七年级数学上册知识讲义-6.2角与角的平分线-苏科版
初中数学
角与角的平分线
精讲精练
【考点精讲】
1. 角的定义：
（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；
（2）角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形。 2. 角的表示：
（1）可以用三个大写字母表示，必须把表示顶点的字母写在另两个字母中间；（如下图中的角可以表示为或∠BOA ）
（2）用一个顶点字母表示角，前提是以该点作为顶角的点只有一个；（如下图中的角可以用它的顶点字母表示为）
（3）用数字或者希腊字母表示角，在角的内部靠近角的顶点处画上圆弧，且注上数字或希腊字母。（如下图中的角可以表示为或∠1）
A B α
1
A B
3. 角的特点：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点； （2）角的边是射线；
（3）角的大小与角的两边的长短无关。 4. 平角和周角：
（1）如果角的终边是由始边旋转半周而得到的（这时角的始边与终边互为反向延长线），这样的角叫做平角。
（2）如果角的终边是由始边旋转一周而得到的（这时终边与始边重合），这样的角叫做周角。
5. 角平分线概念：射线OC将分成两个相等的角，射线OC叫做这个角的平分线。（如下图所示）
O
6. 角平分线的表示：如上图所示可以表示为：或。
【典例精析】
例题1 如图，用两种方法表示同一个角的是（）
A. B. C. D.
思路导航：根据角的三种表示方法及每种表示需要注意的地方来判断。
答案：以A、C为顶点的角都不止一个，可以表示也可以表示，所以A、B、C选项都不正确。故选D。
点评：本题主要考查角的表示方法，对于这道题我们要注意角可以用它的顶点字母来表示，但是前提是以该点作为顶点的角只有一个，有多个的情况时不能用这种方法来表示角。
例题2 如图，OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，且∠AOB=84°。
A
（1）求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的值是否会变？简单说明理由。
思路导航：（1）由OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，利用角平分线定义及等量代换即可得出所求角的度数；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的值不发生变化，根据（1）的过程即可得到结果。
答案：（1）∵OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，
∴∠MOC=∠BOC，∠CON=∠AOC，
∴∠MON=∠MOC+∠CON=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）
=∠AOB=×84°=42°；
（2）当OC在∠AOB内转动时，∠MON的值不变，理由如下：
由（1）得到∠MON=∠AOB，则只要∠AOB的大小不变，无论OC在∠AOB内怎样转动，∠MON的值都不会变。
点评：此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键。
例题3 如图所示，已知∠AOE=100°，∠DOF=80°。平分，平分。求的度数。
A
思路导航：已知和，又因为平分、平分，所以可以利用转化的思想，把转化成，再利用已知条件去求。
答案：因为平分，平分，所以可设，，根据图示，有，根据观察得，，（1），（2），（1）+（2）得，所以，即。
点评：由角平分线可找到角之间的数量关系，本题的关键是如何利用角与角之间的关系，角平分线的性质以及转化的思想。
随堂练习：下列说法正确的是（）
A. 一条直线便是一个平角
B. 由两条射线组成的图形叫做角
C. 周角就是一条射线
D. 由一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角
答案：选项A，平角的两边成直线，但不能说直线就是平角，故A不正确；选项B，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故B不正确；选项C，周角两边重合成一条射线，但不能说射线就是周角，故C不正确，故选D。
【总结提升】
1. 角的平分线：角的平分线也是一条射线；角的平分线在角的内部；角平分线分成的两个角相等。
2. 作角平分线的方法：（1）通过折叠：把角的两边对齐后压出的折痕，则过顶点沿折痕画线，这条射线就为角的平分线；（2）借助量角器。
3. 角的表示要注意的问题：（1）用三个大写字母表示一个角时，表示角的顶点的字母要放到中间；（2）一个顶点有多个角时不能只用一个顶点字母表示；（3）平角与直线、周角与射线有区别，不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是周角”。
同步练习
（答题时间：15分钟）
1. 下列说法中，正确的是（）
A. 平角就是一条直线
B. 一个锐角的余角一定比这个锐角大
C. 大于直角的角叫钝角
D. 一个锐角的补角减去这个角的余角是一个直角
2. 下列说法中正确的个数是（）
①由两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关；③角的两边是两条射线；④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍。
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（）
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
4. 如图，∠AOB=130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，下列叙述正确的是（）
A. ∠DOE的度数不能确定
B. ∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=65°
C. ∠BOE=2∠COD
D. ∠AOD=∠EOC
5. 如图，小于平角的有______________个角，它们分别是_________________。
6. 如图所示，已知分别平分，且，求的度数。
7. 如图所示，OM平分，ON平分，若，，求的度数。
答案
1. D 解析：A. 平角是有公共端点的两条射线组成的图形，不是一条直线，故本选项错误；B. 假如这个角为60°，则它的余角是30°，故本选项错误；C. 大于直角小于平角的角叫钝角，故本选项错误；D. 设这个角为∠A，则它的余角是90°－∠A，它的补角是180°－∠A，即（180°－∠A）－（90°－∠A）=90°，故本选项正确；故选D。
2. B 解析：①角就是有公共端点的两条射线所构成的图形，故错误；
②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故正确；
③角的两边是两条射线，故正确；
④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数不变，故错误。
②③正确。故选B。
3. A 解析：∵∠BOC=80°，
∴∠AOD=∠BOC=80°。
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠AOD=°×80°=40°。
故选A。
4. B 解析：∵OD 、OE 分别是∠AOC 、∠BOC 的平分线， ∴∠AOD=∠COD 、∠EOC=∠BOE ，
又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=130°， ∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=65°。 故选B 。
5. 4； 解析：数角的个数时应一个顶点一个顶点的数，以A 为顶点的角有1个，以B 为顶点的角有1个，以C 为顶点的角有2个。
6.
解析：AOB AOQ AOB BOQ AOB POQ ∠-∠+∠=∠+∠=
∠2
1
21 = =，
，解得： 7. 解析：由已知得： = ， 。