矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明

矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理及其证明

一、知识概述

1、矩形的性质定理

定理1：矩形的四个角都是直角．

说明：(1)矩形具有平行四边形的一切性质．

(2)矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直．

定理2：矩形的对角线相等．

说明：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等．

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

说明：与中位线定理及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论可用来证明线段之间的倍数关系．

2、矩形的判定定理

定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．

定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．

3、菱形的性质定理

定理：菱形的四条边都相等．

说明：(1)菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质．

(2)利用该特性可以证明线段相等．

定理2：菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．说明：根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三角形的相关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理．

4、菱形的判定定理

定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

定理2：四条边都相等的四边形是菱形．

说明：菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，一个是对角线互相垂直，一个是四条边都相等．

5、正方形的性质

普通性质：正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

特有性质：(1)边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角．

说明：正方形这些性质根据定义可直接得出．

特殊性质——正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

6、正方形的判定

(1)判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等；②先证它是菱形，再证有一个角为直角．

(2)判定正方形的一般顺序；①先证明是平行四边形；②再证有一组邻边相等(有一个角是直角)；

③最后证明有一个角是直角(有一组邻边相等)．

说明：证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件．

二、重难点知识归纳

1、特殊的平行四边形知识结构

三、典型例题讲解

例1、如图所示，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，求证四边形PMQN为矩形．

错解：

连接MN．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC．又∵M，N分别为AD，BC的中点，∴AM BN．

∴四边形AMNB是平行四边形．

又∵AB=AD，∴AB=AM，∴口AMNB是菱形．

∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°．

同理∠MQN=90°，∴四边形PMQN为矩形．

分析：

错在由∠MPN=∠MQN=90°，就证得四边形PMQN是矩形这一步，还需证一个角是直角或证四边形PMQN是平行四边形，证四边形PMQN是平行四边形这种方法比较好．

正解：

连接MN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC．

又∵DM=AD，BN=BC(线段中点定义)，

∴四边形BNDM为平行四边形．

∴BM DN，同理AN MC．

∴四边形PMQN是平行四边形．

∵AM BN，∴四边形ABNM是平行四边形．

又∵AD=2AB，AD=2AM，

∴AB=AM，∴四边形ABNM是菱形．

∴AN⊥BM，即∠MPN=90°，∴四边形PMQN是矩形．

例2、如图所示，4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD四个顶点同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．

(1)试判断四边形PQEF的形状，并证明；

(2)PE是否总过某一定点?并说明理由；

(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值?最大值和最小值各是多少

?

分析：

(1)猜想四边形PQEF为正方形，先证它为菱形，再证有一直角即可；(2)此问是动态问题，紧紧抓住运动过程中的不变量，即AP CE，四边形APCE为平行四边形，易知PE与AC平分于点O；

(3)此问中显然当点P，Q，E，F分别运动至与正方形ABCD各顶点重合时面积最大，分析最小值时的情形可根据S正=PE2，而PE最小时是PE⊥AB，此时PE=BC．

解：

(1)四边形PQEF为正方形，证明如下：

在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，∴BP=QC=ED=FA．

又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，

∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．

∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90°．

∴四边形PQEF为正方形．

(2)连接AC交PE于点O．

∵AP EC，∴四边形APCE为平行四边形．

又∵O为对角线AC的中点，∴对角线PE总过AC的中点．

(3)当P运动至与B重合时，四边形PQEF面积最大，等于原正方形面积，

当PE⊥AB时，四边形PQEF的面积最小，等于原正方形面积的一半．

小结：探索动态问题，解答的关键是抓住它不动的一瞬间和运动中的不变量，即动中求静，这类题目是中考的热点考题．

例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF//AB，交直线DE于F，设CD=x．

(1)当x取何值时，四边形EACF是菱形?请说明理由；

(2)当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？

分析：

本题考查菱形的判定、解直角三角形等知识的综合运用，有一定的探究性．

解：

(1)∵∠ACB=90°∴AC⊥BC．

又∵DE⊥BC，∴EF//AC．

∵AE//CF，∴四边形EACF是平行四边形．

当CF=AC时，四边形ACFE是菱形．此时CF=AC=2，BD=3－x，tan B=，

∴ED=BD·tan B=(3－x)．∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x．

在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2，∴x2＋(x)2=22，

∴(负值不合题意，舍去)．即当时，四边形ACFE是菱形．(2)由已知条件可知四边形EACD是直角梯形，

例4、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．

(1)求证四边形MENF是菱形；

(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．

分析：

由题中条件根据三角形中位线的性质可证明四边形MENF的四边相等．当四边形MENF是正方形时，则有NE⊥MB，NF⊥MC，所以需连接MN(梯形的高)进行探究．

证明：

(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=CD，∠A=∠D．

∵M为AD中点，∴AM=DM，

∴△ABM≌△DCM，∴BM=CM．

∵E，F，N分别为MB，MC，BC的中点，

∴EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC，

∴EN=FN=MF=ME，

∴四边形ENFM是菱形．

解：

(2)结论：等腰梯形ABCD的高等于底边BC的一半．理由如下：

连接MN，∵BM=CM．BN=CN，∴MN⊥BC．

∵AD//BC，∴MN⊥AD，即MN为梯形ABCD的高，

又∵四边形MENF是正方形，∴△BMC为等腰直角三角形，

∵N为BC中点，∴MN=BC．

小结：梯形的高是指端点在两底上并且与两底垂直的线段．

例5、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，M，N分别是AD，BC的中点，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P为MN上的一个动点．若AD=3，则PD＋PC的最小值为_________．

分析：

本题综合考查等腰梯形的性质、轴对称图形和解直角三角形等知识．由M，N为AD，BC中点可知，直线MN为等腰梯形的对称轴，故点A与点D，点B与点C关于直线MN对称．所以连接BD，交MN于点P′，则PC＋PD的最小值为线段BD的长(由三角形三边的关系说明)．因为AC平分∠DCB，且AD//BC，所以AD=DC=AB=3，易知∠ACB=∠DCB=30°．又∠BAC=90°，所以BC=2AB=6，因此．答案：

例6、用反证法证明：一个梯形中不能有三个角是钝角．

分析：

要用反证法证明文字叙述的命题，需写出已知、求证，根据命题要求画出图形，再经过推理论证，得出与所学过的知识相矛盾的结论．从而否定原来的假设．

如图所示，已知梯形ABCD，AD//BC．

求证：∠A，∠B，∠C，∠D中不能有三个角是钝角．

证明：

假设∠A，∠B，∠C，∠D中有三个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，∠C>90°．

∴∠A＋∠B>180°，∠B＋∠C>180°，∠A＋∠C>180°．

又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°．

∴“∠A＋∠B>180°”与“∠A＋∠B=180°”矛盾．

∴∠A＋∠B>180°不成立，即假设∠A>90°，∠B>90°不成立．

∴梯形中不能有三个角是钝角．