高中数学 两直线的位置关系

课 题：7.3两条直线的位置关系（一）平行与垂直

教学目的：

1．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．

2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．

3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

教学重点：两条直线平行和垂直的条件王新敞

教学难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题王新敞

授课类型：新授课王新敞

课时安排：1课时王新敞

教 具：多媒体、实物投影仪王新敞

教学过程：

一、复习引入：

二、讲解新课：

1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞

2．斜率存在时两直线的平行与垂直．

设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k ，它们的方程分别是：

1l ：11b x k y +=； 2l ：22b x k y +=．

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征王新敞

⑴两条直线平行(不重合)的情形．

如果21//l l ，那么它们的倾斜角相等：21αα=，∴

21tan tan αα=．即1k =2k ．

反过来，如果两条直线的斜率相等，1k =2k ，那么

21t an t an αα=．由于0°≤1α＜180°， 0°≤2α＜180°，∴21αα=．∵

两直线不重合，∴21//l l ．

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 王新敞

要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

思考1：已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，

2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A

求证：1l ∥2l 的充要条件是

2

1

2121C C B B A A ≠

= 王新敞

⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是1k 和2k ，则这两条直线垂直的充要条件是121-=k k ．

用倾斜角的关系推导：如果21l l ⊥，这时21αα≠，否则两直线平行王新敞

设

21αα>，甲图的特征是1l 与2l 的交点在x 轴上方；乙图的特征是1l 与2l 的交

点在x 轴下方；丙图的特征是1l 与2l 的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有

20190αα+=．因为1l 和2l 的斜率为1k 和2k ，即0190≠α，所以020≠α 王新敞

2201tan 1)90tan(tan ααα-

=+=，即2

11

k k -=或121-=k k 王新敞

反过来，如果2

11

k k -

=或121-=k k ?20190αα+=?21l l ⊥． 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

21l l ⊥?2

11

k k -

=?121-=k k 王新敞

用向量关系推导：设直线1l 和2l 的斜率分别是1k 和2k ，则直线1l 有方向向量),1(1k =，直线2l 有方向向量),1(2k =，根据平面向量的有关知识，有

⊥?0=??01121=?+?k k 即1l ⊥2l ?121-=k k

所以，如果两条直线的斜率分别是1k 和2k ，则这两条直线垂直的充要条件是121-=k k ．

思考2：已知直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：0111=++C y B x A ，

2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ?02121=+B B A A 王新敞

三、讲解范例：

例1 两条直线1l ：0742=+-y x ， 2l ：052=+-y x ．

求证：1l ∥2l

证法一：因为1l ：4721+=

x y ，2l ：2

521+=x y 所以1k =2k 且21b b ≠，∴21//l l ． 证法二:∵

5

7

2412≠--=，∴21//l l 例2 求过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程． 解一：已知直线的斜率为3

2

-，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是3

2-

王新敞

根据点斜式，得到所求直线的方程是)1(3

2

4--

=+x y 即 01032=++y x ．

解二：设与直线0532=++y x 平行的直线l 的方程为

032=++λy x )5(≠λ，

∵ l 经过点)4,1(-A ，∴ 0)4(312=+-?+?λ，解之得10=λ ∴ 所求直线方程为01032=++y x ．

注意：①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；

②解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线0=++C By Ax 中系

数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为)(0C By Ax ≠=++λλ，其中λ待定王新敞

（直线系）

例3求与直线0532=++y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为6

5

的直线的方程．

解：设直线的方程为032=++λy x )5(≠λ，令0=x ，则在y 轴上的截距为3

λ

-

=b ；令0=y ，则在x 轴上的截距为2

λ

-

=a ，

由6

5

3

2

=

-

-

=+λ

λ

b a 得1-=λ，∴所求直线方程为0132=-+y x ． 例4 已知直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，求a 的值．

解 ： ∵21+=a A ，12-=a A ，a B -=11，322+=a B 且两直线互相垂直

∴0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解之得1±=a 王新敞

注意：若用斜率来解，则需讨论王新敞

例5 求过点)1,2(A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程． 分析：一般地，由于与直线0=++C By Ax 垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为0=+-λAy Bx ，这是常常用到的解题技巧（直线系方程） 解：设与直线0102=-+y x 垂足的直线方程为02=+-λy x ∵直线l 经过点)1,2(A ，∴0122=+?-λ，解得0=λ 王新敞

故所求的方程为02=-y x 王新敞

四、课堂练习：

1．求使直线12=-ay x 和122=-ay x 平行的实数a 的取值。（答案：0=a ） 2．当a 为何实数时，两直线22+=+a ay x 和1+=+a y ax 平行？ （ 答案：a ＝1）王新敞

3．求直线012=--y Ax 和直线046=+-C y x 平行的条件． 分析：∵1l ∥2l ∴

C

A 1

426-≠--= ∴平行的条件是3=A 且2≠C 王新敞

4．已知直线1l ：022=--+a ay x ，2l ：01=--+a y ax 王新敞

(ⅰ)若1l ∥2l ，试求a 的值；(ⅱ) 若1l ⊥2l ，试求a 的值王新敞

五、小结：1．本节知识重点是掌握两条直线垂直的判断条件，并能熟练地判断；难点是对斜率的讨论，即利用斜率判定两直线垂直时，要注意考虑斜率不存在时是否满足题意，以防漏解王新敞

2．填表：

六、课后作业：王新敞

七、板书设计（略）王新敞

八、课后记：王新敞