北京市2017年中考数学真题试题含解析

北京市2017年中考数学真题试题

一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1.如图所示，点P 到直线l 的距离是（ ）

A ．线段PA 的长度

B ． 线段PB 的长度

C ．线段PC 的长度

D ．线段PD 的长度 【答案】B. 【解析】

试题分析：由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果故选B. 考点：点到直线的距离定义 2.若代数式

4

x

x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x = B ．4x = C ．0x ≠ D ．4x ≠ 【答案】D.

考点：分式有意义的条件

3. 右图是某个几何题的展开图，该几何体是（ ）

A ． 三棱柱

B ． 圆锥

C ．四棱柱

D ． 圆柱 【答案】A. 【解析】

试题分析：根据三棱柱的概念，将该展开图翻折起来正好是一个三棱柱.故选A. 考点：三视图

4. 实数,,,a b c d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A ．4a >-

B ．0bd > C. a b > D ．0b c +> 【答案】C.

考点：实数与数轴

5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

A ．

B ．

C. D ．

【答案】A. 【解析】

试题分析：A.是轴对称图形不是中心对称图形，正确；B.是轴对称图形也是中心对称图形，错误；C.是中心对称图形不是轴对称图形，错误；D. 是轴对称图形也是中心对称图形，错误.故选A.

考点：轴对称图形和中心对称图形的识别

6.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ） A ． 6 B ． 12 C. 16 D ．18 【答案】B. 【解析】

试题分析：设多边形的边数为n,则有（n-2）×180°=n ×150°,解得：n=12.故选B. 考点：多边形的内角与外角

7. 如果2

210a a +-=，那么代数式242a a a a ?

?- ?-?

?的值是（ ）

A ． -3

B ． -1 C. 1 D ．3 【答案】C.

考点：代数式求值

8.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况. 2011-2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图

（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》） 根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（ ）

A ．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长

B ．2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长

C. 2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元

D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多

【答案】A..

考点：折线统计图

9.小苏和小林在右图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是（）

A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点

B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度

C. 小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程

D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次

【答案】D.

考点：函数图象

10. 下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.

下面有三个推断：

①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概

率是0.616；

②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，

可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620. 其中合理的是（）

A．① B．② C. ①② D．①③

【答案】B.

【解析】

试题分析：①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；

③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误.故选B.

考点;频率估计概率

二、填空题（本题共18分，每题3分）

11. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________． 【答案】π （答案不唯一）. 【解析】

试题分析：π∵3

∴916x <

< , ∴9

10,11,12,13,14,15

考点：无理数的估算.

12. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为____________． 【答案】45435

3

x y x y +=??

-=? .

考点：二元一次方程组的应用.

13.如图，在ABC ?中，M N 、分别为,AC BC 的中点.若1CMN S ?=，则

ABNM S =四边形 ．

【答案】3. 【解析】

试题分析：由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.由M,N,分别为AC,BC 的中点，∴

1

2

CM CN AC AB == , ∴2211(

)()24CMN ABC S CM S AC ??=== ，∵1,44CMN ABC CMN S S S ???=== , 413ABNM

ABC CMN S S S ??=-=-=.

考点：相似三角形的性质.

14.如图，AB 为

O 的直径，C D 、为O 上的点，AD CD =.若040CAB ∠=，则

CAD ∠= ．

【答案】25°.

考点：圆周角定理

15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB ?可以看作是OCD ?经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由OCD ?得到AOB ?的过程： ．

【答案】将△COD 绕点C 顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB （答案不唯一）. 【解析】

试题分析：观察图形即可，将△COD 绕点C 顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB ，注意是顺时针还是逆时针旋转. 考点：几何变换的类型

16.下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知：0

,90Rt ABC C ?∠=，求作Rt ABC ?的外接圆.

作法：如图．

（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于1

2

AB 的长为半径作弧，两弧相交于,P Q 两点； （2）作直线PQ ，交AB 于点O ； （3）以O 为圆心，OA 为半径作

O .

O 即为所求作的圆.

请回答：该尺规作图的依据是 ．

【答案】到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；垂直平分线的定义；90°的圆周角所对弦为直径.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.（答案不唯一）

考点：作图-基本作图；线段垂直平分线的性质

三、解答题 （本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算：()

4cos3012122+-

-+-.

【答案】3. 【解析】

试题分析：利用特殊三角函数值，零指数幂，算术平方根，绝对值计算即可. 试题解析：原式=4×3

2

+1-23+2=23+1-23+2=3 . 考点：实数的运算

18. 解不等式组：()21571023x x x x ?+>-?

?+>??

【答案】x<2.

考点：解一元一次不等式组

19.如图，在ABC ?中，0

,36AB AC A =∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D . 求证：AD BC =.

【答案】见解析. 【解析】

试题分析: 由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠AB D=∠C=BDC. 再据等角对等边，及等量代换即可求解.

试题解析：∵AB=AC, ∠A=36°∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)= 1

2

×(180°-36°)=72°,又∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=1

2

×72°=36°, ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°, ∴∠C=∠BDC, ∠A=AB ∴AD=BD=BC.

考点：等腰三角形性质.

20. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,

（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） 请根据上图完成这个推论的证明过程．

证明：()ADC ANF FGC NFGD S S S S ???=-+矩形，ABC EBMF S S ?=-矩形（____________+____________）．

易知，ADC ABC S S ??=，_____________=______________，______________=_____________． 可得NFGD EBMF S S =矩形矩形．

【答案】,,,AEF CFM ANF AEF FGC CFM S S S S S ?????；；S .

考点：矩形的性质，三角形面积计算.

21.关于x 的一元二次方程()2

3220x k x k -+++=.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围. 【答案】.(1)见解析，（2）k<0

考点：根判别式；因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组.

22. 如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，0

//,2,90AD BC AD BC ABD =∠=，

E 为AD 的中点，连接BE .

（1）求证：四边形BCDE 为菱形；

（2）连接AC ，若AC 平分,1BAD BC ∠=，求AC 的长. 【答案】（1）证明见解析.（23【解析】

试题分析：（1）先证四边形是平行四边形，再证其为菱形；（2）利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解.

试题解析：(1)证明：∵E 为AD 中点，AD=2BC,∴BC=ED, ∵AD ∥BC, ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD=2BE, ∠ABD=90°,AE=DE ∴BE=ED, ∴四边形ABCD 是菱形.

(2)∵AD ∥BC,AC 平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1, ∵AD=2BC=2，∴sin ∠ADB=

1

2

,∠ADB=30°, ∴∠DAC=30°, ∠ADC=60°.在RT △ACD 中，AD=2，CD=1，3

考点：平行线性质，菱形判定，直角三角形斜边中线定理. 23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0k

y x x

=

>的图象与直线2y x =-交于点()3,A m .

（1）求k m 、的值；

（2）已知点()(),0P n n n >，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =-于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数()0k

y x x

=

>的图象于点N . ①当1n =时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由；

②若PN PM

≥，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

【答案】(1)见解析.（2）0

【解析】

试题分析：（1）先求A 点坐标，在代入

k

y

x

=，即可求出结果；（2）①令y=1,求出PM的值，

令x=1求出PN的值即可；（3）过点P作平行于x轴的直线,利用图象可得出结果.

试题解析：(1) ∵函数

k

y

x

=（x>0）的图象与直线y=x-2交于点A(3，m) ∴m=3-2=1,把A

（3,1）代入

k

y

x

=得，k=3×1=3.即k的值为3，m的值为1.

考点：直线、双曲线的函数图象

24.如图，AB是O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC OA

⊥于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D.

（1）求证：DB DE =； （2）若12,5AB BD ==，求O 的半径.

【答案】（1）见解析；（2）15

2

【解析】

试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin ∠DEF 和sin ∠AOE 的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论. 试题解析：（1）证明：∵DC ⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD 为切线，∴OB ⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中, ∠4=∠5，∴DE =DB.

考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数

25.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整. 收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下： 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90

75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83

80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

整理、描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70--79分为生产技能良好，60--69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

得出结论：

a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为____________；

b.可以推断出_____________部门员工的生产技能水平较高，理由为_____________.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

【答案】a.240，b.乙；见解析.

按如下分数段整理 按如下分数段整理数据： 成绩

x

人数 部门 4049x ≤≤ 5059x ≤≤ 6069x ≤≤ 7079x ≤≤ 8089x ≤≤ 90100x ≤≤

甲 0 0 1 11 7 1 乙

1

7

10

2

a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为400×

40

=240（人）； b.答案不唯一，言之有理即可．

可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由如下：

①甲部门生产技能测试中，测试成绩的平均数较高，表示甲部门生产技能水平较高； ②甲部门生产技能测试中，没有生产技能不合格的员工． 可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由如下：

①乙部门生产技能测试中，测试成绩的中位数较高，表示乙部门生产技能水平优秀的员工较多；

②乙部门生产技能测试中，测试成绩的众数较高，表示乙部门生产技能水平较高． 考点：众数，中位数.

26.如图，P 是AB 所对弦AB 上一动点，过点P 作PM AB ⊥交AB 于点M ，连接MB ，过点P 作PN MB ⊥于点N .已知6AB cm =，设A P 、两点间的距离为xcm ，P N 、两点间的距离为ycm .（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0）

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

/x cm0 1 2 3 4 5 6

/y cm0 2.0 2.3 2.1 0.9 0

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.

为等腰三角形时，AP的长度约为（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PAN

____________cm.

【答案】（1）1.6，（2）见解析，（3）2.2（答案不唯一）

【解析】

试题分析：(1)通过画图画出大致图象，估算当AP=4时，PN≈1.6；（2）见解析，（3）2.2（答案不唯一）

试题解析：（1）1.6 (2)如图所示：

（3）作y=x 与函数图象交点即为所求.2.2(答案不唯一)

考点：函数图象，估算，近似数

27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

43y x x =-+与x 轴交于点A B 、（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . （1）求直线BC 的表达式；

（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点()()1122,,,P x y Q x y ，与直线BC 交于点

()33,N x y ，若123x x x <<，结合函数的图象，求123x x x ++的取值范围.

【答案】（1）y=-x+3;(2)7<123x x x ++<8. 【解析】

试题分析：（1）先求A 、B 、C 的坐标，用待定系数法即可求解；(2)由于垂直于y 轴的直线

l 与抛物线2

43y x x =-+要保证123x x x <<，则P 、Q 两点必位于x 轴下方,作出二次函数与一次函数图象，找出两条临界直线，为x 轴和过顶点的直线，继而求解.

(2).由2

2

43(2)1y x x x =-+=--，∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2, ∵12y y = ,∴1x +2x =4.令y=-1,y=-x+3,x=4. ∵ 123x x x <<，∴3<3x <4, 即7<123x x x ++<8, ∴ 123x x x ++的取值范围为：7<123x x x ++<8.

考点：二次函数与x 轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性. 28.在等腰直角ABC ?中，0

90ACB ∠=，P 是线段BC 上一动点（与点B C 、不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ CP =，过点Q 作QH AP ⊥于点H ，交AB 于点M . （1）若PAC α∠=，求AMQ ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）

试题解析：

(1) ∠AMQ=45°+α.理由如下：

∵∠PAC=α,△ACB是等腰直角三角形，∴∠PAB＝45°－α，∠AHM=90°,∴∠AMQ=180°－∠AHM-∠PAM＝45°＋α .

(2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ=2 MB.

理由如下：

连接AQ，过点M做ME⊥QB，

∵AC⊥QP,CQ=CP, ∴∠QAC=∠PAC=α,∴∠QAM=α+45°=∠AMQ, ∴AP=AQ=QM,在RT△APC和