(完整版)高三文科数学试题及答案.doc

高三 1 学期期末考试

数学试卷（文）

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题 卡相应位置上 ．

．．．．．．．．

1. 已知集合 A { 1,1}, B { x R |1 2x 4}, 则 A I B

（ ）

A ． [0,2)

B ．{ 1 }

C ． { 1,1}

D ． {0,1}

2. 下列命题中错误的是

（

）

A ．如果平面 平面

，那么平面

内一定存在直线平行于平面

B ．如果平面 不垂直于平面

，那么平面

内一定不存在直线垂直于平面

C ．如果平面 平面 ，平面 平面 ，

1 ，那么直线 l

平面

D ．如果平面

平面

，那么平面 内所有直线都垂直于平面

3. 已知 { a n } 为等差数列， 其公差为 2 ，且 a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项， S n 为 { a n } 的前 n 项和，

n N *，则 S 10的值为

（

）

A ． 110

B ． 90

C ． 90

D ．110

4. 若实数 a ，b 满足 a

0, b 0 ，且 ab 0 ，则称 a 与 b 互补，记 (a,b)a 2

b 2 a b ，

那么 ( a, b) 0 是 a 与 b 互补的

（

）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件

5. 若 a,b

R ，且 ab

0 ，则下列不等式中，恒成立的是

（ ）

A ． a 2 b 2

2ab B ． a b

2 ab

1 1 2

b a

C ．

b

ab

D ．

2

a a

b

0 x 2

6. 已知在平面直角坐标系

xOy 上的区域 D 由不等式组

y 2 给定。若 M ( x, y) 为 D

x

2y

A 的坐标为( 2,1) ，则 z uuuur uuur

上的动点，点OM OA 的最大值为（）

A ．3 B． 4 C．3 2 D.4 2

7. 函数f ( x)在定义域R内可导，若 f ( x) f (2 x) ，且当 x ( ,1) 时，(x 1) f / ( x) 0 ，

设 a f (0), b f (1

), c f (3) ，则（）2

A ．a b c

B ．c b a C．c a b D ．b c a

8. y sin(2 x ) 的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点( ,0) 中心对称（）

3 12

A ．向左平移个单位B．向左平移

6 个单位

12

C．向右平移个单位D．向右平移个单位

12 6

9. 已知f ( x)是 R 上的奇函数，且当x 0 时， f ( x) ( 1 ) x 1，则 f (x) 的反函数的图像大

2

致是（）

10. 有编号分别为1， 2， 3， 4， 5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中取出 4 个，则取出的编号互

不相同的概率为（）

5 2 1 8

A ．

B ．C． D ．

21 7 3 21

(c,0) 为椭圆x 2

y

2

uuur uuuur

c2 ,

11.已知F1( c,0), F2 1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1 PF2

a2 b2

则此椭圆的离心率的取值范围是（）

A．[3

,1] B．[

1

,

1

] C．[

3

, 2 ] D．(0, 2 ] 3 3 2 3 2 2

12. 已知球的直径SC= 4 ，A， B 是该球球面上的两点，AB 3，ASC BSC 30 ，

则棱锥 S- ABC 的体积为（）

A．19B．3C．23D．3 3

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡相

应．．．．．位置上．

．．．

r r r r r r r

r

13. 已知 | a | | b | 2 ， (a 2b)( a b) 2 ，则 a 与 b 的夹角为.

14. 已知 sin 1

，且(0,

cos2

的值为.

cos ) ，则

2 2 sin( )

4

15.若一个圆的圆心在抛物线y2 4x 的焦点处，且此圆与直线 x y 1 0 相切，则这个圆

的标准方程是.

16．函数f ( x)的定义域为 A，若x1, x2 A 且 f ( x1 ) f (x2 ) 时总有 x1 x2，则称 f (x) 为单函数．例如，函数 f ( x) 2x 1(x R) 是单函数．下列命题：

①函数 f ( x) x2 (x R) 是单函数；

②若 f ( x) 为单函数， x1, x2 A 且 x1 x2则 f ( x1 ) f ( x2 ) ；

③若 f ：A B 为单函数，则对于任意 b B，它至多有一个原象；

④函数 f ( x) 在某区间上具有单调性，则 f ( x) 一定是该区间上的单函数．

其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程．17．（本小题满分 10 分）在ABC 中，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c ， a 2 3 ，

A B

tan C

sin A ，求A, B及b, c.

tan 4, 2sin B cosC

2 2

18．（本小题满分 12 分）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点 F 在侧棱CC1上，且不与点 C 重合．

（I）当CF 1 时，求证：EF A1C ；

（ II ）设二面角 C AF E 的大小为，求 tan 的最小值．

19．（本小题满分 12 分）某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假

定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为p1，寿命为 2 年以上的概率为p2，从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

（ I ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率；

（ II ））在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

（Ⅲ）当 p 1 0.8, p 2

0.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换

4 只灯泡的概率

（结果只保留两个有效数字）

.

20．（本小题满分 12 分）已知关于 x 的函数 f ( x)

1 x 3 bx

2 cx bc ，其导函数 f ( x) .

4 3

（Ⅰ）如果函数 f (x)在 x=1处有极值 -

, 试确定 b 、 c 的值；

3

（Ⅱ）设当 x

(0,1) 时，函数 y f (x) c( x b) 图象上任一点 P 处的切线斜率为 k ，若 k 1，

求实数 b 的取值范围 .

21．（本小题满分 12 分）已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n

a n 1

2a n n ，且 b n

，

a n

a

n 1

数列 {b n } 的前 n 项和为 T n .

（ I ）求证： { a n 1} 为等比数列；

（Ⅱ）求 T n .

a) 是双曲线 E : x 2 2

22．（本小题满分 12 分）P(x 0 , y 0 )( x 0

2

- y 2

1(a

0， b 0) 上一点，

a b

M 、 N 分别是双曲线 E 的左、右顶点，直线

PM 、 PN 的斜率之积为 1 .

5

（ I ）求双曲线的离心率；

（ II ）过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线 E 于 A ， B 两点， O 为坐标原点， C

uuur

uuur uuur

的值 .

为双曲线上一点，满足 OC

OA OB ，求

数学试卷（文）参考答案

一、 1.B 2. D 3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9. A 10. D 11.C 12. B

二、 13.

3

14.

14 15. ( x 1)2

y 2 2

16. ②③④

2

tan

A

B

tan

C

4 得 cot

C

tan

C

cos

C

sin

C

三、 17．由 4，∴

2

2 4 ，

2

2

2

2

sin C C

2 cos

2

∴

1

4 ，∴ sin C

1

(0,

)，∴C

，或 C

5

.

C

C ，又 C

6 6

sin

2

cos

2

2

由 2sin B cosC sin A 得 2sin B cos B sin( B C ) ，即 sin( B C ) 0 ，

∴B C ，B C

， A (B C)

2

.

3

6

1

a

b

c

sin B

由正弦定理

,得 b c a 2 3

2 2 .

sin B

sin A 3

sin A

sin C

18．解法一：过 E 作 EN AC 于 N ，连结 EF.

2

（I ）如图 1，连结 NF 、 AC 1 ，由直棱柱的性质知，底面 ABC

侧面 A 1C .

又底面 ABC I 侧面 A 1C =AC ，且 EN 底面 ABC ，所以 EN

侧面 A 1C ，

∴ NF 是 EF 在侧面 A 1C 内的射影，

在 Rt CNE 中， CN

CE cos60o 1, 则由

CF

CN

1 ，得 NF // AC 1 ，

CC 1 CA 4

又 AC 1 A 1C ，故 NF A 1C ，由三垂线定理知 EF

A 1C .

（ II ）如图 2，连结 AF ，过 N 作 NM AF 于 M ，连结 ME ，由（ I ）知 EN

侧面 A 1C ，根

据三垂线定理得 EM

AF ,所以 EMN 是二面角 C — AF — E 的平面角，即 EMN .

设 FAC

,则 0

45

，在 Rt CNE 中， NE EC sin 60

3,

在 RT AMN 中， MN

AN sin

3sin

, 故 tan

NE 3 MN

.

3sin

又 0

, 0 sin

2

，故当 sin

2

,即当

45o 时， tan

达到最小值，

4 2

2

tan

3 6 ，此时 F 与 C 1重合 .

3

2

3

解法二：（ I ）建立如图 3 所示的空间直角坐标系，则由已知可得

A(0,0,0), B(2 3,2,0), C(0,4,0), A 1(0,0,4), E( 3,3,0), F (0,4,1),

uuur

(0, uuur

uuur uuur

(0, 4,4) ( 3,1,1)

0440,

于是

CA

4,4), EF

( 3,1,1).CA EF

1

1

故 EF A 1C.

（II ）设 CF

(0

4) 平面 AEF 的一个法向量为 m ( x, y, z) ， 则由（ I ）得 F (0,4,

uuur uuur

),

) ， AE ( 3,3,0), AF (0, 4,

于是由 m

uuur uuur AE ,m AF 可得

uuur 0,

3x 3y 0,

m AE

uuur

0,

即

z

0.

m AF 4y

取 m ( 3

, , 4).

又由直三棱柱的性质可取侧面

AC 1 的一个法向量为 n (1,0,0) ，

|m n|

3

2

,sin

cos

2

2

4

于是由 为锐角可得

| m| |n|

2

2

由 0

4

1 1

1 1 6

，得

，即 tan

3 3

,

4 3

16

2

16 1 16

tan

3 3 2

4 ，∴ 3 ，

故当

4 ，即点 F 与点 C 1 重合时， tan 取得最小值

6

.

3

19．解：（ I ）在第一次灯泡更换工作中，不需要更换灯泡的概率为 p 1

5

，需要更换 2 只灯泡的

概率为 C 52 p 13 (1 p 1)2 .

（ II ）对该盏灯来说，在第一、二次都更换了灯泡的概率为 (1 p 1) 2 ；在第一次未更换灯泡而 在第二次需要更换灯泡的概率为

p 1(1 p 2 ), 故所求概率为

p

(1 p 1 )2 p 1 (1 p 2 ).

（Ⅲ）至少换 4 只灯泡包括换 4 只和换 5 只两种情况 .

换 5 只的概率为 p 5

（其中 p 为（ II ）中所求，下同） ，换 4 只的概率为 C 51 p 4 (1 p),

故至少换 4 只灯泡的概率为 p 3 p 5 C 51 p 4 (1 p).

又当

p 1

0.8, p 2 0.3 时， p

(1 p 1 )2 p 1(1 p 2 ) 0.22

0.8 0.7 0.6.

p 3

0.65 5 0.64 0.4 0.34. 即满 2 年至少需要换

4 只灯泡的概率为 0.34.

20．解： f '(x)

x 2 2bx c

（Ⅰ）因为函数

f (x) 在 x 1 处有极值 4

3

f '(1)

1 2b c 0

b 1

b 1

1

4

或

所以

f (1)

b c bc

,解得 c

1 c

.

3 3

3

（ i ）当 b 1,c

1 时， f '( x)

( x 1)2 0 ,

所以 f (x) 在 R 上单调递减，不存在极值 .

（ ii ）当 b

1,c 3时， f '(x) (x 3)( x 1) ,

x ( 3,1) 时， f '( x)

0 ， f ( x) 单调递增 ; x (1,

) 时， f '(x)

0， f (x) 单调递减 ;

所以 f (x) 在 x

1处存在极大值，符合题意 .

综上所述，满足条件的值为 b

1,c

3. .

（Ⅱ）当 x

(0,1) 时，函数 y f (x)

c(x b)

1 x 3

bx 2 ,

3

设图象上任意一点 P( x 0 , y 0 ) ，则 k

y '| x

x 0

x 02

2bx 0 , x 0 (0,1)，

因为 k

1，所以对任意 x 0 (0,1) ， x 02

2bx 0 1 恒成立，

所以对任意 x 0

(0,1) ，不等式 b

x 02 1

恒成立 .

2x 0

设 g( x)

x

2

1

1

(x

1

) ，故 g (x) 在区间 (0,1) 上单调递减，

2x 2 x

所以对任意 x 0 (0,1) ， g( x 0 ) g(1) 1 ,所以 b

1 .

21．解：（I ） 由

S n

2a n n,

(n 2) ，得 a n

1 2(a n 1

1) ，

S

n 1

2a n 1

(n 1),

又因为 S 1 2a 1 1 ，所以 a 1

1,a 1 1 2 0 ，

所以 { a n 1} 是以-2 为首项， 2 为公比的等比数列，

所以 a n

1 2 2n 1

2n .

(II) 由（ I ）知， b n

2n

1

1

,

(1 2n )(1

2 n

1 )

2 n 1 1 2 n 1

故

T n [(

1

1 1 1 ) L ( 1 1

)]

1

1. 1 2 2 ) ( 2 1 2 3 2 n 1 2 n 1

1 2 n 1

1 2

1 2 1

2

-

y

2

2

2

22．解：∵点 P(x 0 , y 0 )( x 0

a) 在双曲线

x

2

2

1上，∴

x 02 - y

20

1.

a b

a b

由题意

y 0

x 0 y 0 1

，可得 a 2

5b 2， c 2

a 2

b 2

5b 2

，则 e 30 . x 0

a a

5

5

2

2

2，

（II ）由

x - 5 y

5b 得 4 x 2 10 cx 35 2

0.

y x

， b

c

x 1 x 2

5c ，

设 A(x 1 , y 1)， B(x 2 , y 2 ) ，则

2

①

2

x 1 x 2 35b .

4

uuur uuur uuur uuur x3 x1 x2 , 设 OC ( x3 , y3),Q OC OA OB, y

3 y1 y2 .

又 C 为双曲线x

2 y2 1上一点，x2 5y

2

5b2 ，即( x x )2 5( y y ) 2 5b2.

a 2 - 2 3 3 1 2 1 2

b

化简得，2 ( x12 5y12 ) ( x22 5y22 ) 2 ( x1 x2 5 y1 y2 ) 5b2.

又

A(x1 , y1)， B(x2 , y2 ) 在双曲线上，所以x12 5 y12 5b2 , x22 5 y22 5b2.

由①式得， x1 x2 5y1 y2 x1x2 5( x1 c)( x2 c) 4x1x2 5c(x1 x2 ) 5c2 10b2，

2

4 0 ，解得0 或 4.