高等数学期末复习--多元函数微分学
高等数学期末复习
第九章 多元函数微分学
一、内容要求
1、会求简单二元函数定义域
2、会求多二元函数表达式和值
3、会求简单二元函数的极限
4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达
5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值
6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式
7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数
8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数
9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数 10、会求多元函数全微分 11、会求多元隐函数的偏导数
12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性 13、能观察出简单多元函数极值情况
14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题 15、会求空间曲面的切平面、法线方程 16、会求空间曲线的切线、法平面方程 17、会求多元函数的方向导数 18、会求多元函数的梯度
二、例题习题
1、二元函数x y
z arcsin =的定义域是( )
A.|}||||),{(x y y x ≤
B. }0|||||),{(≠≤x x y y x
C. }0|||||),{(≠>x x y y x
D. }0|||||),{(≠≥x x y y x
解：使函数x y z arcsin =有意义，只要||1,0y
x x
≤≠，即||||,0y x x ≤≠，所以，选B. （内容要求1）
2、函数22
1
(,)ln()=++
+f x y x y x y 的定义域为 ；
解：使函数22
1(,)ln()=++
+f x y x y x y
有意义，只要22
0,0x y x y +>+≠，所以填22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠（内容要求1）
3、设22
(,),f x y x y x y +-=-则(,)f x y =( ).
(A) 2
2
x y - (B) 2
2
x y + (C) 2
()x y - (D) xy 解：令,u x y v x y =+=-，则,22
u v u v
x y +-=
=
，于是 22(,)f x y x y x y +-=-?(,)f u v uv =
即由函数与自变量记号选取无关性有(,)f x y xy =。所以选D 。（内容要求2）
4、设22
(,)2+=x y f x y xy
，则(2,3)-=f ；
解：4913(2,3)1212f +-==--，所以填13
12
-。
（内容要求2） 5、
(,)(0,0)
lim
x y →=( )；
A.
2
1
B. 41
C. 1
D. 0
解：
(,)(0,0)
(,)(,)12lim
lim lim x y x y x y →→→===
所以选A 。（内容要求3） 6、
(,)(0,0)sin lim
→=x y xy
x
；
解：
(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)
sin sin sin lim
lim []lim lim 0x y x y x y x y xy xy xy
y y x xy xy →→→→=?=?=
所以填0。（内容要求3） 7、
(,)(2,0)sin lim
x y xy
y →= ；
解：
(,)(2,0)(,)(2,0)(,)(2,0)sin sin lim
lim lim 2x y x y x y xy xy
x y xy →→→=?=，所以填2。（内容要求3）
8、函数
) ,(y x f 在点)0 ,0(处存在偏导数，则=-→x
x f f x )
0,2()0,0(lim
0 ( )；
A ．)0,0(21'x f
B ．)0,0(2
1'-x f C ．)0,0(2'-x f D ．)0,0(2'
x f
解：由偏导数定义，00(0,0)(2,0)(2,0)(0,0)
lim
2lim 2(0,0)2x x x f f x f x f f x x
→→--'=-=- 所以选C 。（内容要求4）
9、 函数
) ,(y x f 在点)0 ,0(处存在偏导数，则=-→y
y f f y 2)
,0()0,0(lim
( )；
A ．
)0,0(2
1'y f B ．)0,0(21'-y f C ．)0,0(2'-y f D ．)0,0(2'
y f
解：由偏导数定义，0
0(0,0)(0,)1(0,)(0,0)1
lim
lim (0,0)222
y y y f f y f y f f y y →→--'=-=-
所以选B 。（内容要求4）
10、 函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处存在偏导数，则=??--→?x
y x x f y x f x )
,(),(lim
00000
( )；
A ．),(00y x f x '
B ．),(00y x f x '-
C ．),(00y x f y '
D ．),(00y x f y '- 解：由偏导数定义，
00000000000
0(,)(,)(,)(,)
lim
lim (,)x x x f x y f x x y f x x y f x y f x y x x
?→?→--?-?-'==?-? 所以选A 。（内容要求4） 11、函数
) ,(y x f 在点) ,(00y x 处偏导数存在是) ,(y x f 在点) ,(00y x 处连续的( )；
A ．充分必要条件
B ．必要条件
C ．充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解：选D 。（内容要求4）
12
、设函数2(,)=+f x y x (1,1)'=y f ( ). (A) 1 (B) 2 (C) 1
2
(D) 3
解：(,)y f x y '=
，所以1
(1,1)2
y f '=
，所以选C 。（内容要求5） 13、设2y z x =，则
2(1,1)
z
x y -?=??( ). (A) 2- (B) 1- (C) 2 (D) 1
解：22222,z y z y x x x y x ??=-=-???，所以2(1,1)
2z x y -?=??，所以选C 。（内容要求5）
14、2
2
ln(1)z x y =++，则1
2
d |
x y z
===
解：
222222,11z x z y x x y y x y ??==?++?++，所以，112212|,|33
x x y y z z x y ====??==??，故
1212d 33|x y z dx dy ===+，所以填12
12
d 33|x y z dx dy ===+。（内容要求6）
15、设221
ln(1)2
z x y =++，则(1,1)d |z = 解：
2222,11z x z y x x y y x y ??==?++?++，所以，111111|,|33
x x y y z z x y ====??==??，故 1111d 33|x y z dx dy ===+，所以填11
11
d 33|x y z dx dy ===+。（内容要求6）
16、设x y
z arctan =，则
=??x
z
( )； A. 222y x x + B. 22y x y + C. 221y x +- D. 2
2y x y
+-
解：
22
2
21()1()z y y
y x x x y x
?=?-=-?++，所以选D 。（内容要求7） 17、 设sin
y
z x
=，则z y ?=?( ). (A) 1cos y x x (B) 1cos y x x - (C) 2cos y y x x - (D) 2cos y y
x x
解：
11cos cos z y y
y x x x x
?=?=?，所以选A 。（内容要求7） 18、设2
2
sin()z x y =-，则22z
x
?=?( ).
(A) 2
2
sin()x y -- (B) 2
2
sin()x y -
(C) 2
2
2
4sin()x x y -- (D) 2
2
2
2
2
2cos()4sin()x y x x y ---
解：222
2222222cos(),2cos()4sin()z z x x y x y x x y x x
??=-=---??，所以选D 。（内容要求7）
19、设x y z ln =，则
=??x
z
( )； A.
y x B. x
y C. y 1- D. x 1-
解：
21
()z x y x y x x
?=?-=-?，所以选D. （内容要求7） 20、设y
xy z )1(+=，
=??y
z
解：
1(1)ln(1)(1)(1)[ln(1)]1y y y z x xy x xy xy xy xy y xy
-?=+?++?+=+++?+，所以填 (1)[ln(1)]1y x xy xy xy
++++。（内容要求7）
21、 若函数2
2
2xy x z +=，则=??x
z
解：
24z
x y x
?=+?，所以填24x y +。
（内容要求7） 22、设)2(cos 22
y x z -=，验证02222=???+??y x z
y
z 。
解：2
2cos ()cos(2)1,2sin(2),sin(2)2y z z
z x x y x y x y x y
??=-
=-+=--=-?? 2222cos(2),cos(2)z z
x y x y x y y
??=-=--???，将上述导数代入式子左端得0，所以等式成立。（内容要求7）
23、设4422
4=+-z x y x y ，求2222
22,,,??????????z z z z x y x y y x .
解：22
322248,128,16z z z x xy x y xy x x x y
???=-=-=-???? 由,x y 在表达式中的对称性，22
2
2128,16z z y x xy y y x
??=-=-???。（内容要求8）
24、设2
2y x z +=，求2222y
z x z ??+??．
解：222
2z z x x ??==-=??
由,x y
在表达式中的对称性，22
2z y ?=
?，
所以，2222
z z
x y
??+=??。
（内容要求8） 25、设)ln(y x z +
=，求y
z y x z x
??+??
解：
12z
x ?==?，由,x y 在表达式中的对称性，
12z y ?==?，所以，1
2z z x y x y ??+=??（内容要求8） 26、 设)ln(2
2
y x z +=，求y
x z
y z x z ???????22222,,.
解：2222222222222222222
224224,,()()()z x z x y x z xy x x y x x y x y x y x y x y ??-?==-==-?+?+++??+， 由,x y 在表达式中的对称性，222222222()
z x y x x y ?-=?+。
（内容要求8） 27、设)ln(y
x e e z +=，验证???22x z 22y z ??-2
2???
? ?????y x z =0. 解：2222222,,()()()x x x x y x y
x y x y x y x y x y z e z e e e z e x e e x e e e e e e x y e e ++???==-==-?+?+++??+ 由,x y 在表达式中的对称性，222
()x y
x y z e y e e +?=?+，将上述各导数代入式子左端得0，所以等
式成立。（内容要求8）
28、设t y x z +-=2
2
，t x sin =，t y cos =，求全导数
t
z
d d . 解：
2cos 2sin 1dz
x t y t dt
=++。
（内容要求9） 29、ln ,,z u v u xy v x y ===+，求
,z z
x y
????及全微分dz . 解：
ln ln()z u xy v y y x y x v x y ?=?+=++?+，ln ln()z u xy v x x x y y v x y
?=?+=++?+，全微分为[ln()][ln()]xy xy
dz y x y dx x x y dy x y x y
=++
+++++。（内容要求9） 30、设(
)
2
2
z y f x y
=+-,其中()f u 可微，则z z
y
x x y
??+=??
解：
()()22222,12z z xf x y yf x y x y ??''=-=--??，所以z z
y x x x y
??+=??，所以填x .（内容要求9） 31、设22(,)=-xy z
f x y e ，其中f 有一阶连续偏导数，求
y
z
x z ????,. 解：121
22,2xy xy
z z xf ye f yf xe f x y
??''''=+=-+??量（内容要求9） 32、设22(,)-=+x y z
f x y e ，其中f 有一阶连续偏导数，求
y
z
x z ????,. 解：12122,2x y
x y z z xf e f yf e f x y
--??''''=+=-??。（内容要求9）
33、),,(y x x z z y f u ---=有连续偏导数，求
z
u
y u x u ??+??+?? 解：
231312,,u u u
f f f f f f x y z
???''''''=-+=-=-+???，所以，0u u u x y z ???++=???（内容要求9）
34、设,x
z xy y
=+
则z 的全微分d z =( ). (A) 21()d ()d x y x x y y y +
+- (B) 21()d ()d x
y x x y y y +++ (C) 1()d ()d x y x x y y y -
+- (D) 11()d ()d y x x y y y
++- 解：
21,,z z x y x x y y y ??=+=-?? 所以21d ()d ()d x
z y x x y y y
=++-，所以选A 。（内容要求10）
35、函数)ln(y x z +=的全微分为 解：
11,z z x x y y x y ??==?+?+，所以1()dz dx dy x y =++。所以填1()dz dx dy x y
=++。（内容要求10）
36、设0y
y xe -=，则
d d y
x
=( ).
(A) 1y y e xe - (B) 1y y e xe - (C) 1y y xe e - (D) 1y y
xe e -
解：()001y
y
y
y
y
e y xe y e xe y y xe ''''-=?--=?=-，所以选B 。（内容要求11）
37、设(,)z z x y =是由方程0z
e xyz -=所确定的隐函数，则
z
x
?=?( ). (A)
z yz e xy + (B) z yz e xy - (C) z xy e yz + (D) z xy
e yz
-
解：0z
z z z z yz
e
yz xy x x x e xy
???--=?=???-，所以选B 。（内容要求11） 38、设(,)z z x y =是由方程3
30z xyz -=所确定的隐函数，则有( ). (A) z z x
y x y ??=?? (B) z z x y ??=-?? (C) z z x y ??=?? (D) z z y x x y
??=?? 解：2
23330z z z yz z
yz xy x x x z xy ???--=?=???-，同理，2z xz
y z xy
?=?-，所以选A 。（内容要求11）
39、设方程+-=z
x y z e 确定了二元函数(,)z f x y =，则
?=?z
x
解：111z z
z z z e x x x e ???-
=?=???+，所以填1
1
z e +。（内容要求11） 40、 设方程20+--=z
x y e z 确定了二元函数(,)z f x y =，则
?=?z
y
解：2201z
z z z z e
y y y e ???--=?=???+所以填21
z e +。（内容要求11） 41、设方程z
e xyz =确定了二元函数),(y x z ，则
=??y
z
; 解：z z z z z xz xz xy
e y y y e xy ???+=?=???-，所以填z xz e xy
-。（内容要求11） 42、设方程2
2
2
40x y z z ++-=确定了二元函数),(y x z ，则
=??y
z
; 解：22402z z z y y z
y y y z ???+-=?=???-，所以填2y z
-。（内容要求11）
43、设方程0sin =-+z z xy 确定了二元函数),(y x z ，则
=??x
z
; 解：cos 0cos 1z z z y y z x x x z ???+
-=?=???-，所以填cos 1
y z -。（内容要求11） 44、设函数2
2
(,)22013=--++f x y x y y ，则 ( )．
(A) (0,1)不是(,)f x y 的驻点 (B) (0,1)是(,)f x y 的驻点，但非极值点 (C) (0,1)是(,)f x y 的极小值点 (D) (0,1)是(,)f x y 的极大值点
解：(,)2,(,)22,(,)2,(,)0,(,)2x y xx
xy yy f x y x f x y y f x y f x y f x y ''''''''=-=-+=-==- 因为(0,1)满足(,)0x f x y '=，(,)0y f x y '=，所以是驻点，又
(0,1)2,(0,1)0,(0,1)2xx
xy yy A f B f C f ''''''==-====- 有2
0,0A AC B <->，(0,1)是(,)f x y 的极大值点。故选D 。（内容要求12） 45、设y x x z --=33
，则它在点(1,0)处( )
A.取得极大值
B.无极值
C.取得极小值
D.无法判断是否有极值 解：
233,1z z
x x y
??=-=-??，所以y x x z --=33无驻点，不存在偏导数不存的点，故选B 。（内容要求12）
46、设2
2
)(4y x y x z ---=，则它在点(2，-2)处( ) A.取得极大值 B.无极值
C.取得极小值
D.无法判断是否有极值
解：2222242,42,2,0,2z z z z z x y x y x x y y
?????=-=--=-==-??????，故选A 。（内容要求12） 47、 函数2
2
(,)42f x y x y x =+-在驻点(1,0)处 ( ) (A) 取到极小值 (B) 取到极大值
(C) 取不到极值 (D) 无法判断是否有极值
解：(,)22,(,)8,x y f x y x f x y y ''=-=(,)2,(,)0,(,)8,xx xy yy f x y f x y f x y ''''''===故选A 。（内
容要求12） 48、 二元函数512632+-++-=y x y x z
在)2,3(处( );
A. 无法判断是否有极值
B. 取不到极值
C. 取到极大值
D. 取到极小值
解：2222
2226,312,2,0,6z z z z z x y y x y x x y y
?????=-+=-=-==-??????，故选C 。（内容要求12） 49、 二元函数x y x y x z 9332
2
3
3
-++-=的极小值点为( );
A. )0,3(-
B. )2,3(-
C. )0,1(
D. )2,1(
解：22222
22369,36,66,0,66z z z z z x x y y x y x y x x y y
?????=+-=-+=+==-+??????，故选C 。（内容要求12）
50、 二元函数x y x y x z 9332
2
3
3
-++-=的极大值点为( );
A. )0,1(
B. )2,1(
C. )0,3(-
D. )2,3(-
解：22222
22369,36,66,0,66z z z z z x x y y x y x y x x y y
?????=+-=-+=+==-+??????，故选D 。（内容要求12）
51、 函数2
4
23y x z --=的极大值为 ； 解：显然在（0，0）处取极大值3，所以填3。（内容要求13） 52、 函数5342
++=y x z 的极小值为
解：显然在（0，0）处取极小值5，所以填5。（内容要求13）
53、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为：x y x ?--)3(βα和y y x ?--)24(αβ，（0>>βα），求使产鱼总量最大的放养数.
解：产鱼总量2
2
3422z x y x x y y αβα=+---，所以
32204240z
x y x z
x y y
αββα??=--=???
???=--=??? 解得2222
3243,22(2)
x y αβαβ
αβαβ--=
=--，由实际问题，产鱼总量最大的放养数是甲种鱼放养22223βαβα--（万尾），乙种鱼放养)
2(23422βαβα--（万尾）（内容要求14）
54、曲面221z x y =+-在点(2,1,4)的切平面方程为( ).
(A) 4260x y z +--= (B) 42140x y z ++-= (C) 214421x y z ---==- (D) 214
421
x y z ---==
解：
2,2z z
x y x y
??==??，所以，221z x y =+-在点(2,1,4)的法向量为{4,2,1}-，所以在点(2,1,4)的切平面方程为4(2)2(1)(4)0x y z -+---=，整理得4260x y z +--=。所以选A 。（内容要求15）
55、曲面2
2
10x y z +--=在点(2,1,4)的法线方程为( ). (A) 4260x y z +--= (B) 42140x y z ++-= (C)
214421x y z ---==- (D) 214
421
x y z ---==
解：由前题已求得在(2,1,4)的法向量为{4,2,1}-，所以选C 。（内容要求15） 56、 曲面3z
e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程为( ).
(A)
21123
x y z
--== (B) 4x y z ++= (C) 240x y +-= (D) 240x y ++= 解：令(,,)3z
F x y z e z xy =-+-，则
,,1z F F F
y x e x y z
???===-???，由此得(2,1,0)处法向量为{1,2,0}，所以得切平面方程为240x y +-=，所以选C 。（内容要求15）
57、曲面2850x xy x z --++=在点(2,3,1)-处的法线方程为( ).
(A)
231121x y z -+-==- (B) 231
121
x y z -+-==
--- (C) 250x y z +-+= (D) 2
31x t y t z t =+??
=-??=+?
解：令2
(,,)85F x y z x xy x z =--++，则
28,,1F F F
x y x x y z
???=--=-=???，由此得(2,3,1)-处法向量为{1,2,1}--，所以法线方程为
231
121
x y z -+-==
--，所以选A 。（内容
要求15）
58、曲面92
22=++z y x 在点)2,2,1(处的切平面方程为 ， 法线方程为
解：令2
2
2
(,,)9F x y z x y z =++-，
2,2,2F F F
x y z x y z
???===???，由此得)2,2,1(处法向量为{2,4,4}，切平面方程为2(1)4(2)4(2)02290x y z x y z -+-+-=?++-= 法线方程为
122122
244122
x y z x y z ------==?==
。（内容要求15） 59、曲线x t =，2y t =，3z t =在对应于1t =点处的切线方程是( ).
(A)
123146x y z ---== (B) 12
3
126x y z ---==
(C) 111123x y z ---== (D) 111
12
6
x y z ---==
解：2
1,2,3x y t z t '''===，在1t =点处的切向量为{1,2,3}，所以切线方程为C 。所以选C 。（内容要求16）
60、曲线2
3,,1t z t y x ===在点)1,1,1(处的切线方程为，
法平面方程为 ;
解：20,
3,2x y t z t ''===，所以切向量为{0,3,2}，切线方程为
111
032
x y z ---==
， 法平面方程为0(1)3(1)2(1)03250x y z y z -+-+-=?+-=（内容要求16）
61、在曲线32,,t z t y t x ===上求出其切线平行于平面42=++z y x 的切点坐标.
解：设切点处参数为t ，由2
1,2,3x y t z t '''===，得切点处切向量为2
{1,2,3}t t 。又平面
42=++z y x 的法向量为{1,2,1}，于是2121
1430,13
t t t t ++=?=-=-，故切点坐标为
)1,1,1(--或)27
1
,91,31(--。（内容要求16）
62、函数x
ye z 2=在点P(1,0)处从点P(1,0)到Q(2,-1)的方向的方向导数为( )
A. 22
1e -
B. 22
1e +-
C.
22
1e D.
22
1e +
高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
高等数学函数的极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
高等数学多元函数微分法
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+
高等数学同济大学版课程讲解函数的极限
课 时 授 课 计 划 课次序号： 03 一、课 题：§1.3 函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果 分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．
定义1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）?A ． 例1 证明lim x 0． 证 0 -，故?ε＞00-＜εε， 即x ＞21 ε．因此，?ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim x ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞ =． 证 ?ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞ 10x ?0． 定义2 若?ε＞0，?X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞ f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限： f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞ ===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线． 由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理． 定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞ f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1 x x x →∞--?1．
高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)
第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.
高等数学题库第08章(多元函数微分学)
第八章 多元函数微积分 习题一 一、填空题 1. 设2 23),(y x y x y x f +-= ，则.________ )2,1(_______,)1,2(=-=-f f 2. 已知12),(22++=y x y x f ，则._________________ )2,(=x x f 二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.x y z -= 2. y x z -+-=11 3. 224y x z --= 4. xy z 2log = 习题二 一、是非题 1. 设y x z ln 2 +=，则 y x x z 1 2+=?? （ ） 2. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则 该函数在P 点处一定连续 （ ） 3. 函数),(y x f z =在),(00y x P 处一定有),(00y x f xy ),(00y x f yx = （ ） 4. 函数?? ? ?? =+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处有0)0,0(=x f 及 0)0,0(=y f （ ） 5. 函数22y x z += 在点)0,0(处连续，但该函数在点)0,0(处的两个偏导数 )0,0(x z )0,0(,y z 均不存在。 （ ） 二、填空题
1. 设2 ln y x z = ，则_;___________; __________1 2=??=??==y x y z x z 2. 设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数),(b a f x 和),(b a f y 均存在，则 ._________) 2,(),(lim =--+→h h b a f b h a f h 三、求下列函数的偏导数： 1. ;133+-=x y y x z 2. ;) sin(22y e x xy xy z ++= 3. ;)1(y xy z += 4. ;tan ln y x z = 5. 222zx yz xy u ++= 四、求下列函数的,22x z ??22y z ??和y x z ???2： 1. ;234 23+++=y y x x z 2. y x z arctan = 五、计算下列各题 1. 设),2(),(sin y x e y x f x +=-求);1,0(),1,0(y x f f 2. 设)ln(),(y x x y x f +=，求,2 12 2==??y x x z , 2 122==??y x y z .2 12==???y x y x z 六、设)ln(3 13 1y x z +=，证明：.3 1=??+??y z y x z x 习题三 一、填空题 1．xy e y x z +=2在点),(y x 处的._______________ =dz 2．2 2 y x x z += 在点)1,0(处的._______________ =dz
高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____ . 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） . 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ） 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 目录： 函数与极限 (1) 1、集合的概念 (1) 2、常量与变量 (2) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (5) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 第一章 函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. N +={1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={? ? ?, -n , ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); 高等数学期末复习 第九章 多元函数微分学 一、内容要求 1、会求简单二元函数定义域 2、会求多二元函数表达式和值 3、会求简单二元函数的极限 4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达 5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值 6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式 7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数 8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数 9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数 10、会求多元函数全微分 11、会求多元隐函数的偏导数 12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性 13、能观察出简单多元函数极值情况 14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题 15、会求空间曲面的切平面、法线方程 16、会求空间曲线的切线、法平面方程 17、会求多元函数的方向导数 18、会求多元函数的梯度 二、例题习题 1、二元函数x y z arcsin =的定义域是( ) A.|}||||),{(x y y x ≤ B. }0|||||),{(≠≤x x y y x C. }0|||||),{(≠>x x y y x D. }0|||||),{(≠≥x x y y x 解：使函数x y z arcsin =有意义，只要||1,0y x x ≤≠，即||||,0y x x ≤≠，所以，选B. （内容要求1） 2、函数22 1 (,)ln()=++ +f x y x y x y 的定义域为 ； 解：使函数22 1(,)ln()=++ +f x y x y x y 有意义，只要22 0,0x y x y +>+≠，所以填22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠（内容要求1） 一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-多元函数微分学知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。 第六章多元函数微分学 综述：本章是对一元函数中极限、连续、导数与微分等知识的推广，主要考点是围绕偏导数的一系列计算，由于多元函数微分学计算的复杂性要大于一元函数，考试在微分学中的大题一般都出在本章.在考试中，每年直接涉及到本章知识所占的分值平均在12分左右. 本章的主要知识点有：二重极限的定义及其简单的性质，二元函数的连续、偏导数和可微，多元函数偏导数的计算，方向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线.其中学习的难点是二重极限、二元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这一部分考查的频率不高，且以小题为主，考生在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义，并与一元函数的相关概念进行比较.本章考查的重点在偏导数的计算及其应用上：首先，偏导数的计算与一元函数的求导并无本质区别，考生只需将一元函数求导的相关知识进行推广，就可以得到偏导数相应的计算公式；在全面掌握了偏导数的计算方法之后，考生还需要掌握偏导数的各种应用，包括多元函数的极值（无条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线，对于它们，考生只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可. 本章常考的题型有：1.关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2.偏导数的计算；3.方向导数与梯度；4.极值，5.空间曲线的切线与法平面，6.空间曲面的切平面与法线. 常考题型一：连续、偏导数与全微分 1．【1994-1 3分】二元函数(,)f x y 在点()00,x y 处两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在是(,)f x y 在该点连续的（） ()A 充分条件而非必要条件()B 必要条件而非充分条件高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
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