2018年高考真题——理科数学(浙江卷)Word版含解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则C U A =( )
A . ?
B . {1，3}
C . {2，4，5}
D . {1，2，3，
4，5} 2. 双曲线
?y 2=1的焦点坐标是( )
A . (?，0)，(，0)
B . (?2，0)，(2，0)
C . (0，?)，(0，)
D . (0，?2)，
(0，2)
3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )
A . 2
B . 4
C . 6
D . 8
侧视图
俯视图
正视图
2
211
4. 复数
(i 为虚数单位)的共轭复数是( )
此
卷
只
装
订不密封
姓名 准考证号 考场号 座位号
A . 1+i
B . 1?i
C . ?1+i
D . ?1?i
5. 函数y =
sin 2x 的图象可能是( ) π
π
π
D
C B A x
y
π
π
O
x
y
π
O
x
y π
O
O
π
y
x
6. 已知平面α，直线m ，n 满足m ?α，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分
也不必要条件
7. 设0
1
2
P
则当p 在(0，1)内增大时( ) A . D (ξ)减小 B . D (ξ)增大
C .
D (ξ)先减小后增大
D . D (ξ)先增
大后减小
8. 已知四棱锥S ?ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，
设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S ?AB ?C 的平面角为θ3，则( )
A . θ1≤θ2≤θ3
B . θ3≤θ2≤θ1
C . θ1≤θ3≤θ2
D . θ2≤θ3≤θ1
9. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足
b 2?4e ?b +3=0，则|a ?b |的最小值是( ) A .
?1
B .
+1
C . 2
D . 2?
10. 已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( )
A . a 1 B . a 1>a 3，a 2 C . a 1a 4 D . a 1>a 3， a 2>a 4 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值 钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x=__________________________，y=___________________________ 12.若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是________________________，最大 值是_____________________ 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，A=60°，则 sinB=_________________，c=___________________ 14.二项式(+)8的展开式的常数项是_________________________ 15.已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 _____________________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________________________ 16.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 ______________________个没有重复数字的四位数(用数字作答) 17.已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当 m=____________________时，点B横坐标的绝对值最大 三、解答题(本大题共5小题，共74分) 18.(14分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(?,?) (1)求sin(α+π)的值 (2)若角β满足sin(α+β)=，求c osβ的值 19. (15分)如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°， A 1A =4，C 1C =1，A B =B C =B 1B =2 (1)证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1 (2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值 C 1 B 1 A 1 C B A 20. (15分)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项，数列 {b n }满足b 1=1，数列{(b n +1?b n )a n }的前n 项和为2n 2+n (1)求q 的值 (2)求数列{b n }的通项公式 21. (15分)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ， B 满足PA ，PB 的中点均在 C 上 (1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴 (2)若P 是半椭圆x 2+ =1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围 P M B A O y x 22. (15分)已知函数f (x )= ?lnx (1)若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8?8ln 2 (2)若a ≤3?4ln 2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷) 数 学 答 案 1.答案： C 解答： 由题意知U C A ={2,4,5}. 2.答案： B 解答： ∵2 314c =+=，∴双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0). 3.答案：C 解答： 该几何体的立体图形为四棱柱， (12)2 262 V +?= ?=. 4.答案：B 解答： 22(1)11(1)(1) i z i i i i += ==+--+，∴1z i =-. 5.答案：D 解答： 令||() 2sin 2x y f x x ，| | ||()2sin(2) 2sin 2()x x f x x x f x ，所以 ()f x 为奇函数①；当(0,)x 时，|| 20x ，sin 2x 可正可负，所以()f x 可正可负②.由①② 可知，选D. 6.答案：A 解答： 若“//m n ”，平面外一条直线与平面内一条直线平行，可得线面平行，所以“//m α”；当“//m α”时，m 不一定与n 平行，所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件. 7.答案：D 解答： 11 1()01 2 22 2 2 p p E p ， 2221 1113() ()()()22222 2 p p D p p p 2 2111 () 4 22p p p ， 所以当p 在(0,1)内增大时，()D 先增大后减小，故选D. 8.答案：D 解答： 作SO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，取AB 的中点M ，连接SM .过O 作ON 垂直于直线SM ，可知2SEO θ=∠，3SMO θ=∠， 过SO 固定下的二面角与线面角关系，得32θθ≥. 易知，3θ也为BC 与平面SAB 的线面角，即OM 与平面SAB 的线面角， 根据最小角定理，OM 与直线SE 所成的线线角13θθ≥， 所以231θθθ≤≤. 9.答案：A 解答： 设(1,0)e =，(,)b x y =， 则2 22430430b e b x y x -?+=?+-+=2 2 (2)1x y ?-+= 如图所示，a OA =，b OB =，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点， 3 AOx π ∠= .） ∴min 131a b CD -=-=-.（其中CD OA ⊥.） 10.答案：B 解答： ∵ln 1x x ≤-， ∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-， 得41a ≤-，即3 11a q ≤-，∴0q <. 若1q ≤-，则2 12341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤， 212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾. ∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2 241(1)0a a a q q -=-<. ∴13a a >，24a a <. 11.答案：8 11 解答： 当81z 时，有 811005327 100 x y x y ，解得 811 x y . 12.答案：2 8 解答： 不等式组所表示的平面区域如图所示，当 42 x y 时，3z x y 取最小值，最小值 为2；当 22 x y 时，3z x y 取最大值，最大值为8. 13.答案： 217 3 解答： 由正弦定理 sin sin a b A B ，得72 sin 3 B ，所以21sin 7 B . 由余弦定理，2 22cos 2b c a A bc ，得 21 4 7 2 4c c ，所以3c . 14.答案：7 解答： 通项1 81318 1() ()2r r r r T C x x --+=8433 81()2 r r r C x -=. 84033r -=，∴2r =.∴常数项为2281187 ()7242 C ??=?=. 15.答案：(1,4) (1,3](4,)?+∞ 解答： ∵2λ=，∴24,2()43,2x x f x x x x -≥?=?-+ . 当2x ≥时，40x -<得24x ≤<. 当2x <时，2 430x x -+<，解得12x <<. 综上不等式的解集为14x <<. 当2 43y x x =-+有2个零点时，4λ>. 当243y x x =-+有1个零点时，4y x =-有1个零点，13λ<≤. ∴13λ<≤或4λ>. 16.答案：1260 解答： 2241213 53435337205401260C C A C C C A +=+=. 17.答案：5 解答： 方法一：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 当直线斜率不存在时，9m =，20x =. 当直线斜率存在时，设AB 为1y kx =+.联立2 241x y m y kx ?+=???=+? 得 22(41)8440k x kx m +++-=，20410mk m ?>?+->，122 841 k x x k +=- +， 122 4441 m x x k -= +. ∵2AP PB =，∴122x x =-，解得121641k x k -=+，2 2841 k x k =+. ∴22 88 21414k x k k k = =≤++（当且仅当12k =时取“=”）. 122216884141k k x x k k -= ?=-++，12 2442241m x x m k -==-+，得5m =， ∴当5m =时，点B 横坐标最大. 方法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,1)AP x y =--，22(,1)PB x y =-， ∵2AP PB =，∴12 12 232x x y y =-??=-?， ∴22 222 222 (2)(32)(1)4 (2) 4 x y m x y m ?-+-=????+=??，由(1)(2)得234m y +=.(3) 将(3)代入(2)，得22 2(5)164m x --+=，∴22(5)16m x --+=， ∴当5m =时，2x 取最大值. 18.答案： （1）45 ； （2）5665-或16 65 . 解答： （1）4 4 5sin()sin 15 απα- +=-=-=. （2）∵()βαβα=+-，∴cos cos[()]βαβα=+-， ∵5sin()13αβ+= ，∴12 cos()13αβ+=±， 又∵4sin 5α=-，且α终边在第三象限，∴3 cos 5 α=-. ①当12 cos()13 αβ+=时， cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++ 12354362056()()1351356565 --= ?-+?-==-. ②当12 cos()13αβ+=-时， cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++ 1235416()()()13513565 =- ?-+?-=. 19.答案： （1）略； （2 解答： （1）∵12AB B B ==，且1B B ⊥平面ABC ， ∴1B B AB ⊥ ，∴1AB = 同理，1AC = ==过点1C 作1B B 的垂线段交1B B 于点G ，则12C G BC ==且11B G = ，∴11B C = 在11AB C ?中，222 1111AB B C AC +=， ∴111AB B C ⊥，① 过点1B 作1A A 的垂线段交1A A 于点H . 则12B H AB ==，12A H =，∴1122A B =. 在11A B A ?中，222 1111AA AB A B =+， ∴111AB A B ⊥，② 综合①②，∵11111A B B C B ?=，11A B ?平面111A B C ，11B C ?平面111A B C ， ∴1AB ⊥平面111A B C . （2）过点B 作AB 的垂线段交AC 于点I ，以B 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以 BI 所在直线为y 轴，以1B B 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系B xyz -. 则(0,0,0)B ，(2,0,0)A -，1(0,0,2)B ，1(13,1)C ， 设平面1ABB 的一个法向量(,,)n a b c =， 则10 2020 0n AB a c n BB ??==?????=?=???，令1b =，则(0,1,0)n =， 又∵1AC = ，1cos ,13 n AC <>= = . 由图形可知，直线1AC 与平面1ABB 所成角为锐角，设1AC 与平面1ABB 夹角为α. ∴sin 13 α=. 20.答案： （1）2q =； （2）2 43 152 n n n b -+=-. 解答： （1）由题可得34528a a a ++=，4352(2)a a a +=+，联立两式可得48a =. 所以34518(1)28a a a q q ++=++=，可得2q =（另一根 1 12 <，舍去）. （2）由题可得2n ≥时，22 1()2[2(1)(1)]41n n n b b a n n n n n +-=+--+-=-， 当1n =时，211()213b b a -=+=也满足上式，所以1()41n n n b b a n +-=-，n N + ∈, 而由（1）可得41 822n n n a --=?=，所以114141 2 n n n n n n b b a +----= =， 所以121321()()()n n n b b b b b b b b --=-+-++-012 2 371145 2222n n --= ++++ ， 错位相减得12 43 142 n n n b b -+-=-， 所以2 43 152 n n n b -+=-. 21.答案： （1）略； （2）. 解答： （1）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，2 2 2(,)4 y B y ， 则PA 中点为2001 1(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上，可得 2 20101()4()228 y y x y +=+， 化简得22 10100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠， 且对2y 也有22 20200280y y y x y -+-=， 所以12,y y 是二次方程22 000280y y y x y -+-=的两不等实根， 所以1202y y y +=，12 02 M P y y y y y += ==，即PM 垂直于x 轴. （2）121 ()(||||)2 M P M M S x x y y y y =--+-0121()||2M x x y y =--， 由（1）可得1202y y y +=，2 12008y y x y =-， 222 0000012(2)4(8)8(4)0()y x y y x y y ?=--=->≠， 此时00(,)P x y 在半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上， ∴222 0000008(4)8[4(1)4]32(1)y x x x x x ?=-=--=--， ∵010x -≤<，∴0?>， ∴12|||| y y a -= ==， 22222 20000121212 0000 42(8)6(44)()2||38888 M P y x y x y y y y y y x x x x x x ---++--=-=-=-=- 2 003(1)x x =--， 所以23012001()||2 M S x x y y x x = --=--=， [1, 2 t= ，所以3 4 S=∈， 即PAB ? 的面积的取值范围是] 4 . 22.答案： （1）略； （2）略. 解答： （1 ） 1 () f x x '=，不妨设 12 ()() f x f x t '' ==，即 12 ,x x 1 t x -=的两根， 210 2 x tx-+=的根， 所以 1 40 4 t ?=->，得 1 16 t<< 1 2t = 1 t =， 12122 111 ()()ln ln2ln 22 f x f x x x t t t t +=-=-=+， 令 1 ()2ln 2 g t t t =+， 22 2141 ()0 22 t g t t t t - '=-=<，∴() g t在 1 (0,) 16 上单调递减. 所以 1 ()()88ln2 16 g t g >=-，即 12 ()()88ln2 f x f x +>-. （2 ）设()()()ln h x kx a f x kx x a =+-=+， 则当x充分小时()0 h x<，充分大时()0 h x>，所以() h x至少有一个零点， 则2 111 ()) 164 h x k k x '=-=-+， ① 1 16 k≥，则()0 h x '≥，() h x递增，() h x有唯一零点， ② 1 16 k << ，则令2 11 ())0 416 h x k '=+-=，得() h x有两个极值点 1212 ,() x x x x <， 1 4 >，∴ 1 016 x <<. 可知()h x 在1(0,)x 递增，12(,)x x 递减，2(,)x +∞递增， ∴ 111111 1 ()ln )ln h x kx x a x x a x =+=- +11ln x a =-++， 又11 11()h x x '== ， ∴1()h x 在(0,16)上单调递增， ∴1()(16)ln163ln16334ln 20h x h a <=-+≤-+-=， ∴()h x 有唯一零点， 综上可知，0k >时，y kx a =+与()y f x =有唯一公共点.