数列及等差数列高考题及详细答案

2010数列及等差数列高考题及详细答案

1.（2010·安徽高考文科·Ｔ5）设数列{}n a 的前n 项和2

n S n =，则8a 的值为( )

（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64

【命题立意】本题主要考查数列中前n 项和n S 与通项n a 的关系，考查考生的分析推理能力。 【思路点拨】直接根据1(2)n n n a S S n -=-≥即可得出结论。 【规范解答】选A ，887644915a S S =-=-=.，故A 正确。

2.（2010·福建高考理科·Ｔ3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。若111a =-，466a a +=-，则当n

S 取最小值时，n 等于（ ）

【命题立意】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。 【思路点拨】 d n n na S d n a a n n 2

)

1(,)1(11-+

=-+=。 【规范解答】选A ，由61199164-=+-=+=+a a a a a ，得到59=a ，从而2=d ，所以

n n n n n S n 12)1(112-=-+-=，因此当n S 取得最小值时，6=n

<，又a b >，故A B >，从而00

(0,60)B ∈

,cos 3

B =

. 3.（2010·广东高考理科·Ｔ4）已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。若2312a a a ?=， 且4a 与27a 的等差中项为

5

4

，则5S =( ) A ．35

【命题立意】本题考察等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前n 项和公式 【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件2312a a a ?= 得出

4

a ，由等差数列的性质及已知条件得出

7

a ，

从而求出q

及

1

a 。

【规范解答】选 C

由2311414222a a a a a a a ?=??=?=，又475224a a +=?

得 714

a = 所以，37411428a q a =

==，∴ 12q =，41321618a a q ===， 5

5116[1()]231112

S -==-

4.（2010·辽宁高考文科·Ｔ14）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3=3，S 6 =24，则a 9= . 【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式

【思路点拨】根据等差数列前n 项和公式，列出关于首项a 1和公差d 的方程组，求出a 1和d ，再求出9a

【规范解答】记首项a 1公差d,则有111

32332

1,2656242

a d a d a d ??+=???=-=?

??+=??。 91(91)18215a a d =+-=-+?=。

【答案】15

5.（2010·浙江高考理科·Ｔ15）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，则d 的取值范围是__________________ .

【命题立意】本题考查数列的相关知识，考查等差数列的通项，前n 项和公式。

【思路点拨】利用等差数列的前n 项和公式，列出1,a d 的关系式，再利用一元二次方程的判别式 求d 的范围。

【规范解答】d

≤-d

≥5611(510)(615)150S S a d a d =+++=，

即22

116273030a da d +++=，把它看成是关于1a 的一元二次方程，因为有根，

所以22

(27)24(303)0d d ?=-+≥，即2

80d -≥，解得d

≤-或d

≥

【答案】d

≤-或d

≥

6.（2010·辽宁高考理科·Ｔ16）已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n

a n

的最小值为________. 【命题立意】考查了数列的通项公式，考查数列数列与函数的关系 【思路点拨】先求出n

n a a n

再求出，然后利用单调性求最小值。 【规范解答】

(][)11221156()()) 22(1)2133 (1)33

33331133

()6563321

515523321

1662212n n n n n n n n a a a a a a a a n n n n a n n n n n

f x x x

a

n n n

a a a n ---=-++++-+=+-++?+=-+∴

=-+=+-=++∞∴==+-+-……(……函数在0,5上单调减少，在，上单调增加。

在或时最小，当n=5时＝＝

当n=6时＝6＝

所以的最小值是。 【方法技巧】

1、形如1n n a a pn --=，求n a 常用迭加法。 2

、函数()(0)0a

f x x a x

=+

>+∞在(）上单调增加。

7.（2010·浙江高考文科·Ｔ14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是 。

【命题立意】本题主要考察了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题。 【思路点拨】解决本题要先观察表格，找出表中各等差数列的特点。

【规范解答】第n 行第一列的数为n ，观察得，第n 行的公差为n ，所以第n 0行的通项公式为

()001n n n a n -+=，又因为为第n+1列，故可得答案为n n +2。

【答案】n n +2

8.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）若数列{}n a 满足：对任意的n N *

∈，只有有限个正整数m 使得m a n

＜

成立，记这样的m 的个数为()n a *

，则得到一个新数列{

}()n a *

．例如，若数列{}n

a 是1,2,3,n …，…，

则数列{

}()

n a *

是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *

∈，2n

a

n =，则5()a *= ，

123… 246… 369… …

…

…

…

第1列 第2列 第3列 ……

第1行 第2行 第3行

(())n a **= ．

【命题立意】以数列为依托，产生新定义考查学生的接受能力，信息迁移能力，归纳能力. 【思路点拨】罗列数列，归纳总结.

【规范解答】由2

n a n

=得到数列是：1,4,9,16,25,…，则满足

m a n

＜的m 是1和2，因此是2个.

设

*)(n a =

n

b ，则

n

b 是：0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,…，∴目标数列是：1,4,9,…，∴

(())n a **=2

n .

【方法技巧】对于新定义题，常常利用特殊代替一般对定义进行充分理解，只有在完全理解问题的基础 上才能解题.

9.（2010·浙江高考文科·Ｔ19）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足56S S +15=0。

（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1； （Ⅱ）求d 的取值范围。

【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。

【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n 项和求解即可。 【规范解答】(Ⅰ)由题意知S 6=5-15

S =-3, 6a =S 6-S 5=-8。所以115105,58.

a d a d +=??+=-? 解得a 1=7，所以S 6= -3,a 1=7

(Ⅱ)方法一：因为S 5S 6+15=0, 所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12

+9da 1+10d 2

+1=0. 故(4a 1+9d )2

=d 2

-8. 所以d 2

≥8.[ 故d 的取值范围为d ≤

d ≥

.

方法二：因为S 5S 6+15=0, 所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12+9da 1+10d 2

+1=0. 看成关于1a 的一元二次方程，因为有根，所以2

2

2

818(101)80d d d ?=-+=-≥，

解得22d ≤-或22d ≥。