2014年考研数学三真题和答案
2014年考研数学三真题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。) (1)设lim n→∞
a n =a,且a ≠0,则当n 充分大时有
(A )|a n |>
|a |2
(B ) |a n |<
|a |2
(C ) a n >a ?1n
(D ) a n 【答案】A 。 【解析】 【方法1】直接法: 由lim n→∞ a n =a,且a ≠0,则当n 充分大时有 |a n |> |a |2 【方法2】排除法: 若取a n =2+2 n ,显然a =2,且(B )和(D )都不正确; 取a n =2?2 n ,显然a =2,且(C )不正确 综上所述,本题正确答案是(A ) 【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是 (A )y =x +sin x (B )y =x 2+sin x (C ) y =x +sin 1 x (D ) y =x 2+sin 1 x 【答案】C 。 【解析】 【方法1】 由于lim x→∞f(x) x =lim x→∞ x+sin1 x x =1=a lim x→∞[f(x)?ax]=lim x→∞ [x+sin1 x ?x]=lim x→∞ sin1 x =0=b 所以曲线y=x+sin1 x 有斜渐近线y=x,故应选(C) 解法2 考虑曲线y=x+sin1 x 与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限 lim x→∞[x+sin1 x ?x]=lim x→∞ sin1 x =0 则直线y=x是曲线y=x+sin1 x 的一条斜渐近线,故应选(C) 综上所述,本题正确答案是(C) 【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设p(x)=a+bx+cx2+dx3.当x→0时,若p(x)?tan x是比x3 高阶的无穷小,则下列选项中错误的是 (A)a=0 (B)b=1 (C)c=0 (D)d=1 6 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当x→0时,tan x?x ~ 1 3 x3知,tan x的泰勒公式为 tan x=x+ 1 3 x3+o(x3) 又lim x→0p(x)?tan x x3 =lim x→0 a+(b?1)x+cx2+(d?1 3 )x3+o(x3) x3 =0 则a=0,b=1,c=0,d=1 3 显然,a=0, lim x→0p(x)?tan x x3 =lim x→0 a+bx+cx2+dx3?tan x x3 =lim x→0 b+2cx+3dx2?sec2x 3x2 由上式可知,b=1,否则等式右端极限为∞,则左端极限也为∞,与题设矛盾。 lim x→0p(x)?tan x x =lim x→0 2cx+3dx2?sec2x 3x =lim x→0 2c 3x +d?1 3 故c=0,d=1 3 综上所述,本题正确答案是(D)。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较(4)设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1?x)?f(1)x,则在区间 [0,1]上 (A)当f′(x)≥0时,f(x)≥g(x) (B)当f′(x)≥0时,f(x)≤g(x) (C)当f′′(x)≥0时,f(x)≥g(x) (D)当f′′(x)≥0时,f(x)≤g(x) 【答案】D。 【解析】 【方法1】 由于f(0)=g(0),f(1)=g(1),则直线y=f(0)(1?x)?f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f′′(x)≥0时,曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的,曲线y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0))和(1,f(1))的弦y=f(0)(1?x)?f(1)x的下方,即f(x)≤g(x) 令F(x)=f(x)?g(x)=f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x,则 F′(x)=f′(x)+f(0)?f(1),F′′(x)=f′′(x), 当f′′(x)≥0时,F′′(x)≥0。则曲线F(x)在区间[0,1]上是凹的,又F(0)=F(1)=0, 从而,当x∈[0,1]时,F(x)≤0,即f(x)≤g(x) 【方法3】 令F(x)=f(x)?g(x)=f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x, 则F(x)=f(x)[(1?x)+x]?f(0)(1?x)?f(1)x, =(1?x)[f(x)?f(0)]?x[f(1)?f(x)] =x(1?x)f′(ξ)?x(1?x)f′(η)ξ∈(0,x),η∈(x,1) =x(1?x)[f′(ξ)?f′(η)] 当f′′(x)≥0时,f′(x)单调增,f′(ξ)≤f′(η),从而,当x∈[0,1]时,F(x)≤0,即f(x)≤g(x) 综上所述,本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明 (5)行列式|0a a0 b0 0b 0c c0 d0 0d |= (A)(ad?bc)2 (B)? (ad?bc)2 (C)a2d2?b2c2 (D) b2c2?a2d2 【答案】B。 【解析】灵活使用拉普拉斯公式 |0a a0 b0 0b 0c c0 d0 0d |=?| c0 a0 0d 0b 0c 0a d0 b0 |=| c d a b 00 00 00 00 d c b a | =|c d a b |?[d c b a ]=? (ad?bc)2 综上所述,本题正确答案是(B) 【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算 (6)设α1,α2,α3均为三维向量,则对任意常数k,l,向量组 α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的 (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 【答案】A。 【解析】 记β1=α1+kα3,β2=α2+lα3,则 (β1,β2)=(α1,α2,α3)[10 01 k l ] 若α1,α2,α3线性无关,则(α1,α2,α3)是3阶可逆矩阵, 故r(β1,β2)=r[10 01 k l ]=2,即α1+kα3,α2+lα3线性无关。反之,设α1,α2线性无关,α3=0,则对于则对任意常数k,l,向量组α1+kα3,α2+lα3线性无关,但α1,α2,α3线性相关, 所以α1+kα3,α2+lα3线性无关是向量组α1,α2,α3线性无关的必要非充分条件。 综上所述,本题正确答案是(A)。 【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关 (7)设随机事件A与B相互独立,且P(B)=0.5,P(A?B)=0.3,则 P(B?A)= (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B。 【解析】A,B独立,则A,B独立,B?,A也独立,而A?B=AB?,B?A= BA可用独立性来计算。 P(A?B)=P(AB?)=P(A)P(B?)=0.3 P(B?)=1?P(B)=0.5 可得P(A)=0.6 P(B?A)=P(BA)=P(B)P(A)=0.5×0.4=0.2综上所述,本题正确答案是(B)。 【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件关系,概率性质和五大公式 (8)设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,σ2)的简单随机样本,则统计量 S=12 √2|X3| 服从的分布为 (A)F(1,1) (B) F(2,1) (C)t(1) (D)t(2) 【答案】C。 【解析】 X1?X2~N(0,2σ2),所以12 √2σ X3~N(0,σ2),X3 σ~N(0,1),(X3 σ ) 2 ~χ2(1) X1?X2与X3相互独立,故12 √2σ与(X3 σ ) 2 也独立。 所以 12 √2σ √(3 σ ) 2 /1 ,而 12 √2σ √(3 σ ) 2 /1 =12 √2|X| =S 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分。) (9)设某商品的需求函数为Q=40?2p(p为商品的价格),则该商品 的边际收益为。 【答案】20?Q 【解析】由题设知收益函数为R=pQ=(40?Q 2 )Q,则边际收益为 dR dQ =20?Q 【考点】高等数学—一元函数微分学—一元微分在经济中的应用(10)设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区 域,则D的面积为。 【答案】3 2 ?ln2 【解析】 【方法1】 曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域D如下图,则D的面积为 S=∫[2+x]dx ?1 ?2+∫[2+ 1 x ]dx ? 1 2 ?1 = 3 2 ?ln2 【方法2】 用二重积分计算面积,即 S =?dxdy D =∫dy ∫dx =? 1y ?y 2 1 ∫[?1y +y]dy =2 1 3 2?ln2 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用 (11)设∫xe 2x dx a 0 =1 4 ,则a = 。 【答案】1 2 。 【解析】 ∫xe 2x dx a 0=1∫xde 2x a 0=1xe 2x |0a ?1 ∫e 2x a 0dx =(a 2?14)e 2a +14 可知(a 2?14)e 2a =0,则a =1 2 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算 (12)二次积分∫dy 10∫(e x 2 x ?e y 2 )dx 1y = 。 【答案】 e?1 2 。 【解析】 二次积分的积分区域为 D={(x,y)|0≤y≤1,y≤x≤1}={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x}交换积分次序得 ∫dy 1 0∫( e x2 x ?e y2)dx 1 y =∫dx∫( e x2 x ?e y2)dy x 1 =∫(e x2?∫e y2dy x 0)dx 1 =∫e x2dx 1 ?∫(∫e y2dy)dx x 1 =∫e x2dx 1 ?(x∫e y2dy) x | 1 +∫x 1 e x2dx =∫e x2dx 1 ?∫e y2dy 1 + 1 e x2| 1 = e?1 【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系 (13)设二次型f(x1,x2,x3)=x12?x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指 数为1,则a的取值围是。 【答案】[?2,2] 【解析】 由配方法 f(x1,x2,x3)=x12+2ax1x3+a2x32?(x22?4x2x3+4x32) +4x32?a2x32 =(x1+ax3)2?(x2?2x3)2+(4?a2)x32 负惯性指数为1,故4?a2≥0,解得a∈[?2,2]【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形 (14)设总体X的概率密度为 f (x;θ)={2x 3θ2,θ 其中θ是未知参数,X 1,X 2,?X n 为来自总体X 的简单随机样本,若 E(c ∑X i 2n i=1)=θ2 ,则c = 。 【答案】2 5n 【解析】 E(c ∑X i 2n i=1)=c ∑EX i 2n i=1=cnEX 2=cn ∫2x 3θ2 dx =cn 5 2 2θθ θ2= θ2, 解得c = 25n 【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念 三、解答题:15~23小题,共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)求极限 lim x→+∞ ∫[t 2 (e 1t ?1)?t]dt x 1 x 2ln (1+1x ) 【解析】 【方法1】 lim x→+∞∫[t 2(e 1 t ?1)?t]dt x 1 x 2ln(1+1 x ) = =lim x→+∞∫[t 2(e 1 t ?1)?t]dt x 1 x 2?1x (等价无穷小代换) =lim x→+∞ [x 2(e 1x ?1)?x] (洛必达法则) =lim t→0 + e t ?1?t t (变量代换 1 x =t ) =lim t→0 +e t ?12t (洛必达法则) =1 2 【方法2】 lim x→+∞ ∫[t 2(e 1 t ?1)?t]dt x 1 x 2ln(1+1 x ) = =lim x→+∞ ∫[t 2(e 1 t ?1)?t]dt x 1 x 2?1x (等价无穷小代换) =lim x→+∞ [x 2 (e 1 x ?1)?x] (洛必达法则) =lim x→+∞[x 2(1x +12!x +o(1 x ))?x] (泰勒公式) =1 2 【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限,常见等价无穷小,常见函数泰勒公式展开 (16)设平面区域D ={(x,y)|1≤x 2+y 2≤4,x ≥0,y ≥0},计算 ?xsin(π√x 2+y 2)D dxdy 【解析】 【方法1】令x =r cos θ,y =r sin θ, ?xsin(π√x 2+y 2) x+y D dxdy =∫cos θcos θ+sin θ dθ∫rsin πrdr 2 1 π 2 =∫cos θ cos θ+sin θdθπ 2 ?1π (?rcos πr |12 +∫cos πrdr 2 1 ) =?3 π∫ cos θcos θ+sin θπ 2 0dθ 又I =∫cos θ cos θ+sin θ π 2 dθ=∫sin θcos θ+sin θ π2 0dθ 令θ=π 2 ?t ) =1 2∫ cos θ+sin θcos θ+sin θ π 2 0dθ=π 4 所以?xsin(π√x 2+y 2) x+y D dxdy =?3π ?π4 =?3 4 【方法2】 显然积分区域D 关于x,y 有轮换对称性,于是 ?xsin(π√x 2+y 2) x+y D dxdy =?ysin(π√y 2+x 2) y+x D dxdy =12 [?xsin(π√x 2+y 2) x+y D dxdy +?ysin(π√y 2+x 2) y+x D dxdy] =12?xsin(π√x 2+y 2)D dxdy =1 2∫dθ∫rsin πrdr 2 1π2 =1 2∫dθπ 20?1π(?rcos πr |12+∫cos πrdr 2 1) =?3π ?π4 =?3 4 【考点】高等数学—二重积分—利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分 (17)设函数f(μ)具有连续导数,且z =f(e x cos y)满足 cos y ez ex ?sin y ez ey =(4z +e x cos y)e x 若f (0)=0,求f(μ)的表达式。 【解析】 利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数,代入所给偏微分方程,转化为可求解的常微分方程。 因为 ez ex =f ′(e x cos y )e x cos y ,ez ey =?f ′(e x cos y )e x sin y 所以 cos y ez ex ?sin y ez ey =cosyf ′(e x cos y )e x cos y +sinyf ′(e x cos y )e x sin y =f ′(e x cos y )e x 因此cos y ez ex ?sin y ez ey =(4z +e x cos y)e x 化为 f ′(e x cos y )e x =(4z +e x cos y)e x 从而函数f(μ)满足方程 f ′(μ)=4f (μ)+μ 一阶线性非齐次微分方程 可得方程通解为 f (μ)=Ce 4μ?μ 4? 116 由f (0)=0,解得 C =1 16 故 f (μ)= 116 e 4μ?μ4 ? 1 16 【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数,一阶线性非齐次微分方程求解 (18)求幂级数∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0的收敛域及和函数 【解析】 【方法1】 因为几何级数∑x n ∞n=0= 11?x ,且收敛域为x ∈(?1,1) 又∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0 =∑(n +1)(n +2)x n ∞ n=0 +∑(n +1)x n ∞ n=0 =(∑x n+2∞ n=0)′′ +(∑x n+1∞ n=0 )′ =(x 21?x )′′ +(x 1?x )′=[2x ?x 2(1?x )2]′ + 1 (1?x )2 =3?x (1?x )3 , x ∈(?1,1) 由幂级数的逐项求导性质知∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0的收敛域为 (?1,1),和函数S (x )=3?x (1?x )3 ,x ∈(?1,1) 【方法2】 幂级数∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0 的系数a n =(n +1)(n +3), 又 lim n→∞a n+1 a n =lim n→∞(n +2)(n +4)(n +1)(n +3) =1 所以收敛半径 R =1 当x =1时,∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0=∑(n +1)(n +3)∞n=0发散; 当x =?1时,∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0=∑(n +1)(n +3)∞n=0(?1)n 发散; 故收敛域为x ∈(?1,1) 设 S (x )=∑(n +1)(n +3)x n ∞n=0,x ∈(?1,1) 则 ∫S(t)dt x =∑(n +3)x n+1∞n=0 =∑(n +2)x n+1∞n=0 +∑x n+1∞ n=0 =[∑∫(n +2)t n+1dt x ∞ n=0]′ + x =(∑x n+2 ∞ n=0 )′+x =2x ?x 2(1?x )2+x 1?x =3x ?2x 2 (1?x )2 故和函数 S (x )=[3x?2x 2( 1?x )2 ]′ =3?x (1?x )3 ,x ∈(?1,1) 【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的和 (19)设函数f (x ),g(x)在区间[a,b]上连续,且f (x )单调增加,0≤g(x)≤1。证明: (I)0≤∫g(t)dt x a ≤x ?a,x ∈[a,b ]; (II)∫f (x )dx a+∫g(t)dt b a a ≤∫f (x )g(x)dx b a . 【解析】 (Ⅰ)由0≤g(x)≤1得 得0≤∫g(t)dt x a ≤∫1dt x a ≤x ?a,x ∈[a, b ]; (Ⅱ)令F (u )= ∫f (x )g(x)dx u a ? ∫f (x )dx a+∫g(t)dt u a a 显然F (a )=0,只要证明F (u )单调增且F (b )≥0, F ′(u )=f (u )g (u )?f (a +∫g (t )dt u a )g(u) =g (u )[f (u )?f(a +∫g (t )dt u a )] 由(Ⅰ)的结论0≤ ∫g(t)dt x a ≤x ?a 知,a ≤a + ∫g(t)dt x a ≤x 即 a ≤a +∫g(t)dt u a ≤u 又f(x)单调增加,则f(u)≥f(a +∫g (t )dt u a ),因此,F ′(u)≥0, F(b)≥0. 故 ∫f (x )dx a+∫g(t)dt b a a ≤ ∫f (x )g(x)dx b a . 【考点】高等数学—一元函数积分学—与定积分有关的证明题 (20)设A =[1 ?20 11 2 3?4 ?110?3 ],E 为三阶单位矩阵 (I)求方程组Ax =0的一个基础解系; (II)求满足AB =E 的所有矩阵B 。 【解析】 (Ⅰ)对矩阵A 做初等行变换,得 A =[1?20112 3?4?110?3 ]→[1?20 100 3?4?111?3]→[100100 01 0?21?3 ] 因n ?r (A )=4?3=1,令x 4=1求出x 3=3,x 2=2,x 1=?1 故基础解系为η=(?1,2,3,1)T (Ⅱ)考察3个非齐次线性方程组 Ax =[100], Ax =[010], Ax =[001 ] 由于这三个方程组的系数矩阵是相同的,所以令A =(A ?E)做初等行变换 A =(A ?E )=[1?20112 3?4 ?110?3|100 010001 ] →[1?20104 3?4 ?11?31|100 010?101] →[1?20100 3?4 ?111?3|100 010?1?41] →[1?20100 0 5 0?21?3|412?3 ?1?31?1?41] →[100100 0 1 0?21?3|261 ?1?31?1?41] 由此得三个方程组的通解: (2,?1,?1,0)T +k 1η (6,?3,?4,0)T +k 2η (?1,1,1,0)T +k 3η 故所求矩阵为B =[2?k 16?k 2?1?k 3?1+2k 1?3+2k 21+2k 3 ?1+3k 1?4+3k 21+3k 3k 1 k 2k 3],k 1,k 2,k 3为 任意常数。 【考点】高等数学—线性方程组—非齐次方程组的求解 (21)证明n 阶矩阵[ 1?11 1 ?11????1?1 1]与[0?010?02????0?0n ]相似 【解析】 证明:记 A =[1?11 1?11 ????1?11],B =[ 0?010?02????0?0 n ] 因为A 是实对称矩阵必与对角矩阵相似 由|λE ?A |=λn ?nλn?1=0,知A 的特征值为n,0,0?,0(n ?1个)。 故A~Λ=[n ?000?00 ????0?00 ] 又由|λE ?B |=(λ?n)λn?1=0, 知B 的特征值为n,0,0?,0(n ?1个)。 当λ=0时,r (0E ?B )=r (B )=1,那么n ?r (0E ?B )=n ?1,即齐次方程组(0E ?B )x =0有n ?1个线性无关的解,亦即λ=0时,矩阵B 有n ?1个线性无关的特征向量,从而矩阵B 必有对角矩阵相似,即 B~Λ=[ n ?000 ?00 ????0 ?00 ] 从而A 和B 相似。 【考点】高等数学—特征值与特征向量—相似与相似对角化 (22)设随机变量X 的概率密度为 f (x )={2?x ln2,x >0 0 , x ≤0 对X 进行独立重复的观测,直到第二个大于3的观测值出现时停止,记Y 为观测次数 (I)求Y 的概率分布 (II)求EY 【解析】 (Ⅰ)令A ={对X 进行一个观测得到的值大于3}。 显然P (A )=P {X >3}=∫f(x)dx +∞3 =∫2?x ln2+∞ 3 dx =1 8 , 记事件A 发生的概率P (A )=18 =p Y 的可能取值应为k =2,3,?, P {Y =k }=C k?11p(1?p)k?2p =(k ?1)p 2(1?p)k?2,k =2,3,? 所以Y 的分布为 P {Y =k }=(k ?1)p 2(1?p )k?2,p =1 8,k =2,3,? (Ⅱ) EY =∑k (k ?1)p 2(1?p ) k?2∞2 记1?p =q EY =p 2 ∑k (k ?1)q k?2=p 2 ∞ 2 d dq (∑kq k?1∞ 2 ) =p 2 d dq (∑kq k?1∞ 1 ?1)=p 2d dq (∑kq k?1)∞ 1=p 2 (d dq )2 (∑q k )∞ 1 =p 2(d )2 (∑q k ?1)=p 2(d )2 (∑q k )=∞ ∞ p 2 (d )2 (1) =p 2 d dq [1(1?q )2]=p 2?2(1?q)3=p 2 ?2p 3=2p =16 【考点】高等数学—随机变量的数字特征—数学期望 (23)设随机变量X,Y 的概率分布相同,X 的概率分布为P {X =0}=1 3 , P {X =0}=23 ,且X,Y 的相关系数ρxy =1 2 (I)求(X,Y)的概率分布; (II)求P{X +Y ≤1} 【解析】 ρxy = √DX √DY . EX =EY =23 , DX =DY =23?13 = 29 Cov (X,Y )=EXY ?EXEY =d ?2?2=d ?4 ρxy = Cov(X,Y)√DX √DY =d ?4 929 =12 解得 d =59 由此可得 b =c =2 3 ?d =1 9 ,a =1 3 ?b =2 9 所以 (Ⅱ) P{X+Y≤1}=1?P{X+Y>1}=1?d=4 9 【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—概率分布,相关系数 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题:1~8 小题,每小题4 分,共32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设lim a n a, 且a 0, 则当n 充分大时有() (A)a (B)a 1 (C)a n a n 1 (D)a n a n (2)下列曲线有渐近线的是() (A)y x s in x (B)y x2 s in x (A)当f '(x) 0时,f x( ) g x( ) (B)当f '(x) 0时,f x( ) g x( ) (C)当f '(x) 0时,f x( ) g x( ) (D)当 f '(x) 0时,f x( ) g x( ) 0 a a 0 (5)行列式0 c c 0b d b 0 d (A)(ad bc)2 (B) (ad bc)2 (C)a d22 b c2 2 (D)b c2 2 a d2 2 (6)设a a1,2,a3 均为3 维向量,则对任意常数k,l ,向量组 1 k 3, 2 l 3 线性无关是向量组 1, 2, 3 线性无关的(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 (7)设随机事件A 与B 相互独立,且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,求P(B-A)=()(A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 (8)设X X X1, , 为来自正态总体N (0, 2) 的简单随机样本,则统计量X 1 X 2 服从的分布为 2 3 2 X (A)F(1,1) (B)F(2,1) (C)t(1) (D)t(2) 二、填空题:9 14 小题,每小题4 分,共24 分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)设某商品的需求函数为Q 40 2P (P 为商品价格),则该商品的边际收益为_________。 (10)设D是由曲线xy 10 与直线y x 0及y=2 围成的有界区域,则D 的面积为_________。 a (11)设xe2x dx ,则a _____. 2 2014年考研数一真题与答案解析 数学一试题答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ...指定位置上. (1)B (2)D (3)D (4)B (5)B (6)A (7)(B) (8)(D) 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸... 指定位置上. (9)012=---z y x (10)11=-)(f (11)12+=x x y ln (12)π (13)[-2,2] (14)25n 三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸... 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)【答案】 2 1211111111102 0221 121 2112=-=--=--=--=--=+ --++→→+∞→+∞ →+∞→+∞→???u e lim u u e lim x )e (x lim ,x u x )e (x lim x tdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x x x x x x x 则令 (16)【答案】 20 20 2232222=+=+='++'?++')x y (y xy y y x xy y y x y y y x y )(y 20-==或舍。 x y 2-=时, 2 110 660 62480 62480 633333223223-==?==+-=+-+-=+-?+?+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y 04914 190 141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''?+'?+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。 (17)【答案】 y cos e )y cos e (f x E x x '=?? )y cos (e )y cos e (f y sin e )y cos e (f y E )y sin (e )y cos e (f y E y cos e )y cos e (f y cos e )y cos e (f x E x x x x x x x x x x -'+''=??-'=??'+''=??22222222 y cos e )y cos e (f )y cos e (f e )y cos e E (e )y cos e (f y E x E x x x x x x x +=''+=''=??+??44222 222 令u y cos e x =, 则u )u (f )u (f +=''4, 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214 -+=- 由,)(f ,)(f 0000='=得 4 161622u e e )u (f u u --=- (18)【答案】 补{}∑=1 1z )z ,y ,x (:的下侧,使之与∑围成闭合的区域Ω, 2014年考研数学三真题 一、选择题(18小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。) (1)设且≠0,则当充分大时有 (A) (B) (C)(D) 【答案】A。 【解析】 【方法1】直接法: 由且≠0,则当充分大时有 【方法2】排除法: 若取显然,且(B)和(D)都不正确; 取显然,且(C)不正确 综上所述,本题正确答案是(A) 【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C。 【解析】 【方法1】 由于 所以曲线有斜渐近线,故应选(C) 解法2 考虑曲线与直线纵坐标之差在时的极限 则直线是曲线的一条斜渐近线,故应选(C) 综上所述,本题正确答案是(C) 【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设当时,若是比 高阶的无穷小,则下列选项中错误的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当时,知,的泰勒公式为 又 则 显然,, 由上式可知,,否则等式右端极限为∞,则左端极限也为∞,与题设矛盾。 故 综上所述,本题正确答案是(D)。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较(4)设函数具有二阶导数,,则在区间 [0,1]上 (A)当时, (B)当时, (C)当时, (D)当时, 【答案】D。 【解析】 【方法1】 由于则直线过点和(),当时,曲线在区间[0,1]上是凹的,曲线应位于过两个端点和的弦的下方,即 令,则 ,, 当时,。则曲线在区间上是凹的,又, 从而,当时,,即 【方法3】 令, 则, = 当时,单调增,,从而,当时,,即 综上所述,本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明 (5)行列式 (A) (B) (C) (D) 【答案】B。 【解析】灵活使用拉普拉斯公式 2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分. 1.下列曲线有渐近线的是( ) (A )x x y sin += (B )x x y sin +=2 (C )x x y 1sin += (D )x x y 12sin += 2.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( ) (A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≤'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≤'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 3.设)(x f 是连续函数,则=? ?---y y dy y x f dy 1110 2 ),(( ) (A )? ?? ?---+2 100 11 010 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( (B )? ?? ? ----+0 101 1 10 1 2 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( (C )? ?? ? +++θθππθθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1 2 10 20 dr r r f d dr r r f d (D )? ?? ? +++θθππ θθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10 2 10 20rdr r r f d rdr r r f d 4.若函数{ } ??-∈---=--π π ππ dx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,,则=+x b x a sin cos 11( ) (A )x sin 2 (B )x cos 2 (C )x sin π2 (D )x cos π2 5.行列式d c d c b a b a 000 000 0等于( ) (A )2)(bc ad - (B )2)(bc ad -- (C )2222c b d a - (D )2222c b d a +- 6.设321ααα,, 是三维向量,则对任意的常数l k ,,向量31ααk +,32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的( ) (A )必要而非充分条件 (B )充分而非必要条件 (C )充分必要条件 (D )非充分非必要条件 7.设事件A ,B 想到独立,3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P ( ) (A )0.1 (B )0.2 (C )0.3 (D )0.4 2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有( ) (A )2n a a > (B )2 n a a < (C )1n a a n >- (D )1 n a a n <+ (2)下列曲线有渐近线的是( ) (A )sin y x x =+ (B )2sin y x x =+ (C )1sin y x x =+ (D )2 1sin y x x =+ (3) (A ) (B ) (C ) (D ) (4)设函数()f x 具有二阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上( ) (A )当'()0f x ≥时,()()f x g x ≥ (B )当'()0f x ≥时,()()f x g x ≤ (C )当'()0f x ≤时,()()f x g x ≥ (D )当'()0f x ≤时,()()f x g x ≥ (5)行列式 00000000a b a b c d c d = (A )2()ad bc - (B )2()ad bc -- (C )2 2 22 a d b c - (D )22 2 2 b c a d - (6)设123,,a a a 均为3维向量,则对任意常数,k l ,向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 (A )必要非充分条件 (B )充分非必要条件 (C )充分必要条件 (D )既非充分也非必要条件 (7)设随机事件A 与B 相互独立,且P (B )=0.5,P(A-B)=0.3,求P (B-A )=( ) (A )0.1 (B )0.2 (C )0.3 (D )0.4 (8)设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ 服从的分布为 (A )F (1,1) (B )F (2,1) (C )t(1) (D )t(2) 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸... 指定位置上. (9)设某商品的需求函数为402Q P =-(P 为商品价格),则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域,则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ,则_____.a = (12)二次积分2 21 1 0( )________.x y y e dy e dx x -=?? (13)设二次型22 123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1,则a 的取值范围是_________ 2014年考研数学三真题与解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.设0≠=∞ →a a n n lim ,则当n 充分大时,下列正确的有( ) (A )2 a a n > (B )2 a a n < (C )n a a n 1- > (D)n a a n 1+< 【详解】因为0≠=∞ →a a n n lim ,所以0>?ε,N ?,当N n >时,有ε<-a a n ,即εε+<<-a a a n , εε+≤<-a a a n ,取2 a = ε,则知2 a a n > ,所以选择(A ) 2.下列曲线有渐近线的是 (A )x x y sin += (B )x x y sin +=2 (C )x x y 1 sin += (D )x x y 12 sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以. 【详解】对于x x y 1sin +=,可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐近线x y = 应该选(C ) 3.设3 2 dx cx bx a x P +++=)(,则当0→x 时,若x x P tan )(-是比3 x 高阶的无穷小,则下列选项中错误的是( ) (A )0=a (B )1=b (C )0=c (D )6 1 = d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++ =,显然3 1 010====d c b a ,,,,应该选(D ) 4.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( ) (A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法. 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断.如果对区间上任意两 2014年考研数学三真题 一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。) (1)设limn→∞an=a,且a≠0,则当n充分大时有 (A)an>a2 (B) an 由于limx→∞f(x)x=limx→∞x+sin1xx=1=a limx→∞fx-ax=limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0=b 所以曲线y=x+sin1x有斜渐近线y=x,故应选(C) 解法2 考虑曲线y=x+sin1x与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0 则直线y=x是曲线y=x+sin1x的一条斜渐近线,故应选(C) 综上所述,本题正确答案是(C) 【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设px=a+bx+cx2+dx3.当x→0时,若px-tanx是比x3高阶的无 穷小,则下列选项中错误的是 (A)a=0 (B)b=1 (C)c=0 (D)d=16 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当x→0时,tanx-x ~ 13x3知,tanx的泰勒公式为 tanx=x+ 13x3+o(x3) 又limx→0px-tanxx3=limx→0a+b-1x+cx2+d-13x3+o(x3)x3=0则a=0,b=1,c=0,d=13 【方法2】 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1)当0x →时,用()o x 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( ) (A )2 3 ()()x o x o x ?= (B )23 ()()()o x o x o x ?= (C )2 2 2 ()()()o x o x o x += (D )2 2 ()()()o x o x o x += (2)函数||1()(1)ln || x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 (3)设k D 是圆域2 2 {(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分,记()k k D I y x dxdy =-??()1,2,3,4k =, 则( ) (A )10I > (B )20I > (C )30I > (D )40I > (4)设{}n a 为正项数列,下列选项正确的是( ) (A )若1 11 ,(1) n n n n n a a a ∞ -+=>-∑则 收敛 (B )1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑若 收敛,则1n n a a +> (C )1 n n a ∞ =∑若 收敛,则存在常数1P >,使lim P n n n a →∞ 存在 (D )若存在常数1P >,使lim P n n n a →∞ 存在,则 1 n n a ∞ =∑收敛 (5)设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵,若,B AB C =则可逆,则 (A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 (6)矩阵1a 1a b a 1a 1?? ? ? ???与2000b 0000?? ? ? ??? 相似的充分必要条件为 (A )a 0,b 2== (B )为任意常数b a ,0= (C )0,2==b a (D )为任意常数b a ,2= (7)设123X X X ,,是随机变量,且22 123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ,X 0,2),X , {22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则( ) (A )123P P P >> (B )213P P P >> (C )312P P P >> (D )132P P P >> (8)设随机变量X 和Y 相互独立,则X 和Y 的概率分布分别为, 则{2}P X Y +== ( ) 2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.当+→0x 时,若)(ln x 21+α ,α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小,则α的可能取值范围是( ) (A )),(+∞2 (B )),(21 (C )),(121 (D )),(2 10 【详解】αααx x 221~)(ln +,是α阶无穷小,ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2 阶无穷小,由题意可知?? ? ??>>121αα 所以α的可能取值范围是),(21,应该选(B ). 2.下列曲线有渐近线的是 (A )x x y sin += (B )x x y sin +=2(C )x x y 1sin += (D )x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=,可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐近线x y = 应该选(C ) 3.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( ) (A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法. 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程.故当0≥'')(x f 时,曲线是凹 的,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D ) 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话,可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=,则010==)()(F F ,且)(")("x f x F =,故当0≥'')(x f 时,曲线是凹的,从而010==≤)()()(F F x F ,即0≤-=)()()(x g x f x F ,也就是 2000年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 1 20 2x x dx -? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当 a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑ 2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分. 1.下列曲线有渐近线的是( ) (A )x x y sin += (B )x x y sin +=2 (C )x x y 1sin += (D )x x y 12sin += 2.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( ) (A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≤'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≤'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 3.设)(x f 是连续函数,则 =??---y y dy y x f dy 11102),(( ) (A ) ????---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( (B ) ????----+010*******x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( (C ) ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d (D ) ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d 4.若函数{} ??-∈---=--πππ πdx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,,则=+x b x a sin cos 11( ) (A )x sin 2 (B )x cos 2 (C )x sin π2 (D )x cos π2 5.行列式d c d c b a b a 000000 00等于( ) (A )2)(bc ad - (B )2)(bc ad -- (C )2222c b d a - (D )2222c b d a +- 6.设321ααα,, 是三维向量,则对任意的常数l k ,,向量31ααk +,32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的( ) (A )必要而非充分条件 (B )充分而非必要条件 (C )充分必要条件 (D )非充分非必要条件 7.设事件A ,B 想到独立,3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P ( ) (A )0.1 (B )0.2 (C )0.3 (D )0.4 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选 项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)(数三) 若a a n n =∞ →lim ,且0≠a ,则当n 充分大时有( ) (A )2 a a n > (B )2 a a n < (C )n a a n 1- > (D )n a a n 1 +< (2)(数二) 当0x +→时,若ln (12)x α +,1 (1cos )x α -均是比x 高阶的无穷小,则α的取值范围是 ( ) (A )(2,)+∞ (B )(1,2) (C )1(,1)2 (D )1(0,)2 (3)(数一、二、三) 下列曲线中有渐近线的是( ) (A )sin y x x =+ (B )2 sin y x x =+ (C )1sin y x x =+ (D )21sin y x x =+ (4)(数三) 设2 3 ()P x a bx cx dx =+++,当0→x 时,若()tan P x x -是比3 x 高阶的无穷小,则下 列选项中错误.. 的是( ) (A )0=a (B )1=b (C )0=c (D )6 1 =d (5)(数一、二、三) 设函数()f x 具有2阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上( ) (A )当()0f x '≥时,()()f x g x ≥ (B )当()0f x '≥时,()()f x g x ≤ (C )当()0f x ''≥时,()()f x g x ≥ (D )当()0f x ''≥时,()()f x g x ≤ (6)(数二) 曲线22 7,41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是( ) (A (B (C )(D ) (7)(数二) 设函数()arctan f x x =,若()()f x xf ξ'=,则2 2 lim x x ξ→=( ) (A )1 (B )23 (C )12 (D )13 2014年考研数三真题与答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有( ) (A )2n a a > (B )2 n a a < (C )1 n a a n >- (D )1 n a a n <+ (2)下列曲线有渐近线的是( ) (A )sin y x x =+ (B )2sin y x x =+ (C )1sin y x x =+ (D )2 1sin y x x =+ (3)设23(x)a P bx cx dx =+++ ,当0x → 时,若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小,则下列试题中错误的是 (A )0a = (B )1b = (C )0c = (D )16 d = (4)设函数()f x 具有二阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上( ) (A )当'()0f x ≥时,()()f x g x ≥ (B )当'()0f x ≥时,()()f x g x ≤ (C )当'()0f x ≤时,()()f x g x ≥ (D )当'()0f x ≤时,()()f x g x ≥ (5)行列式 00000000a b a b c d c d = (A )2()ad bc - (B )2()ad bc -- (C )2222a d b c - (D )2222 b c a d - (6)设123,,a a a 均为3维向量,则对任意常数,k l ,向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 (A )必要非充分条件 (B )充分非必要条件 (C )充分必要条件 (D )既非充分也非必要条件 (7)设随机事件A 与B 相互独立,且P (B )=0.5,P(A-B)=0.3,求P (B-A )=( ) (A )0.1 (B )0.2 (C )0.3 (D )0.4 (8)设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本,则统计量12 3 2X X X -服从的分布为 (A )F (1,1) (B )F (2,1) (C )t(1) (D )t(2) 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)设某商品的需求函数为402Q P =-(P 为商品价格),则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域,则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ,则_____.a = 推荐:考研数字题库和资料 2014年考研数学二真题和分析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.当+→0x 时,若)(ln x 21+α ,α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小,则α的可能取值范围是( ) (A )),(+∞2 (B )),(21 (C )),(121 (D )),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +,是α阶无穷小,ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2阶无穷小,由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21,应该选(B ). 2.下列曲线有渐近线的是 (A )x x y sin += (B )x x y sin +=2 (C )x x y 1sin += (D )x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=,可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐近线x y = 应该选(C ) 3.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( ) (A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法. 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程.故当0≥'')(x f 时,曲线是凹 的,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D ) 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话,可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=,则010==)()(F F ,且)(")("x f x F =,故当2014考研数学三真题及解析
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