经典截长补短法巧解
截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。
截长补短法有多种方法。
截长法：
（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……
补短法
（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……
例：
B A
在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）
B A
方法二（好证不好想）
M
B A
例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页）
F
E
（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45o。
求证：EF=DE+BF
（1）变形a
正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？
（1）变形b
正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45o。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？
（1）变形c
D
正三角形ABC中，E在AB上，F在AC 上∠EDF=45o。DB=DC，∠BDC=120o。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？
（1）变形
d
F
E
正方形ABCD中，点E在CD上，点F
在BC上，∠EAD=15o，∠FAB=30o。AD=3
求?AEF的面积
（1）解：（简单思路）
F
E
延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得
∠ADG=∠ABF=90o
AD=AB
又DG=BF
所以?ADG??ABF（SAS）
∠GAD=∠FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
∠DAB=90o=∠DAF+∠FAB
=∠DAF+∠GAD=∠GAF
所以∠GAE=∠GAF-∠EAF
=90o-45o=45o
∠GAE=∠FAE=45o
又AG=AF
AE=AE
所以?EAG??EAF（SAS）
EF=GE=GD+DE=BF+DE
变形a解：（简单思路）
EF= BF-DE
在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得
∠ADE=∠ABG=90o
AD=AB
又DE=BG
所以?ADE??ABG（SAS）
∠EAD=∠GAB
AE=AG
由四边形ABCD是正方形得
∠DAB=90o=∠DAG+∠GAB
=∠DAG+∠EAD=∠GAE
所以∠GAF=∠GAE-∠EAF
=90o-45o=45o
∠GAF=∠EAF=45o
又AG=AE
AF=AF
所以?EAF??GAF（SAS）
EF=GF=BF-BG=BF-DE
变形b解：（简单思路）
G
EF=DE-BF
在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得
∠ADG=∠ABF=90o
AD=AB
又DG=BF
所以?ADG??ABF（SAS）
∠GAD=∠FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
∠DAB=90o=∠DAG+∠GAB
=∠BAF+∠GAB=∠GAF
所以∠GAE=∠GAF-∠EAF
=90o-45o=45o
∠GAE=∠FAE=45o
又AG=AF
AE=AE
所以?EAG??EAF（SAS）
EF=EG=ED-GD=DE-BF
变形c解：（简单思路）
G
D
EF=BE+FC
延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。由?ABC是正三角形得
∠ABC=∠ACB=60o
又DB=DC，∠BDC=120o
所以∠DBC=∠DCB=30o
∠DBE=∠ABC+∠DBC=60o+30o=90o
∠ACD=∠ACB+∠DCB=60o+30o=90o
所以∠GCD=180o-∠ACD=90o
∠DBE=∠DCG=90o
又DB=DC，BE=CG
所以?DBE??DCG（SAS）
∠EDB=∠GDC
DE=DG
又∠DBC=120o=∠EDB+∠EDC
=∠GDC+∠EDC=∠EDG
所以∠GDF=∠EDG-∠EDF
=120o-60o=60o
∠GDF=∠EDF=60o
又DG=DE
DF=DF
所以?GDF??EDF（SAS）
EF=GF=CG+FC=BE+FC
变形d解：（简单思路）
延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EH⊥AG.前面如（1）所证，
?ADG??ABF，?EAG??EAF ∠GAD=∠FAB=30o，S?EAG=S?EAF
在Rt?ADG中，∠GAD=30o，AD=3∠AGD=60o，AG=2
设EH=x
在Rt?EGH中和Rt?EHA中
∠AGD=60o，∠HAE=45o
HG=
3
3x，AH=x
AG=2=HG+AH=
3
3x+x,EH=x=3-3
S?EAF=S?EAG=EH?AG÷2=3-3.
（第5页题目答案见第6页）
（2）
O
E
正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC。
求证：AC/2=AD-EO
（2）加强版
F
E
M
B
D C
A
正方形ABCD中，M在CD上，N在DA 延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE 平分∠DNM。
请问MN、AD、EF有什么数量关系？（2）解：（简单思路）
截长补短专题
A D B C E 图2-1 截长补短法 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ?? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB . 求证：CD =AD +BC . 分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2 在△FCE 与△BCE 中， ?? ? ??=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1. A B C D 图1-1 F E D C B A 图1-2 A D B C E F 1 234 图2-2
经典截长补短法巧解
截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……例： H P G F B A C D E 在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证） H P G F B A C D E 方法二（好证不好想） H M P G F B A C D E 例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页） F E D C A B （1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o 。 求证：EF=DE+BF （1）变形a E F D C A B 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ （1）变形b E F D C A B 正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF=45o 。 请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ （1）变形c j F E A B C D 正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF=45o 。DB=DC ，∠BDC=120o 。请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？ （1）变形 d F E D C A B 正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD=15o ，∠FAB=30o 。AD=3 求?AEF 的面积 （1）解：（简单思路）
截长补短法例题精编版
截长补短法 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ? ? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180° 例2. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. 分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2 ∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中， ? ? ?==BP BP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD . ∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . F E D C B A 图1-2 A B C D P 12 N 图3-1 P 12 N A B C D E 图3-2 A B C D 图1-1
中考数学经典截长补短法突破(含答案)
初中数学全等专题截长补短法 1.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，则∠EAF的度数为( ) A.30° B.37.5° C.45° D.60° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，时DE=AD，则∠ECA的度数为（） A.30° B.35° C.40° D.45° 3.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，则下列
说法正确的是（） A.CD=AD+BE B.AE=CE+BE C.AE=AD+BE D.AC=AD+BE 4.如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，则△AMN的周长为（） A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF 平分∠DAE.则下列式子正确的为（）
A.AE－BE＝EF B.AE－BE＝DF C.AE－BE＝EC D.AE －BE＝AB 1.解题思路：延长EB至点G，使得BG=DF，连接AG，可证明：△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE∴△AEG≌△AEF（SSS） ∴∠EAG=∠EAF， ∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°， ∴∠EAF=45°。答案：C 2.解题思路：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD， ∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°， ∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°， ∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF，故∠ECA=∠DCB=40°.故选C. 3.解题思路：在AB上截取AF，使得AF=AD，连接CF，则可先证△ADC≌△AFC，再证明△CEF≌△CEB，就可以得到
截长补短模型(几何解题模型)
初中几何典型解题模型 中考看数学，数学看几何.在中考科目中，数学最能体现差距；在数学中，几何是拉开数学的重中之重。《初中几何典型解题模型》希望帮助同学们解决“几何”这一痛点难点.学习几何，如果采用题海战术，忽视技巧和方法总结，往往事倍功半，收效甚微.本书在分析海量中考几何试题的基础上，总结解题方法与技巧，整理出中考中最高频的十二类几何模型，为每个模型打造“模型分析+典型例题+练习巩固”三部分内容： 模型分析——认识经典模型、识别模型，给出经典模型对应的结论，提供解析与证明. 典型例题——精选经典例题，匹配经典模型，利用模型进行实战应用 练习——依托题库大数据，经典模型高度匹配练习，每一道练习都是经典题，是模型实例黄金搭档. 本书定位于成绩中等及偏上学生，在高度、深度和难度上都接近中考，帮助同学们解决中考常见难点，有效提高做题效率。
目录 第一章8字模型与飞标模型 【模型2：角的飞镖模型】 【模型3：边的8字模型】 【模型4：边的飞镖模型】 第二章角平分线四大模型 【模型1：角平分线上的点向两边做垂线】【模型2：截取构造对称全等】 【模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形】【模型4：角平分线+平行线构造等腰三角形】第三章截长补短模型 【模型：截长补短模型】 第四章手拉手模型 【模型：手拉手模型】 第五章三垂直全等模型 【模型：三垂直全等模型】 第六章将军饮马模型 【模型1：定直线与两定点】 【模型2：角与定点】 【模型3：两定点一定长】 第七章蚂蚁行程模型 【模型：角的飞镖模型】
第八章中点四大模型 【模型1：倍长中线或与中线有关的线段构造全等三角形】【模型2：等腰三角形底边中点与顶角连接用“三线合一”】【模型3：倍长中线或与中线有关的线段构造全等三角形】【模型4：已知直角三角形斜边中点，考虑构造斜边中线】第九章半角模型 【模型：半角模型】 第十章相似模型 【模型1：A、8模型】 【模型2：共边共角型】 【模型3：一线三等模型】 【模型4：倒数型】 【模型5：与圆有关的简单相似】 【模型6：相似与旋转】 第十一章圆中的辅助线 【模型1：连半径构造等腰三角形】 【模型2：构造直角三角形】 【模型3：与圆的切线有关的辅助线】 第十二章辅助圆 【模型1：共端点、等线段模型】 【模型2：直角三角形共斜边模型】 附：巩固练习解析
(完整版)截长补短法专题
选择第4题图 P D C B A 一、角平分线的性质 一．选择题填空（共10小题） 1．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ∠OA 于点D ，PD=6，则点P 到边OB 的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．到三角形的三边距离相等的点是（ ） A ．三角形三条高的交点 B ．三角形三条内角平分线的交点 C ．三角形三条中线的交点 D ．三角形三条边的垂直平分线的交点 3．如图，AD 是∠ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（ ） A ．BD ：CD B ．AD ：CD C ．BC ：A D D ．BC ：AC 4．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝，PC ＝，AB ＝，AC ＝，则与的大小关系是（ ） A 、＞ B 、＜ C 、＝ D 、无法确定 5．如图，在∠ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∠AC 交于点E ，DF ∠BC 于点F ，且BC=4，DE=2，则∠BCD 的面积是 ． 7．如图所示，在∠ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，AD=2cm ，AB+BC=8，S ∠ABC = ． 7．如图4，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。 8．如图所示，已知∠ABC 和∠DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接OC 、FG ，则下列结论中：①AE=BD ；②AG=BF ；③FG ∠BE ；④∠BOA=60度，（5）、△AGC ≌△BFC ，（6）△DFC ≌△EGC ，（7）CO 平分∠BOE 正确的是 ． 二、截长、补短法的专题 例1、 如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°， 求证：AB ＝AC ＋CD ． m n c b )(n m +)(c b +n m +c b +n m +c b +n m +c b +
几何证明的好方法截长补短
几何证明的好方法——截长补短 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 几种截长补短解题法类型 我们大致可把截长补短分为下面几种类型； 类型①a±b=c 类型②a±b=kc 类型③ ±a b c 类型④c2=a·b 对于类型①，可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型②证明。 对于②，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。 对于类型③，一般将截长或补短后的a±b与c构建在一个三角形中，与类型②相同。实际上是求类型②中的k值。 对于类型④，将c2=a·b化为c a = b c 的形式，然后通过相似三角形的比例关系进 行证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。例：
B A 在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系 方法一（好想不好证） B A 方法二（好证不好想） B A M 例题不详解。 （第2页题目答案见第3、4页）
几何证明中的截长补短法
平面几何中截长补短法的应用 授课内容：湘教版九年级上册《证明》授课教师：张羽茂授课时间： 讲评内容：证明中的“截长补短法”。 讲评目标：1、通过讲评，查漏补缺，解决几何证明中截长补短法的应用。 2、规范学生证明过程的书写格式。 3、通过讲评提高审题能力，总结解题方法和规律。 讲评重点：规范学生证明过程的书写格式 讲评难点：通过讲评，查漏补缺，解决图形中截长补短法的应用。教具准备：黑板、学生作业本 讲评过程： 一、谈话导入 1、公布全班的整体成绩。 2、表扬进步的学生。 二、讲评 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ B=2∠C,求证：AB+BD=AC. 方法一：（截长法） 方法二：（补短法） 三、课堂练习
1．已知：如图，在正方形ABCD 中，AB=4， AE 平分∠BAC.求AB+BE 的长。 四、课后拓展 1.正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45。 求证：EF=DE+BF 。 五、板书设计 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC,∠B=2∠C,求证：AB+BD=AC. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE 平分∠BAC.求AB+BE 的长。 正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点在BC 上，∠EAF=45。求证：EF=DE+BF
六、教学反思与总结 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。 截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短：1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。 教师工作： 采集信息-----归类点评、指导纠借-----适时检测、落实纠错 学生操作： 作业分析---个体纠借---集体纠错---针对补偿---（依据答案）主动纠错---思考领悟---针对纠错---主动补偿---消除薄弱 教学流程： 作业分析——个体纠错——集体纠错——针对补偿——课堂小结。
几何辅助线之截长补短 总结+例题
截长补短专题 知识导航 “截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。 截长法： 在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。 补短法： ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。即延长a ，得到b ，证：c b a =+。 ②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。即延长a ，得到c ，证：a c b -=。
【核心考点1】角平分线相关截长补短 1. 如图，BP 平分ABC ∠，D 为BP 上一点，E ，F 分别在BA ，BC 上，且满足DE DF =， 若140BED ∠=?，则BFD ∠的度数是( ) A ．40? B ．50? C ．60? D ．70? 【分析】 作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，根据角平分线的性质得到DH DG =，证明 Rt DEG Rt DFH ???，得到DEG DFH ∠=∠，根据互为邻补角的性质得到答案． 【解答】 解：作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ， D 是ABC ∠平分线上一点，DG AB ⊥，DH BC ⊥， DH DG ∴=， 在Rt DEG ?和Rt DFH ?中， DG DH DE DF =?? =?， ()Rt DEG Rt DFH HL ∴???， DEG DFH ∴∠=∠，又180DEG BED ∠+∠=?， 180BFD BED ∴∠+∠=?， BFD ∴∠的度数18014040=?-?=?， 故选：A ．
初二数学截长补短法精题绝练(超实用版)
因式分解易错点新解 在分解因式时，应注意观察题目本身的特点，灵活选择恰当的方法，正确熟练地进行因式分解，采用“一提二套三查”法，即：首先看它是否有公因式，有公因式的要先提取公因式，再看这个多项式是几项式，若是二项式，就考虑能否运用平方差公式分解因式；若是三项式，就考虑能否运用完全平方公式分解因式，同时，在分解因式时，一定要分解到每一个因式都不能再分解为止。然而同学们在实际运用中总是存在一定的错误，为了更好的帮助同学们理解因式分解，我将从几个易错点入手带领大家走出误区。 易错点一：用提公因式法分解因式时易漏项 易错点导析：运用提公因式法分解因式，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后剩余的项为1，而部分初学者却让1“不翼而飞”了。例如：28422(42)a b ab a a ab b -+=-，原多项式中有三项，但提取公因式后另一个因式仅有两项了，这是错误的，正确的是：28422(421)a b ab a a ab b -+=-+，为避免这种错误，可以用整式的乘法进行检验。 【例】分解因式：2212246a b ab ab -+ 错解：22122466(24)12(2)a b ab ab ab a b ab a b -+=-=- 错解分析：此题中的公因式为6ab ，提公因式后，漏掉了为1的项，注意用整式的乘法进行检验，就可避免此类错误。 正解：22122466(241)a b ab ab ab a b -+=-+ 易错点2：运用完全平方公式时漏解出错 易错点导析：我们知道，完全平方公式有两个，两数和的完全平方和两数差的完全平方，二者不能互相代替，有的同学对完全平方公式的特点把握不准，因而在解答相关题目时出现漏解错误，只有正确理解完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特点，才能有效避免这类错误。 【例】若 21364y ay ++是完全平方公式，求a 的值。 错解：2221136()642y ay y ay ++=++，所以1262ay y =??，即12662a =??= 错误分析：本题的错误之处是漏掉了a 为负数的情况。
沪教版(上海)数学七年级第二学期14.4 全等三角形的应用——“截长补短”法添加辅助线 教案
课题全等三角形的应用——“截长补短”法添加辅助 线 课型复习课时间班级 教学目标1、掌握运用截长补短的方法解决线段和差问题； 2、通过对线段和差问题的探究，体会添加辅助线构建全等三角形后将题目化难为易的作用； 3、通过观察、操作、归纳等方法，积累数学活动经验。感受“由因导果”与“执果索因”思维方法的条理性，进一步提高数学思维能力。 教学重 点 运用截长补短法解决线段和差问题 教学难 点 运用截长补短法解决线段和差问题 教学方 法 讨论法、讲授法、演示法、练习法 教学过程 教师活动学生活动设计意图 一、新课导入【回顾】 线段和差问题： 线段a、b、c满 足怎样的数量关 系？ 学生口述作图法 情况一、作线段b+线段c 通过复习线段和 差问题，为用“截长 补短”法添加辅助 线解决不在同一 直线上的三条线
出示方法一：补短法 出示方法二：截长法情况二、作线段a-线段b 段之间的数量关 系做铺垫。 二、教授新课【例1】 已知，在△ABC 中，∠C=2∠B， ∠1= ∠2，试说 明：AB=AC+CD 总结方法：截长 法 在一条线段上一 截取一定长度的 线段 在图中标出已知信息 添加辅助线： 学生说画法，规范书写“在AB 上取点E，使得AE=AC，连 接DE” 学生说添辅助线的原因及目 的 学生说明BE=CD的原因 参考PPT演示，集体说过程 预设回答： 从结论出发，对三 条不在一直线上 的线段进行转换。 借助已知条件构 造全等三角形，将 不在一直线上的 线段和差问题转 化为利用全等三 角形、等腰三角形 的性质说明线段 长度相等的问题。 引导学生体会执 果索因的思维方 式以及化繁为简 的数学思想。 引导学生利用旧 知想到“截长”、“补
截长补短法例题
截长补短法 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCDK BC>AB, AD=DC BD平分/ ABC 求证：/ BAD +/ BCD180° . 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E作DF丄BC于点F,如图1-2 ?/ BD平分/ ABC：DE=DF 在Rt A ADE与Rt A CDF中, DE DF AD CD ??? Rt△ ADE^ Rt A CDF HD，/-Z DAE/ DCF 又/ BAD Z DAE180°,/.Z BAB Z DCI=180 即Z BAD Z BCD180° 例2. 已知，如图3-1 , Z仁Z 2 , P为BN上一点，且POL BC于点D, AB^BC=2BD 求证：Z BAF+ Z BCP180° . 分析：与例1相类似，证两个角的和是180°,可把它们移到一起，让它们是邻补角, 即证明Z BCP Z EAP因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造 证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2 ???Z 仁Z 2,且P［丄BC, ?/ PE=PD 在Rt A BPE与Rt A BPD中 , PE PD BP BP ? Rt△ BPE^ Rt A BPD HD，? BE=BD ?/ AB F BC=2BD?/ AB F B&DCB&BE?/ AB F D(=BE即DC=BEAB=AE 图3-1 E 图3-2 D C
在Rt A APE与Rt A CPD 中, PE PD PEA PDC AE DC ??? Rt△ APE^Rt A CPD SAS), ???/ PAE Z PCD 又???/ BAF+Z PAE180 ° ,???/ BAF+Z BCP=180° 例3. 如图2-1 , AD// BC 点E在线段AB上, Z ADE Z CDE Z DCE Z ECB 求证：COABBC 分析：结论是COAD^BC可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CDh截取CF=CB 只要再证D巨DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD上截取CF=BC如图2-2 在厶FCE^ BCE中, CF CB FCE BCE CE CE ? △ FCE^A BCE(SAS , ?Z 2=Z 1. 又??? AD/ BC ???/ ADGZ BCD180°,「 ? Z 2+Z 3=90 ° ,Z 1 + Z 4=90 °,「? Z 在厶FDE与△ ADE 中, FDE ADE DE DE ? △ FDE^A ADE( ASA , ? DF=DA ?/ CD F DF+CF,? CDA[>BC
截长补短类辅助线作法
截长补短类辅助线作法 “截长”就就是将三条线段中最长得那条线段一分为二，使其中得一条线段等于已知得两条较短线段中得一条，然后证明其中得另一段与已知得另一条线段得数量关系； “补短”就就是将三条线段中一条已知得较短得线段延长至与另一条已知得较短得长度相等，然后证明延长后得线段与最长得已知线段得数量关系。注：1、截长补短类辅助线解决得一般就是三条线段之间得数量关系问题，特别要注意线段前系数不就是“1”得时候,一般会涉及到含特殊角得直角三角形２、具体在利用截长或者补短构造辅助线时要结合题目条件选择恰当得方法，并不就是所有题目截长与补短都可以 例题精讲 1、如图所示,就是边长为得正三角形，就是顶角为得等腰三角形,以为顶点作一个得，点、分别在、上,求得周长． 2、已知:如图，△AＢC中,,BD平分∠ＡBC,BC上有动点P. （１）ＤP⊥ＢＣ时（如图１)，求证：; （2）DＰ平分∠ＢDC时（如图２），BD、CD、CP三者有何数量关系？ 3、已知中,,、分别平分与，、交于点，试判断、、得数量关系,并加以证明.
4、（2014初二上期末昌平区)如图，AD就是△ＡBC得角平分线，点Ｆ，E分别在边AC，ＡB上，且. (1）求证：; (2）如果,探究线段AＥ，AF,FD之间满足得等量关系，并证明。 5、如图所示,就是边长为得正三角形，就是顶角为得等腰三角形,以为顶点作一个得，点、分别在、上,求得周长. 6、如图所示，已知正方形ABCD中,M为CD得中点，E为MＣ上一点，且。求证：。 7、五边形AＢCＤE中，，，,求证：AD平分∠CＤE。 ８、如图,在△ABC中，，D就是三角形外一点，且，．求证: ９、(2012初二上期中中关村中学)如图1所示：,AE、DE分别平分与，并交于Ｅ点、过点E得直线分别交ＡM、DN于Ｂ、Ｃ、?（１)如图2，当点B、C分别位于点AD得同侧时，猜想AD、ＡB、CD之间得存在得数量关系：_＿_＿_____、 （2）试证明您得猜想、 (3）若点B、C分别位于点AD得两侧时，试写出AD、AB、CD之间得关系，并选择一个写出证明过程、 10、(2012初二上期中北达资源中学)（1)如图,四边形ＡBPC中，，，，求证：．
“截长补短法”的运用
“截长补短法”问题的运用 金山初级中学 庄士忠 201508 而“截长补短法”是解决几何证明倍半问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗. (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤2 1 (AB+AC) 分析：要证明AD ﹤ 2 1 (AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。 在△ADB 和△EDC 中， ??? ? ? AD =DE ∠ADB =∠EDC BD =DC ∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又 在△ACE 中，AC+CE ＞AE ∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤2 1 (AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 （二）、角平分线截长法： 例题2，如图2-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图2-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， A B C D 图2-1 F E D C B A 图 2-2 C
巧用截长补短证线段之间的数量关系
巧用截长补短，秒解初中数学难题 如何用截长补短 口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验，线段和差不等式，移到同一三角中 【方法说明】遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的方法．截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论． 常见例题分析： 1． 如图，在中，D 为BC 的中点，求证：AB+AC>2AD 证明：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE ， ∵D 为BC 中点， ∴BD=CD ， 在△ADC 和△EDB 中， ∴△ADC ≌△EDB （SAS ）， ∴AD=ED ， 在△ABE 中，AB+EB ＞AE=2AD ； 思路点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形，将证明不 等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三 AD ＝ED ∠ADC＝∠EDB DC ＝DB
角形中，利用三角形的三边关系来解决。这种方法也叫倍长中线法。 2．如图：AD是的角平分线，,求证：AB＋BD＝AC 思路分析：由角平分线可知有一对角相等，要求证AB＋BD＝AC，可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可；或 延长AB至点C′使得AC′＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可． 3．如图，AC//BD,EB,EC分别平分交于点E,求证：AB＋CD＝BC 思路分析：若要求证AB＋CD＝BC，可以在BC上截取线段BF＝AB，再证明CD＝CF即可；或延长BA至点F，使得BF＝BC，再证明AF＝CD 即可． 图（1）图（2）
(精品)全等三角形——截长补短法
D C B A 全等三角形——截长补短法 一、知识梳理： 截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 二、典型例题： 例1、如图，在ABC ?中，60BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. 及时练习： 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． 例2、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
N E B M A D M D C B A D O E C B A 及时练习： 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ． 及时练习： 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C . 2 k h + D . h 例4、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ． 求证：OA 平分DOE ∠．
专题03 截长补短法(解析版) 备战2020年中考几何压轴题分类导练
专题3：截长补短法 【典例引领】 例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN 于点E，过点B作BF⊥MN于点F。 （1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明） （2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。 【答案】图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：BF-AF=2OE 【分析】（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证． 【解答】（1）证明：如图， 过点B作BG⊥OE于G， 则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE， 在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE， ∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中，
中线倍长法及截长补短经典讲义
几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤ 2 1 (AB+ AC) 小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 例2、中线一倍辅助线作法 △ABC中 方式1：延长AD到E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， 连接BE 连接CD 例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交 BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE C
作业： 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 2、已知：如图，?ABC 中，∠C=90?，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于 F ，求证：AF=EF （二）截长补短法 教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ? ? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°. 例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB . D A B C M T E A B C D 图1-1 F E D C B A 图 1-2
初中数学专题讲义：截长补短法
初中数学专题讲义：截长补短法 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。 截长补短法有多种方法。 截长法： （1）过某一点作长边的垂线 （2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。…… 补短法 （1）延长短边。 （2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。…… 例1：在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系
例2、正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o 。求证：EF=DE+BF 变形a 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？ 变形b 正方形ABCD F E
变形c 正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上∠EDF=45o。DB=DC，∠BDC=120o。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？ D 变形d 正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAD=15o，∠FAB=30o。AD=3，求?AEF的面积 加强版 正方形ABCD 作EF⊥MN于
例4、、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF； （2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长． 例5、已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O． （1）若点G为线段AB上一点，且FG=4，CD=3，GC=7，过O点作OH⊥GC于H，试证：OH=OF；（2）求证：AB+CD=2BE． 变形1． 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BD⊥CD。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF。 （1）求EG的长； （2）求证：CF=AB+AF。 F E M B D C A N
第四节 全等的构造——巧添辅助线-学而思培优
第四节 全等的构造——巧添辅助线 一、课标导航 二、核心纲要 1.添加辅助线的方法和语言表述 (1)作线段：连接……． (2)作平行线：过点……作……／／……． (3)作垂线（作高）：过点……作……上……，垂足为……． (4)作中线：取……中点……，连接……． (5)延长并截取线段：延长……使……等于……． (6)截取等长线段：在……上截取……，使……等于……． (7)作角平分线：作……平分……，作角……等于已知角……． (8)作一个角等于已知角：作角……等于……． 2．全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法： (1)倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线（与中点有关的线段），构造全等三角形． (2)截长补短法：若遇到证明线段的和、差、倍、分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形．①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； ②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段． (3)有的题目需要根据几何图形的特殊性或题目中的条件和结论考虑添加辅助线． 3．基本模型 本节重点讲解：辅助线的作法及应用， 三、全能突破 基 础 演 练 1．已知，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若,6,4==AC AB 则AD 的取值范围是( )． 1.>AD A 5. “截长补短法”证明线段的和差问题（一） 1.如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD?相等吗？请说明理由． 2.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，求证：AB +BD =AC ． D C A B E A B C D 3、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠BCD=180° 4．在△ABC中，? = ∠90 ACB，BC AC=，直线MN经过点C，且MN AD⊥于D，MN BE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC ?≌CEB ?； ②BE AD DE+ =； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. A B C D “截长补短法”证明线段的和差问题（二） 1．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD 的中线。求证：AC=2AE。 B 2.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE 3.如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于 过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． 4.已知：点O 到ABC △的两边AB AC ，所在直线的距离相等，且OB OC =． （1）如图1，若点O 在边BC 上，求证：AB AC =； （2）如图2，若点O 在ABC △的内部，求证：AB AC =； （3）若点O 在ABC △的外部，AB AC =成立吗？请画图表示． F E D C B A 图1 图2 A A B B C E F O O截长补短法