2.2 函数的单调性-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义
§2.2函数的单调性
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示 对?x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2>0?f (x )在D 上是增函数；对?x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)
－f (x 2)]>0?f (x )在D 上是增函数．减函数类似． 2．写出函数y ＝x ＋a
x (a >0)的增区间．
提示 (－∞，－a ]和
[a ，＋∞)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1) x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × ) (4)所有的单调函数都有最大值和最小值．( × ) 题组二 教材改编 2.如图是函数y ＝f (x )，x ∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数 B ．f (x )在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2 C ．f (x )在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3 D ．当直线y ＝t 与f (x )的图象有三个交点时－1 3．函数y ＝2 x －1在[2,3]上的最大值是______． 答案 2 4．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2] 解析 由题意知，[2，＋∞)?[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三 易错自纠 5．函数f (x )＝12 log (－2x 2＋x )的单调增区间是________；f (x )的值域是________． 答案 ???? 14，12 [3，＋∞) 6．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1) 解析 由条件知???? ? －2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2， a ＋1>2a ， 解得－1≤a <1. 7．设函数f (x )＝????? x 2＋1x ，x ≥1， ax ，x <1是单调函数．则a 的取值范围是________；若f (x )的值域是R ，则a ＝ ________. 答案 (0,2] 2 解析 当x ≥1时，f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1 x 2≥0恒成立， ∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝2， 当x <1时，f (x )＝ax ， 由于f (x )是单调函数， ∴f (x )＝ax 在(－∞，1)上也单调递增，且ax ≤2恒成立， ∴? ???? a >0， a ≤2， 故a 的取值范围为(0,2]， ∵当x ≥1时，f (x )≥2， 由f (x )的值域是R ，可得当x ＝1时，ax ＝2， 故a ＝2. 确定函数的单调性 命题点1 求具体函数的单调区间 例1 (1)(2019·郴州质检)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞) 答案 D 解析 由x 2－2x －8>0，得f (x )的定义域为{x |x >4或x <－2}． 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数． 要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间(定义域内)． ∵函数t ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选D. (2)设函数f (x )＝???? ? 1，x >0，0，x ＝0， －1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是__________． 答案 [0,1) 解析 由题意知g (x )＝???? ? x 2，x >1，0，x ＝1， －x 2，x <1， 该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)． 命题点2 判断或证明函数的单调性 例2 讨论函数f (x )＝ax x －1(a >0)在(－∞，1)上的单调性． 解 方法一 ?x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1 ??? ?x －1＋1x －1＝a ??? ?1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ????1＋1x 1－1－a ????1＋1 x 2－1 ＝ a (x 2－x 1) (x 1－1)(x 2－1) ，由于x 1 ∴x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)， ∴函数f (x )在(－∞，1)上单调递减． 方法二 f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2 ＝－a (x －1)2， ∵(x －1)2>0，a >0，∴f ′(x )<0， 故a >0时，f (x )在(－∞，1)上是减函数． 思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断． (2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数． (3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单 调性． 跟踪训练1 (1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝12 x B ．y ＝2－ x C ．y ＝12 log x D ．y ＝1 x 答案 A 解析 y ＝12 x ＝x ，y ＝2－ x ＝????12x ， y ＝12 log x ，y ＝1 x 的图象如图所示． 由图象知，只有y ＝12 x 在(0，＋∞)上单调递增． (2)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________． 答案 [1,2] 解析 f (x )＝? ???? x 2－2x ，x ≥2， －x 2＋2x ，x <2. 画出f (x )的大致图象(如图所示)， 由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]． (3)函数f (x )＝110 log (6x 2＋x －1)的单调增区间为________． 答案 ? ???－∞，－1 2 解析 由6x 2＋x －1>0得，f (x )的定义域为? ??? ?? x ? ? x <－12或x >13. 由复合函数单调性知f (x )的增区间即y ＝6x 2＋x －1的减区间(定义域内)， ∴f (x )的单调增区间为? ???－∞，－1 2. 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 例3 (1)若函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝15 log 1 3 ，c ＝1 52，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( ) A ．f (a )>f (b )>f (c ) B ．f (b )>f (c )>f (a ) C ．f (c )>f (b )>f (a ) D ．f (c )>f (a )>f (b ) 答案 D 解析 因为函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，而0<15 log 1 3 ＝log 53 52，所以f (b ) 选D. (2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m | ＋1(m ∈R )为偶函数．记a ＝f (log 22)，b ＝f (log 24)，c ＝f (2m )，则a ，b ， c 的大小关系为( ) A ．a 答案 B 解析 ∵定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m | ＋1(m ∈R )为偶函数，∴m ＝0，∴f (x )＝2|x |＋1，∴当x ∈(－∞，0) 时，f (x )是减函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数．∵a ＝f (log 22)＝f (1)，b ＝f (log 24)＝f (2)，c ＝f (2m )＝f (0)，∴a ，b ，c 的大小关系为c 命题点2 求函数的最值 例4 (1)函数f (x )＝????13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案 3 解析 由于y ＝????13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3. (2)(2020·深圳模拟)函数y ＝x 2＋4x 2＋5的最大值为________． 答案 25 解析 令x 2＋4＝t ，则t ≥2， ∴x 2＝t 2－4，∴y ＝t t 2＋1 ＝1 t ＋1t ， 设h (t )＝t ＋1 t ，则h (t )在[2，＋∞)上为增函数， ∴h (t )min ＝h (2)＝52，∴y ≤152＝2 5 (x ＝0时取等号)． 即y 最大值为2 5. 命题点3 解函数不等式 例5 (1)已知函数f (x )＝???? ? x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0， 若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________． 答案 (－2,1) 解析 根据函数f (x )的图象可知，f (x )是定义在R 上的增函数．∴2－x 2>x ，∴－2 解析 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得，f (x 2－4) 命题点4 求参数的取值范围 例6 (1)已知f (x )＝? ???? (3a －1)x ＋4a ，x ＜1， log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.????0，1 3 C.???? 17，13 D.????17，1 答案 C 解析 由f (x )是减函数，得???? ? 3a －1＜0，0＜a ＜1. (3a －1)×1＋4a ≥log a 1， ∴17≤a ＜1 3 ，∴实数a 的取值范围是????17，13. (2)已知函数f (x )＝????? x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 答案 (1,2] 解析 由题意，得12＋1 2a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1 (3)已知函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,2) 解析 设u ＝2－ax ， ∵a >0且a ≠1， ∴函数u 在[0,1]上是减函数． 由题意可知函数y ＝log a u 在[0,1]上是增函数， ∴a >1.又∵u 在[0,1]上要满足u >0， ∴? ???? 2－a ×1>0，2－a ×0>0，得a <2. 综上得1 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小． (2)求最值． (3)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域． (4)利用单调性求参数． ①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较． ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 跟踪训练2 (1)(2019·唐山模拟)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ??? ?????1x 解析 因为f (x )在R 上为减函数，且f ????1|x | |x |>1，即0<|x |<1，所以0 1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________． 答案 2 解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1 x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函 数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2. (3)已知函数y ＝12 log (6－ax ＋x 2)在[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 答案 [4,5) 解析 设u ＝6－ax ＋x 2， ∵y ＝12 log u 为减函数， ∴函数u 在[1,2]上是减函数， ∵u ＝6－ax ＋x 2，对称轴为x ＝a 2， ∴a 2 ≥2，且u >0在[1,2]上恒成立． ∴? ???? a ≥4，6－2a ＋4>0，解得4≤a <5， ∴实数a 的取值范围是[4,5)． 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝????12x D ．y ＝x ＋1 x 答案 A 解析 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．函数f (x )＝1－1x －1( ) A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增 C ．在(－1，＋∞)上单调递减 D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案 B 解析 f (x )图象可由y ＝－1 x 图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 3．(2019·沧州七校联考)函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1) 答案 A 解析 由已知易得? ???? x ＋1>0， x －3>0，即x >3， f (x )＝lo g 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)＝log 0.5(x ＋1)(x －3)，x >3， 令t ＝(x ＋1)(x －3)，则t 在[3，＋∞)上单调递增， 又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减． 4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ a x ＋1 在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1) D ．(0,1] 答案 D 解析 因为f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝a x ＋1在[1,2]上是减函数，所以a >0， 所以0 5．已知函数f (x )＝x |x ＋2|，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．[－2,0] B ．[－2,1] C ．[－2，－1] D ．[－2，＋∞) 答案 C 解析 由于f (x )＝x |x ＋2|＝? ???? x 2＋2x ，x ≥－2， －x 2－2x ，x <－2， 当x ≥－2时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 显然，f (x )在[－2，－1]上单调递减； 当x <－2时，y ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1， 显然，f (x )在(－∞，－2)上单调递增． 综上可知，f (x )的单调递减区间是[－2，－1]． 6．(2020·青岛模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a ) ???－∞，13 4 B ．(－∞，－3) C ．(－3，＋∞) D.??? ?13 4，＋∞ 答案 D 解析 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a ) [－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－????x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝3 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ????32＝134，因此a >13 4，故选D. 7．(多选)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe <3e B ．3e － 2π<3πe － 2 C ．log πe D ．πlog 3e>3log πe 答案 CD 解析 已知π为圆周率，e 为自然对数的底数， ∴π>3>e>2，∴????π3e >1，πe >3e ，故A 错误； ∵0<3 π<1,0 ∴????3πe －2>3π， ∴3e － 2π>3πe － 2，故B 错误； ∵π>3，∴log πe 8．函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 答案 (－∞，－1]和[0,1] (－1,0)和(1，＋∞) 解析 由于y ＝? ???? －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0， 即y ＝? ???? －(x －1)2＋2，x ≥0， －(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示， 单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)． 9．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________． 答案 ??? ?－1 4，0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－1 4≤a <0. 综上，实数a 的取值范围是??? ?－1 4，0. 10．(2019·福州质检)如果函数f (x )＝? ???? (2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2>0成立，那 么实数a 的取值范围是________． 答案 ???? 32，2 解析 对任意x 1≠x 2，都有 f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 >0， 所以y ＝f (x )在R 上是增函数． 所以???? ? 2－a >0，a >1， (2－a )×1＋1≤a ， 解得3 2 ≤a <2. 故实数a 的取值范围是???? 32，2. 11．试判断函数f (x )＝x 3－1x 在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明． 证明 方法一 设0 x ， f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 22－????1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)·????x 1＋x 2＋1x 1x 2.∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1) 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 方法二 f ′(x )＝2x ＋1 x 2. 当x >0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数． 12．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且 x >0时，f (x )<0. (1)求证：f (x )在R 上是奇函数； (2)求证：f (x )在R 上是减函数； (3)若f (1)＝－2 3，求f (x )在区间[－3,3] 上的最大值和最小值． (1)证明 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， 令x ＝y ＝0得f (0)＝0， 令y ＝－x 得f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )在R 上是奇函数． (2)证明 在R 上任取x 1>x 2， 则x 1－x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1－x 2)， ∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 1－x 2)<0， ∴f (x 1) ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)和f (3)， 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 13．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1，＋∞) 解析 由题意可得，存在正数x 使a >x －????12x 成立． 令f (x )＝x －????12x ，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f (x )的值域为(－1，＋∞)，故a >－1时，存在正数x 使原不等式成立． 14．设函数f (x )＝????? －x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4. 若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是 __________________． 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析 作函数f (x )的图象如图所示， 由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4. 15．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝2 021x －2 021－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为 ____________． 答案 ??? ?1 4，＋∞ 解析 由题意知，f (－x )＋f (x )＝2， ∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )， 又由题意知函数f (x )在R 上单调递增， ∴2x －1>－2x ，∴x >1 4， ∴原不等式的解集为????14，＋∞. 16．已知函数f (x )＝lg ????x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域； (2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定实数a 的取值范围． 解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x >0. ①当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； ②当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}； ③当01＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg ??? ?x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )＝lg ????x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 函数的单调性与最值 基础梳理 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数 f ( x) 的定义域为 I . 如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2 定义当x1＜x2时，都有 f ( x1 ) 当x1＜x2时，都有 f ( x1) ＜f ( x2) ，那么就 ＞f ( x2 ) ，那么就说函数f 说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数 ( x ) 在区间 D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义 若函数 f ( x) 在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 f ( x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，区间 D 叫做 f ( x) 的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数 y＝f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈ I ，都①对于任意 x∈I ，都有 条件有 f ( x) ≤ M； f ( x) ≥ M； .②存在 x0∈ I ，使得②存在 x0∈ I ，使得 f ( x0 ) f ( x0 ) ＝ M M ＝ . 结论M为最大值M为最小值注意： 一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝x分别在 ( －∞， 0) ，(0 ，＋∞ ) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即 ( －∞，0) ∪(0 ，＋∞ ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为 ( －∞，0) 和(0 ，＋∞ ) ，不能用“∪”连 接．两种形式 设任意 x1，x2∈[ a， b] 且 x1＜x2，那么 f x1－f x2 f x1－f x2 ①＞ 0? f ( x) 在 [ a，b] 上是增函数；＜0? f ( x) x1－x2x1－x2 在 [ a，b] 上是减函数． ②( x1－ x2 )[ f ( x1) －f ( x2)] ＞0? f ( x) 在[ a，b] 上是增函数；( x1－x2)[ f ( x1) －f ( x2)] ＜0? f ( x) 在 [ a，b] 上是减函 数．两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最 值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大 ( 小 ) 值． 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函 数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性． 单调性与最大（小）值同步练习 一、选择题 1、下列函数中，在 (0 ，2) 上为增函数的是 ( ) 课题：§1.3.1函数的单调性 教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？ ○2能否看出函数的最大、最小值？ ○3函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明． 第8讲：函数的单调性 一、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的单调性的方法· 3.能处理函数的最值问题。 二、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1 高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0` 函数的单调性与最值 【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间． （3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值 求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法； ②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。 【复习回顾】 一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 函数的单调性 1.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[1，＋∞) 3.函数f (x )＝x 1－x 在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 4.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2 C.y ＝2－x D.y ＝log 0.5(x ＋1) 5.下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝x 12 B.f (x )＝x 3 C.f (x )＝? ????12x D.f (x )＝3x 6.已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2 －x 1)<0恒成立，设a ＝f ? ?? ??－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 7.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 8.已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________． 9.函数()f x 的定义域为Ｒ，(1)2f -=，对任意的x R ∈，'()f x 2>，则不等式()24f x x >+的解集为（ ） Ａ()1,1- Ｂ()1,-+∞ Ｃ(),1-∞- Ｄ(),-∞+∞ 10.函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =，1()2 f x '<，则不等式221()22x f x <+的解集为____ 11.函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13 ，则a ＋b ＝ 函数单调性 1单调性定义 （1）单调性定义：设函数的定义域为A ，区间I A ?。 如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在区间I 上是单调减函数．区间I 叫做()f x 的单调减区间； 如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间I 上是单调增函数．区间I 叫做()f x 的单调增区间； 单调增区间或单调减区间统称为单调区间。 （2）函数的单调性通常也可以以下列形式表达： 1212()()0f x f x x x ->- 单调递增 1212 ()() 0f x f x x x -<- 单 调递减 例1定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有 ()() 0f a f b a b ->-成立，则必有（ ） A 、函数()f x 是先增加后减少 B 、函数()f x 是先减少后增加 C 、()f x 在R 上是增函数 D 、()f x 在R 上是减函数 （3）增函数、减函数的定义及图形表示 增函数: )()(2121x f x f x x ?< 注意：对于函数单调性定义的理解，要注意以下两点 ①函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A 与B 上都是增(或减)函数，在A ∪B 上不一定单调． ②单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x 1，x 2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替． ③在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f（x)=ax3+bx2+cｘ+d(ａ>0),则f(x)为R上增函数的充要条件是（） A.ｂ2-4aｃ>0 ?Ｂ．b>0，c＞０ C.b=0,c>0 ??D．ｂ2-３ac<０ [答案] D [解析］∵a>0，f(x）为增函数， ∴ｆ′（ｘ)＝3ax2＋2bx+c>0恒成立， ∴Δ＝(2ｂ）2－4×3a×ｃ=4b2-1２ａｃ<0,∴b2-3ａｃ＜0． 2．(20０9·广东文,8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A.（－∞,2) ?B．(0，3) Ｃ.(1,4)???Ｄ．(２，+∞) ［答案]Ｄ ［解析] 考查导数的简单应用. ｆ′(x）＝（x-３)′eｘ+（ｘ-3)(ｅx)′=(x-２)e x, 令ｆ′（x)>0,解得x＞2，故选D. 3.已知函数ｙ=f（ｘ)（x∈R）上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x 2）(ｘ0+１)2,则该函数的单调递减区间为( ) ０－ A.［－1,＋∞)???B．（-∞，2] Ｃ．(-∞,-１)和(1,2)??D.［2，+∞) [答案］ B [解析] 令k≤0得ｘ0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调 减区间为(-∞,2]. 4.已知函数ｙ=xf′(ｘ)的图象如图(１)所示(其中f′（x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(） [答案] Ｃ [解析]当０ 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -??? ? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-1 3 sin2x-sinx , f'(x )=1-23 cos2x-cosx , 但f'(0)=1-23-1=-23 <0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23 cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23 (2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2 x+53 ≥0恒成立, 令t=cosx ,所以-43t 2+at+53 ≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2 +at+53 , 开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值, 故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3 ?-=-≥????=+≥?? 解得-13≤a ≤13 . 2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切 线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围. 【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为: P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0 高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数) 高三数学集体备课记录 课题：函数的单调性与导数 时间、地点2016年9月26日 主持人赵纯金 参与者张泽成黄翼 备课设想教材分析 本节的教学内容属导数的应 用，是在学生学习了导数的 概念、计算、几何意义的基 础上学习的内容，学好它既 可加深对导数的理解，又可 为后面研究函数的极值和最 值打好基础。由于学生在高 一已经掌握了单调性的定 义，并能用定义判定在给定 区间上函数的单调性。通过 本节课的学习，应使学生体 验到，用导数判断单调性要 比用定义判断简捷得多，充 分展示了导数解决问题的优 越性。 学情分析对于这这个知识板块学习已有一些基础，学生存在一些兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合再去发现规律，总结结论，熟练掌握。 教学目标 1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区 间，能由导数信息绘制函数 大致图象。2.培养学生的观 察能力、归纳能力，增强数 形结合的思维意识。3.通过 在教学过程中让学生多动 手、多观察、勤思考、善总 结，引导学生养 重点难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区 间。 难点：利用导数信息绘制函 数的大致图象。 教学方法 探究式教学，分组讨论，讲练结合等 教学策略 1.先以具体问题引入，让学生意识到用定义法、图象法 在处理一些单调性问题时难 度较大，这样易激发学生的 学习兴趣。2.本节课宜适当 采用多媒体课件等辅助手段 以加大课堂容量，通过数形 结合，使抽象的知识直观化， 形象化，以促进学生的理解. 二．教学过程： （一）复习回顾，知识梳理 1． 常见函数的导数公式： ；；；． 2．法则1 ． 法则2 , ． 法则3 ． 3．复合函数的导数：设函数u =(x )在点x 处有导数u ′x =′(x )，函数0'=C 1)'(-=n n nx x x x cos )'(sin =x x sin )'(cos -=)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+[()]'()Cu x Cu x '=' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ????? 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 2017年高考数学函数的单调性必考知识点2017年高考数学函数的单调性必考知识点 高中数学知识点：函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 高中数学知识点：函数的单调区间 单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X 增大而增大(或减小)恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间。 高中数学知识点：函数的单调图像 高中数学知识点：求函数单调性的基本方法 解：先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下，所谓知己知彼百战不殆。1、把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般(初学最好用定义)用定义(谨防循环论证)，如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 2、熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并 掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。 3、高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。 高中数学知识点：例题 判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3。 设x -2x-3=t， 令x -2x-3=0， 解得：x=3或x=-1， 当x 3和x -1时，t 0， 当-1 所以得到x -2x-1对称轴是1。 根据反比例函数性质： 在整个定义域上是1/t是增函数。 当t 0时，x 3时， t是增函数，1/t是减函数， 所以(3，+ )是减区间， 而x -1时，t是减函数， 所以1/t是增函数。 因此(- ，-1)是增区间， 当x 0时， -1 江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标： ①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； ②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题． 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________，就说这个函数在这个区间M 上具有_____________（区间M 称为____________）。 3.最大（小）值 （前面已复习过） 4.判断函数单调性的方法 （1）定义法：利用定义严格判断。 （2）导数法 ①若()f x 在某个区间内可导，当'()0f x >时，()f x 为______函数；当 '()0f x <时，()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导，当()f x 在该区间上递增时，则'()f x ______0，当()f x 在 该区间上递减时，则'()f x ______0。 （3）利用函数的运算性质：如若(),()f x g x 为增函数，则①()()f x g x +为增函数； ②1 ()f x 为减函数（()0f x >）；③()f x 为增函数（()0f x ≥）；④()()f x g x 为增 函数（()0,()0f x g x >>）；⑤()f x -为减函数。 2.3函数的单调性 ●知识梳理 1.增函数、减函数的定义 一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）. 如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减. （2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减. （3）定量刻画，即定义. 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. ●点击双基 1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 A.y =－x +1 B.y =x C.y =x 2－4x +5 D.y =x 2 答案：B 2.函数y =log a （x 2＋2x －3），当x =2时，y ＞0，则此函数的单调递减区间是 A.（－∞，－3） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞） 解析：当x =2时，y =log a 5＞0，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0 x ＜－3或x ＞1，易见函数t ＝x 2＋2x －3在（－∞，－3）上递减，故函数y =log a （x 2＋2x －3）（其中a ＞1）也在（－∞，－3）上递减. 答案：A 3.（2003年北京朝阳区模拟题）函数y =log 2 1|x －3|的单调递减区间是 __________________. 解析：令u =|x －3|，则在（－∞，3）上u 为x 的减函数，在（3，+∞）上 u 为x 的增函数.又∵0＜2 1 ＜1，∴在区间（3，＋∞）上，y 为x 的减函数. 答案：（3，+∞） 4.有下列几个命题： 高中数学听课记录:函数的单调性 一、实例导入课题： 日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。（板书课题：函数的单调性） 二、推出新课： （一）、函数的单调性： 1、观察非典时期每日新增病例的变化统计图，对函数的单调性有感性的认识。 2、学生思考一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的值随x的值的变化情况。 总结该函数图像中点的坐标规律。 3、单调增（减）函数的定义： 一般地，设函数的定义域为I，区间A I，如果对于区间A内的任意两个值，当时都有，那么就说在这个区间上是单调增（减）函数。 （让学生思考交流之后，说出增、减函数定义中的关键词） （二）、单调函数、单调区间的概念：（教师板书，引导学生理解。） （三）、函数单调性的判断与证明 1、讲解例1：画出的图像，判断它的单调性，并加以证明。 分析：画出图形，让学生归纳，并利用定义证明，教师板书。 例题中的注意点：（1）、解题格式；（2）、防止循环论证；（3）、作差同“0”比较。2、师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤： （1）、取值；（2）、作差与变形；（3）、判断；（4）、结论。 3、讲解例2：求证：函数在区间上是单调增函数。 （学生小组讨论，集体思考证明过程，请完成的小组上黑板板演，其他小 组分析纠错，教师做好点拨。） 三、课堂练习：1、P39页1、2、3题。 四、课堂小结：（学生总结知识点，教师补充。） 五、布置作业：1、P39页2、4、5题。 评价与建议 1、教学环节设计合理，思路清晰。 2、对概念的讲解很细致，教学作用点找的很好。 3、讲解、合作讨论、学生板演、核心指导相结合，防止学生疲劳而影响课堂效果。 4、教学中善于表扬学生、鼓励学生。 5、教学中要更多地深入学生之中，关注学生的实际学习情况，提高课堂效率。 6、这节课的知识比较抽象，学生能搞懂基本概念的来龙去脉，但更重要的是引导学生从具体实例抽象出数学概念的过程，在运用中逐步理解概念的本质需要加强。 学子教育学科教学案 课 题 函数的单调性与最值问题 教学目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； 2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性； 3. 理解函数的最大（小）值及其几何意义； 4. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 重点、难点 重点：函数的单调性及其几何意义；函数的最大（小）值及其几何意义； 难点：用定义判断函数在某区间上的单调性；运用函数图象理解和研究函 数的性质. 考点及考试要求 考点一： 函数的单调性与最大（小）值（选择、填空、解答） 教学内容 知识框架 一、函数的单调性的定义 1.增减函数的定义：对于给定区间上的函数()f x ； ① 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12，，当x x <12时，都有()()f x f x <12，那么 就说()f x 在这个区间上是增函数； ② 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12，，当x x <12时，都有()()f x f x >12，那么 就说()f x 在这个区间上是减函数。 2．用定义证明函数的单调性的步骤是： ① 在相应区间内任取自变量x x <12； ② 比较()f x 1与2()f x 的大小：作差(作商)——变形——判断符号(与1的大小)； ③ 根据定义下结论，注明区间。 二、求函数的单调区间 1．函数的单调区间：如果函数()y f x =在某个区间上是增函数(或减函数)，就说()f x 在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。 2.复合函数单调性：复合函数[()]f g x 的单调性与构成它的函数()u g x =，()y f u =的单调性密切相关，其规律如下表： 说明：（1）① 函数的单调性是函数的局部性质，是相对于区间而言的。 ② 函数的定义域不一定是函数的单调区间，但函数的单调区间必是定义域的子区间。 （2）复合函数[()]y f g x =的单调规律是“同则增，异则减”，即．()f u 与．()g x 若具有相同的单调性．．．．．．．．． 则．)]([x g f 必为增函数；若具有不同的单调性则．．．．．．．．．．．．．．．．[()]f g x 必为减函数．．．．． 。 讨论复合函数单调性的步骤是： ① 求出复合函数的定义域； ② 把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性； 函数的单调性 一、基础知识梳理: 1.函数的单调性定义： 2.单调区间： 3.一些基本函数的单调性 （1）一次函数b kx y += （2）反比例函数x k y = （3）二次函数c bx ax y ++=2 （4）指数函数x a y =()1,0≠>a a （5）对数函数x y a log =()1,0≠>a a 二、基础能力强化： 1.下列函数中，在），（0∞-内是减函数的是（ ） A.21x y -= B.x x y 22+= C.21x y = D.1-=x x y 2.x x x f -=1)(在（ ） A.），（），（∞+∞-11 上是增函数 B.），（），（∞+∞-11 是减函数 C.），）和（，（∞+∞-11是增函数 D.），）和（，（∞+∞-11是减函数 3.函数3)1(22+--=x a x y 在区间(]1，∞-内递减，在），（∞+1内递增，则a 的值是 （ ） A.1 B.3 C.5 D.-1 4.函数54)(2+-=mx x x f 在区间[)∞+-，2上是增函数，在区间(]2-∞-，上是减函数，则)1(f =（ ） A.-7 B.1 C.17 D.25 5.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间4，（∞-]上是减函数，那么实数a 的取值范围 是（ ） 3-≤a B.3-≥a C.5≤a D.3≥a 6.设函数b x a x f +-= ）（12)(是R 上的增函数，则有（ ） A.21>a B.21≤a C.21->a D .2 1 7.已知函数???≥+-<=) 0(4)3()0()(x a x a x a x f x ，满足对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是（ ） A.??? ??41,0 B.）（,10 C.?? ????141， D.）（3,0 三、课堂互动讲练： 考点一、函数单调性的证明方法： （1）定义法： （2）求导法： （3）定义的两种等价形式： 例1:证明：函数)(x f =x x -+12在定义域上是减函数. 例2：求函数()m x x x x f ++=9-6-23的单调区间. 例3：试讨论函数)(x f =)0(>+a x a x 的单调性. 考点二、复合函数的单调性： 例1：求下列函数的单调区间，并指出其增减性。 （1）)4(log 221x x y -= （2）322 12-+= x x y 练习： 1.函数322)21(-+=x x y 的单调递减区间是 ；函数)23(log 23 1x x y --=的单调递增区间是 2.已知)2(log ax y a -=在[],10上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.()1,0 B.()1,2 C.()2,0 D.[)∞+， 2函数单调性与最值讲义及练习题.docx
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