晶体简介及倒易点阵(优.选)
第四章 倒易点阵及晶体衍射方向
第四章倒易点阵及晶体衍射方向 1. 布拉格定律 一定波长的X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。 图 4.1 布拉格定律的几何说明 如图4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为d hkl的晶体面网组(hkl), 在人射波前SS' 处, 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程PA+AD = nλ，n 为包括零的整数, 则两支波离开晶体后达到新波前TT' 时, 将具有相同的位相, 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若PA+AD ≠nλ, 则达到TT' 时, 它们位相不同, 不能相干得到衍射极大。由图4.1 可知， PA+AD =2d hkl sinθ=nλ(4.1) 此即布拉格方程,n称为衍射级数。式(4.1)也可以写成:
λθ=?? ? ??sin 2n d hkl (4.1a) 因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 : λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式： λ θ/2/1sin hkl d = (4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。 2. 倒易点阵 2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵： 若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。 （2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：
倒易格子与衍射
倒易格子与衍射--3.倒易点阵与电子衍射 四、电子衍射 1. 电子波的波长 电子束的波长很短，因此根据布拉格方程，其衍射角度2θ也特别小。 波长 C射线衍射仪0.1——100 ? 电子显微分析0.0251 ?(200kV) 2. 晶体形状与倒易点形状的关系 3. 倒易格子与倒易球 因为电子束的波长很短，只有一半X射线波长的1%，因此倒易球的半径很大，能与倒易球直接相交的一般只能是0层倒易面(即在垂直入射光束的方向倒易原点所在的平面)。 另外，由于电子衍射时，样品制作成为很薄的片状，因此，倒易点阵中的各倒易点体现为棒状，可以有更多的0层倒易点与倒易球相交。
图4-1. 倒易点阵 图4-2 倒易点阵与倒易球
图4-3. 0层的棒状倒易点与倒易球相交产生点阵衍射4. 电子衍射方程 如图所示，倒易点G与倒易球相交，产生的衍射效果记录在胶片的G’点。
图4-4 电子衍射方程的推导 因为电子波长很短，倒易球的半径很大，在倒易原点附近，倒易球面非常接近平面，因此， O1O/O1O’ = OG / OG’ 1/λ/L = 1/d/R Rd=Lλ 在恒定的实验条件下，Lλ是一个常数，即衍射常数(单位：mm.nm)。此即电子衍射的衍射方程。 由以上分析可知，单晶电子衍射花样可视为某个（uvw）*方向的0零层倒易平面的放大像[（uvw）*的0层平面法线方向[uvw]近似平行于入射束方向（但反向）]。因而，单晶电子衍射花样与二维（uvw）*的0层平面相似，具有周期性排列的特征。 5. 单晶电子衍射花样的标定 标定是指确定衍射花样中各斑点的指数(hkl)及其晶带轴方向[UVW]，并确定样品的点阵类型和位向。 （1）对斑点进行指标化 如图所示，晶带轴方向[uvw]，指向与入射电子束方向相反，属于该晶带的0层倒易面为[uvw]*0，记录的衍射花样相当于0层倒易面面的放大象。中心为倒易点阵原点(000)，
倒易点阵
§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法 一、倒易点阵的概念 X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ） 通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。 倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。 一、 倒易点阵中基本矢量的定义 设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ， 倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9）， 则有 V b a c V a c b V c b a ?=?=?=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积： )()()(b a c a c b c b a V ??=??=??= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系 二、 倒易点阵的性质 a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=??=?=? b a b a b a θ） 0******=?=?=?=?=?=?b c a c c b a b c a b a （2-12） 1***=?=?=?c c b b a a （2-13） b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为 ***lc kb ha g hkl ++= （2-14） Φ3
在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1 =k ，以O 为中心，1/λ 为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ′，其长度也等于反射球的半径1/λ。 根据倒易矢量的定义，g G O =*，于是我们得到 g k k =-' （2-17）
倒易点阵复习材料
例题 2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵 是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明] 选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示， ()1???2a a x y z = +- ()2???2a a x y z =-++ ()3???2a a x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，???,,x y z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。 初基晶胞体积()31231 2c V a a a a =??= 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量 123231312222,,c c c b a a b a a b a a V V V πππ= ?=?=? ()2 123?????22 2222 22c x y z V a a a a b a a x y a a a π=?=-=+- ()2 231?????22 2222 22c x y z V a a a a b a a y z a a a π=?=-=+- ()2 312?????22 2222 2 2 c x y z V a a a a b a a z x a a a π=?=-=+-
于是有： ()()()123222??????,,b x y b y z b z x a a a πππ = +=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π． 同理，对面心立方点阵写出初基矢量 ()1??2a a x y = + ()2??2a a y z =+ ()3??2a a z x =+ 如图1.10所示。 初基晶胞体积()31231 4c V a a a a =??=。 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量 ()()()123222?????????,,b x y z b x y z b x y z a a a πππ = +-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π． 2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是()3 2/c V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身． [证明] (a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ??，现计算()123b b b ??．由式(2．1)知， 123231312222,,c c c b a a b a a b a a V V V πππ= ?=?=? 此处 ()123c V a a a =?? 而
倒易点阵与晶体衍射
利用透射电镜进行物相形貌观察（如图2-12中的各种结果）仅是一种较为直接的应用，透射电镜还可得到另外一类图像---电子衍射图（图2-15所示）。图中每一斑点都分别代表一个晶面族，不同的电子衍射谱图又反映出不同的物质结构。 图2-15 金蒸发膜的多晶和钢中Mo23C6单晶的电子衍射花样 按照一定规则进行分析，我们可以标定出每一斑点对应的晶面指数，再由标准物质手册，可以查出这两种物质分别是金的多晶体和Mo23C6单晶碳化物。可见，利用电子衍射图也可以分析未知的物相。 电子衍射原理和X射线衍射原理是完全一样的，但较之其还有以下特点： 1.电子衍射可与物像的形貌观察结合起来，使人们能在高倍下选择微区进行 晶体结构分析，弄清微区的物象组成； 2.电子波长短，使单晶电子衍射斑点大都分布在一二维倒易截面内，这对分 析晶体结构和位向关系带来很大方便； 3.电子衍射强度大，所需曝光时间短，摄取衍射花样时仅需几秒钟。 下面我们就来讨论为什么透射电镜中的电子束可以产生上述衍射花样----电子衍射原理。 电子衍射原理 已知，当波长为l 的单色平面电子波以入射角θ照射到晶面间距为d的平行晶面组时，各个晶面的散射波干涉加强的条件是满足布拉格关系：2dsinθ =nλ（11）式中n=0，1，2，3，4….，称为衍射级数，为简单起见，至考虑n=1的情况，即可将布拉格方程写成2dsinθ =l 或更进一步写成： ( ) 这一关系的几何意义为布拉格角的正玄函数为直角三角形的对边(1/d)与斜边(2/λ)之比，而满足上式关系的点的集合是以1/λ为半径，以2/λ为斜边的球的所有内接三角形的顶点---球面上所有的点均满足布拉格条件。可以想象，AO'
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导教学文稿
第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与习题 指导
竭诚为您提供优质文档/双击可除 第二部分倒易点阵和晶体衍射-总结与 习题指导 篇一：第十二章习题答案new 1、分析电子衍射与x衍射有何异同？ 答：相同点： ①都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。 ②两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。 不同点： ①电子波的波长比x射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad。 而x射线产生衍射时，其衍射角最大可接近2 ?。 ②在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使 衍射条件变宽。
③因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的 范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。 ④原子对电子的散射能力远高于它对x射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取 衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。 2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。 关系： ①倒易矢量ghkl垂直于正点阵中对应的（hkl）晶面，或平行于它的法向nhkl ②倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面 ③倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl ④对正交点阵有a*//a，b*//b，c*//c，a*=1/a， b*=1/b，c*=1/c。
倒易点阵与正格空间
倒易点阵 将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。倒易点阵的空间称为倒易空间。 倒易点阵与正点阵的关系:真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl 表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl 点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长． 倒易点阵的性质: １.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面 ２.倒易矢量长度r等于HKL晶面的面间距dHKL的倒数 倒易点阵 将空间点阵（真点阵或实点阵）经过倒易变换，就得到倒易点阵。倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。倒易点阵的空间称为倒易空间。倒易点阵与正点阵的关系真点阵中的一组晶面（hkl），在倒易空间中将用一个点Ｐhkl表示（如图所示），点子与晶面有倒易关系，关系为：点子取在（hkl）的法面上，且Ｐhkl点到倒易点阵原点的距离与（hkl）面间距反比．从原点到Ｐhkl点矢量Ｈhkl称为倒易矢量，其大小Ｈhkl=k/dhkl 式中k为比例常数，在多数场合下取作１，但很多时候亦可令之等于Ｘ射线的波长．倒易点阵的性质１.倒易矢量r垂直于正点阵的HKL晶面２.倒易矢量长度r等于HKL 晶面的面间距dHKL的倒数
布里渊区就是由晶体倒格矢中垂面在倒易空间中分割出来的一个个区域。所以会有第一布里渊区，直至第n布里渊区。其物理意义在于每个布里渊区代表了一个能带，布里渊区边界就是能带边界。 固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。 第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，如果对每一倒易点阵作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发（见固体中的元激发）的能量和状态都是倒易点阵的周期函数，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，并确定它们的能量（频率）和波矢关系。限于第一布里渊区的波矢称为简约波矢，而第一布里渊区又叫简约区，在文献中不加定语的布里渊区指的往往就是它。 布里渊区的形状取决于晶体所属布喇菲点阵的类型。简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，菱十二面体和截角八面体（十四面体）。它们都是对称的多面体，并具有相应点阵的点群对称性，这一特征使简约区中高对称点的能量求解得以简化（见晶体的对称性）。
倒易点阵
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~ 零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~ 消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~ 明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。 暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。 衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~ 质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。 二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~ 吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。这叫做~ 分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。 焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。 焦长：透镜像平面允许的轴向偏差. 景深：透镜物平面允许的轴向偏差. 磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度. 电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。 透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。 弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。 背散射电子：是被固定样品中的原子核反弹回来的一部分入射电子，其中包含弹性背散射电子和非弹性背散射电子。 弹性背散射电子：指被样品中原子核反弹回来的，散射向大于90°的电子其能量没有损失。非弹性背散射电子：是入射电子和样品河外电子撞击后产生的电子，波方向改变，能量也不同程度损失。 晶带轴：在正点阵中，同时平行于某一晶像的一组晶面构成一个晶带，而这一晶向称为这一晶带的晶带轴。 结构因子：表示晶体的正点晶胞内所有原子的散射波在衍射方向上的合成振幅。 第二相粒子:指那些和基体之间处于共格或半共格状态的粒子。 复型：就是真实样品表面形貌组织结构细节的薄膜复制样品。 萃取复型：是金相样品进行腐蚀使第二相粒子容易从基体上剥离以便把第二相粒子包络起来的方法。 二次复型：先制成逐渐复型，然后在中间复型上晶型第二次复型，再把中间复型溶去，最后得到的是第二次复型。
倒易点阵
材料现代研究方法
X射线衍射方法 综合热分析 紫外光谱 红外光谱 XPS光电子能谱
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倒易点阵
1. 倒易点阵的定义； 2. 倒易点阵与正点阵的倒易关系； 3. 倒易点阵参数；
倒易点阵
Questions: 1. 什么是倒易点阵？
天下本无事，庸人自扰之？ ? 非常有用!
2. 倒易点阵有用吗？ 3. 为什么要引入倒易点阵概念?
能简化（1）晶面与晶面指数表达；（2）衍射原理的表 达；（3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部 部分。 晶体X射线衍射的核心，是对晶体中各个晶面的研 究，如果能把晶面作为一个点来研究，何乐不为！
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倒易点阵
晶体XRD衍射图谱 晶体电子衍射花样
我们所观察到的衍射花样（或者衍射图谱）实际上是满 足衍射条件的倒易阵点的投影。
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1.倒易点阵的定义
倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系 建立起来的空间几何图形。 每种空间点阵都存在着与其相对应的倒易空间点阵， 它是晶体点阵的另一种表达方式。 用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推演简化。 晶体点阵空间称为正空间，结点为阵点。倒易空间中 的结点称为倒易点。
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1.倒易点阵的定义
简单点阵
001 101
简单点阵的倒易点阵
011 111
010 100 110
点阵: 原点、基矢量、 阵点、晶向、晶面
倒易点阵: 原点、倒易基矢量、 8 倒易点、倒易矢量、倒易面
第十二章习题答案new
1、分析电子衍射与X 衍射有何异同？ 答：相同点： ① 都是以满足布拉格方程作为产生衍射的必要条件。 ② 两种衍射技术所得到的衍射花样在几何特征上大致相似。 不同点： ① 电子波的波长比x 射线短的多，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角很小，约为10-2rad 。 而X 射线产生衍射时，其衍射角最大可接近 2 。 ② 在进行电子衍射操作时采用薄晶样品，增加了倒易阵点和爱瓦尔德球相交截的机会，使 衍射条件变宽。 ③ 因为电子波的波长短，采用爱瓦尔德球图解时，反射球的半径很大，在衍射角θ较小的 范围内反射球的球面可以近似地看成是一个平面，从而也可以认为电子衍射产生的衍射斑点大致分布在一个二维倒易截面内。 ④ 原子对电子的散射能力远高于它对x 射线的散射能力，故电子衍射束的强度较大，摄取 衍射花样时曝光时间仅需数秒钟。 2、倒易点阵与正点阵之间关系如何？倒易点阵与晶体的电子衍射斑点之间有何对应关系？ 答：倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间点阵，通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相对应晶面的衍射结果，可以认为电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵某一截面上阵点排列的像。 关系： ① 倒易矢量g hkl 垂直于正点阵中对应的（hkl ）晶面，或平行于它的法向N hkl ② 倒易点阵中的一个点代表正点阵中的一组晶面 ③ 倒易矢量的长度等于点阵中的相应晶面间距的倒数，即g hkl =1/d hkl ④ 对正交点阵有a *//a ，b *//b ，c *//c ，a *=1/a ，b *=1/b ，c *=1/c 。 ⑤ 只有在立方点阵中，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量g hkl 是与相应指数 的晶向[hkl]平行 ⑥ 某一倒易基矢量垂直于正交点阵中和自己异名的二基矢所成平面。 3、用爱瓦尔德图解法证明布拉格定律。 证：如图，以入射X 射线的波长λ的倒数为半径作一球（厄瓦尔德球），将试样放在球心O 处，入射线经试样与球相交于O*；以O*为倒易原点，若任一倒易点G 落在厄瓦尔德球面上，则G 对应的晶面满足衍射条件产生衍射。 令入射方向矢量为k （k = 1/λ），衍射方向矢量为k ，，衍射矢量为g 。则有g = 2ksin θ。∵g=1/d ；k=1/λ，∴2dsin θ=λ。即厄瓦尔德球图解与布拉格方程等价。
晶体学基础与X射线衍射分析
晶体学基础与X射线单晶衍射分析 一、晶体及其对称性 晶体是由原子（离子，分子）在空间周期地排列构成地固体物质，为了更好的描述晶体这种周期排列的性质，可以把晶体中按周期重复的区域里的结构抽象成一个点，这样周期排列的点就构成了一个点阵，晶体的结构就可以表示成：晶体结构＝点阵＋结构基元 的形式。用三个不相平行的单位矢量a，b，c可以点阵在空间排列的坐标，这三个矢量的长度a，b，c及其相互之间的夹角γ，β，α称为点阵参数或晶胞参数。 点阵在空间的排列是高度有序的，这决定了其可以做某些对称操作。固定一个点不动的对称操作（包括旋转，镜像，中心反映）可以有32种，对应32个点群。实际晶体中除了点操作外，还可以存在螺旋轴，滑移面，若把这些操作和点操作进行组合，可以产生230种对称操作，对应230个空间群，所有晶体的对称操作只可能是这230个空间群中的一个。了解晶体所属的空间群对测定晶体结构，判断晶体性质是极为重要的。 二、倒易点阵和衍射方向 由于晶体具有周期性的排列结构，X射线照射到晶体上会产生衍射，为了更方便的解释晶体的衍射现象，引入了倒易点阵的概念。倒易点阵是从是从晶体点阵中抽象出来的一套点阵。它与晶体点阵的关系可以用下面的公式描述： 其中a*,b*,c*是倒易点阵的单位矢量，倒易点阵上的点h，k，l的向量H可以表示为： H＝ha?+kb?+lc? 向量H的与晶体点阵中的平面（h，k，l）垂直，其长度与点阵中d hkl成反比，即： H＝1/d?kl.
晶体产生衍射的基本条件满足布拉格方程： 也即： sinθhkl ＝ 1d ?kl 2λ=H ?kl 2λ 从这里可以看出，只有倒易点阵H hkl 对应的方向才是晶体衍射极大值出射的方向。 三、晶体基本信息的测定 晶体的基本信息也就是晶体的晶胞参数和所属的空间群，其中晶胞参数可以在数据处理时利用布拉格方程来计算，为减小误差可以选用高角度的衍射点来求算。 由于在没有反常散射的情况下，晶体的衍射强度满足Friedel 定律，衍射点在H hkl 和H hkl ?????的强度是相等的，也就是衍射点的分布都是中心对称的。这样衍射点所满足的点群只能是那些有中心对称的点群，这样的点群有11个，称为劳埃群。当晶体中存在对称中心，螺旋轴，滑移面的时候，衍射图样中的许多衍射点会有规律地，系统地不出现，这种现象称为系统消光。通过对衍射图像上衍射点强度的对称规律分析，可以判断出晶体属于那种点阵类型，以及晶体中是否存在螺旋轴和滑移面。结合系统消光规律可以把劳埃群区分成120个衍射群，其中有58个衍射群对映唯一的空间群，而剩下的62个衍射群每个可以对应多个空间群。 对于非中心对称的晶体来说，反常散射效应破坏Friedel 中心对称定律，可以根据这个判断晶体中是否存在对称中心。另外根据衍射强度的统计分布规律也可以判断晶体中是否存在对称中心。 若上述这些方法还无法唯一确定晶体属于那种空间群，那么就只能假设那些可能的空间群都是对的，在各种可能的空间群下都去解析晶体的结构，与衍射数据最相符的那个结构所对应的空间群就是正确的空间群。 四、X 射线衍射分析的理论依据和难点 利用X 射线衍射来分析晶体的最终目的是测定晶体中各个原子的位置，从而解释物质的性能。知道了晶胞参数和晶体所属空间群还远远不够。晶体中原子对X 射线的散射，主要体现在核外电子对X 射线的散射上。在实际应用时，可以对