高三数学一轮复习优质教案7:2.2 函数的单调性与最值教学设计
2.2 函数的单调性与最值
一、基础知识要打牢
『知识能否忆起』
一、函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数
减函数
定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2 当x 1 f (x )在区间D 上是增函数 当x 1 数f (x )在区间D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2.单调区间的定义 若函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数y =f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间. 二、函数的最值 前提 设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≤M ; ②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≥M ; ②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M 结论 M 为最大值 M 为最小值 『小题能否全取』 1.(2012·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A .y =x +1 B .y =-x 3 C .y =1 x D .y =x |x | 2.函数y =(2k +1)x +b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( ) A .k >12 B .k <12 C .k >-1 2 D .k <-1 2 3.(教材习题改编)函数f (x )= 1 1-x 1-x 的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.43 4.(教材习题改编)f (x )=x 2-2x (x ∈『-2,4』)的单调增区间为________;f (x )max =________. 5.已知函数f (x )为R 上的减函数,若m ?????1x 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调. 2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间. 『注意』 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 二、高频考点通关 考点一 函数单调性的判断 典题导入 『例1』 证明函数f (x )=2x -1 x 在(-∞,0)上是增函数. 『自主解答』 设x 1,x 2是区间(-∞,0)上的任意两个自变量的值,且x 1 x 2, f (x 1)-f (x 2)=? ???2x 1-1x 1 -????2x 2-1x 2 =2(x 1-x 2)+???? 1x 2 -1x 1 =(x 1-x 2)???? 2+1x 1x 2 由于x 1 x 1x 2>0, 因此f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1) 故f (x )在(-∞,0)上是增函数. 由题悟法 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明; (2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行. 以题试法 1.判断函数g (x )=-2x x -1在 (1,+∞)上的单调性. 『答案』任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1 x 2-1 = 2x 1-x 2 x 1-1x 2-1 , 由于1 所以x 1-x 2<0,(x 1-1)(x 2-1)>0, 因此g (x 1)-g (x 2)<0,即g (x 1) 考点二 求函数的单调区间 典题导入 『例2』 (2012·长沙模拟)设函数y =f (x )在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数k , 定义函数f k (x )=? ?? ?? f x ,f x ≤k ,k ,f x >k , 取函数f (x )=2 -|x | .当k =1 2 时,函数f k (x )的单调递增区 间为( ) A .(-∞,0) B .(0,+∞) C .(-∞,-1) D .(1,+∞) 『自主解答』 由f (x )>12,得-1 2 ,得x ≤-1或x ≥1. 所以f 1 2 (x )=????? 2- x ,x ≥1, 12,-1<x <1, 2x ,x ≤-1. 故f 1 2(x )的单调递增区间为(-∞,-1). 『答案』 C 一题多变 若本例中f (x )=2 -|x | 变为f (x )=log 2|x |,其他条件不变,则f k (x )的单调增区间为________. 『解析』函数f (x )=log 2|x |,k =1 2时,函数f k (x )的图象如图所示, 由图示可得函数f k (x )的单调递增区间为(0, 2 』. 『答案』(0, 2 』 由题悟法 求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间. 以题试法 2.函数f (x )=|x -2|x 的单调减区间是( ) A .『1,2』 B .『-1,0』 C .『0,2』 D .『2,+∞) 『解析』选A 由于f (x )=|x -2|x =? ???? x 2-2x ,x ≥2, -x 2+2x ,x <2. 结合图象可知函数的单调减区间是『1,2』. 考点三 单调性的应用 典题导入 『例3』 (1)若f (x )为R 上的增函数,则满足f (2-m ) (2)(2012·安徽高考)若函数f (x )=|2x +a |的单调递增区间是『3,+∞),则a =________. 『自主解答』 (1)∵f (x )在R 上为增函数,∴2-m (2)由f (x )=??? -2x -a ,x <-a 2 , 2x +a ,x ≥-a 2 ,可得函数f (x )的单调递增区间为??? ?-a 2,+∞,故3=-a 2 ,解得a =-6. 『答案』 (1)(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)-6 由题悟法 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行大小比较,解抽象函数不等式,解题时要注意:一是函数定义域的限制;二是函数单调性的判定;三是等价转化思想与数形结合思想的运用. 以题试法 3.(1)(2013·孝感调研)函数f (x )= 1 x -1 在『2,3』上的最小值为________,最大值为________. (2)已知函数f (x )=1a -1 x (a >0,x >0),若f (x )在????12,2上的值域为????12,2,则a =__________. 『解析』(1)∵f ′(x )=-1 x -1 2<0,∴f (x )在『2,3』上为减函数,∴f (x )min =f (3)= 13-1 =12,f (x )max =1 2-1 =1. (2)由反比例函数的性质知函数f (x )=1a -1 x (a >0,x >0)在????12,2上单调递增, 所以????? f ????12=12,f 2=2,即??? 1a -2=1 2,1a -12=2, 解得a =2 5 . 『答案』(1)12 1 (2)2 5 三、解题训练要高效 A 、全员必做题 1.(2012·广东高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =ln(x +2) B .y =-x +1 C .y =????12x D .y =x +1 x 2.若函数f (x )=4x 2-mx +5在『-2,+∞)上递增,在(-∞,-2』上递减,则f (1)=( ) A .-7 B .1 C .17 D .25 3.(2013·佛山月考)若函数y =ax 与y =-b x 在(0,+∞)上都是减函数,则y =ax 2+bx 在 (0,+∞)上是( ) A .增函数 B .减函数 C .先增后减 D .先减后增 4.“函数f (x )在『a ,b 』上为单调函数”是“函数f (x )在『a ,b 』上有最大值和最小值”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 5.(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1,x 2(x 1≠x 2),恒有(x 1-x 2)(f (x 1)-f (x 2))>0,则一定正确的是( ) A .f (4)>f (-6) B .f (-4) C .f (-4)>f (-6) D .f (4) 6.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y ),当x <0时,f (x )>0,则函数f (x )在『a ,b 』上有( ) A .最小值f (a ) B .最大值f (b ) C .最小值f (b ) D .最大值f ?? ?? a + b 2 7.函数y =-(x -3)|x |的递增区间是________. 8.(2012·台州模拟)若函数y =|2x -1|,在(-∞,m 』上单调递减,则m 的取值范围是________. 9.若f (x )=ax +1 x +2在区间(-2,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是________. 10.求下列函数的单调区间: (1)y =-x 2+2|x |+1; (2)y =a 1-2x -x 2(a >0且a ≠1). 11.已知f (x )= x x -a (x ≠a ). (1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 12.(2011·上海高考)已知函数f (x )=a ·2x +b ·3x ,其中常数a ,b 满足ab ≠0. (1)若ab >0,判断函数f (x )的单调性; (2)若ab <0,求f (x +1)>f (x )时x 的取值范围. B 、重点选做题 1.设函数f (x )定义在实数集上,f (2-x )=f (x ),且当x ≥1时,f (x )=ln x ,则有( ) A .f ????13 D .f (2) 13 2.(2012·黄冈模拟)已知函数y =1-x +x +3的最大值为M ,最小值为m ,则m M 的值 为( ) A.14 B.12 C. 2 2 D.32 3.函数f (x )的定义域为(0,+∞),且对一切x >0,y >0都有f ???? x y =f (x )-f (y ),当x >1时,有f (x )>0. (1)求f (1)的值; (2)判断f (x )的单调性并加以证明; (3)若f (4)=2,求f (x )在『1,16』上的值域. 教师备选题 1.求函数f (x )=x 2+x -6的单调区间.