实验四连续信号的傅立叶变换

实验4非周期信号的傅立叶变换分析

一、实验目的

(1)熟悉连续非周期信号频谱特点及其分析方法；

(2)掌握用MATLAB 实现傅立叶变换的两种方法；

(3)了解常用傅立叶变换性质的MATLAB 实现方法；

二、实验原理

1、傅里叶变换和其逆变换定义如下：

?∞

∞--=

dt e t x j X t j ωω)()( 4.1?∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(1)( 4.2

连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量（frequency component），其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。

X(j ω)通常为复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：

X(j ω)=|X(j ω)|e j ∠X(j ω)

其中，|X(j ω)|称为x(t)的幅度谱，而∠X(j ω)则称为x(t)的相位谱。

给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。

2、用MATLAB 实现方法

MATLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算。

2.1采用数值计算的方法来进行傅里叶变换的计算

严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号（Time limited signal），也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。计算机只能处理有限大小和有限数量的数。

采用数值计算算法的理论依据是：

()()j t X j x t e dt ωω∞

--∞=

?∑∞-∞=-→=k T jk T T

e kT x ω)(lim 0

若信号为时限信号，当时间间隔T 取得足够小时，上式可演变为：

∑-=-=N N k T

jk e kT x T

j X ωω)()(T

e e e t x t x t x N t j t j t j N ],,,[)](,),(),([12211221+---+?=ωωω 上式用MATLAB 表示为：

X=x*exp(-j*t’*w)*T

其中X 为信号x(t)的傅里叶变换，w 为频率，T 为取样间隔。

相应的MATLAB 程序：

T =0.01;dw =0.1;

%时间和频率变化的步长t =-10:T:10;

w =-4*pi:dw:4*pi;

X(j ω)可以按照下面的矩阵运算来进行：

X=x*exp(-j*t’*ω)*T;

%傅里叶变换X1=abs(X);

%计算幅度谱phai=angle(X);%计算相位谱

为了使计算结果能够直观地表现出来，还需要用绘图函数将时间信号x(t)，信号的幅度谱|X(j ω)|和相位谱∠X(j ω)分别以图形的方式表现出来，并对图形加以适当的标注。这里还需要注意，由于在MATLAB 运算中，必须对连续信号()x t 进行取样，为了不丢失原信号()x t 的信息，即反变换后能不失真地恢复原来信号()x t ，取样间隔T 的确定必须满足取样定理的要求，即取样间隔T 必须小于奈奎斯特频率。

2.1.1用MATLAB 实现傅里叶逆变换

连续时间傅里叶逆变换可用式4.2进行计算。式4.2重写如下：

?∞∞-=ω

ωπωd e j X t x t j )(21)(从定义式可看出，其计算方法与傅里叶变换是一样的，因此可以采用同样的矩阵运算的方法来计算，即

x(t)=X(j ω)*exp(j ω’*t)*d ω

具体的MATLAB 函数如下：

t =-5:0.01;5;%指定信号的时间范围，此范围应根据信号的持续时间确定。dw =0.1;w =-4*pi:d ω:4*pi;

X =input(‘Type in the expression of X(jw)’);

x =X*exp(jw’*t)*dw;

然后用绘图函数就可以绘制出逆变换得到的时域信号波形图。

2.2符号运算的计算方法

MATLAB 提供了两个函数fourier()和ifourier()，它们可分别用来计算傅立叶正变换和反变换，这是计算傅立叶变换的符号计算方法。

（1）傅里叶变换

在Matlab 中，傅里变换变换由函数fourier()实现。fourier()有三种调用格式：

①F=fourier(f )

求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量默认为w ，即)]([)(t f j F F =ω；②F=fourier(f ,v )

求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(t f jv F F =；

③F=fourier(f ,u ,v )

对自变量为u 的函数f (u )求傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(u f jv F F =。

（2）傅里叶逆变换

在Matlab 中，傅里变换逆变换由函数ifourier()实现。与函数fourier()相类似，ifourier()也有三种调用格式：

①f=ifourier(F )

求函数F (j ω)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量默认为x ，即)]([)(1ωj F x f -=F ；②f=ifourier(F ,u )

求函数F (j ω)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1ωj F u f -=F 。③f=ifourier(F ,v ,u )

求函数F (j v )的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]

([)(1

jv F u f -=F 这里要注意的是，在调用上述两个函数之前，先要用syms 命令对所用到的变量(如t 、u 、v 、w)等进行说明，也就是要将这些变量说明成符号变量。对于fourier()中的函数f 或ifourier()中的F ，也要用syms 将f 或F 说明成为符号表达式。另外，在采用fourier()及ifourier()得到的返回函数，仍然是符号表达式。若需要对返回函数作图时，只能用ezplot()绘图命令，而不能用plot()命令。如果返回函数中含有δ(ω)等项，用ezplot()也无法作图。

fourier()函数的局限性：用fourier()对某些信号求反变换时，其返回函数可能会包含一些不能直接表达的式子，甚至可能会出现一些屏幕提示为“未被定义的函数或变量”的项；另外，在许多情况下，信号)(t f 尽管是连续的，但却不可能表示成符号表达式；函数fourier()也不可能对离散信号)(n f 进行处理。

例1．求单边指数函数2()()t f t e u t -=的傅里叶变换，画出其幅频特性和相频特性图。

解：编写如下M 文件，

syms t w f

f=exp(-2*t)*sym('Heaviside (t)');

F=fourier(f)

subplot(3,1,1);ezplot(f,[0:2,0:1.2]);

subplot(3,1,2);ezplot(abs(F),[-10:10]);

subplot(3,1,3);ezplot(angle(F),[-10:10])

运行后，可得如下的文本和如图1所示图

形结果。

F =1/(2+i*w)上式相当于：ω

ωj j F +=21

)(要说明的是，相频特性图中，相位的单位为“弧度”。

注：Heaviside(t)函数即为单位阶跃函数u(t)。在调用Heaviside(t)函数之前一定要在你的当前工作目录下创建该函数。创建Heaviside(t)函数方法如下：

function f=Heaviside(t)

f=(t>0);

且以Heaviside.m 文件名保存。

说明：直接用例题一的M 文件来仿真，是得不到图1中的相频特性图的。原因是F=fourier(f)是符号变量，而atan2（），angle()函数只能处理数值型，不能处理符号变量。

将程序修改为

syms t w f

f=exp(-2*t)*sym('Heaviside (t)');

F=fourier(f);

subplot(3,1,1);ezplot(f,[0:2,0:1.2]);

subplot(3,1,2);ezplot(abs(F),[-10:10]);

w1=-10:0.01:10;%设定频率变化范围及间隔

k=subs(F,w,w1);%将符号运算转为数值运算。

phai=angle(k);图

1图

subplot(3,1,3);plot(w1,phai)%该三行用来得到相频特性图可得到完整图形。

例2．求2

11)(ωω+=j F 的傅里叶逆变换)(t f 。解：编写如下M 文件，

syms t w

F=1/(1+w^2);

f=ifourier(F,w,t)

ezplot(f)

运行后，可得如下的文本和如图2所示图形结果。

1/2*exp(-t)*Heaviside(t)+1/2*exp(t)*Heaviside(-t)上式相当于：111()()()222t

t t f t e u t e u t e --=+-=三、知识扩展

在MATLAB 频谱分析的实际应用中，往往使用一个新的指令fft（），这是一种快速离散傅立叶变换指令。指令格式为：X=fft(x,N)，其中：x 为时域信号，N 为傅立叶变换的长度，X 为x 的傅立叶变换，X 的长度也为N。

例:用FFT 分析信号频率成分

一被噪声污染的信号,很难看出它所包含的频率分量,如一个由50Hz 和150Hz 正弦信号构成的信号,受到均值为零、均方差为0.5的高斯随机信号的于扰,数据采样率fs=500Hz.通过FFT 来分析其信号频率成分,用matlab 实现如下:

fs=500;%采样频率fs=500Hz.

t=0:1/fs:1;%采样周期为1/fs.

f=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*150*t);%产生信号f(t)

subplot(3,1,1);plot(t,f);title('原始信号');

y=f+0.5*randn(1,length(t));%加噪声信号

subplot(3,1,2);plot(t,y);title('受噪声污染的信号');

N=256;

Y=fft(y,N);%对加噪信号进行FFT

k=0:N-1;

f=fs*k/N;

subplot(3,1,3);plot(f,abs(Y));title('FFT(幅度谱)');

(由频谱图可见,在50Hz 和150Hz 各出现很长的谱线,表明含噪信号y中含有这二个频率的信号.在350Hz 和450Hz 处也出现很长的谱线,这并不是说y 中也含350Hz 和450Hz 的信号,这是由于采样信号的频谱是以采样频率fs为间隔周期出现而造成的

)

图2

掌握了fft（）指令的使用后，我们来完成一个任务，我们对实验二知识扩展中的含噪信号进行频谱分析。信号波形如图4所示，完成该信号的频谱分析，并计算出其中有用成分的频率和噪声信号的频率。

图4含噪信号

含噪信号假设为：()sin(2)0.1sin(50)

f t t t ππ=+F=fft(f,200);

四、实验内容

1、给定时限信号:

??

???<≤+-<≤--<≤-+=21,211,112,2)(1t t t t t t x 编写MATLAB 程序Q4_1，用符号运算方法和数值计算两种方法求x 1(t)傅里叶变换。仿真图片包含信号时域波形、幅度谱和相位谱。

2、编写MATLAB 程序Q4_2，求单边指数数信号

()2t f t e -=的傅立叶变换，并画出其波形。

3、编写MATLAB 程序Q4_3，一矩形脉冲)1()1()(--+=t u t u t f ，载波信号)10cos()(t t x π=，试用傅立叶变换的数值解法实现调幅信号)()()(t x t f t y ?=，并绘制出)(t f 、)(t y 及它们各自的频谱。

回答问题：结合频谱图，对傅立叶变换的频移特性进行说明。

4、编写MATLAB 程序Q4_4，设)1(2

1)()1(2-=--t u e t f t ，试用MATLAB 绘制出信号)(t f 及其幅度频谱和相位频谱，观察并分析信号时移对信号频谱的影响。

5、求24()4F j ωω=+的傅里叶逆变换)(t f 。

6、（选作题）对知识扩展中的含噪信号()sin(2)0.1sin(50)f t t t ππ=+，进行傅里叶变换，绘制幅度频谱图，从结果中能看出什么？（建议用FFT ）

五.实验报告要求

1．实验目的。

2．实验内容与步骤。

3．请写出实验过程中曾出现的问题和你的解决方法，你对实验有何感想和体会？