福建省莆田一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
莆田一中2019-2020学年度下学期期末考试卷
高一 数学必修 2 . 5
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.)
1.圆1)2()2(:221=-++y x C 与圆16)5()2(22:2=-+-y x C 的位置关系是( ) A .外离 B .外切 C . 相交 D .内切
2.设a 、b 是两条不同的直线, αβ、是两个不同的平面,则下列四个命题:正确的是( )
A .若,a b a α⊥⊥则//b α;
B .若//,,a ααβ⊥则a β⊥;
C .若,,a αββ⊥⊥则//a α
D .若,,a b a b αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥ 3.已知两条直线01:1=-+y x l ,023:2=++ay x l 且21l l ⊥,则a =( )
A .-3
B .31-
C . 3
1
D .3
4.若函数y =f(x)的图像与函数y =3-2x 的图像关于坐标原点对称,则y =f(x)的表达式为( )
A .y =-2x -3
B .y =2x +3
C .y =-2x +3
D .y =2x -3 5.已知等差数列的前项和为,,4
20S ,则( )
A .
B .
C .
D .
6.已知△ABC 的三边长为a ,b ,c ,且满足直线ax +by +2c =0与圆x 2
+y 2
=4相离,则△ABC 是( )
{}n a n n S 37a =10a =25323540
C'
A
B
C
D
B'D'
D
C
B
A
A .钝角三角形
B .锐角三角形
C .直角三角形
D .以上情况都有可能 7.如图:正三棱锥A BCD -中,40BAD ∠=?,侧棱2AB =,BD 平行于过点C 的截面α,则平面α与正三棱锥侧面交线的 周长的最小值为( )
A .2
B .3
C .4
D .43
8.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F 在半圆O 上,点C 在直径AB 上,且
OF AB ⊥,设AC a =,BC b =,则该图形可以完成的无字证明为( )
A .
)0,02
a b
ab a b +>>
B .()2220,0+≥>>a b ab a b
C .
)20,0ab
ab a b a b
>>+
D .)22
0,02
2
a b
a b a b ++>> 9.已知A(-3, 0),B(0, 4),M 是圆C : x 2+y 2-4x=0上一个动点,则△MAB 的面积的最小值为( )
A .4
B .5
C .10
D .15
10.如图所示,某学习小组进行课外研究性学习,隔河可以看到对岸两目标A 、B ,现在岸边取相距4km 的C ,D 两点,测得∠ACB =75°,∠BCD =45°,∠ADC =30°,∠ADB =45°(A ,B ,C ,D 在同一平面内),则两目标A ,B 间的距离为( )km.
85
B .4153
C .153
D .5
11.如图,在四棱锥中,底面为菱形,,侧面为正三角形,且平面平面,则下列说法正确的是( ) A .平面平面 B .异面直线与所成的角为 C .二面角的大小为D .在棱上存在点使得平面
12.如图,M ?N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ?CD 的中点,将正方形沿对角线AC 折起,使点D 不在平面ABC 内,则在翻折过程中,有以下结论: ①异面直线AC 与BD 所成的角为定值.
②存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直.
③存在某个位置,使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°.
④三棱锥
. 以上所有正确结论的有( )个. A .1 B .2 C .3 D .4
二、填空题(共4个小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡上)
13.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元,购买3支康乃馨所需费用为B 元,则A,B 的大小关系是
P ABCD -ABCD 60DAB ∠=?PAD PAD ⊥ABCD PAB ⊥PBC AD PB 60?P BC A --60?AD M AD ⊥PMB M ACN -2
.
14.已知圆的方程为,若过点的直线与此圆交于两点,圆心为,则当最小时,直线的一般方程为 .
15.已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形,顶点A 在底面的射影为底面△BCD 的中心)A BCD -的外接球, 3BC =
,AB =E 在线段BD 上,且3BD BE =,过点E 作圆O
的截面,则所得截面圆面积的取值范围是 .
16.圆C :x 2+y 2=16,过点M (2,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方),在x 轴正半轴上存在定点N ,使得x 轴平分∠ANB,求出点N 的坐标 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.请将答案填在答题卡上,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题共10分)已知直线l 在y 轴上的截距为2-,且垂直于直线210x y --=. (1)求直线l 的方程;(2)设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点,OAB 内接于圆
C ,求圆C 的方程.
18.(本题共12分)已知在数列中,为其前项和,且,数列为等比数列,公比,,且,,成等差数列.
(1)求与的通项公式;(2)令,求的前项和. 19.(本题共12分)已知,,分别为三个内角,,的对边, 且.(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)若,的面积为,求的值.
()2
2
14x y +-=11,
2P ??
???
l ,A B C ACB ∠l {}n a n S n 2()n S n n *
=∈N {}
n b 1q >11b a =22b 4b 33b {}n a {}n b n
n n
a c
b =
{}n c n T
20.(本题共12分)如图,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为矩形,PA=AB=3,AD=1,点F 是PB 的中点,点E 在边BC 上移动.
(1)当点E 为BC 的中点时, 证明EF//平面PAC ; (2)证明:无论点E 在边BC 的何处,都有PE ⊥AF .
21.(本题共12分)如图,在Rt ABC ?中,4AB BC ==,点E 在线段AB 上,过点E 作
//EF BC 交AC 于点F ,将AEF ?沿EF 折起到PEF ?的位置(点A 与P 重合),使得
060PEB ∠=.(1)求证:⊥平面CB 平面EF PBE ;
(2)试问:当点E 在何处时,四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大?并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值.
22.(本题共12分)已知圆C :22:(3)(4)4C x y -+-=,直线1l 过定点(1,0)A . (1)若1l 与圆相切,求1l 的方程;
(2)若1l 与圆相交于,P Q 两点,线段PQ 的中点为M ,又1l 与2:220l x y ++=的交点为
N ,判断?AM AN 是否为定值.若是,求出定值;若不是,请说明理由.
莆田一中2019-2020学年度下学期期末高一数学考试参考答案
1-5 BDAAC 6-10 ABDBB 11-12 DC
13. A>B 14. 15. []24π,π 16. (8,0).
17.解:(1)设直线l 的方程为2y kx =-.∵直线210x y --=的斜率为
1
2
,所以直线l 的斜率2k =-.则直线l 的方程为22y x =--.
(2)设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=.由于OAB 是直角三角形,
所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点,半径为
12AB ;由(1,0)A -,(0,2)B -得1,12C ??
-- ???
,
AB =
12212D
E
?-=-???-=-??
=,解得1D =,2E =,0F =.
则圆C 的一般方程为:2220x y x y +++=.
18.解:(1)∵,,∴,…3分,
,由于,∴,∴…6分
(2)由(1)得,,① 0324=--y x 111a S ==221(1)n n S S n n --=--21()n a n n *
=-∈N 234232b b b +=23232q q q +=1q >2q =12()n n b n -*=∈N 1212n n n c --=
012
1
135
21
2222n
n n T --=++++
∴,② ①②得, ∴…12分
19.解:(Ⅰ)由已知及正弦定理得, 因为 ,所以,即 …4分 又,,所以. …6分
(Ⅱ)由已知, …8分 由余弦定理得 ,即,
即,又所以. …12分
20.解:(1)证明: 连结AC ,EF, ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC ?中,
PC EF // ……3分.又,平面PAC EF ?PAC PC 平面? ……4分 ∴当点E 是BC 的中点时,EF//平面PAC ……6分
1231
11352321
2222
22
n n n n n T ---=++++
+-121122
22123
13222
222n n n n
n n T --+=+++
+
-=-1
23
662n n n T -+=-
<
(2)∵AB PA ⊥,PA=AB=3,点F 是PB 的中点∴等腰PAB ?中,PB AF ⊥,
又BC PA ⊥,BC AB ⊥且PA 和AB 是平面PAB 上两相交直线
∴BC ⊥平面PAB 又PAB AF 平面?.∴BC AF ⊥ …… 9分 又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴PBC AF 面⊥ …… 11分 又PBC PE 平面? ∴PE AF ⊥
∴无论点E 在边BC 的何处,都有PE ⊥AF 成立. ……12分
21.解:(1)证明:∵//EF BC 且BC AB ⊥, ∴EF AB ⊥,即,EF BE EF PE ⊥⊥.又BE
PE E =,
∴EF ⊥平面PBE ,又?EF 平面CBEF ,⊥平面CB 平面EF PBE ……4分
(2)设,BE x PE y ==,则4x y +=.
∴21sin ()22
PEB x y S BE PE PEB xy ?+=
??∠=≤= 当且仅当2x y ==时,PEB S ?的面积最大,此时,2BE PE ==. ……6分 由(1)知EF ⊥平面PBE ,平面EFCB ⊥平面PBE .
在平面PBE 中,作PO BE ⊥于O ,则PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P EFCB -的
高.又01
sin 602(24)2622
EFCB PO PE S =?=?
==?+?=.
∴1
63
P BCFE V -=?=……9分
∵01
cos60212
OE PE =?=?
=,∴1BO =,在Rt OBC ?中,
OC ==PO ⊥平面EFCB ,∴PCO ∠就是PC 与平面
EFCB 所成角.∴tan PO PCO OC ∠=
==
故直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值为
17
, ……12分
22.解:(1)①若直线1l 的斜率不存在,即直线是1x =,符合题意 ……2分
②若直线1l 斜率存在,设直线1l 为(1)y k x =-,即kx y k 0--=.
由题意知,圆心(3,4)到已知直线1l的距离等于半径2
2 =,
解之得
3
4
k=.所求直线方程是1
x=,3430
x y
--=.……5分
(2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx y k0
--=
由
220
{
x y
kx y k
++=
--=
得
223
(,)
2121
k k
N
k k
-
-
++
.又直线CM与
1
l垂直,由{1
4(3)
y kx k
y x
k
=-
-=--
(也可以通过直线与圆联立消去y,得到
2222
1(286)8210.
+-+++++=()x
k k k x k k
2
122
286 +=
1
++
+
k k
x x
k
而求出M坐标).得
22
22
4342 (,) 11
+++
++
k k k k M
k k
AM AN
?=
6
==为定值.故AM AN
?是定值,且为6.