数列最值

数列最值的求法

一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方法要理解并记住.

二、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等. 【方法讲评】

方法一 函数的方法

使用情景 比较容易求出函数的表达式

解题步骤

一般先求出函数的表达式，再利用函数的方法求出数列的最值.

【例1】在等差数列}{n a 中，1,101-==d a ，n S 为}{n a 前n 项和，求n S 的最大值.

【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n 项和可以看作是一个关于n 的二次函数

2n S An Bn =+，利用图像解答.

【反馈检测1】 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围；

（2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由. 方法二 数形结合法

使用情景

比较容易求出数列的通项

解题步骤 先求数列的通项，再对通项的图像进行研究.

【例2】在等比数列{}n a 中，)(0*

N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，3a 与5

a 的等比中项为2.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为S n ，当

n

S S S n +++Λ212

1最大时，求n 的值.

【点评】（1）等差数列的通项n a 可以看作是一个关于n 的一个一次函数，画出函数的图像，比较直观地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而得到前多少项的和最大或最小.（2）注意数列{}n a 中，由 于9a 0=，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零”项，以免得出错误的结论. 学.科.网

【例3】已知数列{}n a 中，79

()80

n n a n N n *-=∈-则在数列{}n a 的前n 项中最小项和最大项分别是

（ ）

A.150,a a

B. 18,a a

C. 89,a a

D.950,a a

【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值.

【反馈检测2】已知等差数列{n a },*

n a N ∈,n S =212)8n a +（.若1

302

n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.

方法三 单调性法

使用情景 数列的单调性比较容易确定

解题步骤

先求数列的通项，再对通项的单调性进行研究.

【例4】 已知数列}{n a 的通项公式n

n n a )10

)(

1(+=，)(N n ∈，求}{n a 的最大值.

【点评】（1）数列按照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.（2）判断数列的单调性一般有两种方法，方法一是作差判断，如果

110{}0{}n n n n n n a a a a a a ++->?-

a a

a a a a a a ++>>?<>?单调递增；单调递减. 【例5】设单调递增函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对任意的正实数,x y 有：()()()f xy f x f y =+且1

()12

f =-．

⑴一个各项均为正数的数列{}n a 满足:()()(1)1n n n f s f a f a =++-其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式；

⑵在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：

1212221(21)(21)(21)n n n a a a n a a a ?≥+---K K K K

对一切*

n N ∈成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由．

⑵假设M 存在满足条件， 即121221(21)(21)(21)

n n

n M n a a a ≤

+---L L 对一切*n N ∈恒成立．

令1212()21(21)(21)(21)

n n

n g n n a a a =

+---L L ，

∴1(1)2313(21)(21)

n g n n n n ++=

+????-+L L ，

故22

(1)484

1()

483

2123

g n n n g n n n n n +++=

=

>++++， (1)()g n g n ∴+>，∴()g n 单调递增，*n N ∴∈，()(1)g n g ≥=

23

． ∴23

0M <≤

【点评】（1）本题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；（2）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，如果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.

【反馈检测3】 已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()

1,n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若函数()1231111

(),n

f n n N n a n a n a n a *=

++++∈++++L 求函数)(n f 的最小值； （3）设n n

n S a b ,1

=

表示数列{}n b 的前n 项和， 试证明：1231(1),(,2)n n S S S S n S n N n *

-++++=-∈≥L ．

方法四 基本不等式法

使用情景 有一正二定三相等的数学情景

解题步骤

先求函数的表达式，再利用基本不等式解答.

【例6】广州市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元. （1）引进该设备多少年后，开始盈利？ （2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：

第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；

第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.

【点评】基本不等式同样可以求数列的最值.如果n 取等时的值不是正整数，可以求它附近的点的函数值，比较就可以了. 学.科.网

【反馈检测4】某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n 年后该设备的盈利额为()f n 万元.

（Ⅰ）写出()f n 的表达式；

（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；

（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备.问用哪种方案处理较为合算?请说明理由．

方法五 导数法

使用情景 函数比较复杂，单调性一般方法不行. 解题步骤

先求函数，再求导，再研究函数的单调性.

【例7】在数列}{n a 中，n

n a ?a k?a n n +-

+=+=+2

111,1（n *∈N ），其中k 是常数，且3625≤≤k . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n a 的最小项.

以上1n -个式子相加得)1

1(11n k n a a n ---=-，即)11(11n

k n a a n ---+=. 又k a +=11，所以)11(11n k n k a n ---++=，即(2,3,)n k

a n n n

=+=L . 当1n =时，上式也成立.

所以数列}{n a 的通项公式为(1,2,3,)n k

a n n n

=+

=L . （Ⅱ）为考查数列}{n a 的单调性，注意到(1,2,3,)n k a n n n =+=L ，可设函数)1)()(≥+=x x

k

x x f ，

则21)(x

k

x f -='，即2

2)(x k x x f -='.

可知)

1,x k ?∈?

时，0)(<'x f ；k x =

时，0)(='x f ；(,)x k ∈+∞时，0)(>'x f .

所以函数x

k

x x f +

=)(在[1，k ]上是减函数；在)

,k ?+∞?上是增函数.

因为3625≤≤k ，所以65≤≤k .

（3）当56a a =，即6

655k

k +=+

，即30k =时， 12345567,a a a a a a a a >>>>=<

116

30

665=+

==a a . （4）当65a a <且5>k 时，6

655k

k +<+

且25>k ，则3025<>>>><

55k

a +=.

（5）当665<>k a a 且时，6

655k

k +>+且36k <，则3630<

Λ<<>>>>>76654321,a ?a ?a a a a a a .

所以数列}{n a 的最小项为6

66k a +

=. 综上所述：当25k =时，数列}{n a 的最小项为5a =10；当3025<

555k

a +

=；当30k =时，数列}{n a 的最小项为56a a ==11；当3036k <<时，数列}{n a 的最小项为666k

a +=；当36k =时，数列}{n a 的最小项为612a =.

【点评】（1）利用导数求数列的最值，不能直接求，必须先构造数列对应的函数，因为数列是离散型函数，不可导.（2）注意数列对应的函数的单调性和数列本身的单调性是有区别的，有人认为“数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，则数列在最靠近a x =的地方取得最大值”.如下图所

示，数列对应的连续函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，但是数列并不是在最靠近

c x a x ==的处取得最大值，而是在b x =处取得最大值（其中)0,,>∈*a N c b .所以可知当数列对应的

函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，则数列不一定在最靠近a x =的地方取得最大值，必须把a x =附近的整数值代进去比较，才可以判断谁是最大值.所以一般不利用导数求数列的最值.

【反馈检测5】求数列}{n n n a =的最大项与最小项.

【例8】已知二项式122n

x ??

+ ???

．

（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

【点评】利用数列离散的特点，考察??

?≥≥-+11k k k k a a a a 或???≤≤-+1

1

k k k k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况.（1）、若

数列}{n a 中的最大项为k a ，则???≥≥-+11

k k

k k a a a a ；（2）、若数列}{n a 中的最小项为k a ，则???≤≤-+11k k k k a a a a .注意：这只

是k a 为数列最值的必要不充分条件，不是充要条件，若k 不止一解时，需要代入检验. 学.科.网

【反馈检测6】已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992，求n x

x 2)1

2(-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第40讲：

数列最值的求法参考答案

【反馈检测1答案】（1）（-

24

7

,-3）；（2）当6n =时，n S 最大.

解法二：由题意可得：n S =1na +(1)2n n d -=(122)n d -+22n n d -=25

(12)22

d n d n +- 显然0d ≠, n S 是关于自变量n 的二次函数， 由（1）知：0d <,

二次函数的图像抛物线的对称轴为512

2n d

=

-, 由（1）知：24

37d -<<-， 所以6<5122d -<13

2

,

又因为n *

N ∈,

故当6n =时，n S 最大，即6s 最大.

【反馈检测2答案】225-

因此等差数列{n a }的公差大于0.

1a =1s =211

2)8

a +（,解得1a =2.

所以42n a n =-,则1

302312

n n b a n =-=-.

即数列{n b }也为等差数列且公差为2.

由23102(1)310{

n n -≤+-≥，解得293122

n ≤≤，

因为n *N ∈，所以15n =, 故{n b }的前15项为负值， 因此15s 最小， 可知1b =-29，d =2,

所以数列 {n b }的前n 项和的最小值为

15s =

1529215312

-+?-（）

=-225.

【反馈检测3答案】（1）n a n =；（2）)(n f 的最小值是1(1)2

f =

；（3）见解析. 【反馈检测3详细解析】（1）由点P ),(1+n n a a 在直线01=+-y x 上，即11=-+n n a a ，

且11=a ，数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列1(1)1n a n n =+-?=，∴n a n =

（2）n n n n f 21

2111)(+

++++=

Λ 11111

(1)2342122

f n n n n n n +=+++++

+++++L 111111

(1)()021********

f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++

所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是1

(1)2

f =

()()()()1231111

11231231n S S S S n n n n n n -∴++++=-?+-?+-?++--?????-L L

()1111111111231231n n n n n n n ????=+++--=++++- ? ?--????

L L

()1n n nS n n S =-=-.(,2)n N n *∈≥

【反馈检测4答案】（Ⅰ）()2

480196f n n n =-+-（n *∈N ）；（Ⅱ）从第三年开始盈

利；（Ⅲ）采用方案一合算．

【反馈检测4详细解析】（Ⅰ）2(1)

()100196[248]480196()2

n n f n n n n n n N *-=--+

=-+-∈． （Ⅱ）由()0f n >得：24801960n n -+->即220490n n -+<，解得10511051n -<<，由n N

*

∈知，317n ≤≤，即从第三年开始盈利 （Ⅲ）方案①：年平均盈利为

()f n n ，则()49494()80428024f n n n n n n =-++≤-??=，当且仅当49

n n

=，即7n =时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元．

方案②：2

()4(10)204f n n =--+，当10n =时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元

两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算． 【反馈检测5答案】331{}3, 1.n a a a ==的最大项为最小项为学.科.网

【反馈检测6答案】（1）8064)1

()2(555106-=-??=x x C T ；（2）437310415360)1()2(x x

x C T -=-=。

【反馈检测6详细解析】由题意知992222=-n n ，解得5=n .

（1）10)12(x x -

的展开式中第6项的二项式系数最大，即8064)1()2(555106-=-??=x

x C T （2）设第1+r 项的系数的绝对值最大，因为r r r r x

x C T )1()2(10101-??=-+r r r r x C 21010102)1(--???-= 则??????≥??≥?--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ，得?????≥≥+-1

10

101101022r r r r C C C C 即???-≥+≥-r r r r 10)1(2211解得≤

≤r 38311 所以3r =，故系数的绝对值最大的项是第4项即437310415360)1()2(x x

x C T -=-=

a b

c