李贤平_《概率论与数理统计_第四章》答案

概率论 数字特征与特征函数

2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。

3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n

n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。

7、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。

9、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞

=≥=

1

}{k k P E ξξ。

11、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(|

|∞<<∞-=--x e x p x λ

μλ

0>λ。试求

ξE ，ξD 。

13、若21,ξξ相互独立，均服从),(2

σa N ，试证π

σξξ+

=a E ),max (21。 17、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放

入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。

20、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第

二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求

n S 。

21、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体

质重量，试说明这样做的道理。

24、若ξ的密度函数是偶函数，且2

E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。

25、若,ξη的密度函数为22

221,1

(,)0,1

x y p x y x y π?+≤?=??+>?，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。

27、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 26、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 28、若123,,ξξξ是三个随机变量，试讨论（1）123,,ξξξ两两不相关；

（2）123123()D D D D ξξξξξξ++=++；（3）123123E E E E ξξξξξξ=??之间的关系。

29、若,ξη服从二元正态分布，,1,,1E a D E b D ξξηη====。证明：ξ与η的相关系数cos r q π=，

其中{()()0}q P a b ξη=--<。

30、设(,)ξη服从二元正态分布，0,1,E E D D r r ξηξηξη=====，试证：max(,)E ξη=

31、设ξ与η独立，具有相同分布2

(,)N a σ，试求p q ξη+与u v ξη+的相关系数。 34、若ξ服从2

(,)N a σ，试求||k E a ξ-。

39、若α及β分别记二进制信道的输入及输出，已知{1},{0}1,P p P p αα====-

{11}P q βα===，}{01}1,{10},P q P r βαβα===-==={00}1P r βα===-，试求

输出中含有输入的信息量。

40、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，

试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。 41、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。

43、在贝努里试验中，若试验次数v 是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要

条件，是v 服从普阿松分布。

44、设{}k ξ是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和12v ηξξξ=++

，其中v 是

随机变量，它与{}k ξ相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明

2,()k k k E Ev E D Ev D Dv E ηξηξξ=?=?+?。

47、若分布函数()1(0)F x F x =--+成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的

特征函数是实的偶函数。 48、试求[0,1]均匀分布的特征函数。

49、一般柯西分布的密度函数为2

2

1

(),0()

p x x λ

λπλμ=

?

>+-。证它的特征函数为

exp{||}i t t μπ-，利用这个结果证明柯西分布的再生性。

50、若随机变量ξ服从柯西分布，

0,1μλ==，而ηξ=，试证关于特征函数成立着

()()()f t f t f t ξηξη+=?，但是ξ与η并不独立。

53、求证：对于任何实值特征函数()f t ，以下两个不等式成立：

21(2)4(1()),1(2)2(())f t f t f t f t -≤-+≥。

54、求证：如果()f t 是相应于分布函数()F x 的特征函数，则对于任何x 值恒成立：

1lim ()(0)(0)2T itx T

T f x e dt F x F x T

--→∞=+--?

。

55、随机变量的特征函数为()f t ，且它的n 阶矩存在，令0

1

log (),k k k

k t d X f t k n i

dt =??

=≤????，称k X 为

随机变量的k 阶半不变量，试证b ηξ=+（b 是常数）的(1)k k >阶半不变量等于k X 。 56、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。 58、设12,,

,n ξξξ相互独立，具有相同分布2(,)N a σ试求1n ξξξ?? ?

= ? ???

的分布，并写出它的数学期望及协

方差阵，再求1

1n

i i n ξξ==∑的分布密度。

59、若ξ服从二元正态分布(0,)N ∑，其中4221??

∑= ???

，试找出矩阵A ，使A ξη=，且要求η服从非

退化的正态分布，并求η的密度函数。

60、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。

第四章 解答

.

2、解：设ξ表取一球的号码数。袋中球的总数为)1

(

2

1

2

1+

=

+

+

+n

n

n

，所以

n

k

n

n

k

n

n

k

k

P,

,,2,1

,

)1

(

2

)1

(

2

1

}

{

=

+

=

+

=

=

ξ.

∑

=

+

=

+

+

?

+

=

?

+

=

n

k

n

n

n

n

n

n

k

n

n

k

E

1

)1

2(

3

1

6

)1

2

)(1

(

)1

(

2

)1

(

2

ξ.

3、解：由于μ是分布，所以应有∑

∑∞

=

∞

=

=

?

=

=

1

!

}

{

n

n

n

n

B

A

n

Pμ，即B

B e

A

Ae-

=

=,1。又由已知

a

n

AB

n

E

n

n

=

?

=∑∞

=

!

μ，即a

n

B

AB

n

n

=

-

∑∞

=

-

1

)!1

(

，a

ABe B=, ,a

B=

∴a

B e

e

A-

-=

=。

7、解：设μ表示抽出k张卡片的号码和，iξ表示第i次抽到卡片的号码，则kξ

ξ

ξ

μ+

+

+

=

2

1

，

因为是放回抽取，所以诸

i

ξ独立。由此得，对k

i,

,2,1

=。

∑∑

==+=+?==?=n j n

j i n n n n j n n j E 11

2

12)1(111ξ， )1(2

1

21+=+++=n k E E E E k ξξξμ ； )12)(1(6

16)12)(1(11122

++=++?=?

=∑=n n n n n n n j E n

j i ξ， ())1(12

1

)1(41)12)(1(61222

2

-=+-++=

-=n n n n E E D i i i ξξξ， )1(12

1

221-=

+++=n k D D D D n ξξξμ 。 8.

9、证：

∑∑∑∞=∞

=∞==

=≥11

}{}{k k

j k j P k P ξξ

+=++=+=++=+=+==}3{3{}2{}3{}2{}1{ξξξξξξP P P P P

∑∞

====

1

}{k E k kP ξξ

10.

.

11、解：?∞∞-

-

--

=

=)

)

(

(

2

1|

|

λ

μ

λ

ξλ

μx

t

dx

xe

E

x

令

?∞∞--

+

=dt

e

t

t||

2

μ

λ

?

?∞∞--

∞

∞

-

-+

=dt

e

dt

e

t

t

t||

||

2

2

μ

λ

μ

μ=

+

=0.

?∞∞--

=

-

=

-

-

)

)

(

(

)

(

2

1||

2

λ

μ

μ

λ

ξλ

μ

x

t

e

x

D

x

令

?

?∞-

∞

-

∞

∞

-

-+

-

=

=

2

2

2

2

22

)

(dt

te

e

t

dt

e

t t

t

tλ

λ

λ

2

2

2

22

)

(

2

2

)

(

2λ

λ

λ

λ=

-

=

+

-

=∞

-

∞-

∞

-?t

t

t e

dt

te

e

t.

13、证：

2

1

ξ

ξ的联合密度为

?

?

?

?

?

?-

-

-

-

=

2

2

2

2

2

)

(

2

)

(

exp

)

,

(

σ

σ

a

y

a

x

y

x

p，

∴??

=dxdy

y

x

p

y

x

E)

,

(

)

,

max(

)

,

max(

2

1

ξ

ξ

??

??

∞

∞

-∞∞

-∞

∞

-+=

x x dy y x yp dx dy y x xp dx ),(),(

（利用密度函数的积分值为1，减a 再加a ）

????∞

∞

-∞

∞

-∞∞

-+-+-=x

x

a dy y x p a y dx dy y x p a x dx ),()(),()(

（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x 与y 的记号）

????∞

∞∞∞

-∞∞

-+-+-=y

y

a dx y x p a y dy dx y x p a x dy ),()(),()(

??

∞

--

∞∞---

-+=y

a x a y dx e

a x dy e

a 2

22

22)(2)(2

)(212σσπσ

))

((t a y =-σ

令

dt e a t ?

∞

∞

--+

=2

1

σπ

π

σ

ππσ+=+

=a a .

17、解：令B 表“从乙袋摸一球为白球”，ξ表从甲袋所摸个球中白球数，则ξ取值0,1,,c ，服从

超几何分布，且()

ca

E a b ξ=

+，考虑到若c a >，则当1,,i a c =+时{}0P i ξ==；若c b >，则当

i c b <-时{}0P i ξ==；而在条件概率定义中要求(){}0i P A P i ξ==> 由此得

!(,)

max(0,)

(){}{|}m n a c i c b P B P i P B i ξξ=-=

==∑0

{}

i i

P i c

α

αξαβ=+==++∑

00

1

{}{}i i i P i i P i c c αα

αξξαβαβ==+==+=++++∑∑ E c c αξαβαβ=

+++++1ac c a b ααβ?

?=+ ?+++?

?.

20、解：令?

?

?=袋子中摸出黑球从第袋子中摸出白球从第i i i ,0,1ξ，则

1{1}()

a

P a b ξ==

+，

21{1}11a a b a

P a b a b a b a b ξ+==+++++++++2()(1)a ab a a a b a b a b

++==++++。

由此类推得1{1}()

a

P a b ξ==

+， 1,2,,i n =。又12n n S ξξξ=++

+，

1

n

n i na

ES E a b

ξ=∴==

+∑。

21、解：以i ξ表第i 次测量值，由于受测量过程中许多随机因素的影响，测量值i ξ和物体真实重量a 之

间有偏差，i ξ是独立同分布的随机变量，并有2

,i i E a D ξξσ==。测量记录的平均值记为η，则

11()n n

ηξξ=+

+

11n i i na

E E a n n

ηξ====∑， 22

2

21

1n

i i n D D n n n σσηξ====∑。 平均值η的均值仍为a ，但方差只有i ξ方差的1

n

，而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度，所以以η作为物体的重量，则更近于真值。

24、证：设()f x 是ξ的密度函数，则()()f x f x -=。由()xf x 是奇函数可得0E ξ=，从而

||0E E ξξ=。又由于||()x x f x 是奇函数，得

||||()0||E x x f x dx E E ξξξξ∞

-∞===?

故||ξ与ξ不相关。

由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0c >使0{||}1P c ξ<<<，亦有{}1P c ξ<<，

{}{||}{||}{,||}P c P c P c P c

c ξξξ

ξξ∴<<≠<=<<

其中等式成立是由于{||}{}c c ξξ

25、证：1

1

(

,)0E xp x y dxdy xdx ξ∞∞

-∞-∞

-=

==??

?，同理0E η=。

1

1

cov(,)0E E E xdx ydy ξηξηξη-=-==?

即ξ与η不相关。但

ξ与η不独立，事实上可求得

||1

()0,||1x p x x ξ≤=?>?，||1()0,||1y p x y η≤=?>?

， 而当||1x ≤且||1y ≤时，(,)()()p x y p x p y ξη≠。

26、证：2

,EU aEX b DU a DX =+=，2

,EV cEY d DV c DY =+=，

cov(,)()()cov(,)U V Ea X EX c Y EY ac X Y =--=?，

||UV xy ac

r r ac =

=。 欲UV xy r r =，题中需补设a 与c 同号。

27、证：设1122,,,,,a b c d p q p q ????

? ?????

。作两个随机变量

**1122,0,0:,:,,a b c d b d p q p q ξξηη--????

=-=-

? ?????

。

由ξ与η不相关即E E E ξηξη=得

**()()E E b d bd E E bE dE bd ξηξηηξξηηξ=--+=--+

**()()E b E d E E ξηξη=--=，

而**

*

*

()(){,}E a b c d P a b c d ξηξη=--=-=-， *

*

*

*

(){}(){}E E a b P a b c d P c d ξηξη=-=--=-， 由上两式值相等，再由()()0a b c d --≠得

****{,}{}{}P a b c d P a b P c d ξηξη=-=-==-=-

此即{,}{}{}P a c P a P c ξηξη=====。同理可证

{,}{}{}P a d P a P d ξηξη=====，{,}{}{}P b c P b P c ξηξη=====

{,}{}{}P b d P b P d ξηξη=====，

从而ξ与η独立。

28、解：（一）证(1) (2)，设（1）成立，即两两不相关，则

2123123123()[()()]D E E E E ξξξξξξξξξ++=++-++

2112233[()()()]E E E E ξξξξξξ=-+-+-

12311222()()

D D D

E E E ξξξξξξξ=+++--

113322332()()2()()E E E E E E ξξξξξξξξ+--+-- 123D D D ξξξ=++，

∴（2）成立。

（二）(1)?(3)。设

121,11,1:,:1111,,2

222ξξ--???? ? ? ? ?????

， 并设1ξ与2ξ独立，则

123ξξξ=（记）：212331,

11,:1

11,22ξξξξ-??

?? ?= ?

???

??

， 由第三章25题知，123ξξξ两两独立，从而两两不相关，满足（1）。而120E E ξξ==，这时

12312301E E E E ξξξξξξ??=≠=，（3）不成立。

（三）(2)?(1)。设1231

0,,2

D ξξξξξξ>===-

，则 123111()()2224D D D D ξξξξξξξξ??

++=+-== ???

。

12311224D D D D D D D ξξξξξξξ??

++=++-= ???

，

满足（2）。但显然123,,ξξξ两两相关，事实上由2

2

()0E E D ξξξ-=≠得ξ与ξ相关，（1）不成立。 （四）(2)?(3)。事实上，由(1) (2)，(1)?(3)得必有(2)?(3)。 （五）(3)?(2)。设

12131,

00,11,

1:,1:,:111

11

1,,

,

2

22222ξξξξ--??????

? ? ?=+ ? ? ???????

则

212123300:,:11ξξξξξξ????= ? ?????

再设1ξ与3ξ独立，从而1ξ的函数2ξ与3ξ也独立，我们有121

1,22

E E ξξ=-=

， 30E ξ=，12131323230,0,0E E E E E E E ξξξξξξξξξξ==?==?=，1231230E E E E ξξξξξξ==??，

满足（3）。但

123()D ξξξ++

123121323222D D D E E E ξξξξξξξξξ=+++++-121323222E E E E E E ξξξξξξ?-?-? 123122D D D E E ξξξξξ=++-?

1231231

2

D D D D D D ξξξξξξ=+++

≠++。 ∴（2）成立。

（六）

(3)?(1)。事实上，由(1) (2)，(3)?(2)得必有(3)?(1)。 （七）当123,,ξξξ相互独立时，(1)，(2)，(3)同时成立。

29、证：由题设得

222)()01exp ()2()()()2(1)x a y b q x a r x a y b y b dxdy r

--

-?----+-????-??

??（令,u x a v y b =-=

-）

222

1(2)

2(1)

e

u ruv v r dudv -

-+-

222

1(2)

02(1

)

e

u ruv v r dudv -

-+--∞

=

?

令cos ,sin ,||u v J ρθρθρ===，则

22(1sin 2)

2(1)

2

r r q d e

d ρθππρθρρ-

-∞

-=

?

2

22(1sin 2)2(1

)

20

11sin 2r r r e d r ρ

θππθθ∞

---??-??

=--????? 2(1sin

2d r π

πθ

α

θπ

θ=

-?令=

2)

221sin d r π

π

α

π

α

=-?

2

1tg r π

π

απ??-??=

由

lim 2

tg

απ

α

↓=-∞

，而1

lim 2tg r

arctg απαπ↓-=-得

1

1

2

q arctg

π

=

+

，即

12tg q π????-=

??????? ctgq π-=， 或2

2

21-r r ctg q π=， 所以 22

2222

sin cos 1ctg q r q ctg q q ctg q π

ππππ

==?=+。 注意到01q <<，且r 与ctgd π同号，

即r 与cos q π同号，故得cos r q π=（其中{()()0}q P a b ξη=--<）。

30、证：由题设得

222

1

(2)

2(1)

max(,)x xy y r E dxdy ξη-

-+∞∞--∞

=?

?

22222

211

(2)(2)2(1)2(1)

x xy y x xy y X

Y r r xdx e dy xdx e dx --+--+∞∞---∞-∞-∞-∞

??=+???

????

22

21(2)

2(1)

x xy y X

r xdx e

dy -

-+∞--∞

-∞

=

?

?

22

2()2(1)

2

y rx x r xe

dx dy --

∞-

--∞

-∞

=

?

?

2

22

2

1

x t xe

dx e

dt π

∞-

-

-∞

-∞

=

?

?

用部分积分法，令，余下部分为，得。

31、解：记,S p q T u v ξηξη=+=+，则

(),()ES pa qa p q a ET u v a =+=+=+， 222222(),()DS p q DT u v σσ=+=+ ，

22cov (()())(

()())ST E p a q a u a v a pu qv ξηξησσ=-+--+-=+ ，

ST r ∴=

。

32.

33.

34、解：

2

2

()

2

||||

2

x a

k k

x a

E a x a e dx u

σ

ξ

σ

πσ

-

-

∞

-∞

-

??

-=-=

?

??

?令

2

2

||

2

u

k k

u e du

σσ

πσ

∞-

-∞

=?

2

2

2u

k k

u e du

σ

π

∞-

=?

22

2

122

22

(1)

u u

k k k k

u e k u e du

σσ

ππ

-

∞

∞-

--

??

=-+-

?

?

??

?。

当k为偶数时

2

2

2

||(1)(3)31

u

k k

E a k k e du

ξσ

π

∞-

-=--???135(3)(1)k

k kσ

=??--

当k为奇数时

2

2

2

||(1)(3)42

u

k k

E a k k ue du

ξσ

π

∞-

-=--???2

24(3)(1)k

k kσ

π

=??--。

35.

36.

39、解：{1}{1,0}{1,1}P P P ββαβα====+==

{1|0}{0}{1|1}{1}P P P P βααβαα====+=== (1)p r pq =-+

{0}{0,0}{0,1}P P P ββαβα====+== {0|0}{0}{0|1}{1}P P P P βααβαα====+=== (1)(1)(1)p r q p =--+- {1}{0}1P P ββ=+==。

(()[(1)]log[(1)][(1)(1)(1)]H H p r pq p r pq p q p r β==--+-+--+--?出)

log[(1)(1)(1)]p q p r ?-+--，

(()H H λαβ=出)

{0}[{1|0}log {1|0}P P P αβαβα=-====={0|0}log {0|0}]

P P βαβα+====

{1}[{0|1}log {0|1}

P P P αβαβα-====={1|1}log {1|1}]P P βαβα+====

(1)[log (1)log(1)][(1)log(1)log ]p r r r r p q q q q =--+-----+

所以输出中含有输入的信息量H （入）－H 出（入）为

H （入）－H 出（入）＝H （出）－H 入（出）

[(1)]log[(1)][(1)(1)(1)]p r pq p r pq p q p r =--+-+--+--log[(1)

p q -(1)(1)](1)log (1)(1)log(1)(1)log(1)p r p r r p r r p q q +--+-+---+--log pq q +。

40、解：需要确定其结局的实验β有24个可能结局，即12个是假球，且它比真的轻或重。若认为全部结局是等概的，则实验β的熵()log 24H β=，即需要得到log 24个单位信息。由称一次（随便怎样的）所构成的实验α，可以有3个结局（即天平可以向右斜或向左斜或保持平衡），进行k 次复合试验12

k k A ααα=后，可得到不大于log3log3k k =的信息，而233243<<，所以至少得称三次才可

以称出假球，且判明它比真球轻或重。

具体称法共有十几种，详见雅格洛姆著：“概率与信息”，这里仅取一法叙述如下： 第一次称：天平两端分放1、2、3、4和5、6、7、8，下余I 、II 、III 、IV 。 （A ）若第一次称时平衡，则假球在I 、II 、III 、IV 中。 第二次称：天平两端分放I 、II 和III 、1，注意1是真球。

（AA ）若第二次称时平衡，则IV 是假球；再把1和IV 分放天平两端称第三次，可判别假球IV 比真球1轻或重。

（AB ）若第二次称进I 、II 较重（或轻）， 第三次称：天平两端分放I 和II 。

（ABA ）若第三次称时平衡，则II 是假球，且比真球较轻（或重）。

（ABB ）若第三次称时不平衡，则与（AB ）中同重（或轻）的那球是假球，且它比真球较重（或轻）。

（B ）若长一资助称时1、2、3、4较重，则假球在天平上。 第二次称：天平两端分放1、2、5和3、4、6。

（BA ）若第二次称时平衡，则7、8中之一为假球，由第一次称的结果知假球较轻，再把7和8分放天平两端称第三次，即可假球。

（BB ）若第二次称时1、2、5较重，则或1、2中之一为假球，且它比真球较重，或6是假球且它比真球较轻。

第三次称：天平两端分放1和2。

（BBA ）若第三次称进平衡，则6是假球且比真球轻。

（BBB ）若第三次称时不平衡，则较重的一球是假球，且它比真球重。

（C ）若第一次称时5、6、7、8较重，则只需把（B ）中编号1、2、3、4与5、6、7、8依次互换，即得称法。

41、解：巴斯卡分布为11{},

,1,

k n k k

n P n C q p n k k ξ---===+。其母函数为

11()(-)k n k k n

n n k

P s C q

p s m n k ∞

---===∑令 11

k

k m m k

m k m p

C

q s s ∞

-+-==∑1

()(1)

k k

k k

m

m

m k k

m p s p s

C

qs qs ∞

+-===-∑。 1112111

(1)(1)'(1)(1)(1)k k k k k k k

k

k s s ks qs ks qs q kp s k

E P p qs qs p ξ---+==????-+-====????--????， 12

11122

11

(1)(1)(1)(1)''(1)(1)(1)k k k k k K k k k s s kp s k s qs k qs qS P kp qs qs --+-++=='????--++-==????--???? 12222(1)(1)(1)(1)(1)k k k

k k q k q q k kq k

kp qs p p

++--++-+=?==-，

2

22

22

"(1)'(1)['(1)]k kq k k k kq D P p P p p p p p ξ??+=+-=-+-= ?

??。

43、证：设，?

?

?=???=次成功第次失败

第次失败第次成功

第i i ，

i i i i ,0,1,0,1ηξ {1}{0},

{0}{1}1i i i i P P p P P p ξηξη========-。

则i ξ的母函数为01

1()(1)1F s p s ps p ps =-+=-+。

同理可得i η的母函数为2()(1)F s p p s =+-，v 的母函数记为()G s 。以ξ表示成功次数，则

1v ξξξ=++，本题认为{}n ξ与v 独立，得ξ的母函数为1()[()]P s G F s ξ=。同理，以η表示失败次

数，则1v ηηη=+，其母函数为2()[()]P s G F s η=。

必要性。设ξ与η独立，则由v ξη=+得

(1)[(1)]()G p ps G p p s G s -+?+-=。

因为(1)()1p ps p s ps s -+++-=+，所以若记上式左边G 的变量分别为,x y ，可得

()()(1)G x G y G x y =+-。

令()(1)G x T x =-，则上式变成

(1)(1)(11)[(1)(1)]T x T y T x y T x y --=+--=-+-。

利用教本P97引理可得

1(1)()(1)x x G x T x a e --=-==。

即v 的母函数()exp{(1)}G s s λ=-，这是普阿松分布的母函数。由于母函数与分布列之间是相互唯一

确定的，所以得v 是服从普阿松分布的随机变量。

充分性。设v 服从普阿松分布，参数为λ，则

1{}{}{|}v n r

P r P v n P r v n ξξξ∞

====+

+==∑

1{}{}v n r

P v n P r ξξ∞

===+

+=∑1(1)!n r r

n n n r

e C p p n λλ-∞

-==-∑ []1(1)()!()!n r r

n r

e p p r n r λ

λλ-∞

-==--∑()!p r e p r λλ-=。 同理可得 (1)

(1){}!

t

p p P t e

t λλη--??-??==。

又有{,}{}{|}P r r P v r t P r v r t ξηξ====+==+

1(1)()!r t r r r e C p p r t λλ-++=-+(1){}{}!!

r t r t e p p P r P t r t λλξη-+-====。 再由,r t 的任意性即得证ξ与η独立。

44、证：（1）设i ξ的母函数为()F s ，v 的母函数为()G s 。而1v ηξξ=++，所()[()]P s G F s η=。

由此得

1'(1){'[()]'()}'(1)'(1)s k E P G F s F s G F Ev E ηηξ===?=?=?

其中0

F(1){}1{}1j

i

i j j P j j ξ

ξ∞

∞

===

=?===∑∑。

2

"(1)'(1)'(1)D P P P ηηηη??=+-??

[][]{

}

2

1

'()'()'[()]''()

s G F s F s G F s F s ==?+?2'(1)'(1)['(1)'(1)]F G F G +-?

[]2

2''(1)'(1)'(1)''(1)'(1)'(1)['(1)'(1)]G F G F F G F G =+?+?-?

[]{

}

2

22'(1)"(1)'(1)'(1)['(1)]{''(1)'(1)['(1)]G F F F F G G G =+-++- 2()k k Ev D Dv E ξξ=?+?。

（2）直接计算。由题设得

10

{}{}{|}n n P i P v m P i v m ηξξ∞

====+

+==∑

10

{}{|}n i n E i P v n P i v n ηξξ∞∞

====+

+==∑∑

10

{}{}n n i P v n iP i ξξ∞

∞

====+

+=∑∑

利用11()n E nE ξξξ++=得

110

{}n E P v n nE Ev E ηξξ∞

====?∑。

2

2

1

{}{|}

n i n E i

P v n P i v n ηξ

ξ∞

∞

====+

+==∑∑2

10

{}{}n n i P v n i P i ξξ∞∞

====+

+=∑∑

记1n ξξξ=++，利用22()E D E ξξξ=+及1D nD ξξ=得

()2

2110{}()[()]n n n E P v n D E ηξξξξ∞

===+

+++

+∑

22

110

{}()n P v n nD n E ξξ∞

=??==+??∑ 2

2110(){}n Ev D E n P v n ξξ∞=??

=?+= ???

∑

最后，再利用22

()Ev Dv Ev =+得2222111()()()E Ev D Dv E Ev E ηξξξ=?+?+?。

22211()()D E E Ev D Dv E ηηηξξ∴=-=?+?。

47、证：必要性。由()1(0)F x F x =--+得{}{}{}P x P x P x ξξξ<=>-=-<，此即()()F x F x ξξ-=，所以对特征函数()f t 有

()()()()it itx itx it f t Ee e dF x e dF x Ee f t ξξξξ--=====??，

由此知()f t 是实函数。又有

()()()()()itx itx it it f t e dF x e dF x Ee Ee f t ξξξξ------=====??，

所以()f t 又是偶函数。

充分性。由于()()()it it f t Ee

Ee f t ξ

ξξξ----===，又由题设知()f t ξ是实函数，所以

()()()f t f t f t ξξξ-==。由唯一性定理知，ξ与ξ-的分布函数相同，()()F x F x ξξ-=，即

{}{}{}P x P x P x ξξξ<=-<=>-，从而()1(0)F x F x =--+。

48、解：1,[0,1]

()0,[0,1]

x p x x ξ∈?=?

∈?。当0t =时()1f t -；当0t ≠时

1

100

11

()(1)itx

itx it f t e dx e e it it ===-?。

49、证：221-()()itx x f t e dx u x λ

μπλμλ∞-∞

??=

?

?

= ?+-???

令

2

1

1

1it it u

e e du u

μλπ

∞

-∞

=

+? （1） 考虑复变函数的积分，当0t >，取c 为上

半圆周Re (0)i θ

ρθπ=≤≤和实轴上从R -到R 的围道（如图），若u 位于上半圆周上，则 Re i u θ=，Re i du i d θθ=，有

Re

12222011111t it R tt z it u t t C R e

e dz e du iRe d I I z u R e θ

λτλλθθθ-=+=++++??? （2）

对1I 有 12

1

lim 1it u

R I e du u λ∞

-∞

→∞=

+?

。 由0t >及题设0λ>得sin 01t R e

λθ

-<≤，所以对2I 有

sin sin 22220

0||11

it R tR i e R I R d e d R e R λθπ

πλθ

θθθ-≤≤+-?

? 2

01

R R π

<

→- （当R →+∞时） （3）

在上半平面上，仅有z i =是被积函数的一阶极点，由复变函数中留数定理得，对任何1R >有

12

12212t

tt z

t C

e e

dz i c i e z i

λλλππ---=?==+?

（4） 其中

12lim ()lim ()1()()i tz i tz z i z i e e c z i z i z z i z i λλ-→→=-=-++-11lim 22i tz t ti t

z i e e e z i i i

λλλ-→===+

把（2），（3），（4）代入（1）式得

2

1

1it u

t e du e u

λλπ∞

--∞

=+?

（5） 由于 222

11cos sin 111it u

i

e

t u t u u u u

λλλ=++++，2sin (1)t u u λ+是u 的奇函数，它在(,)-∞∞上积分值为0；

2

cos (1)

t u

u λ+是的偶函数，当0t <时，其积分值应与0t >时积分值相等；再注意到（5）中右端0t >，所以当0t <时有

||2

1

1it u

t e du e u

λλπ∞

--∞

=+?

（6） 当0t =时有

0221111it u

it u

e

du e du e u u

λλλππ∞

∞-?-∞

-∞===++?

? （7） 把（5）—（7）代入（1）式得，对任意有

()exp{||}f t it t μλ=-。

现证柯西分布具有再生性。设1(1,2)i ξ=的特征函数为()exp{||}i i i f t it t μλ=-，再设1ξ与2ξ独立，12ηξξ=+，则

121212()()()exp{()()||}f t f t f t it t ημμλλ==+-+，

所以η仍服从柯西分布，且参数为1212,μμλλ++。

50、证：由上题得||()()e t f t f t ξη-==，所以由2ξηξ+=得

|2|2||2()()e e ()()t t f t f t f t f t ξηξξη--+====?。

但ξ与η并不独立，事实上，可取c 使0{}1P c ξ<<<，则

{,}{}{}{}P c c P c P c P c ξηξξη<<=<≠

这说明由ξ与η独立可推得()()()f t f t f t ξηξη+=?，但反之不真。

52.