DGH DGA AGH =+=?∠∠∠，

1

752

NGH DGH ==?∠∠，

75MGO NGH ==?∠∠（对顶角）． 又90GMO =?∠，所以15MOG =?∠． 所以旋转角230BOG MOG ==?∠∠．

所以当正方形BDEF 绕点O 顺时针旋转30?时，可与正方形GHKA 重合．

旋转坐标新意多

求旋转后点的坐标的问题是学习旋转是常见的问题。这类问题新意颇多，下面举例说明，供同学们学习时参考

1、求旋转90°后点的坐标

例1、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，4)，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段

OA ′，则点A ′的坐标是 ．

分析：在平面直角坐标系中，先做出OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到的线段OA ′，然后根据点A ′的特征求出点A ′的坐标

解：如图所示，做出OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到的线段OA ′，则A ′的坐标为(4，－1)

规律总结：已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得1OA ，则点1A 的坐标为()b a -，，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得2A ，则点2A 的坐标为

()b a -，，

2、求旋转180°后点的坐标

例2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A ′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在

A 第一象限

B 第二象限 c 第三象限 D 第四象限

分析：将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A ′，则点A ′与点A 关于原点成中心对称，根据点A 的坐标即可求出点A ′的坐标，从而确定A ′在平面直角坐标系中的位置

解：因为OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A ′，所以点A ′与点A 关于原点成中心对称，又因为点A 得坐标为(2，3)，所以点A ′的坐标为（-2，-3），所以点A ′在第三象限，选C

规律总结：已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按顺时针方向（或逆时针方向）旋转180°得1OA ，则点1A 的坐标为,)a b --（， 3、求旋转135°后点的坐标

例3、点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着坐标原点顺时针旋转135o到点B ，那么点B 的坐标是 _________ ． 分析：如图所示，在平面直角坐标系中，小格点正方形的边长为1，在图中先通过旋转作图确定点B 的位置，然后再求出它的坐标

解：点A 的坐标为（2，0），则点A 在x 轴的正半轴上，把点A 绕着坐标原点顺时针旋转135o到点

B ，则点B 在第三象限且在第三象限的角平分线上，由于OB =OA ，所以点B 就在边长为1的格点正方

形的顶点上，则点B 的坐标为（-1，1）