江苏省南通市海安高级中学2020届高三下学期阶段考试数学试题含解析

2020届高三阶段性检测试题

数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.

3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚. 参考公式：锥体的体积公式 1

3

V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.球的体积公式343

V R =

π球，球的表面积公式2

4S R π=球，其中R 为球的半径. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1,0,3A =-，{1,2,3}B =，则A B =_________.

【答案】{3} 【解析】

由交集的定义{3}A B ?=，应填答案{3}．

2.已知复数z 满足()12i z i -=+,则复数z 的模为_______.

【答案】102

【解析】 【分析】

由已知得21i z i

+=

-,将其整理成13

22z i =+,即可求出模.

【详解】解:由题意知, ()()()()2121313111222

i i i i z i i i i ++++=

===+--+

所以22

3211022z ????=+= ? ?????

. 故答案为:

10

2

. 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的模.本题的易错点在于化简时,错把2i 当成了1来计算.

3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9.则这组数据的平均数为_______. 【答案】10 【解析】 【分析】

代入求解平均数的公式计算即可. 【详解】解:平均数()1

12810119105

=?++++=. 故答案为:10.

【点睛】本题考查了平均数的计算.易错点为计算出错. 4.如图，是一个算法的流程图，则输出的b 的值为_______.

【答案】4

【解析】 【分析】

根据流程框图进行循环计算,跳出循环时b 的值即为所求.

【详解】解:第一次循环:2,2b a ==;第二次循环:4,3b a ==.此时3a < 不成立 故答案为:4.

【点睛】本题考查了程序框图.对于循环结构是常考的题型,一般做法为根据框图,计算每次循环的结果,注意,临界即跳出循环时的计算结果.通常循环框图常和数列求和综合到一块.

5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22

1x y -=的右焦点与抛物线()2

20y px p =>的

焦点重合，则p 的值为_______.

【答案】【解析】 【分析】

求出双曲线的右焦点

)

,令

2

p

=即可求出p 的值.

【详解】解:双曲线2112c =+=,即右焦点为

)

.即抛物线()220y px p =>的焦点为

)

所以

2

p

=,解得p =.

故答案为: 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了抛物线的方程.易错点是误把p 当做了抛物线焦点的横坐标.

6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为____． 【答案】0.4 【解析】 【分析】

从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数n 和这2只球颜色相同包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式计算即可．

【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球．

从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n ＝2

5C ＝10，

这2只球颜色相同包含的基本事件个数m ＝22

32C C +＝4，

∴这2只球颜色相同的概率为p ＝4

10

m n ==0.4． 故答案为0.4．

【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力，是基础题．

7.现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为_______. 【答案】4π 【解析】 【分析】

求出圆锥的体积,则由题意,设球的半径为r ,可得344

33

r π=π,求出球的半径,进而可求球的表面积.

【详解】解:由题意知,圆锥的体积为2

1

4143

3

π

π???=

.设球的半径为r 则

344

33

r π=π,解得1r =.所以表面积244r ππ=.

故答案为:4π.

【点睛】本题考查了圆锥的体积,考查了球的体积,考查了球的表面积.结合方程的思想,根据题意求出球的半径.对于球的问题,一般都要首先明确半径的大小.

8.已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】

由639S S =可得()

3

3319S q S +=,进而可求出公比的值,即可求3a 的值.

【详解】解:(

)

333

3

612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+

639S S = ()

33319S q S ∴+= 解得,2q

.所以2314a a q ==.

故答案为:4.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n 项和.等比数列问题,一般可

采用基本量法进行求解,但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题,一般首先考虑利用性质简化计算.

9.已知1e ，2e 是夹角为60的两个单位向量，1232a e e =+，122b e ke =-()k R ∈，且

a ?()8a

b -=则k 的值为_______.

【答案】6

7

- 【解析】 【分析】

由题意知()

()()121212323228a a b e e e e e ke ?-=+?+-+=,进而可求k 的值.

【详解】解:()

()()()()121212121232322322a a b e e e e e ke e e e k e ?-=+?+-+=+?++????

()()()()2211227

33822+338cos60221182

e k e e k e k k k =++?+=++++=

+=. 解得67

k =-

. 故答案为:67

-

. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题,若题目中无向量的坐标,则在求数量积时,一般套用定义求解;若题目中已知了向量的坐标,求数量积时一般代入数量积的坐标公式.

10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22

:280C x y x ++-=,直线():1,l y k x k R =-∈过

定点A ，与圆C 交于点,B D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC ?的周长为_______. 【答案】5 【解析】 【分析】

由题意得1,0A ,圆心为()1,0C -,半径为3r =,由平行可知

EA ED

CB CD

=,化简后可得EA CE r +=,进而可求三角形的周长.

【详解】解:当1x = 时,0y = 与k 无关,则1,0

A .圆

()2

2

22:2819C x y x x y ++-=++=

所以,圆的圆心为()1,0C -,半径为3r =.则由题意知,ED r CE =-

EA 与CB 平行 EA ED CB CD ∴

= 即 EA r CE

r r

-= EA CE r ∴+= 则AEC ?的周长235AC AE CE AC r =++=+=+=. 故答案为:5.

【点睛】本题考查了直线过定点的问题,考查了圆的标准方程.本题的关键在于,由平行得比例关系.若联立直线与圆的方程,求解各点的坐标,这种思路也可以求出最后答案,但计算量太大.

11.如图，已知两座建筑物,AB CD 的高度分别为15m 和9m ，且AB BC CD >>，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为CAD ∠，测得6

tan 13

CAD ∠=

，则,B C 间的距离_______m .

【答案】12 【解析】 【分析】

由()tan tan 6BC BAD DAC BAC ∠=

=∠+∠,可得613156611315

BC BC BC +

=-?,进而可求,B C 间的距离.

【详解】解:由题意知()tan tan 6

BC BC

BAD DAC BAC AB CD ∠=

==∠+∠-

6tan tan 1315661tan tan 11315

BC

BC DAC BAC

BC

DAC BAC +

∠+∠==-∠?∠-?,整理得

22391800BC BC -+= ,解得12BC =或152

BC =

.9BC CD >=，12BC ∴=

故答案为:12.

【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用.难点在于已知正切值的使用.有的同学可能由正切值求出正弦和余弦,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解.由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大,因此这种思路计算量较大,效率不高而且容易做错. 12.设曲线()0+1

m

y m x =>在,1x t t =≠-处的切线为l ，则点()2,1P t -到l 的最大距离为_______.

【解析】 【分析】

求出切线方程为()2

120mx t y mt m ++--=,从而则()2,1P t - 到l 的距离可用t 表示出

来,结合基本不等式即可求解. 【详解】解:()

2

'1m

y x =-

+ ()

2

1l m

k t ∴=-

+ 则切线方程为()

()211m m y x t t t -

=--++ 整理得()2

120mx t y mt m ++--=.则()2,1P t - 到l 的距离

()()()()()

2

422

242222

12121111t m m t m d m m t t t ++++===++++++ ()

()

2

2

2

121m t m t ++

≥+,当且仅当()()

2

2

2

1

1m t t +=

+即1t =± 时等号成立

2112

d ∴≤+=

即d ≤故答案为.

【点睛】本题考查了切线的求解,考查了点到直线的距离,考查了基本不等式.求最值常见的思路有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.本题的难点是对距离进行变形整理. 13.已知函数3cos(

)2y x ππ=+，55,66x t t ???

?∈>???????

?既有最小值也有最大值，则实数t 的取值

范围是_______. 【答案】

31326t <≤或52

t > 【解析】 【分析】

由诱导公式可知3cos sin 2y x x πππ??

=+=

???

,令m x π=,结合函数图像,讨论最大值为12和1两种情况,进而求出t 的取值范围. 【详解】解:3cos sin 2y x x πππ??

=+=

??? 令m x π=.则由55,66x t t ????

∈>????????

可得5,6m t ππ??∈????

则5sin ,,6y m m t ππ??

=∈??

??

.要使其既有最小值又有最大值 若最大值为

12 则31326t πππ<≤,解得31326

t <≤

若最大值为1,则52t π

π>

,解得52t >.综上所述: 31326t <≤或52

t >. 故答案为:

31326t <≤或5

2

t >. 【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.

14.已知函数1()1f x x =-，11()(())k k f x f f x +=，5k ≤，k *∈N .若函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点，则k 的取值集合为_______. 【答案】{3,5} 【解析】 【分析】

由题意写出12345(),(),(),(),()f x f x f x f x f x 的解析式,根据图像的平移变换,分别画出它们

的图像,判断哪个函数图像与ln y x = 图像有三个交点,即为所求.

【详解】解:由题意知1()1f x x =-,2()11f x x =--,3()111f x x =---,

4()1111f x x =----,5()11111f x x =

-----.则其函数图像为

由图像可知,当3k =或5时, 函数()ln k y f x x =-恰有3个不同的零点. 故答案为: {3,5}.

【点睛】本题考查了函数的图像变换,考查了函数的零点.若函数()()()f x g x h x =-,则函数()f x 的零点个数就等同于函数(),()g x h x 图像的交点个数.本题的难点是画含绝对值的函

数图像.对于()y f x =,首先画出()y f x = 的图像,然后将x 轴下方的图像向上翻折即可;对于()y f x = 的图像,首先画出()y f x = 的图像,然后将y 轴右侧向左翻折. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 15.在平面直角坐标系xOy 中，设向量(

)

()[]3sin ,sin ,cos ,sin ,0,a x x b x x x π==∈.

（1）若a b =，求x 的值；

（2）求a b ?的最大值及取得最大值时x 的值. 【答案】(1)6π或56π

;(2)最大值32,3

x π=. 【解析】 【分析】

(1)求出||,||a b ,由||||a b =可得1

|sin |2

x =

,结合[0,]x π∈可求出所求. (2) 1sin 262a b x π?

??=-+ ??

?,结合[0,]x π∈和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大

值时x 的值.

【详解】解:(1)因为(3sin ,sin ),(cos ,sin )a x x b x x == 所以2222||3sin sin 2|sin |,||cos sin 1a x x x b x x =+==+=

因为||||a b =,所以1|sin |2

x =.因为[0,]x π∈,所以1sin 2x =

于是6

x π

=

或

56

π

. (2)23sin cos sin a b x x x ?=

+311

sin 2cos 222

x x =

-+1sin 262x π??=-+ ???

因为[0,]x π∈,所以112,666x πππ??-

∈-????,于是113sin 22622x π?

?-≤-+≤ ??

?. 所以当226x ππ-

=,即3x π=时,a b ?取最大值3

2

. 【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于()sin y A ωx φ=+ 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.

16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1A A 的中点.求证：

（1）AC//平面1EDB ； （2）平面1EDB ⊥平面1B BD .

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】

(1)取1B D 的中点F ,连,OF EF ,通过证明//AC EF 从而证明线面平行.

(2)通过AC BD ⊥,1B B AC ⊥推出1EF BB ⊥,EF BD ⊥,从而证明EF ⊥平面1B BD ,进而可证面面垂直.

【详解】证明:(1)在正方体1111ABCD A B C D -中,设AC 与BD 相交于点O ,则O 为BD 的中点

取1B D 的中点F ,连,OF EF .所以1OF//BB ,11

2

OF BB =

.

在正方体1111ABCD A B C D -中,1111,//AA BB AA BB =.又点E 是1A A 的中点 所以,//AE OF AE OF =.于是四边形AEFO 是平行四边形,从而//AC EF . 又因为AC ?平面1EDB ,EF ?平面1EDB ,所以//AC 平面1EDB .

(2)在正方体1111ABCD A B C D -中,1B B ⊥平面ABCD ,而AC ?平面ABCD , 所以1B B AC ⊥.又在正方体1111ABCD A B C D -中,四边形ABCD 正方形

所以AC BD ⊥.由(1)知,//EF AC ,于是1EF BB ⊥,EF BD ⊥.

又1B B ?平面1B BD ,BD ?平面1B BD ,1B B BD B ?=,所以EF ⊥平面1B BD . 又因为EF ?平面1EDB ,所以平面1EDB ⊥平面1B BD .

【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了面面垂直的判定.线面平行或者面面平行的判定,一般都归结为证明线线平行;线面垂直或者面面垂直的判定,一般都归结为证明线线垂直.此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明,有时也可以建立空间直角坐标系,运用空间向量证明平行和垂直.

17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 两点分别为椭圆22

221,0x y a b a b

+=>>的右顶

点和上顶点，且7AB =

，右准线l 的方程为4x =.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点A 的直线交椭圆于另一点P ，交l 于点Q .若以PQ 为直径的圆经过原点，求直线PQ

的方程.

【答案】(1)22

143

x y +=

0y --=

0y +-=.

【解析】 【分析】

(1)由右准线l 的方程为4x =

以及AB =

可列出方程组2

222

4a c a b c ?=???=+?=?

解得即可求出椭

圆的方程.

(2) 设PQ 的方程为(2)y k x =-,与椭圆方程联立,求出2228612,4343k k P k k ??

-- ?++??

;联立

(2)

4y k x x =-??

=?

可得(4,2)Q k ,由OP OQ ⊥可知0OP OQ ?=,

从而可求出k =进而可求直线的方程.

【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2(0)c c >.

由题意得2

2224a c a b c ?=???=+?=?

,解得22

4,3a b ==.

所以椭圆的标准方程为:22

143

x y +=.

(2)由题意得直线PQ 不垂直于x 轴,设PQ 的方程为(2)y k x =-

联立22(2),

1,43y k x x y =-???+=??,消y 得()2222

431616120k x k x k +-+-=.

又直线PQ 过点(2,0)A ,则方程必有一根为2,则22

86

43

P k x k -=+. 代入直线(2)y k x =-,得点222

8612,4343k k P k k ??-- ?++??.联立(2)

4

y k x x =-??=?,所以(4,2)Q k .

又以PQ 为直径的圆过原点,所以OP

OQ ⊥.

则22222

8612824

420434343

k k k OP OQ k k k k ---?=?+?==+++,解得23k =,所以3k =±. 所以直线PQ 的方程为3230x y --=或3230x y +-=.

【点睛】本题考查了椭圆的准线方程,考查了椭圆的性质,考查了直线与椭圆相交问题,考查了向量的数量积.本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用.一般若题目中已知圆过某点,则一般等量关系为:圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直.

18.下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，20,10,AB m BC m ==120ABC ∠=.拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉.设,EB x EF y ==（单位：

m ）.

（1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；

（3）试确定点,E F 的位置，使直路EF 的长度最短.

【答案】(1)E 是AB 的中点;(2)22

2

2525010

100001001020x x x y x x x ?-+≤

=?++≤≤??

;(3) 当2.5EB m =,7.5FC m =时,EF 最短,其长度为53.

【解析】 【分析】 (1)由1

4

BEC ABCD S S ?=

可知

11

24

EB h AB h ?=?,从而证明E 是AB 的中点. (2)求出平行四边形的面积为1003ABCD

S

=,进而可求253EBF S ?=从而用x 可将BF

表示出来,利用余弦定理即可得到y 关于x 的函数关系式.

(3)当 010x ≤<,由二次函数的性质可求最值;当1020x ≤≤时,由基本不等式可求最值. 【详解】解:(1)当点F 与点C 重合时,由题设知,1

4

BEC ABCD

S S ?=

.

于是

11

24EB h AB h ?=?,其中h 为平行四边形AB 边上的高. 得1

2

EB AB =,即点E 是AB 的中点.

(2)因为点E 在线段AB 上,所以020x ≤≤.当1020x ≤≤时,由(1)知 点F 在线段BC 上.因为20,10,120AB m BC m ABC ?==∠=

所以sin 20102

ABCD

S

AB BC ABC =??∠=??

=.

由1

sin1202EBF S x BF ??=

??=,100BF x

=.所以EBF ?中,由余弦定理得

y EF ===当010x ≤<时,点F 在线段CD 上,

由1

()10sin 602

EBCF S x CF ?=

+??=四边形得10CF x =-.当BE CF ≥时

,EF =当BE CF <时

,EF =

化简均为y EF ==综上

,0101020x y x ?≤<=≤≤. (3)当010x ≤<时

,y ==于是当5

2x =

时

,min y =,此时15102

CF x =-=. 当1020x ≤≤时

,y =≥=当且仅当2

2

100=

00

x x ，即10x =时，取等号 综上： 当E 距点 2.5B m ，F 距点7.5C m 时，EF

最短，其长度为.

【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了余弦定理,考查了基本不等式.本题的易错点是没有讨论自变量的取值,从而造成了漏解.求最值时,常用的方法有:导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法.

19.已知函数()y f x =的定义域为D ，若满足,()()x D x f x f x ?∈?≥，则称函数()f x 为“L 型函数”.

（1）判断函数x

y e =和ln y x =是否为“L 型函数”，并说明理由；

（2）设函数()(1)ln (1)ln ,0f x x x x a a =+-->，记()g x 为函数()f x 的导函数. ①若函数()g x 的最小值为1，求a 的值； ②若函数()f x 为“L 型函数”，求a 的取值范围.

【答案】(1)x

y e =不是,ln y x =是,理由见解析;(2)①a e =;②20a e <≤.

【解析】 【分析】

(1)分别求出两个函数的定义域,判断,()()x D x f x f x ?∈?≥即可. (2) ①求出1

()()ln 1ln ,(0,)g x f x x a x x

'==+

+-∈+∞,再求()g x ',通过导数探究当x 取何值时,()g x 取最小值,令最小值为1,即可求出a 的值.②由题意

(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ?∈+∞-=-+--≥恒成立,分别讨论当20a e <≤和2a e >时,通过探究()f x 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出a 的取

值范围.

【详解】解:(1)对于函数x

y e =,定义域为R ,显然000e e ?≥不成立,所以x

y e =不是“L 型函数”;

对于函数ln y x =,定义域为(0,)+∞.

当01x <<时,ln 0x <,所以(1)ln 0x x ->,即ln ln x x x >; 当1x ≥时,ln 0x ≥,所以(1)ln 0x x -≥,即ln ln x x x ≥.

所以(0,)x ?∈+∞,都有ln ln x x x ≥.所以函数ln y x =是“L 型函数”. (2)①因为11

()()ln ln ln 1ln ,(0,)x g x f x x a x a x x x

+'==+-=++-∈+∞ 所以22111

()x g x x x x

-'=

-=.当(0,1)x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上为减函数;

当(1,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()g x 在(1,)+∞上为增函数. 所以min ()(1)2ln g x g a ==-.所以2ln 1a -=,故a e =. ②因为函数()(1)ln (1)ln f x x x x a =+--为“L 型函数”,

所以(0,),(1)()(1)[(1)ln (1)ln ]0x x f x x x x x a ?∈+∞-=-+--≥(*). (ⅰ)当2ln 0a -≥,即20a e <≤时,由①得()0g x ≥,即()0f x '≥. 所以()f x 在(0,)+∞上

增函数,又(1)0f =,当(0,1)x ∈时,()0f x <

所以(1)()0x f x ->;当[1,)x ∈+∞时,()0f x ≥,所以(1)()0x f x -≥. 所以(0,)x ?∈+∞,适合(*)式.

(ⅱ)当2ln 0a -<,即2a e >时,(1)0g <,1

()10g a a

=

+>. 所以由零点存在性定理得0(1,)x a ?∈,使()00g x =,又()g x 在(1,)+∞上为增函数 所以当()01,x x ∈时,()0

又(1)0f =,所以当()01,x x ∈时,()0f x <,所以(1)()0x f x -<,不适合(*)式. 综上得,实数a 的取值范围为20a e <≤.

【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.本题的难点在于最后一问,学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题. 20.已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n n

n n n

a a S a a ++=-,n *∈N .

（1）求2a ,3a 的值;

（2）求证：数列{}n a 为等差数列；

（3）设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=

，求证：

11

1n

i i

b =≥∑. 【答案】(1)22a =,33a =;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】

(1)令1,2n n == 即可求出2a ,3a 的值; (2)由112n n n n n

a a S a a ++=

-得1

112(2)n n n n n a a S n a a ---=

≥-两式相减进行整理可得11(2)n n n n a a a a n +--=-≥,即可证明{}n a 为等差数列.

(3)由(2)可知1n n b b n +=,11(2)n n b b n n -=-≥两式相减整理得

111

(2)n n n

b b n b +-=-≥,则当2n ≥时,1211

123

1

111111

n

n n i i n b b b b b b b b b b +==++++

=--++∑

,通过放缩即可证明; 当1n =时,1

1

1b ≥.从而可证.

【详解】解:(1)令1n =得,21

121

2a a S a a =

-,又11a =,解得22a =;

令2n =得,122322a a S a a =

-,即()1

12

3222

a a a a +=-,从而33a =. (2)因为112n n n n n

a a S a a ++=

- ①;所以1

112(2)n n n n n a a S n a a ---=

≥- ② ①-②得,1111

2n n n n n n n n n a a a a

a a a a a +-+-=

---.因为数列{}n a 的

各项均为正数,所以0n a >.

从而11

11

2n n n n n n a a a a a a +-+-=

---.

去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---

化简并整理得,2

1120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,

所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 为等差数列.

(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥ 即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以

111

(2)n n n

b b n b +-=-≥.

当2n ≥时,11231111

1

n

i i

n

b b b b b ==+

+++

∑ 3142532111

1

n n n n b b b b b b b b b b b -+-=

+-+-+-++-+-1211

1

n n b b b b b +=

--++ 121n n b b +≥-21n a =-,当1n =时,1

1

1b ≥,原不等式也成立.

综上得,

11

21n

n i i

a b =≥-∑. 【点睛】本题考查了由递推公式求项,考查了等差数列的定义,考查了放缩法,考查了数列求和.

本题难点在于整理出111

(2)n n n

b b n b +-=-≥,从而对所证式子进行化简.涉及到n S 和n a 的递推公式时,一般代入公式11,1

,2

n n n a n a S S n -=?

=?

-≥? 进行求解.

Ⅱ（附加题）

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共2页，均为非选择题（第21～23题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号.

3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.

21.已知a ，b R ∈，若M =13a b -??

????

所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，

b ． 【答案】

【解析】 【详解】设

则

即

此直线即为

则.

.

22.在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：sin 33πρθ?

?-= ??

?的

最大距离. 【答案】5 【解析】 【分析】

将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线l 距离的最大值，求出圆心到直线l 距离，即可求出结论.

【详解】曲线C ：2ρ=化直角坐标方程为22

4x y +=表示圆，

13

sin 3,sin cos 332πρθρθθ??

-

== ??

?， 360x y -+=，

圆C 上点P 到直线l 2

2

25(3)1

+=+.

【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.

23.设a,b,c 为正实数，6a b c ++=1233a b c ++. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】