2020-2021学年度衡水金卷高考模拟数学(理)试题(五)及答案

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

理数(五)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U R =，集合{}

223,A y y x x x R ==++∈，集合1,(1,3)B y y x x

x ??

==-

∈????

，则()U C A B =I （ ）

A ．(0,2)

B ．80,3?

? ??? C ．82,3?? ???

D ．(,2)-∞

2. 已知3sin(3)2sin 2a a ππ??+=+ ???

，则

sin()4sin 25sin(2)2cos(2)a a a a ππππ??

--+ ?

??=++-（）

A ．

12 B ．13 C ．16 D ．1

6

- 3. 设i 为虚数单位，现有下列四个命题：

1p ：若复数z 满足()()5z i i --=，则6z i =；

2p ：复数2

2z i

=

-+的共轭复数为1+i 3p ：已知复数1z i =+，设1(,)i

a bi a

b R z

-+=∈，那么2a b +=-；

4p ：若z 表示复数z 的共轭复数，z 表示复数z 的模，则2

zz z =.

其中的真命题为（ ）

A ．13,p p

B ．14,p p

C ．23,p p

D ． 24,p p

4.在中心为O 的正六边形ABCDEF 的电子游戏盘中(如图)，按下开关键后，电子弹从O 点射出后最后落入正六边形的六个角孔内，且每次只能射出一个，现视A ，B ，C ，D ，E ，F 对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关，记事件M 为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件N 为“两次落入角孔的分数都为偶数”,则(|)P N M =（ ） A ．

23 B ．14 C. 13 D ．12

5. 某几何体的正视图与俯视图如图，则其侧视图可以为（ ）

A ．

B ． C. D ．

6. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列

{}n a ，则235log ()a a ?的值为（ ）

A ．8

B ．10 C. 12 D ．16

7. 下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）

A ． 2

()sin f x x x = B ． ()1f x x x =-+ C. 1()lg 1x f x x

+=- D ．()x x

f x ππ-=- 8.下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是 ①“数轴上两点间距离公式为2

21()

AB x x =-，平面上两点间距离公式为

222121()()AB x x y y =-+-”，类比推出“空间内两点间的距离公式为

222212121()()()AB x x y y z z =-+-+-

AB|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)

②“代数运算中的完全平方公式2

2

2

()2a b a a b b +=+?+”类比推出“向量中的运算

222()2a b a a b b +=+?+仍成立“；

③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两不重合的直线不平行就相交“也成立； ④“圆2

2

1x y +=上点00(,)P x y 处的切线方程为001x x y y +=”，类比推出“椭圆

22

221x y a b +=(0)a b >>上点00

(,)P x y 处的切线方程为00221x x y y a b

+=”.

A ． 1

B ．2 C. 3 D ．4 9.已知直线y a =与正切函数tan (0)3y x πωω?

?

=+

> ??

?

相邻两支曲线的交点的横坐标分别为1x ，2x ，且有212

x x π

-=

，假设函数tan ((0,))3y x x πωπ??

=+

∈ ??

?的两个不同的零点分别为3x ，443()x x x >，若在区间(0,)π内存在两个不同的实数5x ，665()x x x >，与3x ，4x 调整顺序后，构成等差数列，则

{}56tan (,)3y x x x x πω?

?=+∈ ??

?的值为（ ）

A ．-

B C. 或不存在 D ．- 10. 已知抛物线2

4x y =的焦点为F ,双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为1(,0)F c ，过点1,F F 的直

线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为

（ ）

A B ． 32

C. D ．2

11. 已知函数()f x 的导函数()x

f x e '= (其中e 为自然对数的底数)，且(0)f ，(2)f 为方程

222

(1)(1)()0x e x c e c -++++=的两根，则函数2()()F x x x x =+-，(]0,1x ∈的值域为（ ）

A ．(]0,2e -

B ． (]0,1e - C. (]0,e D ．(]

0,1e +

12.底面为菱形且侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点,过点A ，E ，1C ，F 的平面截直四棱柱1111ABCD A B C D -，得到平面四边形1AEC F ，G 为AE 的中点，且3FG =，当截面的面积取最大值时，sin()3

EAF π

∠+的值为（ ）

A B D

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22∽23

题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13.已知函数5

()(1)(3)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的展开式中2

x 项的系数是．

14.已知向量a =，2

340b b --=，向量a ，b 的夹角为

3

π

，设(,)c ma nb m n R =+∈，若()c a b ⊥+，则

m

n

的值为． 15.已知函数222

()x

mx x f x e

+-=，[]1,m e ∈，[]1,2x ∈，max min ()()()g m f x f x =-，则关于m 的不等式24

()g m e

≥的解集为．

16.已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ?=，236b b +=，设22

n n

n n n a b a b c -+=

+，在数列{}n c 中，若4()n c c n N *≤∈，则实数t 的取值范围为 ．

三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数2()2sin 20)f x x x ωωω=+->在半个周期内的图象的如图所示，H 为图象的

最高点，E ，F 是图象与直线y =2

()EH EF EH ?=u r u u u r u u u r .

（1）求ω的值及函数的值域；

（2）若033()5f x =

，且0102,3

3x ??

∈-- ???，求0(2)3f x +-的值.

18. 如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AC BD E =I ，PB 的中点为

F ,2PA AD a ==，异面直线PD 与AC 所成的角为

3

π

，PA ⊥平面ABCD . （1）证明：//EF 平面PAD ；

（2）求二面角E AF B --的余弦值的大小.

19. 207年8月8日晚我国四川九赛沟县发生了7.0级地震，为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试（满分100分），根据测试成绩评定为“合格”（60分以上包含60分）、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定等级 不合格

合格

得分 [)2040,

[)40,60

[)60,80

[]80,100

频数

6

a

24

b

（1）求,,a b c 的值；

（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ； （3）设函数()

()()

E f D ξξξ=

（其中()D ξ表示ξ的方差）是评估安全教育方案成效的一种模拟函数.当() 2.5f ξ≥时，认定教育方案是有效的；否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据.在（2）的条

件下，判断该校是否应调整安全教育方案？

20. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的中心在原点，点13,2P ???在

椭圆E 3

.

（1）求椭圆E 的标准方程；

（2）动直线13

:l y k x =-

交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且121

4

k k =，M 是线段OC 上一点，圆M 的半径为r ，且23r AB =，求OC r

21.已知函数2

1

()4f x x a x

=+

-，()()g x f x b =+，其中,a b 为常数. （1）当(0,)x ∈+∞，且0a >时，求函数()()x xf x ?=的单调区间及极值；

（2）已知3b >-，b Z ∈，若函数()f x 有2个零点，(())f g x 有6个零点，试确定b 的值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θ

θ

=-+??=? (θ为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线1C 的普通方程和极坐标方程； （2）直线2C 的极坐标方程为2()3

R π

θρ=

∈，若1C 与2C 的公共点为,A B ，且C 是曲线1C 的中心，求ABC ?的面积.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()32f x x =-，()2g x x =+. （1）求不等式()()f x g x <的解集；

（2）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间与最值.

理数（五）

一、选择题

1-5: ADBDB 6-10: CCCCB 11、12：CC

二、填空题

13. -540 14. 5

2

-

15. 2,4e e ??

??-??

16.[]4,2-- 三、解答题

17.解：函数化简得()22sin 24sin 23f x x x x πωωω?

?=+=+ ??

?. 因为2()EH EF EH ?=u u u r u u u r u u u r ，所以2

()()EH EH HF EH ?+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以0EH HF ?=u u u r u u u r ，所以HF HE ⊥，所以EFH

?是等腰直角三角形.

又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以8EF =，所以函数()f x 的周期为16.

所以16

π

ω=

，函数()f x 的值域是4?-?.

（2）由（1），知()4sin 8

3f x x π

π??=+

+

???

因为0()f x =，所以0sin 8310x π

π??+=- ???

因为0102,3

3x ??

∈-- ???，所以0,83124x ππππ??+∈- ???，

所以0cos 8

310x ππ??+=

???，所以00(2)4sin 843f x x π

ππ??+=++ ???

04sin 8

34x πππ????=++ ???????

004sin cos 4cos sin 8348

34x x ππππ

ππ????=+++? ? ?????

4422?=??+= ??

18.解：（1）由已知ABCD 为矩形，且AC BD E =I ，所以E 为BD 的中点.

又因为F 为PB 的中点，所以在BPD ?中，//EF PD ，又因为PD ?平面PAD ，EF ?平面PAD ， 因此//EF 平面PAD .

（2）由（1）可知//EF PD ，所以异面直线PD 与AC 所成的角即为AEF ∠ (或AEF ∠的补角). 所以3

AEF π

∠=

或23

AEF π

∠=

.

设AB x =，在AEF ?中，AE =

，12EF PD ==

=，又由PA ⊥平面ABCD

可知PA AB ⊥，且F 为中点，因此1

2

2AF PB ==

，此时AE AF =，所以3

AEF π

∠=，所以

AEF ?为等边三角形，所以

2

=，即2x a =，因为AB ，AP ，AD 两两垂直，分别以AB ，AP ，AD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则(0,0,0)A ，(2,0,0)B a ，(0,2,0)P a ，(0,0,2)D a ，所以(,0,)E a a ，(,,0)F a a .

由AD AB ⊥，AD AP ⊥，AB AP A =I ，可得AD ⊥平面ABP ，可取平面ABF 的一个法向量为

1(0,0,1)n =.

设平面AEF 的一个法向量为2(,,)n x y z =，由220,(,,)(,,0)0,0,

(,,)(,0,)00.0

n AF x y z a a x y x y z a a x z n AE ??=?=+=?????????=+=?=????u u u r u u u r

令11x y z =-?==，所以2(1,1,1)n =-. 因此 121212

(0,0,1)(1,1,1)

3

cos 3

3

n n n n n n ??-?=

=

=

，又二面角E AF B --为锐角，故二面角E AF B --的余弦值为

3

3

. 19. 解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[

)2040,的频率为0.005200.1?=，故抽取的学生答卷数为6

600.1

=，又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2，所以600.212b =?=. 又62460a b +++=，得30a b +=，所以18a =.

180.0156020c ==?.

（2）“合格”与“不合格”的人数比例为36:243:2=，因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，所以ξ有40，35，30，25，20共5种可能的取值.4

464101(40)14C P C ξ===，31644108

(35)21C C P C ξ===，

22644103(30)7C C P C ξ===，13644104

(25)35

C C P C ξ===，

444101

(20)210

C P C ξ===.

ξ的分布列为

ξ 40 35 30

25 20

P

114 821 37 4

35 1210

所以()4035302520321421735210

E ξ=?+?+?+?+?=. （3）由（2）可得

2222218341()(4032)(3532)(3032)(2532)(2032)161421735210D ξ=-?

+-?+-?+-?+-?=， 所以()32

()2 2.5()16E f D ξξξ=

==<.

故可以认为该校的安全教育方案是无效的,需要调整安全教育方案.

20. 解：（1

）因为1)2P 在椭圆E 上，所以2231

14a b +=.

又e =

22222224,3

11,41,e a a b

b a b

c ?=?

?

?=?+=???=??-=???

,故椭圆E 的标准方程为

2214x y += （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，

、联立方程2

2221111,4

(14)10x y k x x y k x ?+=???+--=??=??.

由0?>，得1k R ∈

，且1122

114x x k +=+，12

211

14x x k ?=-+，

所以21AB x =-=

=

=由题意可知圆M

的半径23r AB ==. 由题设知12211144k k k k =?=，因此直线OC 的方程为1

1

4y x k =.

联立方程2212112

2221161,,4141,

1414k x y x k k x y y k ??==??+???????=+=??+?

?

因此OC ==

所以

OC r =

=

=

==因为210k >，所以22

1133

0314411k k <

从而有3342

<<，即得3342OC r <<.

因此OC r 的取值范围为33,42?? ???

.

21.解:（1）因为3()()41x xf x x ax ?==+-，所以2

()12x x a ?'=-，令2

12012

a x a x -=?=

或 12

a

x =-

（舍）. 当0,2a x ??

∈ ? ???时，()0x ?'<，函数()x ?单调递减；+12a x ??∈∞ ? ???，时，()0x ?'>，函数()x ?单调递增. 因此()x ?的极小值为3

3411121212a a a a a

a ?????=?+-?=- ? ? ? ?????

，无极大值. （2）若函数()f x 存在2个零点，则方程214a x x =+有2个不同的实根，设2

1()4h x x x

=+，

则322181()8x h x x x x -'=-=.令()0h x '>，得1

2

x >；

令()0h x '<，得0x <，或102x <<， 所以()h x 在区间(,0)-∞，10,2?? ???内单调递减，在区间1,2??

+∞ ???

内

单调递增，且当0x <时，令2

1()40h x x x =+=，可得322x =-，所以32,2x ??∈-∞- ? ??

?，()0h x >；32,02x ??∈- ? ???

，()0h x <，因此函数2

1()4h x x x =+的草图如图所示，

所以()h x 的极小值为132h ??

=

???

. 由()h x 的图象可知3a =.

因为1(1)32h h ??

-== ???

，所以令(())0f g x =，得1()2g x =或()1g x =-，即1()2f x b =-或()1f x b =--，

而(())f g x 有6个零点，故方程1()2f x b =-与()1f x b =--都有三个不同的解，所以1

02

b ->，且

10b -->，所以1b <-.

又因为3b -<，b Z ∈，所以2b =-.

22.解：（1）由曲线1C 的参数方程消去参数θ，得其普通方程为22

(1)4x y ++=.

将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式并化简，得其极坐标方程为2

+2cos 3ρρθ=.

（2）将23

πθ=

代入得2

+2cos 3ρρθ=. 得2

30ρρ--=.

设12(,

)3A πρ，22,

3B πρ??

??

?

，则12+1

ρρ=，123ρρ=-， 所以()

2

121212413AB ρρρρρρ=-=

+-=.

又由（1），知(1,0)C -，且由（2）知直线AB 的直角坐标方程为30x y +=，所以(1,0)C -到AB 的距

离是30

32

d -+=

=

，所以CAB ?的面积1339

132S =??=

. 23. 解:（1）由于()()f x g x <， 即为322x x -<+，当20x +>时，对上式两边平方，

得222

91244431650x x x x x x -+<++?-+<，即得1

(31)(5)053

x x x --

<<，当20x +≤时，原不等式的解集为空集，因此()()f x g x <的解集为153?? ???

，， （2）由题可知35,,2

()()()232331,,2

x x h x f x g x x x x x ?

-≥??=-=---=??-+

作图如下，

由3,5,372,317

222

x y x A y x y ?

=?=-??????-?

? ?=-+????=-??. 由图易知函数()h x 的递减区间为3,2??-∞ ??

?，递增区间为3,2??

+∞ ???，并且最小值为min 37()22h x h ??==- ???，

无最大值.