参数估计习题课

第21讲 参数估计习题课

教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。 教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。 教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。 教学时数：2学时。 教学过程：

一、知识要点回顾

1. 矩估计

用各阶样本原点矩n k

i i 1

1x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2,k = 。若有参

数2g(,(),,)k E X E X E X θ= （）（），则参数θ的矩估计为

n n n 2i=1i=1i=1

111?(,,,)k

i i i X X X n n n θ=∑∑∑ 。

2. 最大似然估计

似然函数1()(;)n

i i L f x θθ==∏，取对数ln[()]L θ，从

ln()

d d θθ

=0中解得θ的最大似然估计θ?。

3. 无偏性,有效性

当θθ=?E 时，称θ?为θ的无偏估计。 当21?D ?D θθ<时，称估计量1?θ比2

?θ有效。 二 、典型例题解析

1．设,0()0, 0

x e x f x x θθ-?>=?≤?，求θ的矩估计。

解 ,0

dx xe EX x ?+∞

-=θθ设du dx u x x u θ

θ

θ1

,1

,=

=

=

则0

0011

1()0()u u

u EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞

--+∞????==-+=+-???

?????=θ

1

故1EX

θ=

，所以x 1?=θ

。 2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。

解 由均匀分布的数学期望和方差知

1

()()2

E X a b =+ （1）

21()()12

D X b a =- （2） 由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=，

整理得2)(3

1

a EX DX -=，解得

()()a E X b E X ?=??

=?? 故得b a ,的矩估计为

??a x b x ?=-??=+??

其中∑=-=n

i i x x n 1

22

)(1?σ

。 3．设总体X 的密度函数为(;)!

x e f x x θ

θθ-=

，求θ的最大似然估计。

解 设)!)...(!)(!(),()(211

1n n x n

i i x x x e x f L n

i i

θ

θ

θθ-=∑===∏，则

1

1

ln ()()ln ln(!)n n

i i i i L x n x θθθ===--∑∑

11

ln ()11?0, n n

i i i i d L x n x x d n θθθθ===-===∑∑ 4．设总体X 的密度函数1(,)()(a

a x f x a x e a θθθ--=已知），求参数θ的最大似然估计。 解 1

1

121()(,)(...)

n

a

i i n

x n

n

a i n i L f x a x x x e

θ

θθθ=--=∑==∏

1

1

ln ()ln ln (1)ln n n

a i i i i L n n a a x x θθθ===++--∑∑

1

ln ()0n a

i i d L n x d θθθ==-=∑ 解得 ∑==n i a

i x n 1

1θ。

5. 设1?θ和2?θ为参数θ的两个独立的无偏估计量，且假定2

1?2?θθD D =，求常数c 和d ，使2

1???θθθd c +=为θ的无偏估计，并使方差θ?D 最小。 解 由于θθθθθθ)(??)??(?2

121d c dE cE d c E E +=+=+=,且知θθ=?E ，故得c+d=1。 又由于

2

222222221221?)2(??2??)??(?θθθθθθθθD d c D d D c D d D c d c D D +=+=+=+= 并使其最小，即使222d c f +=，满足条件c+d=1的最小值。 令d=1-c ，代入得22)1(2c c f -+=，'42(1)0, 620c f c c c =--=-=

解得3

2

1,31=-==c d c 。

7. 设某电子元件的寿命服从正态分布),(2σμN ，抽样检查10个元件，得样本均值)(1200h x =，样本标准差)(14h s =。求 (1) 总体均值μ置信水平为%99的置信区间；

(2) 用x 作为μ的估计值，求绝对误差值不大于10（h ）的概率。

解 (1)由于σ未知，s=14（h ）,根据求置信区间的公式得 ))1(),1((2

2-+--

n t n s

x n t n s x αα ))9(10

141200),9(10141200(005.0005.0t t +-

查表得25.3)9(005.0=t ，故总体均值μ置信水平为%99的置信区间为

(120014.388, 120014.388)(1185.612, 1214.388)-+=

(2)

)1410

10)1(()10(

)10(<-=<-=<-n t P n

n x P x P μμ

=-=<≈<=α21))9()9(()2588.2)9((025.0t t P t P 1-0.05=0.95

8. 设n X X X ,...,,21为正态总体),(2σμN 的一个样本，确定常数c 的值，使

21

11)(∑-=+-=n i i i x x c Q 为2σ的无偏估计。

解

]

)()()(2)([]

)())((2)[()]()[()(21

1

12121

1

1212

1

1

12

1

1

1μμμμμμμμμμ-+----=-+----=---=-=∑∑∑∑-=++-=++-=+-=+i n i i i i i n i i i i n i i i n i i i x E x E x E x E c x x x x E c x x E c x x c EQ

由于0)(=-=-=-μμμμi i Ex x E ，所以有

21

1

21

1

1)1(2)2(]0[σσ-==+-=∑∑-=-=+n c c Dx Dx c EQ n i n i i i

由2σ=EQ （无偏性），故有1)1(2=-n c ，所以)

1(21

-=n c 。

二、计算题

1.某工厂生产滚珠.从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:mm)如下:

14.6 14.7 15.1 14.9

15.0 14.815.1 15.2 14.8

用矩估计法估计该日生产的滚珠的平均直径和均方差. 解.设滚珠的直径为X, 平均直径为μ,均方差为σ. 由矩估计法可知

,

而

,

∴

.

,

而

=0.03654,

∴

.

2.设总体X的密度函数为

,

其中(θ＞0), 求θ的极大似然估计量. 解.设(X1, X2,…, X n)是来自X的一样本.

由极大似然估计原理,参数θ的似然函数为:

,

上式两边取对数

,

似然方程为

,

解似然方程得θ的极大似然估计量是

.

3.设总体X 的密度函数为

,

求α的极大似然估计量和矩估计量.

解. 设(X 1, X 2,…, X n )是来自X 的样本. (1)由矩估计法

,

∴

.

即参数α的矩估计量是

.

(2) 由极大似然估计原理, 参数α的似然函数为

,

上式两边取对数

, 似然方程为

, 解似然方程得到参数α的极大似然估计量是

.

1．设,0

()0, 0

x e x f x x θθ-?>=?≤?，求θ的矩估计。

解 ,0

dx xe EX x ?+∞

-=θθ设du dx u x x u θ

θ

θ1

,1

,=

=

=

则0

01

1

1()0()

u

u

u EX ue du ue e du e θ

θθθ+∞

+∞--+∞--+∞????==-+=+-?

??

?????=θ

1

故1EX

θ=

，所以x 1?=θ

。

3. 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P 的二项分布。P 是该地区一块石子是石灰石的概率。求p 的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下

解：λ的极大似然估计值为λ?=X =0.499

4. 设X 1，X 1，…，X n 为总体的样本，求各未知参数的极大似然估计值和估计量

（1）?

??>=+-其它,0,)()1(c

x x c θx f θθ

其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。

（2）??

???≤≤=-.,01

0,)(1其它x x θx f θ

其中θ>0，θ为未知参数。

解（1）似然函数 1211

)()()(+-===∏θn θn n n

i i x x x c θx f θL

0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1

1

=-

+=-++=∑∑

==n

i i

n

i i x

c n n θ

θd θL d x θc θn θn θL

∑=-=

n

i i

c

n x

n

θ1

ln ln ? （解唯一故为极大似然估计量）

（2）∑

∏=--

=-+-===

n

i i θn n

n

i i

x θθn

θL x x x θ

x f θL 1

1

212

1

ln )1()ln(2)(ln ,)

()()(

∑∑

====+?-=n

i i

n

i i x n

θx θ

θn θd θL d 1

2

1

)

ln (?,0ln 21

12)(ln 。(解唯一)故为极大似然估计量。

6. 设样本12,,n X X X 来自总体~(,0.25)X N u ，如果要以99.7%的概率保证

0.1X u -<，试问样本容量n 应取多大？

解

：

~(

0,1)5/

N

。现要求

n,

使

{0.1}210.997P X u P φ-<=<=-≥

即0.9985φ≥

，查表得， 2.96≥，所以n=219，即样本容量为219。

8. 设总体X 具有分布律

其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

解：（1）求θ的矩估计值

θ

θθθθθθθθX E 23)]1()][1(3[)1(3)1(221)(2

2-=-+-+=-+-?+?=

X θX E =-=23)(令

则得到θ的矩估计值为6

5231

2132

3?=++-

=-=X

θ

（2）求θ的最大似然估计值 似然函数}1{}2{}1{}{)(3213

1

======

∏=X P X P X P x X

P θL i i i

)

1(2)1(25

22θθθθθθ-=?-?=

ln L (θ )=ln2+5ln θ+ln(1－θ) 求导

011

5)(ln =--=θ

θθθd L d

5

?

θ

得到唯一解为

6