高三文科数学模拟试卷(含答案)

文科数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题：

1. 设全集I 是实数集R ， 3

{|2}{|0}1

x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）

， 则阴影部分所表示的集合为

A ．{}2x x <

B ．{}21x x -≤<

C ．{}12x x <≤

D ．{}

22x x -≤≤

2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是

A ．2x

y = B ． (

l g y x =

C ． 22x

x

y -=+ D ． 1

lg

1

y x =+

3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为

A ．（1，0）

B ．（1，5）

C ．（1，－3）

D ．（－1，2）

4．在ABC ?中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立

的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5. 若抛物线12

622

22

=+=y x px y 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为 A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2

6. 已知函数),6

cos()6

sin()(π

π

+

+=x x x f 则下列判断正确的是

A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12

π

=x

B ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6

π

=x

C ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12

π

=x

D ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6

π

=

x

7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

俯视图

正视图

侧视图

（第7题图）

A

．2π+ B

．42π+ C

．6π+ D

．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：

224210x y x y ++++=的周长，则()()22

22a b -+-的最小值为

A

B ．5

C

．

D ．10

9. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是

A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥

B ．若b α?，b ∥c ，则c ∥α

C ．若b α?，c ∥α，则b ∥c

D ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥

10. 已知数列{}n x 满足3

n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，

2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为 A ．669

B ．670

C ．1338

D ．1340

11. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若

10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

12．已知点F 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且

垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ?是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是

A ． ()1,+∞

B ．()1,2

C

．(1,1

D

．(2,1+

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

A ．

B ．

C ．

D ．

13. 对任意非零实数a b 、，若a b ?的运算原理如图所

示，则()2

21l o g 82-??

?= ???

___1___．

14．在ABC ?中，已知41AB AC =

=，

， ABC S AB AC ?=?则的值为 ±2 ．

15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，

240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．

16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：

204

a sin a cos π

θθ?+?-=，

204

b sin b cos π

θθ?+?-

=，

则连接A ()

2a ,a 、 B ()

2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分

12分）

已知函数2

()sin cos f x x x x =+．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ??

-

???

?上的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）∵ 2

()sin cos f x x x x =+

)12sin cos cos 2122

x x x =

?++

1s i n 2c o s 2222

x x =

++ ……………3分

sin 232

x π??

=+

+ ?

?

? ……………5分

（第13题图）

∴ 函数()f x 的最小正周期22

T π

π==． ……………6分

（Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233

x ππ

≤+≤

∴

sin 2123x π?

?-

≤+≤ ??

?， ……………9分 ∴

20sin 213222

x π?

?

≤+

+≤+= ?

?

?， ∴ ()f x 在区间,62ππ??

-

????

上的最大值为22+，最小值为0．……………12分

18．（本小题满分12分）

如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，ACD ?是正三角形，2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点． （Ⅰ）求证：AF ∥平面B C E ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ． 解：（Ⅰ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，

∵F 为CD 的中点，

∴FP ∥DE ，且FP =.21

DE

又AB ∥DE ，且AB =.2

1

DE

∴AB ∥FP ，且AB =FP ，

∴ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP ．…………4分 又∵AF ?平面BCE ，BP ?平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE …………6分 （Ⅱ）∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD

∵AB ⊥平面ACD ，DE //AB

∴DE ⊥平面ACD 又AF ?平面ACD ∴DE ⊥AF

又AF ⊥CD ，CD ∩DE=D

A

B

C

D E

F

(第18题图)

A

B

C

D

E

F

P （第18题图）

∴AF ⊥平面CDE …………10分 又BP ∥AF ∴BP ⊥平面CDE 又∵BP ?平面BCE

∴平面BCE ⊥平面CDE …………12分 19．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *

∈．

（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *

∈

得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *

∈≥

两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+

即 n n b b 21=+(,2)n N n

*

∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b

∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列

∴ n

n n b 23261?=?=- ………………………………… 8分

（Ⅱ）法一

由（Ⅰ）知321n

n a =?- ……………………………… 9分

∴ 12n n S a a a =++???+2

32323

2n n =?+?+???+?- ()221321

n n -=?

--

1626326n n n n +=?--=?--． ……………………… 12分

（Ⅱ）法二

由已知125n n S S n +=++()n N *

∈ ①

设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②

对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++

∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q =

∴ 11612232n n n S n -+++=?=?

∴ 1

326n n S n +=?--． …………………………………… 12分

20．（本小题满分12分）

如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，

D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．

（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米

∵

AM

DC AN

DN =

，∴()

32x AM x

+=

， ……………………2分 ∴ ()

2

32AMPN

x S AN AM x

+=?=

(第20题图)

由32>AMPN S 得 ()2

3232x x

+> ，

又0x >，得 2320120x x -+>，

解得：2

063

x x <<

> 或 即DN 长的取值范围是2

(0)(6)3

∞，，+ ……………………7分

（II ）矩形花坛AMPN 的面积为

()2

2323121212312x x x y x x x x

+++===++

1224≥= ……………………10分 当且仅当12

32x x ,x

=

=即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）

已知函数2

2

()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．

（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；

（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2

()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞

∴ 2121

()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分

令()0f x '=，即2210x x x ---

=，解得1

2

x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12

x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．

∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2

(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．

∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分

（Ⅱ）显然函数2

2

()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞

∴ 222

121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x

-++-+-'=-+== ………7分

① 当0a =时，1

()0,()f x f x x

'=

>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a

≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ??+∞??

??

． 依题意，得1

1,

0.

a a ?≤???>?解之得1a ≥．

………10分

③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1

2x a

≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ??

-

+∞????

， ∴1

120a a ?-

≤???

得12a ≤-

综上，实数a 的取值范围是1

(,][1,)2

-∞-+∞U …………12分 法二：

①当0a =时，1

()0,()f x f x x

'=

>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，

0x >∴只要22210a x ax --≥恒成立，

221

4210

a

a

a a ?≤?∴??--≥?

解得1a ≥或12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1

(,][1,)2

-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）

已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点3(1,)2A ，且离心率1

2

e =．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、，且线段MN 的垂直平分线过定点1

(,0)8

G ，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题意12e =

，即1

2

c e a ==，2a c =， ∴ ()2

2

2

2

2

2

23b a c c c c =-=-=

∴ 椭圆C 的方程可设为22

22143x y c c +=………………………………… 3分

代入3(1,)2

A ，得2

22312143c c ?? ???+

= 解得21c =

∴ 所求椭圆C 的方程是22

143

x y +=． ……………………………………… 6分 （Ⅱ）法一

由方程组22

143x y y kx m

??

+=??=+? 消去y ，得

()

222

3484120

k x k m x m +++-= ……… 4分 由题意，△()(

)()2

2

2

84344120km k

m

=-+->

整理得：2

2

340k m +->① …… 7分

设()()1122,,M x y N x y 、，MN 的中点为00(,)P x y ，则

12024234x x km x k +=

=-+， 00

2

334m

y kx m k =+=+ ………………… 8分 由已知，MN GP ⊥ 即1M N G P

k k

?=-

即 22

3034141348

m

k k km k -+?=---+;整理得：2348k m k +=- ………… 10分 代入①式，并整理得：2

1

20

k >

， 即

||10k > ………………………12分

∴

5,,k ???

∈-∞+∞ ? ?????

……………… 14分 （Ⅱ）法二,由方程组221,43x y y kx m

??

+=??=+? 消去y ，得

()

222

3484120

k x k m x m +++-= ……… 4分 由题意，△()(

)()2

2

2

84344120km k

m

=-+->

整理得：2

2

340k m +-> ① …… 7分 设()()1122,,M x y N x y 、，MN 的中点为00(,)P x y ，则

22

1122

221431

4

3x y x y ?+=???+=? 整理得： 00314y x k =-? ② 又MN GP ⊥ ∴ 001

18y k x =-- ③ …………9分

由②、③解得 0012

3

8x y k ?=???=-

?

代入()0y kx m k =+≠，得 2

348k m k

+=-

……………………… 12分

代入①式，并整理得： 2

1

20

k >

， 即 ||k >

∴ 5,,1010k ??

??

∈-∞-+∞ ? ? ? ?????

……………… 14分

法三：

由00(,)P x y 在椭圆内部，得：

22

1328143

k ????- ? ?

????+<

整理得： 2

1

20

k >

， 即

||k >∴

5,,1010k ?

???

∈-∞-+∞ ? ? ? ?????

……………… 14分