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数学学业水平考试常用公式及结论

一、集合与函数：

集合

1、集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性

2、 集合相等：若：,A B B A ??,则

A B =

3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ

4．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n

–1个；

5.常用数集：自然数集：N 正整数集：*

N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 函数的奇偶性

1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）

2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；

（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 函数的单调性

1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2

① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质

1、顶点坐标公式：???

? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442-

2.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2

()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 指数与指数函数 1、幂的运算法则：

（1）a m ? a n = a m + n ，（2）n

m n m a

a a -=÷，（3）( a m ) n = a m n （4）( a

b ) n = a n ? b n

（5） n n n

b a b a =??? ??（6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n n

a a 1=- （8）m n m n

a a =（9）m n m n

a

a 1=-

2、指数函数y = a x (a > 0且a ≠1)的性质：

（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）

3.指数式与对数式的互化： log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 对数与对数函数 1.对数的运算法则：

（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N

= N

（6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (

N

M

) = log a M -- log a N （8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =

a

N

b b log log

（10）推论 log log m n

a a n

b b m

=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). （11）log a N =

a

N log 1

（12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A

（其中 e = 2.71828…） 2、对数函数y = log a x (a > 0且a ≠1)的性质： （1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）

2.图象平移：若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； 规律：左加右减，上加下减

平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x

y N p =+. 函数的零点：1.定义：对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。即 ()y f x =的图象与X 轴相交时交点的横坐标。

2.函数零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条 曲线，并有()()0f a f b ?<，那么()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈， 使得()0f c =，这个C 就是零点。

二、圆：

1、斜率的计算公式：k = tanα=

1

21

2x x y y --（α ≠ 90°，x 1≠x 2）

2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b(k 存在) ；（2）点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) (k 存在）； （3）两点式

1

21121x x x x y y y y --=

--（1212,x x y y ≠≠） ；4）截距式 1=+b y

a x （0,0a

b ≠≠） （5）一般式0(,0Ax By

c A B ++=不同时为） 3、两条直线的位置关系：

4、两点间距离公式：设P 1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，则 | P 1 P 2 | =()()221221y y x x -+-

5、点P ( x 0 , y 0 )到直线l ：A x + B y + C = 0的距离：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

6、圆的方程

7.点与圆的位置关系

点00(,)P x y 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =则 d r >?点P 在圆外?2

22)()(r b y a x >-+-

d r =?点P 在圆上?222)()(r b y a x =-+- d r

8.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

①0相离r d ②0=???=相切r d ③0>???<相交r d . 9.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .

三、立体几何：

（一）、线线平行判定定理：

1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。

2、垂直于同一平面的两直线平行。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和

交线平行。

4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （二）、线面平行判定定理

1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。 （三）、面面平行判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （四）、线线垂直判定定理：

若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （五）、线面垂直判定定理

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 （六）、面面垂直判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

四、三角函数：

1、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 α

α

αcos sin tan = tan αcot α=1 2、二倍角的三角函数公式

sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α α

α

α2tan 1tan 22tan -=

3、两角和差的三角函数公式

sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β

()β

αβ

αβαtan tan 1tan tan tan μ±=

±

4、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”

5、三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π

ω

=

；函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,?为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期T π

ω

=

.

五、平面向量 ：

1、向量的模计算公式：（1）向量法：|=

（2）坐标法：设a =（x ，y ），则|a | =2

2

y x +

2、平行向量

规定：零向量与任一向量平行。设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），λ为实数 向量法：a ∥b （b ≠0）<=> a =λb

坐标法：∥（≠）<=> x 1 y 2 – x 2 y 1 = 0 <=> 2

2

11y x y x =

（y 1 ≠0 ，y 2 ≠0） 3、垂直向量

规定：零向量与任一向量垂直。设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2） 向量法：a ⊥b <=> a ·b = 0 坐标法：a ⊥b <=> x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 4、平面两点间的距离公式

,A B d =||AB =u u u r =11(,)x y ，B 22(,)x y ).

5、向量的加法

（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角） （2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+ x 2 ，y 1+ y 2） 6、向量的减法

（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量） （2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a -b =（x 1 - x 2 ，y 1- y 2） 7、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos θ =

（2）坐标法：设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则cos θ =

22

2221

2

1

2121y

x y

x y y x x +++

8、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：a ·b = |a | |b | cos θ （2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ·b = x 1 x 2 + y 1 y 2

（3） a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的

乘积．

六、解三角形：

ΔABC 的六个元素A, B, C, a , b, c 满足下列关系： 1、角的关系：A + B + C = π，

特殊地，若ΔABC 的三内角A, B, C 成等差数列，则∠B = 60o，∠A +∠C = 120o 2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,

3、边的关系：a + b > c , a – b < c （两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。）

4、边角关系：（1）正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin === （R 为ΔAB

C 外接圆半径） a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC , （2）余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 – 2bc ?cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c ?cosB ,

c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b ?cosC

bc a c b A 2cos 222-+=, ac b c a B 2cos 222-+= , ab

c b a C 2cos 2

22-+=

5、面积公式：S =

21a h = 21a b sinC = 21bc sinA = 2

1

a c sinB 七、不等式：

（一）、均值定理及其变式：（1）a , b ∈ R , a 2 + b 2 ≥ 2 a b

（2）a , b ∈ R + , a + b ≥ 2ab （3）a , b ∈ R + , a b ≤ 2

2??

?

??+b a

以上当且仅当 a = b 时取“ = ”号。

（二）.一元二次不等式2

0(0)ax bx c ++><或2

(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与

2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 设12x x <

1212()()0x x x x x x x --?<>或

八、数列 ：

（一）、等差数列{ a n }

1、通项公式：a n = a 1 + ( n – 1 ) d ，推广：a n = a m + ( n – m ) d ( m , n ∈N )

2、前n 项和公式：S n = n a 1 +2

1

n ( n – 1 ) d = 2)(1n a a n +

3、等差数列的主要性质：

① 若m + n = 2 p ，则 a m + a n = 2 a p （等差中项）( m , n ∈N ) ② 若m + n = p + q ，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q ∈N )

（二）、等比数列{ a n }1、通项公式：a n = a 1 q n – 1 ，推广：a n = a m q n – m ( m , n ∈N ) 2、等比数列的前n 项和公式：

当q ≠1时，S n = q

q a n --1)1(1=q q

a a n --11， 当q = 1时，S n = n a 1

3、等比数列的主要性质

① 若m + n = 2 p ，则a p 2 = a m ? a n （等比中项）( m , n ∈N ) ② 若m + n = p + q ，则 a m ? a n = a p ? a q ( m , n , p , q ∈N ) （三）、一般数列{ a

n

}的通项公式：记S

n

= a

1

+ a

2

+ … + a

n

，则恒有

???-=-11

n n

n S S S a ()()N n n n ∈≥=,21