中考数学三角函数在实际中的应用(九年级下期复习用带答案)汇总

专题3 三角函数在实际中的应用

自我诊断1.某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．

（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）

（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）

自我诊断2.如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）

跟踪训练1

1.年4 月20 日，四川雅安发生里氏7.0 级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B 相距4

米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1 米，参考数据

≈1.41，≈1.73）

2.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m 到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和

30°，

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m）

3.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541.91米，求飞机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）

4．如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D 处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE 为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．

5．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．

（1）求点B到AD的距离；

（2）求塔高CD（结果用根号表示）．

6．如图，一楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1：，山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=6米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得点E的俯角为45°．

（1）求点E距水平面BC的高度；

（2）求楼房AB的高．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）

7．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．

（1）求新传送带AC的长度．

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．

参考数据：．

8．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，

（精沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．

确到0.1海里/时，参考数据：≈1.41，≈1.73）

自我诊断答案

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析:（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N．设CN=x，分别表示出EM、AM的长度，然后在Rt△AEM中，根据tan∠EAM=，代入求解即可；（2）根据（1）求得的结果，可得EF=DF+CD，代入求解．

解：（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N，

设CN=x，

在Rt△ECN中，

∵∠ECN=45°，

∴EN=CN=x，

∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1，

∵BD=5，

∴AM=BF=5+x，

在Rt△AEM中，

∵∠EAM=30°

∴=，

∴x﹣1=（x+5），

解得：x=4+3，

即DF=（4+3）（米）；

（2）由（1）得：

EF=x+0.7=4++0.7

≈4+3×1.7+0.7

≈9.8≈10（米）．

答：旗杆的高度约为10米．

点评:本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．

考点:解直角三角形的应用．

分析:作AD⊥BC交CB延长线于点D，线段AD即为文物在地面下的深度．设AD=x．通过解直角△ABD求得BD=；通过解直角△ACD求得CD=x，由此列出关于x 的方程，通过方程求得AD的长度．最后通过解直角三角形ABD来求AB的长度即可．解：作AD⊥BC交CB延长线于点D，线段AD即为文物在地面下的深度．

根据题意得∠CAD=30°，∠ABD=56°．

设AD=x．

在直角△ABD中，∵∠ABD=56°，

∴BD==．

在直角△ACD中，∵∠ACB=30°，

∴CD=AD=x，

∴x=+20．

解得x≈18.97，

∴AB=≈≈23．

答：从B处挖掘的最短距离为23米．

点评:此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

跟踪训练答案

1．考点：解直角三角形的应用．

分析：过点 C 作 CD ⊥AB 交 AB 于点 D ，则∠CAD=30°，∠CBD=60°，在 Rt △BDC 中，CD=BD ， 在 R t △ADC 中，AD=CD ，然后根据 A B=AD ﹣BD=4，即可得到 C D 的方程，解方程即可．

解：如图，过点 C 作 C D ⊥AB 交 A B 于点 D ．

∵探测线与地面的夹角为 30°和 60°，

∴∠CAD=30°，∠CBD=60°，

在 R t △BDC 中，tan60°=

， ∴BD= = ，

在 R t △ADC 中，tan30°=

， ∴AD= = ，

∵AB=AD ﹣BD=4，

∴CD=2 ≈3.5（米）∴．

答：生命所在点 C 的深度大约为 3.5 米．

点评:本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角 三角形，也考查了把实际问题转化为数学问题的能力．

4333=-CD

CD

分析:（1）作PQ⊥AB交AB的延长线于H，根据三角形的外角的性质计算；

（2）设PQ=xm，根据正、余弦的定义表示出QH、BH，根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．

解：（1）作PQ⊥AB交AB的延长线于H，

由题意得，∠QBH=30°，∠PBH=60°，

∴∠BQH=60°，∠PBQ=30°，

∴∠BPQ=∠BQH﹣∠PBQ=30°；

（2）设PQ=xm，

∵∠BPQ=∠PBQ，∴BQ=PQ=xm，

∵∠QBH=30°，∴QH=BQ=x，BH=x，

∵∠A=45°，∴6+x=x x，

解得x=2+6≈9．

答：该电线杆PQ的高度约为9m．

点评:本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

分析:过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，设高度为x米，在Rt△AEC 中可得CE==，在Rt△BFD中有DF==x，根据AB=EF=CD+DF﹣CE 列出方程，解方程可求得x的值．

解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，

设高度为x米

∵AB∥CD，

∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，

∴四边形ABFE为矩形．

∴AB=EF，AE=BF．

由题意可知：AE=BF=x米，CD=500米．

在Rt△AEC中，∠C=60°，

∴CE==（米）．

在Rt△BFD中，∠BDF=45°，

∴DF==x（米）．

∴AB=EF=CD+DF﹣CE，即500+x﹣x=541.91

解得：x=99

答：飞机行飞行的高度是99米．

点评:此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．

4.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析:根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度，进而求得BC的高度．

解：根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90°，

∠DEC=90°．

过点D作DF⊥AC于点F．

则∠DFC=90°∠ADF=47°，∠BDF=42°．

∵四边形DECF是矩形．

∴DF=EC=21，FC=DE=1.56，

在直角△DFA中，tan∠ADF=，

∴AF=DF?tan47°≈21×1.07=22.47（m）．

在直角△DFB中，tan∠BDF=，

∴BF=DF?tan42°≈21×0.90=18.90（m），

则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6（m）．

BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5（m）．

答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．

点评:此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．

5.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析:（1）过点B作BE⊥AD于点E，然后根据AB=40m，∠A=30°，可求得点B到AD 的距离；

（2）先求出∠EBD的度数，然后求出AD的长度，然后根据∠A=30°即可求出CD的高度．解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，

∵AB=40m，∠A=30°，

∴BE=AB=20m，AE==20m，

即点B到AD的距离为20m；

（2）在Rt△ABE中，

∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，

∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，

∴DE=EB=20m，

则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），

在Rt△ADC中，∠A=30°，

∴DC==（10+10）m．

答：塔高CD为（10+10）m．

点评:本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．

6.考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析:（1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，求出CF=EF，然后根据勾股定理解答；

（2）过点E作EH⊥AB于点H．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，结合（1）中结论得到CF 的值，再根据AB=AH+BH，求出AB的值．

解：（1）过点E作EF⊥BC于点F．

在Rt△CEF中，CE=20，，

∴EF 2+（EF）2=202，

∵EF＞0，

∴EF=10．

答：点E距水平面BC的高度为10米．

（2）过点E作EH⊥AB于点H．

则HE=BF，BH=EF．

在Rt△AHE中，∠HAE=45°，

∴AH=HE，

由（1）得CF=EF=10（米）

又∵BC=6米，

∴HE=6+10米，

∴AB=AH+BH=6+10+10=16+10≈33.3（米）．

答：楼房AB的高约是33.3米．

7.考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

分析:（1）在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在

Rt△ACD中，求出AC的长．

（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC 的值是否大于2米即可．

解：（1）如图，在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×=4．

在Rt△ACD中，

∵∠ACD=30°∴AC=2AD=8．

即新传送带AC的长度约为8米；

（2）结论：货物MNQP不用挪走．

解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=4．

在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2．

∴CB=CD﹣BD=2﹣4≈0.9．

∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1＞2，

∴货物MNQP不应挪走．

点评:考查了坡度坡脚问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．

8.考点:解直角三角形的应用-方向角问题．

分析:由已知可得AB⊥PQ，∠QAP=60°，∠A=30°，AP=56海里，要求货船的航行速度，即是求PB的长，可先在直角三角形APQ中利用三角函数求出PQ，然后利用三角函数求出PB即可．

解：设货船速度为x海里/时，4小时后货船在点B处，作

PQ⊥AB于点Q．

由题意AP=56海里，PB=4x海里，

在直角三角形APQ中，∠APQ=60°，

所以PQ=28．

在直角三角形PQB中，∠BPQ=45°，

所以，PQ=PB×cos45°=2x．

所以，2x=28，

解得：x=7≈9.9．

答：货船的航行速度约为9.9海里/时．