第一章误差分析的基本概念

第一章 误差分析的基本概念

§ 1误差的来源

1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。

2. 产生误差的主要原因

① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。

② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。这种由观察产生的误差称为观 测误差。

③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。

④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。

3. 举例说明

例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为

t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I t

L °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的

常数:-二

（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。

为了计算近似值，可取前面有限项计算?如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得

e ~

1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为

~ =2.71828，于是截断误差为：

□0

' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n

总

n !

这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。

例3. n =3.1415926, ;

、2 =1.41421356,，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果我们取小数

点后四位小数则：

几=n -3.1416 =-0.0000074 , ;

?2

2 -1.4142=0.00001

3 ,就是舍入误差。另外值得

一提的是十进制数转化为二进制数时有时也引起循环小数，因计算机上浮点数存储位数限制而舍弃尾部部 分小数，如 0.1 10 =

0.0001100110 011……2存储时会引起舍入误差。这个数制转化问题表明：只要计

算机内部采用二进制运算，无论计算机发展的多完善，这个舍入误差理论问题永远存在。

总的来说，误差一般有：模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。在计算方法这门课程中，截断

误差和舍入误差是误差的主要研究对象，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，并找出误差 的上下界，对分析和改进算法都有重大的实际意义。

§ 2 绝对误差相对误差有效数字

定义1:设x 为准确数，x *为x 的近似值，记e * =x-x *称e *为x 与x *的误差，也叫x 与x *的绝对 误差。显然，x= x * + e *即近似值加误差就是准确值，因此把 e *也叫做近似值 x *的修正值，或者说近

似值加上修正值就是准确值。

误差可正可负，且有量纲单位，当误差为负时，近似值偏大，叫做“强近似” ，当误差为正时，近似 值偏小，叫做

“弱近似”

例2已知e x

在x=0处展开的泰勒级数为:

QO n

-0

n

X n!

现在引入有效数字的概念。如果近似值 *的误差限是某一位上的半个单位，该位*的第一位非零

数字共有 n 位，我们就说 x *有“ n 位有效数字”，或者说 x *准确到该位。用四舍五入法取准确值的前 n 位

作为近似值x *，则x *有n 位有效数字。

就称近似值x 具有n 位有效数字.

利用定义3,由有效数字位数 n 和近似值x *可以确定误差限: 注意，首先需要特别指出的是，在有效数字的记法中，有效数字 别的，前者只有三位有效数字，后者却有四位有效数字；其次，如果只知道

x * =300000的绝对误差限不超

过500= 2 103，则应把它写成 300 X 103或3.00 X 105,如果仍记为300000,则表示它的误差限不超过 0.5 , 这是因为前者有三位有效数字， 后者有六位有效数字； 再次，还需要指出的是，一个准确数字的有效位数， 例2若x * =3587.64是x 的具有六位有效字的近似值，那么它的误差限为

\x 「x * \ J 10 4

- = 1

10 - =0.005

2 2

为近似值x *的相对误差。相对误差无量刚。相对误差可正可负。我们把相对误差绝对值的上界叫做相对误 差限，记作；；=* /\x *\,其中:是x *的误差限（；*也叫绝对误差限）。

推论 1.近似数 x = ±0.% a ? ..O n 汉 10 P （n 、q 及 p 为整数，1w a ! < 9; 0< a i

< 9, 2< i < n ）有 n 位有效数字，则其相对误差

限为：

気一兰丄"0^4）

\x \ 2二

证明：由于X * = 0 .〉1〉2... :-n 10 p 有n 位有效数字，故x *与x 的绝对误差限应为

\ x - x * \_ 1 10 p j

以下观察有效数字的位数

n 与误差限之间的关系

\ -? _ x ； \ = 0.00159265

< 1 X10 -= 0.005 3

位有效数字

3 .1 4

2

3 2 1

\ - _ x 5 \ - 0.00000735

< 1 X 10 '=0.00005 5

位有效数字 3. 14 16

_ 2

5 4 3 2 1

\ - _ x ； \= 0 .00000265

<丄 X10 - = 0.000005

6

位有效数字

3 .14159

2

6

5 4 3 2 1

疋乂 3 :右用x 表示 X 的近似值，并将X *表示成X * :

=± 0 .「1「2「3 * **

t

:-n 10

8 兰 9；0 兰 8 < 9 , 2 乞i 乞n ）若其误差限为

1 <

|x _x* \<^2 10 P _n

P

, （ :-i 及p 为整数,

1

10p —n

2 。

3

3

0.123 X 10-和 0.1230 X 10-是有区

应当说有无穷多位。例如对于

1/4=0.25不能说只有两位有效数字。

定义4 :称e *

—=心乩 为近似值x *的相对误差，当

x x

e ；比较小时，有时也把

2 由相对误差限的定义得：

1 p n

10 一

x|

* p r 1 2 n

x = 10 r 10 …? 2 1°'…：叱n 10 -

*p* 1 2 n p 1

|X |=10 ! 10「:叱2 10 一…吒n 10，：'：：：；/.1 1° -

丄10p』

占* —p』-心―1』

| x | 2。1 2o(1

由此可以看出，有效数字位数越多，相对误差限就越小。

推论2：若近似数x * = ±0 心 1 g…a n x 10 p( n,a i 及p 为整数，1 < a 勺< 9; 0 W g < 9, 2 < i < n) 的相对误差限满足：则x *至少有n位有效数字。

证明：* * * *

1 1 n

| X — X冃X |务斗X |——1——X10 一2（8

+1）

X* - _0 ... :-n 10 p（高位进1,舍去尾数，其值变大）

=10 P [% 10 丄：:二2 10 2 -…：：?' -n 10』

|x—x*| 乞：，110p」一1——101」=l10p』

2（ot i +1 ） 2

由定义3知道：近似数x* =「0再 1 6... : n 10 p有n位有效数字。证毕。

例3 用x* =2.72来表示e具有三位有效数字的近似值，相对误差限是多少？

解：X* =2.72 =0.272 X 10 , n=3 , p=1 ,宀=2 . 由推论1 得：

名；兰-^x10 < =0.0025 2X2

例4.为了使,20的近似值的相对误差小于0.1 %，问至少要取几位有效数字？

解：由推论2 ;r< 110』-..20 = 0.4... 10 故：?1 =4

r 2(些+1 j

按题目要求Z* <0.1 % =10」

令. 1 10 1 J <10 则有10』：：：10」即n至少要取为4

2(% +1 )

取n=4查数学用表20 ：4.472，其相对误差小于0.1%

§ 3.和差积商的误差

1. 和差积商的误差

设x*是x的近似值，y*是y的近似值，用x* _ y*来表示x _ y的近似值，则它的误差为(x ±0-(x * iy*)=(x-x *) ±y-y *) (1-3-1)

于是有如下结论：

结论1：和的误差是误差之和，差的误差是误差之差。

|(x 当)-(x ±y)| W|x-x | +|y-y | (1-3-2)

结论2：两个数和或差的绝对误差限不超过各数绝对误差限之和。

X -X

_n

2 ：1 1

10 1 _n

设 u=xy 贝U Inu=lnx+lny dinu=dlnx+dlny

于是有如下结论:

结论5 乘积的相对误差是各乘数的相对误差之和。

设 u=x/y 贝U lnu=lnx-lny dlnu=dlnx-dlny 于是有如下结论: 结论6: 商的相对误差是被除数的相对误差减去除数的相对误差。

结论7:

任意多次连乘，连除所得计算结果的相对误差限不超过各乘数和除数的相对误差限之和。

证明： 设 w=(uv)/(xy) 则 lnw=lnu+lnv-lnx-lny ; dinw=dInu+dlnv-dlnx-dlny

|dlnw| < |dlnu|+|dlnv|+|dlnx|+|dlny|

证毕。

例1设 y=f(x)

y 二f x 则y 的相对误差是

d In y = - — dx

f (x )

例2设 y = x 则In y = n ln x ，因此d ln y = n d ln x ?x 的相对误差疋 x 的相对误差的n 倍。

2 ?一般数值运算的误差估计

2,

■■■x n 的近似值依次是x 1，x 2, ；X ；，把近似值

代入函数

y=f （ x 1,x 2, ,x n ）运算得y

y *的误差、相对误差如何估计？如果函数 y=f （ x 1 ,x 2, ,x n ）在（x ；,x 2,…;x ；）

y *的误差可用多元函数在（X 1，X 2；「X n ）处的泰勒展开式得到。

按相对误差定义，y 的相对误差为:

（1-3-5） 例3测得某桌面的长 a 的近似值a =120cm ，宽b 的近似值b *=60cm ，若已知|a-a *|< 0.2cm , |b-b *| < 0.1cm ，试求近

似面积s *=a *b *的绝对误差限与相对误差限。

解： 因为 s=ab ，二=b,

s

=a ，由（1-3-4 ）和（1-3-5）式 ;a

: b

*

*

" s * " s * * *

* *

e (s ) :” "s

e(a ) e(b ) =b e(a ) ' a e(b ) c a c b

* 2

|e (s*)| < |60 0.2|+|120 0.1|=24cm

设 X_! ,X y 的近似值， 的二阶偏导数，函

数值

，显然y 是 附近有连续

=f (X 1 , X 2 , /X n

)丄(x ； -xj 丄

_ X 1

'X 2

f

(X 2 —X 2 ) (X CX n

— X n ) O(|X —x

|)

令? ：X i =X i —X i i ,」：y =y —y 于是y 的误差:

-y

X 1

X

讦

：X 2

；：X 2

：

(1-3-4)

e ；(y)」 乞

X f (X 1 ,X 2 , "；X n ) X

i

岀 L.

:：x 2 士 L

f (X 1 ,X 2 , -；X n ) X 2

：：X n

X 2

■=Xn

X n

f (X 1 , X 2, ■； X n )

X

n

f X i

* :f

e r (y)

e r (X i )-

&1 f (X 1 ,X 2 , “;X n )

e ；(X 2)+ /

X f (X !,X 2,'/X n )

x

2

X

n

■e r (X n )

JX n f (X 1 , X 2，…；X n )