第十章方差分析
第十章
多组数值变量比较北京大学公共卫生学院
流行病学与卫生统计学系
2015-4
完全随机设计（单因素实验设计）
（一）分组方式
完全随机设计有两种分组方式：
1将受试对象随机分配到各处理组中； 2分别从不同总体中进行随机抽样，获取代表各不同总体的随机样本。
（二）应用
根据试验效应（指标）的不同
均数的比较
率的比较
构成比（分布）的比较
危险度的比较
生存资料的比较
可以是多个效应(指标)的比较。
（三）特点
实验设计和统计分析比较简单；
只能分析比较一个因素的实验效应。
受试对象有相同的机会被分配
到不同的处理水平中。
实验的误差通常表现为组内误
差（个体差异）。
实施方案
1.确定处理水平。
2.随机选择一定数量的受试对象。
3.将选定的受试对象随机地分配到不同处理水平和不同处理因素水平的组合（处理组）。
第10章单因素方差分析
第10章 单因素方差分析 单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本 的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options) 10.1 单因素方差分析的计量资料 [例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT 异常人和正常人进行载脂蛋白 (mg ／dL)测定，结果示于表10—1。试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50) 组别（B ） 载脂蛋白测定 糖尿病(1) 85.7 105.2 109.5 96.0 115.2 95.3 110.0 100.0 125.6 111.0 106.5 96.0 124.5 105.1 76.4 95.3 110.0 95.2 99.0 120.0 144.0 117.0 110.0 109.0 103.0 123.0 127.0 121.0 159.0 115.0 IGT 异常(2) 正常人(3) 本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。已建立SAS 数据集文件并保存Sasuser.onewav4。 (1)进入SAS ／Win(v8)系统，单击Solutions －Analysis －Analyst ，得到分析家窗口。 (2)单击File-open By SAS Name —Sasuser-0neway4—0K ，调入数据文件。 (3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A ，得到图10—1所示对话框。本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A —Dependent 。自变量(1ndependent)： B(3种人的组别)，单击B —Independent 。 图10.1 0ne —way ANOV A ：0neway4(单因素方差分析)对话框 (4)单击Tests 按钮，得到图10—2所示对话框。在此对话框的ANOV A(F —检验)选项 中可进行如下设置。 Analysis of variance ，方差分析。 Welch ’s variance-weighted ANOV A ，威尔奇方差—权重方差分析。 Tests for equal variance ，相等方差检验，即方差齐性检验。 Barlett ’s test ，巴特尼特检验。 Brown-Forsythe test ，布朗—福塞斯检验。 Levene ’s test ，列文检验。本例以上都选。
协方差分析理论与案例
协方差分析理论与案例 假设我们有N 个个体的K 个属性在T 个不同时期的样本观测值，用it y ,it x ，…，N,t=1，…，T,k=1，…，K 表示。一般假定y 的观测值是某随机实验的结果，该实验结果在属性向量x 和参数向量θ下的条件概率分布为(,)f y x θ。使用面板数据的最终目标之一就是利用获取的信息对参数θ进行统计推断，譬如常假设假定的y 是关于x 的线性函数的简单模型。协方差分析检验是识别样本波动源时广泛采用的方法。 方差分析：常指一类特殊的线性假设，这类假设假定随机变量y 的期望值仅与所考察个体所属的类（该类由一个或多个因素决定）有关，但不包括与回归有关的检验。而协方差分析模型具有混合特征，既像回归模型一样包含真正的外生变量，同时又像通常的方差一样允许每个个体的真实关系依赖个体所属的类。 常用来分析定量因素和定性因素影响的线性模型为： *,1,,,1,,it it it it it y x u i N t T αβ'=++=???=??? 从两个方面对回归系数估计量进行检验：首先，回归斜率系数的同质性；其 次，回归截距系数的同质性。检验过程主要有三步： (1) 检验各个个体在不同时期的斜率和截距是否都相等； (2) 检验（各个体或各时期的）回归斜率（向量）是否都相等； (3) 检验各回归截距是否都相等。 显然，如果接受完全同同质性假设（1），则检验步骤中止。但如果拒绝了完全同质性性假设，则（2）将确定回归斜率是否相同。如果没有拒绝斜率系数的同质性假设，则（3）确定回归截距是否相等。（1）是从（2）、（3）分离出来的。 基本思想：在作两组或多组均数1y ，2y ，…，k y 的假设检验前，用线性回归分析方法找出协变量X 与各组Y 之间的数量关系，求得在假定X 相等时修定均数1y '，2y '，…，k y '然后用方差分析比较修正均数间的差别，这就是协方差分析的基本思想。 协方差分析的应用条件：⑴要求各组资料都来自正态总体，且各组的方差相等；（t 检验或方差分析的条件）⑵各组的总体回归系数i β相等，且都不等于0（回归方程检验）。因此，应用协方差分析前，要对资料进行方差齐性检验和回归系数的假设检验（斜率同质性检验），只有满足上述两个条件之后才能应用，否则不宜使用。 ⑴各比较组协变量X 与分析指标Y 存在线性关系（按直线回归分析方法进行判断）。 ⑵各比较组的总体回归系数i β相等，即各直线平行(绘出回归直线，看是否
协方差分析
协方差分析 某城市教育局在一次对全市初中一年级至高中三年级学生的调查研究中想要考察身心发展对学习成绩的影响，研究者手机了各学校初一年级至高三年级学生的学业成绩以及相关身心发展量表得分，在分析时以学生所在年级来代表年龄差异，但是由于男同学与女同学的身心发展存在差异，因此需要在结果中排除性别因素，然而无法在收集数据时只收集男同学的数据或收集女同学的数据，那么该如何排除性别因素对结果的影响呢？ 在实验设计中，考虑到实际的实验情形，无法一一排除某些会影响实验结果的无关变量（干扰变量），为了排除这些不能在实验处理中所操作的变量，而其结果又会影响因变量，可以通过“统计控制”的方法来弥补实验控制的不足，为了提高实验研究的内在效率，必须将可能干扰实验结果的无关变量加以控制，不致产生严重的系统性误差。控制系统误差的方法有很多，例如以随机的方式将被试分配至不同群体；将系统误差加入实验设计，使其变成一个自变量；尽可能控制可控制的系统误差如光纤亮度、噪音等。 实验研究的优点众所周知，即其严密的逻辑性以及可以良好的控制误差，但是让一个标准的实验设计走出实验室，在社会科学领域实施通常比较困难。因此在社会科学领域中经常实施的是准实验设计，在准实验设计中无法使用实验控制法来完全控制无关的干扰变量，故经常增加实验内在效度的方法——统计控制法，最常用的便是协方差分析（analysis of covariance，ANCOV A）。 顾名思义，协方差分析是方差分析的一种，它也包括自变量与因变量，同方差分析，因变量为连续变量且需要满足方差分析关于因变量的假设条件，自变量为分类变量。不同的是，并不是实验所关注的自变量却为研究者进行控制的一类变量被加入分析，它们被称为“协变量”（covariate），要注意，协变量是连续变量。 1.协方差分析的假设 协方差分析的基本假设与方差分析相同，包括变量的正态性、观测值独立、方差齐性等，此外还有三个重要的假设： 1)因变量与协方差之间直线关系； 2)所测量的协变量不应有误差，如果选用的是多项的量表，应有高的内部一致性信度或重 测信度，α系数最好大于0.80。这一假设若被违反会造成犯一类错误的概率上升，降低统计检验力。 3)“组内回归系数同质性”（homogeneity of with in rgression），各实验处理组中一举 协变量（X）预测因变量（Y）的回归线的回归系数要相等，即斜率相等，各条回归线平行。如果斜率不等则不宜直接进行协方差分析。 2.协方差分析的方差分解 方差分析的原理是将因变量的总方差分解成自变量效果（组间）与误差效果（组内）两个部分，再进行F检验。协方差使用的也是这样的方差分析思路，将因变量的总方差先行分割为协变量可解释部分与不可解释部分，不可解释的部分再由方差分析原理进行拆解。协方差分析的方差拆解如下： 3.协方差分析的步骤 协方差分析结合了回归分析与方差分析的方法，计算方法比较复杂，由于涉及回归分析的基本思路，因此一下内容也许需要在阅读了本章第六部分“一元线性回归分析”后理解得更加透彻。 以单因素协方差分析为例说明协方差分析的步骤： 1)协方差分析的准备 （B：组间；W：组内；T：总和；n：组内样本容量；k：组间容量；x：协变量；y：因变量）
第10章 方差分析与试验设计
第10章 方差分析与试验设计 三、选择题 1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ···k μ> Ｃ. < 197 第十章 协方差分析 第一节 协方差分析的意义 协方差分析有二个意义，一是对试验进行统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述如下。 一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性，对处理以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使试验控制达到预期目的。例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的增重。经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同这一要求。这时可利用仔猪的初始重(记为x )与其增重(记为y )的回归关系，将仔猪增重都矫正为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应估计更为准确。若y 的变异主要由x 的不同造成(处理没有显著效应)，则各矫正后的y '间将没有显著差异(但原y 间的差异可能是显著的)。若y 的变异除掉x 不同的影响外，尚存在不同处理的显著效应，则可期望各y '间将有显著差异(但原y 间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的y '和原y 的大小次序也常不一致。所以，处理平均数的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够提高试验的准确性和精确性，从而更真实地反映试验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起，对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析(analysis of covariance )。 二、估计协方差组分 在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相关性质与程度的相关系数的计算公式： ∑∑∑----= 2 2)()())((y y x x y y x x r 若将公式右端的分子分母同除以自由度(n -1)，得 ? ? ? ? ? ?--????? ?-----= ∑∑∑)1()() 1()()1/())((2 2 n y y n x x n y y x x r （10-1） 其中 1 )(2--∑n x x 是x 的均方MS x ，它是x 的方差2x σ的无偏估计量； 第十章 方差分析 一、单项选择题： 1.在方差分析中，（ ）反映的是样本数据与其组平均值的差异。 A.总离差平方和 B.组间离差平方和 C.抽样误差 D.组内离差平方和 2.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.因素B 的离差平方和 3.∑∑=??? ? ??k 1i 2 1-j ij n i i x x ——是（ ） 。 A.组内平方和 B.组间平方和 C.总离差平方和 D.总方差 4.单因素方差分析中，计算F 统计量，其分子与分母的自由度各位（ ）。 A.k ，n B.k ，n-k C.k-1，n-k D.n-k ，k-1 5.方差分析基本原理是（ ）首先提出的。 A.费雪 B.皮尔逊 C.泰勒 D.凯特勒 6.组间离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 7.组内离差平方和反映的是（ ）。 A.抽样误差 B.系统误差 C.随机误差 D.总误差 8.单因素方差分析的对立和假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 9.单因素方差分析的零假设是（ ）。 A.μμμk 21=== B.差距不显著，，，μμμk 21 C.不是全部相等，，，μμμk 21 D.全部不相等，，，μμμk 21 10.在方差分析中，若F k -n 1,-k 05.0F ） （>，则统计推论是（ ）。 一、方差分析和回归分析的区别与联系？（以双变量为例） 联系： 1、概念上的相似性 回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值Y的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）； 方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时所对应的因变量Y均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性 回归分析在确定自变量X是否为因变量Y的影响因素时，从分析步骤上先对X和Y进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显着性检验或对回归模型的统计显着性进行检验。 方差分析在确定X是否是Y的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显着性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性 回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与Y之间存在的非确定性的相关关系，要求Y的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量Y i是统计独立的，即Y1的数值不影响Y2的数值，各Y值之间都没有关系；Y 值的每一个子总体都满足正态分布。 方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量Y i的分布都具有相同方差）；Y i的分布为正态分布。 二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性 回归分析中，TSS=RSS+RSSR，而在方差分析中，TSS=RSS+BSS。二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性 为简化分析起见,我们假设只有一个自变量X影响因变量Y。在回归分析中,要确定X是否是Y 的影响因素,就要看当X已知时,对Y的总偏差有无影响。如果X不是影响Y的因素,等同于只知变数Y的数据列一样,此时用Y去估计每个丫的值,所犯的错误(即偏差)为最小。如果因素X 是影响Y的因素,那么当已知X值后 6、在统计显着性检验上具有相似性 回归分析的总显着性检验,是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*(N-2)/RSS，方差分析的显着性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显着性检验。它也是通过F检验进行的。 区别： 1、研究变量的分析点不同 回归分析法既研究变量Y又研究变量X并在此基础上集中研究变量Y与X的函数关系,得到的是在不独立的情况下自变量与因变量之间的更加精确的回归函数式,也即判断相关关系的类型，因此需建立模型并估计参数。方差分析法集中研究变量Y的值及其变差而变量X值仅用来把Y值划分为子群或组,得到的是自变量(因素)对总量Ｙ是否具有显着影响的整体判断，因此不需要建立模型和估计参数。 《统计学》实验五 一、实验名称：方差分析 二、实验日期： 2010年12月3日 三、实验地点：经济管理系实验室 四、实验目的和要求 目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握利用EXCEL 进行方差分析，对方差分析结果进行分析 要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL进行方差分析 五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL 软件 六、实验过程 （一）问题与数据 消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。当分生纠纷后，消费者常常会向消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。其中零售业抽取7家、旅游业抽取6家、航空公司抽取5家、家电制造业抽取5家。具体数据如下： 取显著性水平α=0.05，检验行业不同是否会导致消费者投诉的显著性差异？（二）实验步骤 1、进行假设 2、将数据拷贝到EXCEL表格中 3、选择“工具——数据分析——单因素方差分析”，得到如下结果： （三）实验结果分析：由以上结果可知：F>F crit=3.4066或P-value=0.0387657<0.05,拒绝原假设，表明行业对消费者投诉有着显著差异。 实验心得体会 在这学习之前我们只学习了简单的方差计算，现在运用计算机进行方差分析，可以做出更多的比较。通过使用计算机可以很快的计算出组间和组内的各种数值，便于我们进行比较分析。 《统计学》实验六 一、实验名称：相关分析与回归分析 二、实验日期： 2010年12月3日 三、实验地点：经济管理系实验室 四、实验目的和要求 目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握EXCEL绘制散点图，计算相关系数，拟合线性回归方程，拟合简单的非线性回归方程，利用回归方程进行预测。 要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL进行相关回归分析（计算相关系数，一元线性回归分析，一元线性回归预测） 五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL 软件 六、实验过程 （一）问题与数据 10个学生每天用于学习英语的时间和期末考试的成绩的数据如下表所示。要求， (1)绘制学习英语的时间和期末考试的成绩的散点图，判断2者之间的关系 形态 (2)计算学习英语的时间和期末考试的成绩的线性相关系数 （3）用学习英语的时间作自变量，期末考试成绩作因变量，求出估计的回归方程。 （4）求每天学习英语的时间为150分钟时，销售额95%的置信区间和预测区间。 学生时间（分钟）成绩（分） A 120 85 B 60 65 C 100 76 D 70 71 E 80 74 F 60 65 G 30 54 H 40 60 I 50 62 方差分析和回归分析的区 别与联系 Prepared on 22 November 2020 一、方差分析和回归分析的区别与联系（以双变量为例） 联系： 1、概念上的相似性 回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值Y的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）； 方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时所对应的因变量Y均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性 回归分析在确定自变量X是否为因变量Y的影响因素时，从分析步骤上先对X 和Y进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显着性检验或对回归模型的统计显着性进行检验。 方差分析在确定X是否是Y的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显着性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性 回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与Y之间存在的非确定性的相关关系，要求Y的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量Y i是统计独立的，即Y1的数值不 影响Y2的数值，各Y值之间都没有关系；Y值的每一个子总体都满足正态分布。 方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量Y i 的分布都具有相同方差）；Y i的分布为正态分布。 二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性 回归分析中，TSS=RSS+RSSR，而在方差分析中，TSS=RSS+BSS。二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性 为简化分析起见,我们假设只有一个自变量X影响因变量Y。在回归分析中,要确定X是否是Y的影响因素,就要看当X已知时,对Y的总偏差有无影响。如果X不是影响Y的因素,等同于只知变数Y的数据列一样,此时用Y去估计每个丫的值,所犯的错误(即偏差)为最小。如果因素X是影响Y的因素,那么当已知X 值后 6、在统计显着性检验上具有相似性 回归分析的总显着性检验,是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*(N-2)/RSS， 方差分析的显着性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显着性检验。它也是通过F检验进行的。 区别： 1、研究变量的分析点不同 第10章 方差分析与试验设计 三、选择题 1. Ｃ 2. Ｂ 3. Ａ 4. Ｂ 5. Ｃ 1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6. Ａ 7. Ｄ 8. Ｄ 9. Ａ 10.Ａ 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ· ··k μ> Ｃ. < 第10章方差分析与试验设计 三、选择题 1.Ｃ 2.Ｂ 3.Ａ 4.Ｂ 5.Ｃ 1.方差分析的主要目的是判断（）。 Ａ.各总体是否存在方差 Ｂ.各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ.分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ.分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是（）。 Ａ.组间平方和除以组内平方和Ｂ.组间均方除以组内均方 Ｃ.组间平方除以总平方和Ｄ.组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为（）。 Ａ.随机误差Ｂ.非随机误差Ｃ.系统误差Ｄ.非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为（）。 Ａ.组内误差Ｂ.组间误差Ｃ.组内平方Ｄ.组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它（）。 Ａ.只包括随机误差 Ｂ.只包括系统误差 Ｃ.既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ.有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.Ａ 7.Ｄ8.Ｄ9.Ａ10.Ａ 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它（）。 Ａ.只包括随机误差 Ｂ.只包括系统误差 Ｃ.既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ.有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定（）。 Ａ.每个总体都服从正态分布Ｂ.各总体的方差相等 Ｃ.观测值是独立的Ｄ.各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是0:=···= ，备择假设是（） 12 k Ａ.1:12···kＢ.1:12···k Ｃ. 1:···kＤ.1:1,2,···,k不全相等 12 9.单因素方差分析是指只涉及（）。 Ａ.一个分类型自变量Ｂ.一个数值型自变量 Ｃ.两个分类型自变量Ｄ.两个数值型因变量 10.双因素方差分析涉及（）。 Ａ.两个分类型自变量Ｂ.两个数值型自变量 Ｃ.两个分类型因变量Ｄ.两个数值型因变量 11.Ｂ12.Ｃ 第十章 协方差平稳向量过程和向量自回归模型 在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。 §10.1 向量自回归导论 仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论1?n 向量之间的动态交互作用。假设一个p 阶向量自回归模型可以表示为)(p VAR ： t p t p 2t 21t 1t εY ΦY ΦY Φc Y +++++=--- (10.1) 其中p 1ΦΦ ,是n n ?阶系数矩阵，t ε是白噪声向量，满足： ? ? ?≠=Ω=t s t s E ,0,)(t s εε 其中Ω是n n ?阶正定矩阵。 可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为： t p t n p n p t p p t p t n n t t t n n t t t y y y y y y y y y c y 1,)(1,2)(12,1)(112,) 2(12,2)2(122,1)2(111 ,) 1(11,2)1(121,1)1(1111εφφφφφφφφφ++++++++++++++=--------- (10.2) 由此可见，在)(p VAR 模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p 阶自回归的形式。此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。 利用滞后算子形式，可以将)(p VAR 模型表示成为： t t p 21εc ΦΦΦ+=----y L L L I p n ][2 (10.3) 其中滞后算子多项式的元素可以表示成为： p p ij ij ij ij ij L L L L )(2)2()1()(φφφδ----= Φ 其中j i ij ==,1δ，j i ij ≠=,0δ 定义10.1 如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。此时下述变量与初始时间t 无关： )(t E y 和)(j t t E -'y y 命题10.1 如果一个向量过程满足)(p VAR 模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有： (1) 该过程的均值向量可以表示成为： c ΦΦΦI μp 211][-----= n (10.4) (2) )(p VAR 模型可以表示成为中心化形式： 12()()()()t t t t p t ----=-+-++-+12p y μΦy μΦy μΦy με (10.5) §10.2 向量自回归方程的表示和平稳性条件 与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR (p )模型表示成为VAR (1) 的形式。为此，我们定义更高阶的向量为： 1(,,,)np ?'=t t-1t-p+1ξy -μy -μy -μ )0,,0,(1'=? t np V ε 第八章方差分析与回归分析 §1单因素试验的方差分析 试验指标：研究对象的某种特征。 例各人的收入。 因素：与试验指标相关的条件。 例各人的学历，专业，工作经历等与工资有关的特征。 因素水平：因素所在的状态 例学历是因素，而高中，大学，研究生等，就是学历因素水平；数学，物理等就是专业的水平。 问题：各因素水平对试验指标有无显着的差异？ 单因素试验方差分析模型 假设 1）影响试验指标的因素只有一个，为A ，其水平有r 个：1,,r A A ； 2）每个水平i A 下，试验指标是一个总体i X 。各个总体的抽样过程是独立的。 3）2~(,)i i i X N μσ，且22i j σσ=。 问题：分析水平对指标的影响是否相同 1）对每个总体抽样得到样本{,1}ij i X j n ≤≤，由其检验假设： 原假设0:i j H μμ=，,i j ?；备选假设：1:i j H μμ≠，,i j ?； 2）如果拒绝原假设，则对未知参数21,,,r μμσ进行参数估计。 注 1）接受假设即认为：各个水平之间没有显着差异，反之则有显着差异。 2）在水平只有两个时，问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。 检验方法 数据结构式：ij i ij i ij X μεμδε=+=++，偏差2 ~(0,)ij N εσ是相互独立的，1 1r i i i n n μμ==∑。不难验证， 1 0r i k δ ==∑。 各类样本均值 水平i A 的样本均值：1 1 i n i ij j i X X n == ∑； 水平总样本均值：11111i n r r ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑，1 r i i n n ==∑； 偏差平方和与效应 组间偏差平方和： 2 221 1 ()r r A i i i i i i S n X X n X nX ===-=-∑∑；（衡量由不同水平产生的差异） 组内偏差平方和： 方差分析 方差分析(analysis of variance ), 简称ANOV A，由英国统计学家，后人为纪念Fisher ，以F命名方差分析的统计量，故方差分析又称F 检验。 样本均数的差异，可能有两种原因所致。首先可能由随机误差所致随机误差包括两种成分：个体间的变异和测量误差两部分；其次可能是由于各组所接受的处理不同，不同的处理引起不同的作用和效果，导致各处理组之间均数不同。一般来说，个体之间各不相同，是繁杂的生物界的特点；测量误差也是不可避免的，因此第一种原因肯定存在。而第二种原因是否存在，这正是假设检验要回答的问题。 方差分析的基本思想是将所有观察值之间的变异（称总变异）按设计和需要分解成几部分。如完全随机设计资料的方差分析，将总变异分解为处理间变异和组内变异两部分，后者常称为误差。将各部分变异除以误差部分，得到统计量F值，并根据F值确定P值作推断。 由于方差分析是根据实验设计将总变异分成若干部分，因此设计时考虑的因素越多，变异划分的越精细，各部分变异的涵义越清晰明确，结论的解释也越容易，同时由于变异划分的精细，误差部分减小，提高了检验的灵敏度和结论的准确性。 方差分析可用于： （1）两个或多个样本均数间的比较 （2）分析两个或多个因素的交互作用 1 （3）回归方程的假设检验 （4）方差齐性检验 多个样本均数间比较的方差分析应用条件为： （1）各样本必须是相互独立的随机样本（独立性） （2）各样本均来自正态总体（正态性） （3）相互比较的各样本的总体方差相等（方差齐性） 一、完全随机设计的方差分析 医学实验中，根据某一实验因素，用随机的方法，将受试对象分配到各组，各组分别接受不同的处理后，观察各种处理的效果，比较各组均数之间有无差别。临床研究中，还可能遇到：比较几种不同疗法治疗某种疾病后某指标的变化，以评价它们的疗效；或比较某种疾病不同类型之间某一指标有无差别等。这些都是一个因素不同水平（或状态）间几个样本均数的比较，可用单因素的方差分析（one-way ANOV A）来处理此类资料。 第10章单因素方差分析 单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options) 10.1 单因素方差分析的计量资料 [例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50) 本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。 (1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。 (2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。 (3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。 图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框 (4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。 Analysis of variance，方差分析。 Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。 Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。 Barlett’s test，巴特尼特检验。 Brown-Forsythe test，布朗—福塞斯检验。 Levene’s test，列文检验。本例以上都选。 郑州轻工业学院数学与信息科学系 第十章：方差分析 概率统计教研组 方差分析是英国大统计学家费歇尔（R.A.Fisher）在20世纪20年代创立的．起初用于农田间试验结果的分析，随后迅速发展完善，被广泛应用于在工、农业生产，经济、管理领域，工程技术和科学研究中． 方差分析与回归分析方法有许多相似之处，但又有本质区别，回归分析研究两个或多个数值型变量之间的关系，而方差分析是研究分类变量对数值型变量的影响，从形式上看，方差分析是比较多个总体均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系. 本章学习单因素方差分析和双因素方差分析的基本理论和方法. ●【营销策略问题】 某苹果汁厂家开发了一种新产品——浓缩苹果汁，一包该果汁与水混合可产生1升的普通苹果汁．该产品有三点特性可以吸引消费者的注意： 1.它比目前市场销售的罐装苹果汁方便． 2.由于市场上的罐装苹果汁事实上也是通过浓缩果汁制 造而成，因此新产品的质量至少不会差于罐装果汁． 3.新产品的生产成本要略低于罐装苹果汁． 营销经理需要决定的是如何宣传这种新产品，她可以通过强调产品的便利性、高品质或价格优势的广告来推销，还可以使用两种媒体中的一种来刊登广告：电视和报 ●【营销策略问题】 为了决定采用何种广告战略，她分别在6个小城市开展试验． 在城市1，营销的重点是宣传浓缩果汁的便利性（例如很方便地就可以从商店搬回家，占用更少的冰箱空间等），广告采用电视形式； 在城市2，营销的重点依然是便利性，但广告采用报纸形式； 在城市3，营销的重点是大力宣传产品的质量（画面上“普通的”购买者正在讨论果汁的口味如何纯正），广告采用电视形式； 第10章方差分析 适用：多个均值是否相等的检验(分类数据与数值型数据) 10.1 方差分析引论 例消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。当纠纷发生后，消费者通常会向消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了一些企业作为样本。其中零售业7家、旅游业6家、航空公司5家、家电制造业5家。每个行业所抽取的这些企业，假定他们在服务对象、服务内容、企业规模等方面基本相同。然后统计最近一年中消费者对这23家企业的投诉次数，结果如下表： 消费者协会想了解这几个行业之间的服务质量是否有显著性差异。 10.1.1 分析 服务质量 显著性差异 ↓ ↓ 投诉次数 均值不相等 转化为数学表达： 01234:H μμμμ=== 没有显著性差异 1:H 上面的等式不全相等 有显著性差异 一般假设检验的解决方法： 121314232434 ,,,,,μμμμμμμμμμμμ====== 更好的方法：方差分析 没有显著性差异?不同的行业服务质量一样，行业对服务质量没有显著影响 有显著性差异 不同的行业服务质量不一样，行业对服务质量有显著影响 从行业对服务质量影响的角度来分析平均服务质量的差异问题 术语: 因素：一个独立的随机变量，是方差分析研究的对象————企业所属行业类型 水平：因素的内容————各个行业: 零售业、旅游业、航空公司、家电制造 10.1.3 方差分析的原理： 1 观察值之间差异的原因 A 由于选取样本的随机性引起的差异 B 由于因素中的不同水平形成的差异——系统性差异(行业不同,服务质量不同) 2 水平内部与水平之间差异的类型 A 水平内部的差异只包含随机性差异 (同行业企业服务质量的差异) B 水平之间的差异既包含随机性差异又包含系统性差异 第二十六课 协方差分析 当定量的影响因素对观察结果有难以控制的影响，甚至还有交互作用时，采用协方差分析，这些影响变量称为协变量，扣除（或消除）协变量的影响，可以得到修正后的均值估计。 一、 协方差分析概述 1. 协方差分析概念 协方差分析（analysis of covariance ）又称带有协变量的方差分析（analysis of variance with covariates ），是将回归分析与方差分析结合起来使用的一种分析方法。在各种试验设计中，对主要变量y 研究时，常常希望其他可能影响和干扰y 的变量保持一致以到达均衡或可比，使试验误差的估计降到最低限度，从而可以准确地获得处理因素的试验效应。但是有时，这些变量难以控制，或者根本不能控制。为此需要在试验中同时记录这些变量的值，把这些变量看作自变量，或称协变量（covariate ），建立因变量y 随协变量变化的回归方程，这样就可以利用回归分析把因变量y 中受协变量影响的因素扣除掉，从而，能够较合理地比较定性的影响因素处在不同水平下，经过回归分析手段修正以后的因变量的总体均值之间是否有显著性的差别。简单地说，协方差分析是扣除协变量的影响，或者将这些协变量处理成相等，再对修正的y 的均值作方差分析。 2. 协方差分析的假定 协方差分析需要满足的假定为： ①各样本来自具有相同方差2 σ的正态分布总体，即要求各组方差齐性。 ②协变量与主要变量y 间的总体回归系数不等于0。 ③各组的回归线平等，即回归系数 ==21ββ。 如果上述的假定满足，就作协方差分析。前述的各种试验设计，如完全随机化设计、随机区组设计、析因设计、拉丁方设计等，都可以带一个或多个协变量，按设计方案扣除协变量的影响后，对主要变量y 的修正均值作比较，得出统计结论。 3. 协方差分析的模型 最简单的单因素一元协方差分析的模型，是由单因素效应模型ij i ij a y εμ++=加上协变量的影响因素)(x x ij -β而得出： ij ij i ij x x a y εβμ+-++=)( (26.1) 其中x 为协变量，ij x 为协变量在分类水平i 和j 上的记录值，x 为所有协变量的平均值，β为相关的回归系数。设x βμβ-=0，为平均截距。上式可以化简成 ij ij i ij x a y εββ+++=0 (26.2) 设i i a +=00ββ，上式可以化简成 第九章 回归分析 教学要求 1．一元线性回归及线性相关显著性的检验法，利用线性回归方程进行预测。 2．可线性化的非线性回归问题及简单的多元线性回归。 ?本章重点：理解线性模型，回归模型的概念，掌握线性模型中参数估计的最小二乘法估计法。 ?教学手段：讲练结合 ?课时分配：6课时 §9.1 一元线性回归 回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。 例如，人的血压y 与年龄x 有关，这里x 是一个普通变量，y 是随机变量。Y 与x 之间的相依关系f(x)受随机误差ε的干扰使之不能完全确定，故可设有： ε+=)(x f y （9.1） 式中f(x)称作回归函数，ε为随机误差或随机干扰，它是一个分布与x 无关的随机变量，我们常假定它是均值为0的正态变量。为估计未知的回归函数f(x)，我们通过n 次独立观测，得x 与y 的n 对实测数据(x i ,y i )i=1,……,n ，对f(x)作估计。 实际中常遇到的是多个自变量的情形。 例如 在考察某化学反应时，发现反应速度y 与催化剂用量x 1,反应温度x 2,所加压力x 3等等多种因素有关。这里x 1,x 2,……都是可控制的普通变量，y 是随机变量，y 与诸x i 间的依存关系受随机干扰和随机误差的影响，使之不能完全确定，故可假设有： ε+=),,,(21k x x x f y Λ (9.2) 这里ε是不可观察的随机误差，它是分布与x 1,……,x k 无关的随机变量，一般设其均值为0，这里的多元函数f(x 1,……,x k )称为回归函数，为了估计未知的回归函数，同样可作n 次独立观察，基于观测值去估计f(x 1,……,x k )。 以下的讨论中我们总称自变量x 1,x 2,……,x k 为控制变量，y 为响应变量，不难想象，如对回归函数f(x 1,……,x k )的形式不作任何假设，问题过于一般，将难以处理，所以本章将主要讨论y 和控制变量x 1,x 2,……,x k 呈现线性相关关系的情形，即假定 f(x 1,……,x k )=b 0+b 1x 1+……+b k x k 。 并称由它确定的模型 (9.1) (k=1)及(9.2)为线性回归模型，对于线性回归模型，估计回归函数f(x 1,……,x k )就转化为估计系数b 0、b i (i=1,……,k) 。 当线性回归模型只有一个控制变量时，称为一元线性回归模型，有多个控制变量时称为多元线性回归模型，本着由浅入深的原则，我们重点讨论一元的，在此基础上简单介绍多元的。 §9.1.1 一元线性回归 一、一元线性回归的数学模型 前面我们曾提到，在一元线性回归中，有两个变量，其中x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y 与x 之间存在着显著的线性相关关系，即y 与x 之间存在如下关系：第十章 协差分析
统计学第十章(方差分析)
方差分析和回归分析的区别与联系
方差分析和相关分析与回归分析
方差分析和回归分析的区别与联系
第10章__方差分析与试验设计
第10章__方差分析与试验设计
时间序列分析讲义第10章协方差平稳向量过程
方差分析与回归分析
第8讲单因素方差分析与多重比较
第10章单因素方差分析
第10章 方差分析
统计学第10章方差分析教材
SAS讲义 第二十六课协方差分析
方差分析与回归分析报告