2018年高考数学浙江卷及答案解析

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）

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浙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试

数 学

本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：

若事件

A ，

B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+.

若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =.

若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生

k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k

k n k n n P k p p k n -=-=….

台体的体积公式：121

()3

V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底

面积，h 表示台体的高.

柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：1

3

V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的表面积公式：2

4S R =π，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：3

4π3

V R =

，其中R 表示球的半径. 选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知全集1,2,3,5{}4,U =，3{}1,A =，则=U A e

（ ）

A .?

B .{1,3}

C .{2,4,5}

D .1,2,3{,4,5} 2.双曲线2

21 3

=x y -的焦点坐标是

（ ）

A

.(

， B .(2,0)-，(2,0) C

.(0,

， D .(0,2)-，(0,2)

3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是

（ ）

A .2

B .4

C .6

D .8 4.复数

2

1i

-(i 为虚数单位)的共轭复数是

（ ）

A .1i +

B .1i -

C .1i -+

D .1i -- 5.函数||sin22x x y =的图象可能是

（ ）

A

B

C

D

6.已知平面α，直线m ，n 满足m α?，n a ?，则“m n ∥”是“m α∥”的

（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

俯视图

正视图

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________

________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效----------------

数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）

7.设01p <<，随机变量的分布列是

2

2

2

则当p 在(0,1)）内增大时，

（ ）

A .D ξ（）

减小

B .D ξ（）

增大 C .D ξ（）先减小后增大

D .D ξ（）

先增大后减小 8.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角

S AB C --的平面角为3θ，则

（ ）

A .123θθθ≤≤

B .321θθθ≤≤

C .132θθθ≤≤

D .231θθθ≤≤

9.已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π

3

，向量b 满

足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是

（ ）

A 1

B 1

C .2

D .2

10.已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >，则

（ ）

A .13a a <，24a a <

B .13a a >，24a a <

C .13a a <，24a a >

D .13a a >，24a a >

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，

鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则100,1

53100,3

x y z x y z ++=

??

?

++=??

当81z =时，x = ，

y = .

12.若x ，y 满足约束条件0,

26,2,x y x y x y -??

+??+?

≥≤≥则3z x y =+的最小值是 ，最大值

是 ．

13.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a 2b =，60A =?，则sin B = .c = .

14.二项式8

12x ???的展开式的常数项是 .

15.已知R λ∈，函数24,),(43x x x x x x f λ

λ-???-+

是 .若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．

16.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

17.已知点()0,1P ，椭圆22

(1)4

y m m x +=>上两点A ，B 满足2AP PB =，则当

m = 时，点B 横坐标的绝对值最大.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）

已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P

34,55??-- ???

. （Ⅰ）求sin(π)α+的值；

（Ⅱ）若角β满足1in(5

3

s )αβ+=

，求cos β的值.

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19．（本小题满分15分）

如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC =?∠，

14A A =，11C C =，12AB BC B B ===.

（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；

（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值.

20.（本小题满分15分）

已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列{(}1)n n n b b a +-的前n 项和为22n n +. （Ⅰ）求q 的值；

（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式.

21.（本小题满分15分）

如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，

B 满足PA ，PB 的中点均在

C 上．

（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；

（Ⅱ）若P 是半椭圆2

2

4

1(0)y x x +=<上的动点，求PAB △面积的取值范围.

22.（本小题满分15分）

已知函数l (n )f x x .

（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-； （Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效

----------------

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________

________________ _____________

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数学答案解析

一、选择题 1.【答案】C

【解析】由补集概念知，把全集U 中去掉元素1，3得，2,,={}45U A e. 【考点】集合的补集运算 2.【答案】B

【解析】从双曲线的标准方程2

213

x y -=知，焦点在x 轴上，且223,61a ==，则c

222314a b =+=+=，进而焦点坐标为(2,0)±. 【考点】双曲线的标准方程和几何性质 3.【答案】C

【解析】由三视图知，该几何体为直四棱柱，且侧棱长为2，上下底面为上边为1，下

边为2，高为2的直角梯形.故(12)2

262V +?=?=

【考点】空间几何体的三视图 4.【答案】B 【解析】22(1i)1i 1i

(1i)(1i)

+=

=+--+所以21i -的共轭复数为1i -. 【考点】复数的基本概念 5.【答案】D

【解析】设||()2sin 2x f x x =，因为||||()2sin 2()2sin 2()x x f x x x f x ---=-=-=-，所以函

数()f x 为奇函数，选项A ，B 不符，当2π

3

x =时，()0f x <，则选项C 不符合，

故选D.

【考点】函数的图象和性质 6.【答案】A

【解析】如图，作SO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，取AB 的中点M ，连接SM ，则

23,SEO SMO θθ==∠∠，而23tan ,tan SO SO

OE OM

θθ=

=

，且EO MO ≥,故32θθ≥，根据线面所成角定义可推得，线面所成角是鞋面与平面内直线所成角中最小的角，所以选D.

9.【答案】A

【解析】由2430b e b -+=可得22441b e b e +=-，即2(2)1b e -=，即|2|1b e -=，如

图，由几何意义得，b 的终点B 在以F 为圆心，半径为1的圆上运动，a 的终点A 在射线OP 上，当点B 为点F 到OP 的垂线与圆F 的交点时，||a b -

最小，即

min π

|2sin 113

|a b -=-=

【考点】平面向量的运算及几何意义 10.【答案】B

【解析】由1234123ln()a a a a a a a +++=++结构，想到常用对数放缩公式ln 1x x -≤，

所以1234123123ln()()1a a a a a a a a a a +++=++++-≤，即41a -≤.若1q -≤，则

212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤

即

123ln()0

a a a ++≤而

212311(1)1a a a a q q a ++=++>≥，故123l n ()0a a a ++>，即与123ln()0a a a ++≤矛

盾，所以10q -<<，所以选B

【考点】等比数列中的基本量以及对数的有关性质

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二、填空题 11.【答案】8 11

【解析】当81z =时，得195373x y x y +=??+=?

，解得8

11x y =??=?.

【考点】数学文化与方程组的解法 12.【答案】2- 8

【解析】由3z x y =+得133

z

y x =-+，欲求3z x y =+的最值，即求3z x y =+的最值，

即求直线133

z

y x =-+在可行域内纵截距的最值，由图知，在点A （4，-2），B （2，

2）处分别取得最小值和最大值，即min max 43(2)22328z z =+?-=-=+?=，. 【考点】二元一次不等式表示平面区域以及线性规划等知识

13.

3

【解析】由正弦定理

得

2sin B =

，

即sin B =，由余弦定理得227222cos60c c =+-??，解得3,1c c ==-（舍）. 【考点】解三角形中的正弦定理与余弦定理 14.【答案】7

【解析】设8483

18

81122r

r

r

r r

r r T C C x x --+????== ? ?

????

，令8403r -=，得2r =，此时37T =. 【考点】二项式定理的通项公式 15.【答案】(1,4)

(1,3]

(4,)+∞

【解析】当2λ=，由()0f x <得402x x -

2x x x ?-+

，即24x <≤或12x <<，

故不等式()0f x <的解集为（1,4）令()0f x =，得4x =或1x =或3x =，欲使得函数()f x 恰好有2个零点，则使4λ>或13λ<≤.

【考点】一元一次不等式、一元二次不等式的解法、函数零点的求法 16.【答案】1 260

【解析】分两类讨论，第一类不取0，则有224

534720C C A =，第二类，取0，则有

21145334540C C C A =2114

5334540C C C A =，一共可以组成1 260个没有重复数字的四位数.

【考点】计数原理中排列组合等知识 17.【答案】5

【解析】设点1122,),((,)A x y B x y ，当直线AB 的斜率不存在时，此时9m =；当直线AB

的斜率存在时，设直线AB 为1y kx =+，代入方程2

2(1)4

x y m m +=>可得

22(14)8440k x kx m +++-=，由

0?>得2410mk m +->，由书达定理得

121222

844,1414k m

x x x x k k -+=-

=++，由2A P P B =得122x x =-，联立解得1222168,1414k k x x k k =-=++，所以2

28||8

||21

144||||

k x k k k ==++≤（当且仅当1||2k =时取等号），此时122216881414k k x x k k -==-++，而动12

2442214m

x x m k -==-+，解得5m =，经检验，5m =符合题意。

【考点】直线与椭圆的位置关系以及平面向量等知识 三、解答题 18.【答案】

（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ??

-- ?

??

得4sin 5α=-，

数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）

所以4

sin(π)sin 5

αα+=-=.

（Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ??

-- ?

??

得3cos 5α=-， 由5

sin()13

αβ+=得12cos()13αβ+=±.

由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，

所以56cos 65β=-或16

cos 65β=-.

【考点】三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力

19.【答案】（Ⅰ）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正

半轴，建立空间直角坐标系O-xyz .

由题意知各点坐标如下：

111(0,(1,0,0),(0,(1,0,2),A B A B C

因此111112),3),AB A B A C ==-=-uuu u r uuuu r

由1110AB A B =uuu r uuuu r

g 得111AB A B ⊥. 由1110AB A C =uuu r uuuu r

g 得111AB A C ⊥.

所以1AB ⊥平面111A B C .

（Ⅱ）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.

由（Ⅰ）可知11(0,0,2),AC AB BB ===uuur uu u r uuu r

设平面1ABB 的法向量(,,)x y z =n .

由10,0,AB BB ??=???=??uu u r uuu r n n

即0,20,x z ?+=??=?

?

可取(=n .

所以111|sin |cos ,||||AC AC AC θ?==?uuu r

uuu r uuu r n |n n |

. 因此，直线1AC 与平面1ABB

. 【考点】空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识 20.【答案】（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.

由3520a a +=得18()20q q

+=，

因为1q >，所以2q =.

（Ⅱ）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .

由11,1,, 2.n n

n S n c S S n -=?=?-?≥解得41n c n =-.

由（Ⅰ）可知12n n a -=，

所以111

(41)()2n n n b b n -+-=-?，

故211

(45)(),22

n n n b b n n ---=-?≥，

11123221()()()()

n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-

23111

(45)()(49)()73222

n n n n --=-?+-?+++.

设22111

3711()(45)(),2

222

n n T n n -=+?+?++-≥，

2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=?+?++-+- 所以22111111

344()4()(45)()22222

n n n T n --=+?+?++--，

因此21

14(43)(),22

n n T n n -=-+≥，

又11b =，所以21

15(43)()2

n n b n -=-+?.

【考点】等差数列、等比数列、数列求和等基础知识

21.【答案】（Ⅰ）设00(,)P x

y ，2111(,)4A y y ，2

221(,)4

B y y ．

因为PA ，PB 的中点在抛物线上，

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442

即12|||y y -=2

004x x =--