(完整版)专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总

常用知识点：

一、常见函数的定义域总结如下：

（1）

bx ax y b kx y ++=+=2

一般形式的定义域：x ∈R

（2）x

y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y =

根式的形式定义域：x ≥0

（4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0

二、函数的性质

1、函数的单调性

当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性

定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。

三、基本初等函数

1、常数函数：c y

=，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。

2、幂函数：u

x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数

定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数

(1) 正弦函数: x y sin =

π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。

(2) 余弦函数: x y cos =.

π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。

(3) 正切函数: x y tan =.

π=T ， },2

)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π

， ),()(+∞-∞=D f .

(4) 余切函数: x y cot =.

π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .

5、反三角函数

(1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2

,2[)(π

π-

=D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2

,2()(π

π-

=D f 。

(4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。

极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法

（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则

设A u x =→λ

lim ， B v x =→λ

lim ，则

（1）B A v u v u x x x ±=±=±→→→λ

lim lim )(lim

（2）AB v u v u x x x =?=?→→→λ

lim lim )(lim .

推论

（a)v C v C x x λ

→→?=?lim )(lim ， (C 为常数)。

（b ）n

x n x u u )lim (lim λ

→→=

（3）B

A v u v u x x x ==→→→λ

λlim lim lim ， (0≠B ).

（4）设)(x P 为多项式n n n a x a x a x P +++=-Λ1

10)(，则)()(lim 00

x P x P x x =→

（5）设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(≠x Q ，则 )

()

()()(lim

000x Q x P x Q x P x x =→

三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代换有：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，

x x ~arcsin ，x x ~)1ln(+，x e x ~1-，2

cos 1x x -。对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当0 □→时， □~ □sin ，其余类

似。

四、两个重要极限

重要极限I 1sin lim

0=→x

x 。

它可以用下面更直观的结构式表示：1

□

□sin lim

0 □=→

重要极限II e x x

x =??

??+∞

→11lim 。

其结构可以表示为：e =??? ??

+∞→

□ □ □

11lim

八、洛必达(L ’Hospital)法则

“00”型和“∞∞

”型不定式，存在有A x g x f x g x f a x a x ==→→)

()(lim )()(lim ''（或∞）

。一元函数微分学一、导数的定义

设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量?x （点

x x ?+0仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果当

0→?x 时，函数的增量y ?与自变量x ?的增量之比的极限

lim

→?x x y

??=0lim →?x x

x f x x f ?-?+)()(00=）（0x f ' 注意两个符号x ?和0x 在题目中可能换成其

他的符号表示。

二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

（1）0)(='C (C 为常数) （2）1

)(-='αα

αx

x （α为任意常数）

（3）a a a x x ln )(=')1,0(≠>a a 特殊情况x

x e e =')(

（4）a

x e x x a a ln 1log 1)(log =

')1,0,0(≠>>a a x ， x x 1

)(ln =' （5）x x cos )(sin =' （6）x x sin )(cos -=' （7）x

x 2

cos 1

)(tan =

（8）x

x 2'

sin 1

)(cot -

= （9）2

'11)(arcsin x

x -=

)11(??-x

（10）)11(11)(arccos 2

??---

=x x

（11）2

)(arctan x

x +=

（12）2

11)cot (x

x arc +-= 2、导数的四则运算公式

（1）)()(])()([x v x u x v x u '±'='± （2）)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=' （3）u k ku '='][（k 为常数）

（4）)()

()()()()()(2

x v x v x u x v x u x v x u '-'='??

???? 3、复合函数求导公式：设)(u f y =, )(x u ?=，且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数

)]([x f y ?=的导数为

)().('x u f dx

du dy dx dy ?'=?=。三、导数的应用

1、函数的单调性

0)('>x f 则)(x f 在),(b a 内严格单调增加。 0)('

2、函数的极值

0)('=x f 的点——函数)(x f 的驻点。设为0x

（1）若0x x <时，0)('>x f ；0x x >时，0)('

时，0)('

>x f ，则)(0x f 为)(x f 的极小值点。（3）如果)('

x f 在0x 的两侧的符号相同，那么)(0x f 不是极值点。

3、曲线的凹凸性

0)(''>x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内是凹的。 0)(''

4、曲线的拐点

（1）当)('

'x f 在0x 的左、右两侧异号时，点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点，此时

0)(0''=x f .

（2）当)('

'x f 在0x 的左、右两侧同号时，点))(,(00x f x 不为曲线)(x f y =的拐点。 5、函数的最大值与最小值

极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。

四、微分公式

dx x f dy )('=，求微分就是求导数。

一元函数积分学一、不定积分

1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C 的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。

2、不定积分的性质

（1）)(])(['x f dx x f =?或dx x f dx x f d )()(=?

（2）C x F dx x F +=?)()('或C x F x dF +=?

)()(

（3）????±±±=

±±±dx x x dx x f dx x x x f )()()()]()()([ψ?ψ?ΛΛ。

（4）dx x f k dx x kf ?

?=)()(（k 为常数且0≠k ）。 2、基本积分公式（要求熟练记忆）（1）?

=C dx 0 （2）)1(1

-≠++=+?

a C x a dx x a a

. （3）

C x dx x +=?ln 1

（4）C a a

dx a x

ln 1 )

1,0(≠>a a （5）C e dx e x

+=?

（6）?

+-=C x xdx cos sin （7）?

+=C x xdx sin cos

（8）C x dx x +=?tan cos 1

（9）C x dx x

+-=?cot sin 1

. （10）

C x dx x

+=-?

arcsin 112

（11）

C x dx x +=+?arctan 11

3、第一类换元积分法

对不定微分dx x g ?

)(，将被积表达式dx x g )(凑成

)()()()]([)('x d x f dx x x f dx x g ????==，这是关键的一步。

常用的凑微分的公式有：

（1）)()(1

)(b ax d b ax f a

dx b ax f ++=+ （2）)()(1)(1

b ax d b ax f ka

dx x b ax f k k k k ++=?+-

（3）x d x f dx x

x f 21)(=?

（4）x d x f dx x

x f 1)1(1)1(2

-=?

（5）)()()(x

e d e

f dx e e f =? （6）)(ln )(ln 1

)(ln x d x f dx x

x f =?

（7）)(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f =? （8）)(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f -=?

（9）)(tan )(tan cos 1

)(tan 2x d x f dx x x f =?

（10）)(cot )(cot sin 1

)(cot 2

x d x f dx x

x f -=?

（11）)(arcsin )(arcsin 11)(arcsin 2

x d x f dx x x f =-?

（12）)(arccos )(arccos 11)(arccos 2x d x f dx x

x f -=-?

（13）)(arctan )(arctan 11

)(arctan 2

x d x f dx x x f =+?

（14）))((ln )

()('x d dx x x ???= )0)((≠x ?

4、分部积分法

??-=vdu uv udv

二、定积分公式

1、（牛顿—莱布尼茨公式）如果)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的任意一个原函数，则有

)()()( a F b F dx x f b

-=?

。

2、计算平面图形的面积

如果某平面图形是由两条连续曲线

)(),(21x f y x g y ==及两条直线a x =1和b x =2所

围成的（其中1y 是下面的曲线，2y 是上面的曲线），则其面积可由下式求出：

.)]()([dx x g x f S b

?-=

3、计算旋转体的体积

设某立体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线

)(,b a b x a x <==及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周所形

成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V 可由下式求出：

.)()(22dx x f dx x f V b

b a

x ??==ππ

多元函数微分学

1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。

2、全微分公式：y B x A y x df dz ?+?==),(。

3、复合函数的偏导数——利用函数结构图

如果),(y x u ?=、),(y x v ψ=在点),(y x 处存在连续的偏导数

?? ，y u ??，x v ?? ，y v ??，

且在对应于),(y x 的点),(v u 处，函数),(v u f z =存在连续的偏导数

u z ??，v

??，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=在点),(y x 处存在对x 及y 的连续偏导数，且

x v v z x u u z x z ????+

????=??，y

v z y u u z y z ????+????=??。

4、隐函数的导数

对于方程0),(=y x F 所确定的隐函数)(x f y =，可以由下列公式求出y 对x 的导数'

y ：

)

,()

,('

y x F y x F y y x -=， 2、隐函数的偏导数

对于由方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数),(y x f z =，可用下列公式求偏导数：

)

,,(),,('

'z y x F z y x F x z

z x -=??， ),,(),,(''z y x F z y x F y z z y -=??， 5、二元函数的极值

设函数),(00y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且

0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y 又设A y x f xx =),(00''，B y x f xy =),(00''，C y x f yy =),(00'

'，

则：

（1）当02

<-AC B 时，函数),(y x f 在点),(00y x 处取得极值，且当0A 时有极小值。

（2）当02>-AC B 时，函数),(y x f 在点),(00y x 处无极值。

（3）当02=-AC B 时，函数),(y x f 在点),(00y x 处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。

平面与直线

1、平面方程

（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点),,(0000z y x M ，以},,{C B A n =为法向量的平面方程为

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 称之为平面的点法式方程

（2）平面的一般式方程

0=+++D Cz By Ax 称之为平面的一般式方程 2、特殊的平面方程

0=++Cz By Ax 表示过原点的平面方程 0=++D By Ax 表示平行于Oz 轴的平面方程 0=+By Ax 表示过Oz 轴的平面方程

0=+D Cz 表示平行于坐标平面xOy 的平面方程

3、两个平面间的关系

设有平面 0:11111=+++D z C y B x A π

0:22222=+++D z C y B x A π

平面1π和2π互相垂直的充分必要条件是：0212121=++C C B B A A

4、直线的方程

（1）直线的标准式方程过点),,(0000z y x M 且平行于向量},,{p n m s =的直线方程

常称},,{p n m s =为所给直线的方向向量

（2）直线的一般式方程

?=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A 称之为直线的一般式方程 5、两直线间关系

设直线1l ，2l 的方程为

直线1l ，2l 互相垂直的充分必要条件为0212121=++p p n n m m 6、直线l 与平面π间的关系

设直线

l 与平面π的方程为

0)()()(:000=-+-+-z z C y y B x x A π

直线l 与平面π平行的充分必要条件为：??

≠+++=++00

00D Cp Bn Am Cp Bn Am o

直线l 落在平面π上的充分必要条件为??

=+++=++00

00D Cp Bn Am Cp Bn Am o

将初等函数展开成幂级数

1、定理: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,且

称上式为)(x f 在点0x 的泰勒级数。或称上式为将)(x f 展开为0x x =的幂级数。 2、几个常用的标准展开式

常微分方程

1、一阶微分方程

（1）可分离变量的微分方程

若一阶微分方程0),,(='y y x F 通过变形后可写成dx x f dy y g )()(= 或 )()(y g x f y ='则称方程0),,(='y y x F 为可分离变量的微分方程. 2、、可分离变量微分方程的解

方程dx x f dy y g )()(=必存在隐式通解C x F y G +=)()(。其中：

?=dy y g y G )()(,?=dx x f x F )()(.

即两边取积分。

（2）一阶线性微分方程

1、定义：方程 )()(x Q y x P y =+' 称为一阶线性微分方程. (1) 非齐次方程——0)(≠x Q ；

(2) 齐次方程 —— 0)(=+'y x P y . 2、求解一阶线性微分方程

（1）先求齐次方程0)(=+'y x P y 的通解：?=-dx

x P Ce y )(, 其中C 为任意常数。（2）将齐次通解的C 换成)(x u 。即 ?=-dx x P e x u y )()(

（3）代入非齐次方程)()(x Q y x P y =+', 得

????+??

-C dx e x q e y dx

x P dx x P )()()( 2、二阶线性常系数微分方程

（1）可降阶的二阶微分方程 1、)(x f y =''型的微分方程例3：求方程x e y x sin 212-=

''的通解.分析：12cos 4

C x e dx y y x ++=''='?； 212sin 8

C x C x e dx y y x +++='=?.

2、),(y x f y '=''型的微分方程解法：

(1) 令y p '=，方程化为 ),(p x f p ='； (2) 解此方程得通解 ),(1C x p ?=； (3) 再解方程 ),(1C x y ?=' 得原方程的通解 21),(C dx C x y +=?

?. 3、),(y y f y '=''型的微分方程解法：

(1) 令y p '=, 并视p 为y 的函数, 那么dy

dx dy dy dp dx dp y =?==

'', (2) 代入原方程, 得 ),(p y f dy

= (3) 解此方程得通解 ),(1C y p ?=；

(4) 再解方程 ),(1C y y ?=' 得原方程的通解

分析：(1) 令y p '=, 并视p 为y 的函数, 那么dy

dx dy dy dp dx dp y =?==

'', (2) 代入原方程, 得 02=-p dy dp yp

或 y

dy p dp =

(3) 解上方程, 得 C y p ln ||ln ||ln += ? y C p 1=, (C C ±=1). (4) 再解方程 y C y 1=' ?

1C y

y ='

? 2

1||ln C x C y '+=. (5) 于是原方程的通解为 x

C e C y 12=, (22C e C '

±=)

（2）常系数线性微分方程

（1）、二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qy y p y 的解。写出特征方程并求解

02=++q pr r .

下面记q p 42

-=?,21,r r 为特征方程的两个根. （1）042>-=?q p 时, 则齐次方程通解为：

x r x r e C e C y 2121+=。

（2）042

=-=?q p 时, 则齐次方程通解为

)(2121111x C C e xe C e C y x r x r x r +=+=.

（3）042

<-=?q p 时,有,1βαi r +=)0( 2≠-=ββαi r ,则齐次方程通解为

).sin cos (21x C x C e y x ββα+=

（2）二阶常系数非齐次方程解法

方程的形式：)(x f qy y p y =+'+'' 解法步骤： (1) 写出方程的特征方程 02

=++q pr r ； (2) 求出特征方程的两个根21,r r ；

(4) 再求出非齐次方程的一个特解 )(*

x y ；

(5)那么原方程的通解为 )()()(*

2211x y x y C x y C y ++=。

天一专升本高数知识点

天一专升本高数知识点 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第一讲函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。（2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量（3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限（1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致（2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大； m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限左极限：A x f x x =-→)(lim 0 右极限：A x f x x =+→)(lim 0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型（1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→至少有一个不存在（2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→都存在注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质（1）最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。

高等数学大一上学期知识要点

高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论

结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =）则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'',

且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影：性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面（1）椭圆锥面：222 22z b y a x =+；（2）椭圆抛物面：z b y a x =+22 22；（旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

(完整版)高数_大一_上学期知识要点

总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =）则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;

高等数学下知识点总结

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三）空间直线及其方程

1、一般式方程：?????=+++=+++0 22221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=- 方向向量：),,(p n m s =ρ ，过点),,(000z y x 3、两直线的夹角：),,(1111 p n m s =ρ ，),,(2222p n m s =ρ ， ?⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；?21//L L 2 1 2121p p n n m m == 4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， ?∏//L 0=++Cp Bn Am ；?∏⊥L p C n B m A == 第九章多元函数微分法及其应用 1、连续： ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→ 2、偏导数： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?), (), (lim ),(00000 00 ；y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0000000 3、方向导数： βαcos cos y f x f l f ??+??=??其中 β α,为 l 的方向角。 4、梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ρ ρ),(),(),(000000+=。 5、全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y ??= +?? （一）性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

专升本高等数学知识点汇总

------------------- 时需Sr彳-------- ---- --- -- 专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下： y kx b (1) 2 —般形式的定义域：x € R y ax bx c k (2)y 分式形式的定义域：x丰0 x (3)y 、、x根式的形式定义域：x > 0 (4)y log a x对数形式的定义域：X>0 二、函数的性质 1、函数的单调性当洛X2时，恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。当x1 x2时，恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性定义：设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D，则有x D ) (1)偶函数f (x)——x D，恒有f ( x) f (x)。 ⑵奇函数f (x)——x D，恒有f( x) f (x)。三、基本初等函数 1、常数函数：y c，定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。 2、幕函数：y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义：y f（x）x a，I （a是常数且a 0，a 1）.图形过（0,1）点。 4 、对数函数定义：y f （x）lOg a X，（a是常数且a 0，a1）。图形过（1,0 )点。5 、三角函数 (1)正弦函数：y sin x T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑵余弦函数：y cosx. T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑶正切函数：y tan x T，D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z}，f(D)(,). ⑷余切函数：y cotx T，D(f) {x | x R,x k ,k Z}，f(D)(,). 5、反三角函数（1）反正弦函数：y arcsinx，D( f) [ 1,1]，f (D)[,]。 2 2 （2）反余弦函数： y arccosx，D(f) [ 1,1]，f(D) [0,]。（3）反正切函数：y arctanx，D(f) ( , )，f (D)(-,- 2 2 （4）反余切函数： y arccotx，D(f) ( , )，f(D) (0,)。极限一、求极限的方法 1代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影：性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面（1）椭圆锥面：222 22z b y a x =+；（2）椭圆抛物面：z b y a x =+2222；（旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

大一上学期高数知识点电子教案

第二章导数与微分一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义（2）定理与运算法则定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法（1）复合函数微分法（2）反函数的微分法（3）由参数方程确定函数的微分法（4）隐函数微分法（5）幂指函数微分法（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数（1）定义与基本公式

高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式：（2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率二、例题解析例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问：（1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导；（2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续；（3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？解函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在，当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。极限一、求极限的方法 1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

大一上学期高数复习要点

大一上学期高数复习要点同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。一函数与极限熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理本章公式：两个重要极限：二.导数与微分熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

洛必达法则：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点：注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间求极值和最值利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍）对原函数的理解原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式）不定积分的性质最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！

专升本高等数学学习经验

任何一门学科的学习都需要付出艰苦的努力才会取得令人满意的结果。第一天去听高数课，我信心满满的，并暗下决心我一定能学好这门课，可是事情并不如意，当老师在黑板上写下一堆我生平从未见到过的符号，说着一连串我听都没听过的术语的时候，我只觉内心伊真崩溃世界上最难受的精神折磨莫过于你想做好的一件事，近在眼前，你却根本无法完成甚至是无从拿起我的内心就如同煎锅上的生煎一样被煎熬了一节课。下课后我去和授课老师交流，我问老师：什么是绝对值？老师说：绝对值你都不知道你还听什么高数！面对这突如其来的打击,我缓缓的镇定了一下,继续给老师说了我的情况 :打从小学毕业后我就没再学过数学,老师喝了口茶,慢悠悠的说:回去找老师给你补补吧,我的课你不要再听了,听了也没用!完全是在浪费时间。毫不夸张的说，当时真的是万念俱灰，我垂头丧气的回到了学校。由于我们学校最后一年的后半学期要出去实习加上还是周末，所以宿舍只有我一个人，面对空荡荡的宿舍，看着窗外被萧瑟的秋风一片又一片剥落的枯叶，心里百感交集不知所措。夜色渐暗，天气转凉，我独自走在河边，思索着下一步怎么走突然想起了徐悲鸿大师的一句话：人不可有傲气但不可无傲骨。意思是在告诉我们：人在何时都要谦虚谨慎，但在失落无助的时候也要保持坚强不折不挠的性格。于是我决定自学数学，从小学数学开始自学。数学学科的学习可以提前预习，自己去学，这当然是有好处的，但是不要按照自己的思维去理解每一个章节的字面意思否则只会是自己坑自己把自己绕糊涂，比如不定积分和定积分这两个知识点，如果你按照自己的思维从字面意思去理解，你会误以为它们两个基本是一样的，无非就是定积分多了一个几何意义，多了一步原函数带入上下限做差的

《高等数学》-各章知识点总结——第1章

第1章函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)，总存在正整数N ，使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)，总存在正数δ,（或存在X ）使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时）恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限，记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤

高等数学各章知识点总结——第9章

一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y L L 间的距离： ||PQ 邻域: 设0P 是n R 的一个点，是某一正数，与点0P 距离小于的点P 的全体称为点0P 的邻域，记为),(0 P U ，即00(,){R |||}n U P P PP 空心邻域: 0P 的邻域去掉中心点0P 就成为0P 的空心邻域,记为 0(,)U P o =0{0||}P PP 。内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),( P U ，使得E P U ),( ，则称点P 为集合E 的内点。如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E R , 如果E 的补集 n E R 是开集，则称E 为闭集。区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0 M ，使得(,)E U O M ，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集．如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．有界闭区域的直径：设D 是n R 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P D d D PP 为D 的直径。

高等数学知识点(重点)

高等数学知识点总结空间解析几何与向量代数一、重点与难点 1、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；（填空选择题中考察） ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；（重积分求体积时画图需要） ④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；（一般必考） ⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；（一般必考）空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??= ==??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= ，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：时，，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

天一专升本高数知识点

第一讲函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。偶函数： )()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。（2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量（3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限（1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致（2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim [][][]e =+→1 1)(lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限左极限：A x f x x =- →)(lim 0 右极限：A x f x x =+ →)(lim 0 A x f x f A x f x x x x x x ===+ - →→→)(lim )(lim )(lim 000 充分必要条件是注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 ??? ? ???≠→→)()(lim )(lim )()(00 00 0x f x f x f x f x f x x x x 不存在无意义不存在，记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型（1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →至少有一个不存在（2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →都存在

高等数学高数知识点总结

高数重点总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

成人高考高升专数学常用知识点及公式(打印版)

成人高考高升专数学常用知识点及公式第1章集合和简易逻辑知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现知识点2：简易逻辑概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、若甲=乙但乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙但乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙但乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙但乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况第2章不等式和不等式组知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”）解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生改变）。