四年级奥数 巧数长(正)方形的个数
第4讲巧数长（正）方形的个数
数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规律，应用规律。
长方形是用“点”或者“线”来数的，而正方形是用“块”来数的。
数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和
数正方形的公式：1、一个被划分成m×n的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数是：
m×n＋（m-1）×（n-1）＋（m-2）×（n-2）＋…………………………＋1×【n-（m-1）】（其中m 典型例题： 1、长方形的构成必须有长和宽，下图中有许多长方形，你能数出它们有多少个？ 分析与解答: 因为长方形的构成与长的线段数有关，也与宽的线段数有关，所以数长方形的个数必须要看长与宽两个因素。 上图上长有6条线段，即3＋2＋1=6（个）宽边上有3条线段，即2＋1=3（个） 因此，根据数长方形公式：6×3=18（个） 答：上图中共有18个长方形。 2、下图中共有多少个长方形？ 分析与解答： 这道题比例1横竖都多了一条线，那么长方形的个数明显增多了，利用公式仍然要数出长边上的 线段数和宽边上的线段数即 长边上的线段和：4＋3＋2＋1＝10个宽边上的线段和：3+2+1=6个 因此根据数长方形公式：10×6=60个 答：上图中共有60个长方形。 3、下图中共有多少个正方形？ 分析与解答： 我们先来数一数：只含一个正方形的有9个（即3×3=9）；含有4个正方形的有4个（即2×2=4）；含有9个正方形的有1个。 通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为1×1+2×2+3×3=1+4+9=14个，以后我们碰到类似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。 4、下图中共有多少个正方形？ 分析与解答： 这道题显然与上题不一样，虽然都是由基本小正方形组成，但长和宽里的个数不一样，即小正方形拼接成了一个长方形，那么方法也要有所改变。先看长边上小正方形的个数，有5个，再看宽边上小正方形的个数，有3个，我们还用数的方法试试，只含有一个小正方形的有3×5=15个，含4个小正方形的有（3-1）×（5-1）=8个，含9个小正方形的有（3-2）×（5-2）=3个， 通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为： 3×5＋（3-1）×（5-1）＋（3-2）×（5-2）=26个 答：图中共有26个正方形。 5、数一数，下图中共有多少个长方形？ 分析与解答： 这道题和前4个题不同，不是横竖规范的分割，这道题意在提醒同学遇到问题不能思维定式，不能按上面所讲的规律求解，我们可以用枚举法找出个数，灵活解决问题，先给图中每个基本图形编上序号。 ①② ③④ ⑤⑥ 再分类数一数： （1）、6个基本图形中有4个长方形：①、③、④、⑥ （2）、由两个基本图形组成的长方形有3个：②+④、③+⑤、③+④ （3）、由3个基本图形组成的长方形有2个：①+③+⑤、②+④+⑥ （4）、由6个基本图形组成的长方形有1个：①+②+③+④+⑤+⑥ 所以上图中共有长方形：4+3+2+1=10个 答：上图中共有10个长方形。 基础练习： 1、下图中共有多少个长方形？ 2、下图中共有多少个长方形？ 3、下图中共有多少个正方形？ 4、下图中共有多少个正方形？ 提高练习： 1、数一数图中长方形的个数 2、数一数下图中有多少个正方形？ 4、下图中共有多少个正方形？ 巧数图形 分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。所以共有3＋2＋1＝6(条)。 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。 由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。 例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？ 分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知， 图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。 图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。 图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。 图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。 图(5)中有三角形 1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。 例3下列图形中各有多少个三角形？ 分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。 以AB为底边的三角形ABC中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。 以ED为底边的三角形CDE中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。 所以共有三角形6＋6=12(个)。 这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。 由1个小块组成的三角形有3个； 由2个小块组成的三角形有5个； 由3个小块组成的三角形有1个； 由4个小块组成的三角形有2个； 由6个小块组成的三角形有1个。 所以，共有三角形 3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。 (2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：由1个小块组成的三角形有4个；由2个小块组成的三角形有6个； 由3个小块组成的三角形有2个；由4个小块组成的三角形有2个； 由6个小块组成的三角形有1个。所以，共有三角形 4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。 例4右图中有多少个三角形？ 四年级数学多位数的读 写法练习 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 快乐数学一认识多位数 读多位数的方法： 1、先要把这个多位数分级。 2、从高位到低位一级一级地往下读。读亿级、万级时，按个级的读法去读，只要在后面再加上级的单位“亿”或“万”。 3、每级开头或中间有一个0，或者连续0的，都只读一个零。级的末尾所有0都不读出来。若某一级全为0，那么只读一个零。 写多位数的方法： 1、从高位写起，一级一级往下写,先写亿级,再写万级。 2、写万级或亿级的数，先按照个级的写法写。 3、哪一位上一个单位也没有，就写0占位。 一、读出下面各数。（4分） 720000读作：() 读作：() 读作：() 40500000720读作：() 二、写出下面各数。（4分） 九十万零七百写作：() 二亿三千五百万九千三百二十写作：() 八百二十亿四千零三万写作：() 五亿零二千写作：() 三、按要求写数。（9分） 1.用“万”或“亿”作单位表示数。 2.省略“万”“亿”后面的尾数，求近似数。 亿96481≈万亿 亿4005400≈万14980≈万 四、□中最大能填几？（3分） 4□400≈4万39□000≈40万35□860≈36万 五、填出下面各数的相邻数。（4分） 1.（），100000，（） 2.（），4870，（）。 3.（），26500，（） 4.（），34999，（）。 六、填空。（45分） 1.万级的包含有（）、（）（）、（）四个数位；亿级的计数单位有（）、（）、（）（）。 2.10个一千万是（），一百万包含有（）个万。 第三讲数数与计数（二） 例1 数一数，图3－1中共有多少点？ 解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数： 第一层 1个 第二层 2个 第三层 3个 第四层 4个 第五层 5个 第六层 6个 第七层 7个 第八层 8个 第九层 9个 第十层 10个 第十二层 8个 第十三层 7个 第十四层 6个 第十五层 5个 第十六层 4个 第十七层 3个 第十八层 2个 第十九层 1个 总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已学过的知识计算）. （2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数 第一层 1个 第二层 3个 第三层 5个 第四层 7个 第五层 9个 第七层 13个 第八层 15个 第九层 17个 第十层 19个 总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）. （3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）. 想一想： ①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋. ②由方法1和方法3得出下式： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想： 1=1×1 1+2+1=2×2 1+2+3+2+1=3×3 1+2+3+4+3+2+1=4×4 1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5 《认识多位数》习题 第1节认识整万数 1．填空。 （1）按照我国的计数习惯，通常把数位的每（）个数位分为一级。个级的数位分别是（）位、（）位、（）位、（）位；万级的数位分别是（）位、（）位、（）位、（）位。 （2）—百万一百万地数，数十次是（）。 （3）40个万是（），二百四十万里面有（）个万。 （4）80800000，左边的“8”表示（）右边的“8”表示（）。 （5）最小的八位数是（），它的计数单位是（）；（）是最小的六位数，它的最高位是（）。 （6）5个百万和8个万组成的数是（）。 （7）70060000是由7个（）和6个（）组成的。 （9）由5个千万、2个十万和8个万组成的数写作（），读作（）。2090000是由2个（）和9个（）组成的。 （10）—个数的百万位、万位上都是3，其余各位上都是0，这个数写作（），读作（）。 （11）—个整万数，万级的最高位和最低位上的计数单位都是5，百万位和十万位上都是0，这个数写作（），读作（）。 2．读出横线上的数。 （1）火箭的速度必须达到每小时28440000米，才能冲出地球的大气层。如果速度达到每小时60120000米，就能冲出太阳系的引力进入银河系。（）（）（2）1吨等于1000000克。（） （3）万里长城全长约6700000米，是世界上最伟大的建筑之一。（） 3．写出横线上的数。 （1）绕地球赤道一圈的路程大约是四千万米，合四万千米。（）（）（2）我国领土的面积约九百六十万平方千米。（） （3）北京故宫占地面积约七十二万平方米，是世界上最大的宫殿。（）4．判断。 （1）千万位右边第一位上的计数单位是十万。（） （2）万级上计数单位之间的进率是10。（） （3）整数的数位顺序，从个位起，第三位是百位，第七位是百万位。（）（4）80090000中，8表示8个千万，9表示9个千。（） 5．100张崭新的100元面值的人民币大约厚8毫米，照这样计算，10000张崭新的100元面值的人民币大约厚多少毫米，合多少厘米？1000000张呢？ 第2节认识含有万级和各级的数 1．读出下面的数。 28090030读作（）7300050读作（）59007000读作（）80060050读作（）9008070读作（）3600036读作（）2．写出下面各数。 九千零三万五千写作（）三千万零两百写作（） 九万零九写作（）八千零八万零八写作（）三千万零四百写作（）九百九十万零五写作 3．幸运选择。 （1）最大的八位数是（）。 A．99999999 B．80000000 C．10000000 （2）—个数百位和百万位都是5，其他各位都是0，这个数是（）。A．5050000 B．5000500 C．500500 （3）9360024中的“6”表示（）。 A．6个千B．6个万C．6个十万 （4）下面各数中只读一个零的数是（）。 A．30050001 B．45007000 C．8025000 4．选一选。 （1）饲料公司去年总产值二千零八十五万零四十元，横线上的数写作（）。A．2085040 B．20805040 C．20850040 （2）下面各数中，一个“零”也不读的是（）。 A．68000005 B．27000080 C．7003000 （3）下面各数中，只读出一个“零”的数是（）。 A．40050007 B．34002007 C．5003000 小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全目录 第1讲找规律（一） 第2讲找规律（二） 第3讲简单推理 第4讲应用题（一） 第5讲算式谜（一） 第6讲算式谜（二） 第7讲最优化问题 第8讲巧妙求和（一） 第9讲变化规律（一） 第10讲变化规律 第11讲错中求解 第12讲简单列举 第13讲和倍问题 第14讲植树问题 第15讲图形问题 第16讲巧妙求和 第17讲数数图形 第18讲数数图形 第19讲应用题 第20讲速算与巧算 第二十一周速算与巧算（二） 第二十二周平均数问题 第二十三周定义新运算 第二十四周差倍问题 第二十五周和差问题 第二十六周巧算年龄 第二十七周较复杂的和差倍问题 第二十八周周期问题 第二十九周行程问题（一） 第三十周用假设法解题 第三十一周还原问题 第三十二周逻辑推理 第三十三周速算与巧算（三） 第三十四周行程问题（二） 第三十五周容斥原理 第三十六周二进制 第三十七周应用题（三） 第三十八周应用题（四） 第三十九周盈亏问题 第四十周数学开放题 第1讲找规律（一） 一、知识要点 观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律： 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 二、精讲精练 【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。 1，4，7，10，（），16，19 【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。 像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。 练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）2，6，10，14，（），22，26 （2）3，6，9，12，（），18，21 （3）33，28，23，（），13，（），3 （4）55，49，43，（），31，（），19 （5）3，6，12，（），48，（），192 （6）2，6，18，（），162，（） （7）128，64，32，（），8，（），2 小学奥数——巧数图 形 巧数图形 分析与解：我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条。所以共有3＋2＋1＝6(条)。 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条。 由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。 例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？ 分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知， 图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。 图(2)中有三角形1＋2＋3=6(个)。 图(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(个)。 图(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。 图(5)中有三角形 1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。 例3下列图形中各有多少个三角形？ 分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。 以AB为底边的三角形ABC中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。 以ED为底边的三角形CDE中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。 所以共有三角形6＋6=12(个)。 这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。 由1个小块组成的三角形有3个； 由2个小块组成的三角形有5个； 由3个小块组成的三角形有1个； 由4个小块组成的三角形有2个； 由6个小块组成的三角形有1个。 所以，共有三角形 3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。 (2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为分类标准来计算：由1个小块组成的三角形有4个；由2个小块组成的三角形有6个； 由3个小块组成的三角形有2个；由4个小块组成的三角形有2个； 由6个小块组成的三角形有1个。所以，共有三角形 4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。 例4右图中有多少个三角形？ 解：假设每一个最小三角 形的边长为1。按边的长度来分 类计算三角形的个数。 边长为1的三角形，从上到下一层一层地数，有 1＋3＋5＋7=16(个)； 边长为2的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(个)； 边长为3的三角形有1＋2＝3(个)； 边长为4的三角形有1个。 所以，共有三角形 16＋7＋3＋1＝27(个)。 例5数出下页左上图中锐角的个数。 分析与解：在图中加一条虚线，如下页右上图。容 易发现，所要数的每个角都对应一个三角形(这个角与它所截的虚线段构成的三角形)，这就回到例2，从而回到例1的问题，即所求锐角的个数，就等于从O点引出的6条射线将虚线截得的线段的条数。虚线上线段的条数有 1+2+3+4+5=15(条)。 所以图中共有15个锐角。 例6在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？ 日期和时间的计算 一、学习目标 1.学会在日期的计算中发现和识别呈周期性变化的规律，并能列式解答. 2.学会时间计算的一般方法，能说明解答的基本依据. 3.感受简单的分析、推理等方法. 二、内容提要与方法点拨 1.被除数=商×除数＋余数,余数要小于除数. 2.找准有一定变化规律的周期，如1年有12个月，1周有7天，1小时是60分，1分是60秒等. 三、例题选讲 例12008年元旦是星期二，那么，2012年元旦是星期几？ 解：从2008年元旦到2012年元旦这四年中，2008年是闰年，其余三年是平年.四年的天数加上2012年元旦这一天，共有 366＋365×3＋1=1462（天） (或365×4＋1＋1) 一共是1462÷7=208（周）……6（天） 从星期二开始算，第六天是星期日.所以，2012年元旦是星期日. 这道题还可以这样算： 365÷7=52……1，平年有52周余1天，闰年就有52周余2天. 直接算出每一年的天数除以7的余数的和 2＋1×3＋1=6，从星期二开始算，第六天是星期日. 有一类数学问题是围绕每月天数、日期数和星期几的天数等关系展开的.解答这类问题的焦点往往在它的余数上. 我们知道，在一年的12个月中，每个月最少有28天，最多有31天，一个星期有7天.而 一个月的天数÷7 = 4……（余数），余数可以是0、1、2、3. 下面，我们根据这个除法算式进一步弄清有关的几个数量之间的关系. （1）由上式知，一个月的星期几的个数最少有4个，最多有5个. （2）当余数为0时，即这个月只有28天（平年的2月），那么，这个月所 有的星期几分别有4个.同时，这个月的第一天是星期几，最后一天就是星期几 的前一天.例如，2月1日是星期二，2月28日就是星期一. （3）当余数为1、2、3时，即这个月多于28天.多出了几天，就有几个星 期几是5个的，而且是连续的.例如，7月有31天，当7月1日是星期二时，7 月28日是星期一，7月29日、30日、31日就分别是星期二、三、四，则这个 月的星期二、三、四各有5个. 多出的几天及对应是星期几也可以放到月头考虑，在此不一一分述. 想一想：某年的六月一日是星期五，这个月有5个星期（）和星期（）. 例2某年的3月份正好有4个星期三和4个星期六，那么这个月的1日是星期几？ 有4个星期还多3天。这3天是连续的而 且不能是星期三和星期六，因此，也不可 能是在星期三和星期六之间的星期四和星 期五。这样，只能是星期一、星期二和星 期日。 即这3天按顺序是星期日、一、二（29日、30日、31日）。所以，三月一 日是星期日(如图)。 例3有一个月，星期四的天数比星期三多，星期日的天数比星期六少，这个月的20日是星期几？ 解：要求某月某日是星期几，一般可以由这个月的第一日或最后一日是星期 几推出. 由条件“星期四的天数比星期三多，星期日的天数比星期六少”可知这个月 的星期三、星期日只有4个，而星期四、星期六都有5个.从而推知在星期四和 星期六之间的星期五也应有5个.这个月有31天，31÷7=4…3，而且1日是星期 四，31日是星期六. 再由1日是星期四知，8日、15日、22日也是星期四，得知20日就是星期 二.或由31日是星期六，31－20－7=4，推算出20日是星期二（如图）. 第 4 讲巧数长（正）方形的个数 数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规律，应用 规律。 方形是用“点”或者“ ”来数的，而正方形是用“ ”来数的。 数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和 数正方形的公式：1、一个被划分成m× n 的小正方形的方形中共可以数出的正方形的个数是： m× n＋（ m-1）×（n-1 ）＋（ m-2）×（ n-2 ）＋??????????＋1×【 n- （ m-1）】（其中m 分析与解答： 我们先来数一数：只含一个正方形的有 9 个（即 3×3=9）；含有 4 个正方形的有 4 个（即 2×2=4）；含有 9 个正方形的有 1 个。 通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为 1×1+2× 2+3× 3=1+4+9=14个，以后我们碰到类 似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。 4、下图中共有多少个正方形 分析与解答： 这道题显然与上题不一样，虽然都是由基本小正方形组成，但长和宽里的个数不一样，即小正方 形拼接成了一个长方形，那么方法也要有所改变。先看长边上小正方形的个数，有 5 个，再看宽边上小正方形的个数，有 3 个，我们还用数的方法试试，只含有一个小正方形的有3×5=15 个，含 4 个小正方形的有（ 3-1 ）×（ 5-1 ）=8 个，含 9 个小正方形的有（ 3-2 ）×（ 5-2 ）=3 个，通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为： 3×5＋（ 3-1 ）×（ 5-1 ）＋（ 3-2 ）×（ 5-2 ）=26 个答：图中共有 26 个正方形。 5、数一数，下图中共有多少个长方形 分析与解答： 这道题和前4 个题不同，不是横竖规范的分割，这道题意在提醒同学遇到问题不能思维定式，不能按上面所讲的规律求解，我们可以用枚举法找出个数，灵活解决问题，先给图中每个基本图形编上序号。 ①② ③④ ⑤⑥ 再分类数一数： （1）、6 个基本图形中有 4 个长方形：①、③、④、⑥ （2）、由两个基本图形组成的长方形有 3 个：② +④、③ +⑤、③ +④ （3）、由 3 个基本图形组成的长方形有 2 个：① +③+⑤、② +④+⑥ （4）、由 6 个基本图形组成的长方形有 1 个：① +②+③+④+⑤+⑥ 所以上图中共有长方形： 4+3+2+1=10个 答：上图中共有 10 个长方形。 基础练习： 二年级奥数：巧数图形 体系 所属体系板块：第三级上 能力培养：分类思考、数形结合思想 体系对接：第一级下《有趣的平面图形》 第三级下《飞速图形计数》 预热知识 一、分类法 1、打枪法 2、恰含法 3、分大小 【例】下图你能数出多少条线段？【例】下图共有多少个长方形？ 【解析】分类法（打枪法）【解析】分类数（恰含法）总：4+3+2+1=10（个）总：3+2+1=6（个） 答：共10个。答：共6个。 【例】下图你能数出多少个正方形？ 【解析】分类数（大小） 1个小正方形：4个 4个小正方形：1个 总：4+1=5（个） 答：共5个。 二、巧数图形（分层数） 1、总数=每层个数相加 每层个数=上层个数+看得见 【例】下图中的小方块有几个？【解析】巧数图形（分层数） 总：1+4+5=10（个） 答：有10个。 课前思考 1、正方形如何计数呢？ 2、小方块如何计数呢？ 3、如何利用学过的乘法来进行计数？ 4、一年级秋季要求背的1-10的三角形数还记得吗？ 数数中的枚举知识点精讲知识点总结 一、数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9（共10个） 数：由数字组成的（无数个） 二、组数（最高位不为0） 1.确定几位数 2.确定从哪位开始写 注：①“比”后为目标 ②“相差”：2种情况 3.确定顺序（从小到大/从大到小） 4.有无特殊要求 反序数 下降数（上升数） 例题精讲 1.根据条件组数——有序的排列（例2） 你能根据下面的要求，写出所有符合条件的两位数吗？ （1）十位上的数字比个位上的数字大2； （2）十位上的数字与个位上的数字相差2。 解析： （1）先确定要题目要求我们写的是两位数，再确定从哪一位开始写——通过比较，发现先写出“比”字后面的，再写前面的思考起来更容易，所以一般我们把“比”字后面的当做是目标。在这里也就是“个位上的数字”为目标，先写出来个位可能是几，再寻找十位上比个位上大2的数字即可组成我们需要的两位数。个位上可能是：0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9。而十位上最大是9，十位上的数字比个位上的数字大2，所以个位上 最大是7。十位上的数字比个位上的数字大2的数有8个：20、31、42、53、64、75、 86、97。 （2）区分“相差”和“比”的不同意思：看到“比”就直接知道谁大谁小，但是“相差”有 四年级奥数-第三讲-多位数计算 第三讲：多位数计算 学习内容：提升版凑整法、提公因数、平方差公式。 学习目标：灵活运用简便方法，提高做作业的计算速度以及准确率。 一、凑整法 【例1】（★★★） 计算：999999999×111111111 原式＝（10000000000－1）×111111111 ＝1111111111000000000－1111111111 ＝111111110888888889 99……9常用处理方式——化为（100……0－1） 【例2】（★★★★） 计算：66666×133332 原式＝33333×2×3×44444 ＝（33333×3）×（2×44444） ＝99999×88888 ＝（100000－1）×88888 ＝8888800000－88888 ＝8888711112 99......9的亲戚：33......3 ，66 (6) 【例3】（★★★★） 求算式99……9×88……8÷66……6的计算结果的各位数字之和。 20099 2009个6 原式＝99......9×44......4÷33 (3) 2009个9 2009个4 2009个3 ＝3×44 (4) 2009个4 ＝133 (32) 2008个3 解析：抵消思想。 ……32之和＝3×2009＝6027 2008个3 【例4】（★★★★） 计算：88......82－11 (12) 2010个8 2010个1 （解析：利用平方差公式） 原式＝（88……82＋11……12）×（88……82－11……12） 2010个8 2010个1 2010个8 2010个1 ＝99......9×77 (7) 个9个7 ＝（100......0－1）×77 (7) 个020107 ＝77......700......0－77 (7) 2010个72010个02010个7 ＝77......7622 (23) 2009个7 2009个2 二、提公因数 【例5】（★★★） 计算：22222×99999＋33333×33334 原式＝22222×3×33333＋33333×33334 ＝666666×33333＋33333×33334 ＝33333×（66666＋33334） ＝33333×100000 ＝3333300000 公因数常见给法——倍数关系 【例6】（★★★★） 第2讲 巧数图形 知识要点 同学们，我们经常会遇到数图形的问题，对于较复杂的图形，经常会出现数重复或数漏掉的错误。怎样才能不重复也不遗漏地数出图形的个数呢？这节课，我们将一起来寻找好的方法。 要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 精典例题 例1: 数出下图中有多少条线段？ 模仿练习 数一数，每种图形有多少个？ 有（ ）条线段 有（ ）个三角形 有（ ）个角 有（ ）个长方形 有（ ）个正方形 例2: 数出图中共有多少个三角形？ 模仿练习 数一数，每幅图里有多少个三角形？ （1） （2） 有（ ）个三角形 有（ ）个三角形 例3:下面的图形中有多少个三角形？（第九届中国青少年数学论坛趣味数学 解题技能展示大赛试题） 模仿练习 数一数，图中共有几个正方形？（2010武汉明心数学资优生水平测试题） 精典例题 例4: 数出下图中有多少个长方形？多少个正方形？ 从短的线段入手，再两条两条拼接起来数，你发现规律了吗？ 还能用刚才的方法来数吗？ 三角形很多，可以尝试按三角形的方向和大小尝试分类数。 前面学习的数长方形的方法还有用吗？怎么能用上呢？ 模仿练习 1.数一数，图中有多少个长方形？ 2.数一数图中有多少个正方形？ 家庭作业 1.数一数每幅图里面图形的个数（能计算的写出算式）。 （1）（2）有（）条线段有（）个角 2.右图中有多少个三角形？ 3.图中有多少个长方形？（把你的想法分享给你的爸爸妈妈听，你能教会他们吗？分享后让爸爸妈妈给你打星，最多5颗星） 4.数一数，右图中有多少个正方形？ 5.数一数，其中共有多少个包含“”的三角形？（2011年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛试题） 奥数中的数图形个数 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 第三讲数数与计数（二） 例1 数一数，图3－1中共有多少点 解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：第一层 1个 第二层 2个 第三层 3个 第四层 4个 第五层 5个 第六层 6个 第七层 7个 第八层 8个 第九层 9个 第十层 10个 第十一层 9个 第十二层 8个 第十三层 7个 第十四层 6个 第十五层 5个 第十六层 4个 第十七层 3个 第十八层 2个 第十九层 1个 总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1） =55+45=100（利用已学过的知识计算）. （2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数 第一层 1个 第二层 3个 第三层 5个 第四层 7个 第五层 9个 第六层 11个 第七层 13个 第八层 15个 第九层 17个 第十层 19个 总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）. （3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）. 想一想： ①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋. ②由方法1和方法3得出下式： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想： 1=1×1 1+2+1=2×2 第1讲巧数图形 数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化， 错综复杂，所以准确地数出其中包含的某种图形的个数，可以培养我们 认真，仔细，做事耐心有条理的好习惯。要想有条理、不重复、不遗漏地 数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。 例1数出下图中共有多少条线段。 分析与解：1.我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类。如下图所示，以A为左端点的线段有______条，以B为左端点的线段有________ 条，以C为左端点的线段有_______条。所以共有_________＝6(条)。 2. 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有_______条，由两条 小线段构成的线段有_______条，由三条小线段构成的线段有________条。 所以，共有_____________＝6(条)。 由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型 要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。 例2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？ 分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形(以顶点及这条线段 更多精品文档 的两个端点为顶点的三角形)， 所以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是三角形的总个数。由前面数线段的方法知， 图(1)中有三角形1＋2＝3(个)。图(2)中有三角形________(个)。 图(3)中有三角形_________(个)。 图(4)中有三角形_______________＝15(个)。 图(5)中有三角形______________=21(个)。 例3下列图形中各有多少个三角形？ 分析与解：(1)只需分别求出以AB，ED为底边的三角形中各有多少个三角形。以AB为底边的三角形ABC中，有三角1＋2＋3＝6(个)。以ED为底边的 三角形CDE中，有三角形___________(个)。 所以共有三角形___________________(个)。 这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是可以借助“求底边线段数”而 得出三角形的个数。 我们也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有6个小块。 由1个小块组成的三角形有3个；由2个小块组成的三角形有5个； 由3个小块组成的三角形有1个；由4个小块组成的三角形有________个； 由6个小块组成的三角形有_________个。 所以，共有三角形3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。 (2)如果以底边来分类计算，各种情况较复杂，因此我们采用以“小块个数”为 分类标准来计算： 由1个小块组成的三角形有4个；由2个小块组成的三角形有______个； 更多精品文档 四年级奥数第1讲：多位数计算 多位数的运算在奥数体系里面一般扮演难题角色，多位数运算不仅体现普通数字四则运算的一切考法，还要靠观察数字结构发现数字规律的方式掌握多位数的整体结构，确定方法解题。 主要方法： 1.利用 9 99999个n 进行变形，变成10000010 - 个n ，有进行计算尽量转化成 9993332.经常使用的方法有凑整法、提取公因式法、平方差公式、乘法的性质 3.多位数M× 9 99999个n 的数字和为9n（注意M 要小于 9 99999个n ）题型一：求算式结果某数位上的数码 常用方法：1.提取公因数；2.利用 9 99999个n 进行变形，变成10000010 - 个n 例1在将10000000000中减去1101011后所得的答案中，数码8 出现了 次？ 分析：10000000000－1101011=9998898989，数码8共出现了4次。例2 求6+66+666+6666+66666+666666+6666666的和的万位数字是 分析：方法一：提取公因数 6+66+666+6666+66666+666666+6666666=6×（1+11+111+1111+11111+111111+1111111）=6×1234567=7407402 方法二：利用加法的计算方法个位和为：6×7=42，个位数字为2 十位和为：6×6+4=40，十位数字为0千位和为：6×5+4=34，千位数字为4万位和为：6×4+3=27，万位数字为7 例3 920051 20059999911111个个?的乘积中含有个偶数数码。 分析：利用 9 99999个n 进行变形，变成10000010 - 个n . 20051200498888801111111111000001111110000011111199999111118 20041 20041 20050 20051 200502005120059 20051 2005个偶数数码因此含有个个个个个个个个个=+=-=? ??? ??-?=? ＜训练巩固＞1. 8 199288888888,88,8个，，把这1992个数相加，所得和的个位数是十位数字是 ，百位数字是 . 2. 7 1002 20067777722222个个减去，得数的个位数字是（提示：多个2相乘，多个7相乘，尾数有周期现象） 题型二：求算式结果有几位数（或末尾有几个0） 常用方法：1.提取公因数；2.因数末尾有0的计算方法例4 将1000 2009 = 1000 2009100010001000个??的数值写下，它有 位数？ 分析：利用因数末尾有0计算方法 10002009 = 1000 2009100010001000个??= 6027320090000001个=?因此总共有6027+1=6028位数. 第4讲巧数长（正）方形的个数 数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规律，应用规律。 长方形是用“点”或者“线”来数的，而正方形是用“块”来数的。 数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和 数正方形的公式：1、一个被划分成m×n的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数是： m×n＋（m-1）×（n-1）＋（m-2）×（n-2）＋…………………………＋1×【n-（m-1）】（其中m 上图上长有6条线段，即3＋2＋1=6（个）宽边上有3条线段，即2＋1=3（个）因此，根据数长方形公式：6×3=18（个） 答：上图中共有18个长方形。 2、下图中共有多少个长方形？ 分析与解答： 这道题比例1横竖都多了一条线，那么长方形的个数明显增多了，利用公式仍然要数出长边上的线段数和宽边上的线段数即 长边上的线段和：4＋3＋2＋1＝10个宽边上的线段和：3+2+1=6个 因此根据数长方形公式：10×6=60个 答：上图中共有60个长方形。 3、下图中共有多少个正方形？ 分析与解答： 我们先来数一数：只含一个正方形的有9个（即3×3=9）；含有4个正方形的有4个（即2×2=4）；含有9个正方形的有1个。 第三讲：多位数计算 学习内容：提升版凑整法、提公因数、平方差公式。 学习目标：灵活运用简便方法，提高做作业的计算速度以及准确率。 一、凑整法 【例1】（★★★） 计算：999999999×111111111 原式＝（10000000000－1）×111111111 ＝1111111111000000000－1111111111 ＝111111110888888889 99……9常用处理方式——化为（100……0－1） 【例2】（★★★★） 计算：66666×133332 原式＝33333×2×3×44444 ＝（33333×3）×（2×44444） ＝99999×88888 ＝（100000－1）×88888 ＝8888800000－88888 ＝8888711112 99......9的亲戚：33......3 ，66 (6) 【例3】（★★★★） 求算式99……9×88……8÷66……6的计算结果的各位数字之和。 2009个9 2009个8 2009个6 原式＝99......9×44......4÷33 (3) 2009个9 2009个4 2009个3 ＝3×44 (4) 2009个4 ＝133 (32) 2008个 解析：抵消思想。 133……32之和＝3×2009＝6027 2008个3 【例4】（★★★★） 计算：88......82－11 (12) 2010个8 2010个1 （解析：利用平方差公式） 原式＝（88……82＋11……12）×（88……82－11……12） 2010个8 2010个1 2010个8 2010个1＝99......9×77 (7) 个9个7 ＝（100......0－1）×77 (7) 2010个02010个7 ＝77......700......0－77 (7) 2010个72010个02010个7 ＝77......7622 (23) 2009个7 2009个2 二、提公因数 【例5】（★★★） 计算：22222×99999＋33333×33334 原式＝22222×3×33333＋33333×33334 ＝666666×33333＋33333×33334 ＝33333×（66666＋33334） ＝33333×100000 ＝3333300000 公因数常见给法——倍数关系 【例6】（★★★★） 计算99……9×99……9＋199……9结果末尾有多少个连续的零？ 100个9 100个9 100个9 原式＝99......9×99......9＋99......9＋100 0 100个9 100个9 100个9 100个0 ＝99......9×（99......9＋1）＋100 0 1009 1009 1000 ＝99......9×100......0＋100 0 1009 100个0 1000 ＝100……0×（99……9＋1） 1000 100个9 小学奥数数图形练习题 因此，一般步骤应是：仔细观察、发现规律、应用规津。运用规律常能使解法简便。例1 下面两根线段中各有多少条线段？ 解由一条基本线段构成的线段有： AB、BC、CD、DE，共4条； 由两条基本线段构成的线段有： AC、BD、CE，共3条； 由三条基本线段构成的线段有： AD、BE，共2条； 由四条基本线段构成的线段只有AE1条。 因此共有线段： 4+3+2+1 =×4÷2=10 可以采用同样的解法：由一条基本线段组成的线段有6条， 由两条基本线段组成的线段有5条，由三条基本线段组成的线段有4条，由四条基本线段组成的线段有3条，由五条基本线段组成的线段有2条，由六条基本线段组成的线段有1条， 共有线段： 6+5+4+3+2+1 =×6÷2 =21 答中有10条线段。中有21条线段。 这种先分类再排序的方法称为分类排序法。这样排序，不易遗漏和重复。 由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：4+3+2+1。如果有n个点，线段总数为++?+3+2+1=n×÷2。找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。 例在∠AOB内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？ 解这问题类似于例1， 10×9÷2=45 答图中有45个角。 解数一数，图6－3一共有几个长方形？ 分析可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究，找出数长方形的规律。长方形是由长和宽组成的，图中共有3个长、3个宽， 解 3×3＝9 答图中共有9个长方形。 这一类型的问题在后面还要专门讨论。 例如图6－4。 如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？ 现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？ 分析根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9，→16”的关系。而2＝4，33=9，44＝ 16，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”。所以可得： 下层有11个小三角形，共有 11×11= 121 因为1×13＝ 169，所以 169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。 练习 1．线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段？ 2．下图中共有多少个三角形？ 3 ．把长2厘米、宽1 厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。 如果叠5层，周长是厘米。 如果周长是120厘米，共有层。 知识要点：数图形时我们要按照一定的顺序、有条理、 精品文档 数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于图形千变万化， 错综复杂，所以准确地数出其中包含的某种图形的个数， 可以培养我们 认真，仔细，做事耐心有条理的好习惯。要想有条理、不重复、不遗漏地 数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。 例1数出下图中共有多少条线段。1 - r 分析与解：1.我们可以按照线段的左端点的位置分为 A ，B ，C 三类。如下图： ----------------------- ! 所示，以A 为左端点的线段有 _______ 条，以B 为左端点的线段有 __________ 条， _________________ I 以C 为左端点的线段有 _______ 条。所以共有 __________ = 6（条）。 2. 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类。如下图所示， AB ，: ________________ BC ，CD 是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有 __________ 条，由两条 ■ 小线段构成的线段有 ________ 条，由三条小线段构成的线段有 __________ 条。： ------------------- 所以，共有 ______________ = 6（条）。 ' 由例1看出，数图形的分类方法可以不同，关键是分类要科学，所分的类型 ----------------- 要包含所有的情况，并且相互不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。 ----------------- 例2下列各图形中，三角形的个数各是多少？ : ------------------ 分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角形（以顶点及这条线段 ： ____________________ 第1讲巧数图形小学奥数——巧数图形
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