上海高考数学知识点整理(全)

高考临近给你提个醒

集合与简易逻辑

1．

例1．集合R x x y y M ∈==,2，R x x y y N ∈+-==,12，则=N M 例2．集合{}R x x y y x M ∈==,),(2，{}

R x x y y x N ∈+-==,1),(2，=N M 例3．集合()(){}R M ∈+==λλ,4,32,1，集合()(){}

R N ∈+==λλ,5,43,2，则

=N M

2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性。

例4．已知集合{},,lg()A x xy xy =，集合{}y x B ,||,0=，且B A =，则=+y x

3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ?。 ② 空集是任何集合P 的子集，记为P ??。 ③ 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ≠

??。

注意：若条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况。

例5．集合}012|{2

=--=x ax x A ，如果?=+

R A ，实数a 的取值范围

集合的运算：④ ()()C B A C B A =、()()C B A C B A =； ()()()U U U C A

B C A C B =、()()

()U U U C A B C A C B =。

⑤ ?=?????=?=B C A A C B C B A B B A A B A U U U 。

⑥ 对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数

依次为：n

2、12-n

、12-n

、22-n

。

例6．满足条件{}{}5,4,3,2,12,1??≠

A 的集合A 共有 个。

4．研究集合之间的关系，当判断不清时，建议通过“具体化．．．”的思想进行研究。 例7．已知{}N k k x x M ∈+==,12，{}

N k k x x N ∈±==,14，则N M _____。

5．补集思想．．．．

常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 例8．设函数()()122242

2

+----=p p x p x x f 在区间[]1,1-上至少存在一个实数C ，使

()0>c f ，求实数p 的取值范围

6．命题是表达判断的语句。判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题。 ① 命题的四种形式及其内在联系： 原命题：如果α，那么β；

逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β； 逆否命题：如果β，那么α；

② 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲?乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题。

③ 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题。 ④ 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑。 例9．“βαs i n s i n ≠”是“βα≠”的 条件。

⑤ 注意命题“如果α，那么β”的否定与它的否命题的区别：

命题“如果α，那么β”的否定是“如果α，那么β”；否命题是“如果α，那么β”。 *例10．“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是 否定是

7

8

首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果。

不等式

1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算） ① b a >且c b > ? c a >；

② 推论：ⅰ.a b a c b c >?±>±； ⅱ. b a >且d c >?d b c a +>+；

③ 0000ac bc

c a b ac bc c ac bc c >>??

>?===??<

；

④ 推论：ⅰ.0,0a b c d ac bd >>>>?>； ⅱ.b a >且a 、b 同号11a b

?

<； ⅱ.b a >>011

0a b ?

>>； ⅲ

.0,0,a b a b ααα>>>?>> ⑤ 0>>b a ，0>m ? m a m

b a b ++<；

⑥ ?????<=>-000b a ???

?

??<=>b b b a ；

2．解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）

① 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：

ⅰ.分解因式?找到零点； ⅱ.画数轴?标根?画波浪线； ⅲ.根据不等号，确定解集；

注意点：ⅰ.分解因式所得到的每一个因式必须为x 的一次式； ⅱ.每个因式中x 的系数必须为正。

②绝对值不等式

ⅰ.x a x a a >?><-或 )0(>a ； ⅱ.x a a x a a ；

ⅲ.22

a b a b >?>； ⅳ.()()()()()(0)f x g x g x f x g x >>?<-或()()x g x f >；

ⅴ.()()()()()f x g x g x f x g x

③幂、指、对不等式

去掉幂、指、对符号 ? 解不等式：

解对数不等式时，应注意些什么问题？（化成同底、利用单调性、注意同解变形） ④ 解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键。 而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述 ⑤对于不等式恒成立问题，常用“函数思想．．．．”、“分离变量思想．．．．．．”以及“图象思想．．．．

”。 例1．已知不等式04)2(2)2(2

<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取值范围

3．基本不等式：

①R b a ∈,，则22

2a b ab +≥，当且仅当b a =时，等号成立。

,a b R +

∈

，则a b +≥，当且仅当b a =时，等号成立。

综上，若R b a ∈,，则ab b a b a 22

)(2

2

2

≥+≥

+， 当且仅当b a =时，等号成立。 *② 若+

∈R b a ,

2

112a b a b

+≥≥≥+ ，当且仅当b a =时，等号成立。

*③1

201,11

201,x x x x x x x x x x

?≥>==??+??≤-<==-??，当且仅当，即时等号成立

，当且仅当，即时等号成立

。 例2．已知正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 例3．函数)2

1

(4294>--

=x x x y 的最小值为

例4．若12=+y x ，则y x 42+的最小值是 例5．正数x 、y 满足22=+y x ，则

y

x 1

1+的最小值为 4．不等式的证明：

① 比较法：作差 → 因式分解或配方 → 与“0”比较大小 →

② 综合法：由因导果。

③ 分析法：执果索因；基本步骤：要证即证即证。 ④ 反证法：正难则反。

⑤最值法：()max x f a >，则)(x f a >恒成立； ()min x f a <，则)(x f a <恒成立。

函数

1．九个基本函数必须熟练掌握：强调函数图象．．．．．．和．性质．．

正比例函数， 反比例函数， 一次函数， 二次函数， 幂、指、对函数， 三角函数，反三角函数。 2．反函数：当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。 ① 求反函数的步骤掌握了吗？

ⅰ．解方程，用y 表示x ；ⅱ．交换x 与y ，写成反函数的形式； ⅲ．注明反函数的定义域。 ② 你还记得反函数的四个性质吗？ ⅰ．互换性；； ⅱ．对称性； ⅲ．单调一致性； ⅳ ．还原性。 例1．函数()x f y =过点()1,1，则()x f -4的反函数的图象一定经过点

③ 若原函数()y f x =在定义域上单调，则一定存在反函数；但一个函数存在反函数，则此函数不一定单调。你能写出一个具体的函数吗？

例如：分段函数：()??

???<+-≥+??? ??-=010121x x x x f x

或()x x f 1=等。

3．函数的要素：定义域、值域、对应法则

① 定义域：

ⅰ．给出函数解析式，求函数的定义域（即求使函数解析式有意义的x 的范围） (1) 0)()]([0

≠?=x f x f y ； (2) 0)()

()(≠?=

x Q y x Q x P ；

(3) 0)()(2≥?=x P x P y n ； (4)0)(,1

)(,0)(log )

()(>≠>?=x Q x P x P y x Q x P ； (5) Z k k x P x P tg y ∈+

≠?=,2

)()]([π

π； (6)Z k k x P x P ctg y ∈≠?=,)()]([π；

(7) 1)(1)](arcsin[≤≤-?=x P x P y ； (8) 1)(1)](arccos[≤≤-?=x P x P y ； ⅱ．使实际问题有意义的自变量的范围。 例2．锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则cos AC

A

的值等于 ，AC 的取值范围为 ⅲ．求复合函数的定义域：

若()x f 的定义域为[]b a ,，则()[]x g f 的定义域由不等式()b x g a ≤≤解出； 若()[]x g f 的定义域为[]b a ,，则()x f 的定义域相当于[]b a x ,∈时()x g 的值域；

例3．函数)

3lg()

4()(--=

x x x x f 的定义域为

例4．若函数()x f y =的定义域为??

????2,21，则函数()x f 2log 的定义域为 例5．若函数()

12

+x f 的定义域为[)1,2-，则函数()x f 的定义域为

② 值域：函数的值域（或最值）有哪几种常用解题方法？

ⅰ．二次函数型或可化为二次函数型；ⅱ．单调性；ⅲ．基本不等式； ⅳ．换元法；ⅴ．数形结合； 例6．函数1cos 3sin 22

--=x x y 的值域为 例7．设x ,1a ,2a ,y 成等差数列，x ,1b ,2b ,y 成等比数列，则()2

12

21b b a a +的取值范围是

例8．函数x

x y 2

2sin 19

sin ++=的值域为 例9．函数()x y x --=-5log 2

32的值域为

3．函数的基本性质： ①奇偶性：

ⅰ．定义判断奇偶性的步骤：

⑴ 定义域D 是否关于原点对称；⑵ 对于任意D x ∈，判断)(x f -与)(x f 的关系： 若)()(x f x f =-,也即0)()(=--x f x f (),y f x x D ?=∈为偶函数

若)()(x f x f -=-,也即0)()(=+-x f x f (),y f x x D ?=∈为奇函数

ⅱ．图象判断奇偶性：函数图象关于原点对称?奇函数； 函数图象关于y 轴对称?偶函数； ⅲ．判断函数的奇偶性时，注意到定义域关于原点对称了吗？ ⅳ．如果奇函数)(x f y =在0=x 处有定义，则0)0(=f 。

ⅴ.一个函数既是奇函数又是偶函数，则该函数必为：()0,f x x D =∈ (其中定义域D 关于原点对称) ⅵ．如果两个函数都是非零函数（定义域相交非空），则有：

奇+奇?奇；奇+偶?非奇非偶；偶+偶?偶；奇?奇?偶； 奇?偶?奇； 偶?偶?偶。

②单调性：设任意D x x ∈21,,且21x x <,则=)(1x f )(2x f ?无单调性

12()()f x f x >?减函数1212

()()

0f x f x x x -?

<-； 12()()f x f x >?增函数1212()()0f x f x x x -?

>-； 在比较)(1x f 与)(2x f 大小时，常用“作差法”，比较-)(1x f )(2x f 与0的大小。 ⅰ．奇函数的图象在y 轴两侧的单调性一致；偶函数的图象在y 轴两侧的单调性相反。 ⅱ．互为反函数的单调性一致。

ⅲ．增函数+增函数 ? 增函数； 减函数+减函数 ? 减函数。 ⅳ．复合函数单调性由“同增异减”判定。

例10．函数(

)

x x y 2log 2

2

1+-=的单调递增区间为

ⅵ．注意函数“单调性”、“奇偶性”的逆用（即如何体现函数的“奇偶性”、“单调性”）

例11．已知奇函数()x f 是定义在()2,2-上的减函数，若()()0121>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围

③最大值和最小值：参见函数的值域 当x 取12

,,n x x x 的中位数时，函数12||||||n y x x x x x x =-+-++-取最小值

④函数的零点：对于函数()()y f x x D =∈，如果存在实数()c c D ∈，当x c =时，()0f c =，那么就把x c =叫做函数()()y f x x D =∈的零点。注：零点是数；

用二分法求零点的理论依据是：①函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续；②()()0f a f b ?< 那么，一定存在(,)c a b ∈，使得()0f c =。（反之，未必）

以下性质不是．．

函数的基本性质 ⑤周期性：对于函数D x x f y ∈=)(，如果存在一个非零常数t ，使得对于任意D x ∈ 时，恒有

)()(x f t x f =+成立，那么函数D x x f y ∈=)(叫做周期函数，非零常数t 叫做该函数的周期。

ⅰ．任意D x ∈，()()x f a x f -=+，则a T 2= ⅱ．任意D x ∈，()()

x f a x f 1

-=+，则a T 2= ⅲ. 任意D x ∈,()()f x a f x b +=+,则||T a b =-

例12．定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且在[]2,3--上是减函数，若α、β是锐角三角形的两个内角，则()αsin f 与()βcos f 的大小关系为

*ⅳ．若()x f y =图像有两条对称轴a x =、b x =（b a ≠），则()x f y =必是周期函数，且一周期为b a T -=2。

*ⅴ．若()x f y =图像有两个对称中心()0,a A 、()0,b B （b a ≠），则()x f y =是周期函数，且一周期为b a T -=2。

*ⅵ．如果函数()x f y =的图像有一个对称中心()0,a A 和一条对称轴b x =（b a ≠），则函数

()x f y =必是周期函数，且一周期为b a T -=4。

例13．已知定义在R 上的函数()x f 是以2为周期的奇函数，则方程()0=x f 在[]2,2-∈x 上至少有 个实数根。

⑥ 对称性：

ⅰ．点()y x ,关于y 轴的对称点为()y x ,-；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=。 ⅱ．点()y x ,关于x 轴的对称点为()y x -,；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=。 ⅲ．点()y x ,关于原点的对称点为()y x --,；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=

ⅳ．两函数()x a f y +=与()x b f y -=的图像关于直线2

a

b x -=

对称。 ⅴ．函数()x f 满足()()x b f x a f -=+，则函数的图象关于直线2

b

a x +=对称。

例14．二次函数bx ax x f +=2

)(满足()()35-=-x f x f ，且方程x x f =)(有等根，则=)(x f

例15．己知函数()3

23

--=

x x x f ，若)1(+=x f y 的图像是1C ，它关于直线x y =对称图像是2C ，2C 关于原点对称的图像为3C ，则3C 对应的函数解析式是

例16．函数x x y +=2

与函数()x g y =的图象关于点()3,2-对称，则()=x g

ⅵ．形如),0(bc ad c d cx b ax y ≠≠++=

的图像是双曲线，对称中心是点??

?

??-c a c d ,，两条渐近线分别

为c d x -

=，c

a y =。 例17．已知函数图象1C 与2C ：()112

++=++a ax a x y 关于直线x y =对称，且图象1C 关于点

()3,2-对称，则=a

4．函数图象变换： ① 平移变换：

ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(a x f y +=的图象； ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数b x f y +=)(的图象； ② 伸缩变换：

ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(x k f y ?=的图象； ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f k y ?=的图象； ③ 对称变换：

ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象； ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象； ⅲ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y --=的图象；

ⅳ．函数)(x f y =函数|)(|x f y =图象；

ⅴ．函数)(x f y =函数|)(|x f y =图象； 例18．要得到()x y -=3lg 的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向_____平移3个单位而得到。 例19．将函数a a

x b

y ++=

的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么 ( )

(A) 1-=a ，0≠b ； (B) 1-=a ，R b ∈； (C) 2a =，0≠b ； (D)0=a ，R b ∈；

5．常见的抽象函数模型：

① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。

② 幂函数模型：()2

x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ?=；()

()y f x f y x f =???

?

??。

③ 指数函数模型：()x

a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ?=+；()()()

y f x f y x f =

-。 ④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=????

??。

⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()()

y f x f y f x f y x f ?-+=

+1。

6．三个二次（哪三个二次）的关系以及应用掌握了吗？ ① 在研究三个二次时，你注意到二次项系数非零了吗？

② 如何利用二次函数来研究一元二次方程、一元二次不等式的问题。

③ 一元二次函数的研究强调数形结合，那么数形结合该从哪些方面去研究？（开口、对称轴、定义域以及偏移度）

④ 特别提醒：二次方程2

0ax bx c ++=的两根即为不等式2

0()ax bx c ++><解集的端点值，也

是二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠图象与x 轴交点的横坐标。 7．研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗？ 8．研究函数的性质注意在定义域内进行了吗？

9．解对数函数问题时注意到真数以及底数的限制了吗？ 10．指数运算法则：),,0,0(R n R m b a ∈∈>> ⅰ. n

m n

m

a

a a +=?； ⅱ. n m m

n n m a a a ?==)

()(； ⅲ. n n n b a b a ?=?)(；

11．对数运算法则：

)(log log log N M N M a a a ?=+； N

M

a a a N M l o g l o g l o g =-；

b a

b

a =

log ； a

b b

c c a log log log =；

b m

n

b a n

a m log log =；

三角

1．三角比的定义你还记得吗？

2．三角公式你记住了吗？① 同角三角比的关系：商数关系、倒数关系、平方关系；

② 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

③ 你能用“小三角形”进行同角三角比的转换吗？

3．三角化简，强调哪两点？① 切、割化弦；② 化繁为简。

4．三角条件求值你注意到两个关系了吗？（角的关系、名的关系）

例如：()ββαα-+=；()()βαβαα-++=2；()()

βαβαβ--+=2

例1．已知()52tan =

+βα，414tan =??? ?

?

-πβ，则=??? ??+4tan πα

例2．已知α、β为锐角，x =αsin ，y =βcos ，()5

3

cos -=+βα，则y 关于x 的函数

关系为 5．在三角中，你知道“1”等于什么吗？

αα2

2

cos sin 1+=αα2

2

tan sec -=αα2

2

cot csc -=4

tan

cot tan π

αα=?=

===0cos 2

sin

π

。

6．重要公式：① 22cos 1sin 2

αα-=

； ② 2

12cos cos 2

+=αα ③ α

ααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=

+=； ④ ()βααα+?+=+sin cos sin 22b a b a ； 例3．当函数x x y sin 3cos 2-=取最大值时，=x tan

7．你还记得在弧度制下弧长公式以及扇形的面积公式吗？你注意到了扇形的弧长与周长的 区别了吗？（0

3.571≈rad ）

弧长公式：r l ?=α； 周长公式：r l c 2+=； 面积公式：r l r S ?=?=

2

1

212α； 例4．已知扇形AOB 的周长是cm 6，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 8．正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边

角互化？ 正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：A bc c b a cos 22

2

2

?-+=；bc

a c

b A 2cos 2

22-+=；

面积公式：B ca A bc C ab S sin 2

1

sin 21sin 21?=?=?=

?； 大边对大角：B A B A b a sin sin >?

>?

>；

锐角ABC ?中：若2

2

2

c b a >+，则B A B A B A cos sin 2

2

>?->?>+π

π

；

钝角ABC ?中：若2

2

2

c b a <+，则B A B A B A cos sin 2

2

2

-

π

π

；

直角ABC ?中：若2

2

2

c b a =+，则B A B A B A cos sin 2

2

=?-=

?=+π

π

；

例5．在ABC ?中，若3

1

sin =

A ，则=A cos (注意几解）

在ABC ?中，若3

1

cos =

A ，则=A sin （注意几解） *9．三角形与向量综合的有关结论：

① 在ABC ?中，给出2

2

2

==，?O 是ABC ?的外心；（外心：中垂线的交点） ② 在ABC ?中，给出=++，?O 是ABC ?的重心；（重心：三边中线的交点） ③ 在ABC ?中，给出?=?=?，?O 是ABC ?的垂心；（垂心：高的交点） ④在ABC ?

中，给出?

?+=OA OP λ，?所在直线经过ABC ?的内心； ⑤在ABC ?中，给出2

AC

AB +=

，?等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线； 例6．O 是ABC ?

OC -+=-，则ABC ?的形状为 例7．若D 为ABC ?边BC 的中点，ABC ?所在平面内一点P ，满足0=++CP BP PA

，设

λ=，则=λ

例8．若O 是ABC ?的外心，且=++，则角=C

10．你能迅速画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象吗？你知道三角函数线吗？

能写出它们的单调区间及其取最值时x 的集合吗？（别忘了．．．k Z ∈）； 能给出三角函数的对称轴、对称点吗？

11．会用五点法画函数“B x A y ++=)sin(?ω”的草图吗？哪五点？

会根据图象求出参数A 、ω、?、B 的值吗？

12．形如B x A y ++=)sin(?ω、B x A y ++?=)tan(?的最小正周期会求吗？有关函数周期的定义还记得吗？周期函数有何性质？

13．反三角的处理思想是什么？（回归思想：① 设、② 化、③ 范围，回到三角范围求解） 14．你能熟练的画出反三角函数：x y arcsin =、x y arccos =、x y arctan =的图象吗？ 并结合图象，你能说明反三角函数的性质吗？ 15．在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面要求：

① 先求出某一个三角函数值；② 再判定角的范围。

16．三角不等式或三角方程的通解一般式你注明“Z k ∈”了吗？

17．在用反三角表示直线的倾斜角、两直线的夹角、异面直线所成角、线面角、二面角、向量夹角

时，是否注意到它们的范围？

直线的倾斜角：[)π,0；两直线的夹角：??????2,0π；异面直线所成角：??? ??2,0π；线面角：??

?

???2,0π； 二面角：[]π,0；向量夹角：[]π,0；

数列：

1．数列的本质是什么？（定义在正整数集或其子集上的函数）。

2．等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？等比数列的通项公式与指数函数有什么关系？ 3．等差数列的求和公式有几个？等比数列的求和公式应注意什么？

4．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“{}n a 是等差数列”的充要条件是“Bn An S n +=2

，其中公

差A d 2=”。

设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“{}n a 是非常数等比数列”的充要条件是“(0)n n S Aq A A =-≠，

其中公比是q ”。 5．常数列：)(N n a

a n ∈= ? {}n a 是公差0=d 的等差数列；

非零常数列．．．．．

既是等差数列,又是等比数列；既是等差数列又是等比数列的数列必为非零常数列 6．若{}n a 是等差数列,则{}n

a b

是等比数列（0≠b ）；若{}n

a 是等比数列，则{}n b

a log

是等差数列；

7．对于等差、等比数列，你是否掌握了类比思想？

8．等差数列、等比数列有哪些重要性质？你注意到它们的性质的关键在于下标以及结构特征了吗？

例1．已知{}n a 是等比数列，且{}n a 的前n 项和r S n

n +=3，则=r

例2．在等比数列{}n a 中，12483=+a a ，51274-=?a a ，公比q 是整数，则=10a

9．无论是在等差数列还是在等比数列中，共有五个关键量：1a 、n a 、n S 、n 、d 或q ， 如果已知其中三个量，则可由n a 及n S 的公式，求出其余两个量（知三求二）；

10．求数列通项公式有哪几种典型类型？

① 1(2,)n n a a d n n N --=≥∈或1(2,)n n a

q n n N a -=≥∈型（定义．．?等差或等比数列．．．．．．．?利用公式．．．．

） ② 已知)(1n f a a n n =-+或)(1n g a a n n =+)(N n ∈型 （累计求和或累计求积．．．．．．．．．

） ③ 已知1n n a p a q +=?+ (1p ≠)型（等式左右两边同时减去．．．．．．．．．．

1q

p

-） ④ 已知和n S ，求项n a ，则：???≥-==-2

1

1

1

n S S n S

a n n n （是否注意到．．．．．“2≥n ”？） ⑤利用迭代、递推的方法

⑥数学归纳法证明（用数学归纳法证明问题的关键是什么？是否具有从特殊到一般的思维模式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

）

例3．数列{}n a 满足11=a ，n

n a a n n ++=

--111，2≥n ，*

∈N n ，则=n a

例4．数列{}n a 满足11=a ，231+=-n n a a ，2≥n ，*

∈N n ，则=n a

例5．数列{}n a 满足11=a ，n n n n a a a a ?=---11，则=n a

例6．数列{}n a 满足522

1

2121221+=+++n a a a n n ，则=n a

11．求数列{}n a 的最大、最小项的方法：注意点：由于n 是正整数，注意等号成立。 ① 函数思想（特别是，利用数列的单调性）；

② 作差比较法：??

???<=>=-+000

1 n n a a ?n n a a <=>+1；

③11

max min 11();()n n n

n n n n n n

n a a a a a a a a a a ++--≥≤?????

?≥≤?? 例7．数列{}n a 的通项公式为32922

-+-=n n a n ，则{}n a 的最大项为

例8．{}n a 的通项公式为156

2+=

n n

a n ，则{}n a 的最大项为

例9．{}n a 的通项公式为()n

n n n a 1019+?=，则{}n a 的最大项为 12．求数列前n 项和n S 有哪几种典型类型？

① 通过判断 ? “等差或等比数列” ? 利用求和公式求解。 ② 通过判断 ? “等差±等比”型 ? 分组拆项求和。 ③ 通过判断 ? “等差?等比”型 ? 错位相减法。 ④通项或表达式为分式时，常用裂项相消求和法。

常用裂项方法：1111()()()()m n k m k n m n k n k m

=->++-++ ⑤倒序相加法，或倒序相乘法，强调配对思想。 ⑥对于数表型问题，找规律，再操作。

⑦对于奇偶项的不同，分类讨论，分别求和。（注意项数、公差、公比的变化） 例10．=++++++++++

n

3211

32112111 例11．函数()221x x x f +=，则()()()()=??

?

??+??? ??+??? ??++++4131214321f f f f f f f

13．你会根据数列项的关系来研究“数列和的最值”以及“数列积的最值”吗？

例12．等差数列{}n a 中，251=a ，179S S =，问该数列中多少项和最大？并求此最大值。

例13．若{}n a 是等差数列，首项01>a ，020042003>+a a ，020042003n S

成立的最大正整数n 是

14．数列换元应注意哪两个原则？（最小下标原则以及下标一致原则）。 15．极限有哪几种典型类型？分别如何处理？

① c c n =∞

→lim （c 为常数）； ② 1lim 0(0)n a n α→∞=> ；③ ??

???-=>=<=∞→11111

0lim q q q q q n

n 或不存在；

④22lim (0)n an bn c a d dn en f d →+∞++=≠++；⑤1

11

,||||1

lim ,||||11

,n n

n n n a b a a b a b a b

b a b a b ++→+∞?>??+?=

16．极限的运算性质有哪些？

如果：A a n n =∞

→lim ，B b n n =∞

→lim ，则：① B A b a n n n ±=±∞

→)(lim ； ② B A b a n n n ?=?∞

→)(lim ；

③ B A

b a n

n n =∞→lim

)0(≠B ；④ k k n n k n n A a a ==∞→∞→)lim ()(lim k 为有限数；

注：极限的四则运算应满足：项数有限且每一项都有极限

18．0lim =∞

→n

n q _?？（1

n q ∞

→lim 存在，则q 满足什么条件？（ 1

上述q 与等比数列的公比有什么区别吗？

19．无穷等比数列的“各项和”就是“所有项和”，也就是数列和的极限。它的前提是等比数列的公

比q 满足：1

a S -=

11

。 *20．存款单利问题：（零存整取储蓄（单利）本利和计算模型）

若每期存入本金p 元，每期利率为r ，则n 期后本利和为：()()()nr p r p r p S n +++++=1211 ； 分期付款复利问题：若贷款p 元，采用分期等额还贷款，从借款日算起，一期后为第

一次还款日，如此下去，分n 次还清，如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还贷款x 元应满足：()()

()()n

n n r p x r x r x r x +=+++++++--11112

1

；

复数

1．你还记得复数是怎样定义的吗？ ① 虚数单位i ：四次一循环 )(;

1;

;

1;

4434241

4Z k i i i i i i

k k k k ∈=-=-==++++

注：易知2

(1)2i i +=； 2

(12)2i i -=-k ； 2(1)

2k

k k i i +=?； 2(1)(2)k k k i i -=-?

② 复数的代数形式：形如),(R b a bi

a ∈+的数叫做复数，记为：),(R

b a bi

a z ∈+=。

a 叫做复数z 的实部，记为：a z =Re ；

b 叫做复数z 的虚部，记为：b z =Im ，注意：复数的虚部是一个实数。

注：虚数不能比较大小；能比较大小的复数是实数

③ bi a z +=1，bi a z -=2 ),(R b a ∈， 则称1z 、2z 为共轭复数，记为：21z z =，或12z z =。

注：实数a 的共轭复数就是本身，即)(R a a

a ∈=

④ Im 0z R z z z ∈?=?=2

0z ?≥； z 是纯虚数Re 0Im 0z z =???

≠?0

z z z ?+=???

≠??20z ?< ⑤ 数的分类： 0:00,(0):(00)a b z bi b z a bi a b ????????

???????????????∈???

?????=≠=≠???=+≠≠???

正整数

整数有理数

实数负整数复数z=a+bi(a,b R)分数无理数纯虚数且即虚数非纯虚数且 2．解复数问题的指导思想是什么？（根据复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题求解） 设bi a z +=1,di c z +=2),,,(R d c b a ∈,则12z z a c b d =?==且（把复数问题转化．．为实数问题） 3．复数的性质有哪些？

① 共轭的性质：ⅰ．2121z z z z ±=±； ⅱ．2121z z z z ?=?； ⅲ．2

121)(

z z

z z =； ⅳ．z z =)(；

② 模的性质：ⅰ．2121z z z z ?=?； ⅱ．

2

121z z z z =； ⅲ．n n

z z =； ⅳ．z z z z

?==2

2

； ⅴ．(

)2

2

212

212

212z z z z z z +=-++；

ⅵ.121212||||||||||z z z z z z -≤+≤+

③ 幂的运算法则：（注：n 、m 为整数）

ⅰ．n

m n m z

z z +=?； ⅱ．n m m n m

n z z z )()

(==?； ⅲ．n n n z z z z )()()(2121=?；

ⅴ．n n

i i i i )2()

1(2)1(22

=+?=+； n n i i i i )2()1(2)1(22-=-?-=-；

ⅵ．01,1,2

31231232=++=--==?+-=

??????i

i ；

?的本质：方程31x =的三个根是1

和122-±

，其中1,2122

?=-±叫做立方虚根。

?的运算满足三次一循环：311k ω=；3111k ωω+=；32121k ωωω+==（k Z ∈）

4．你还记得实系数一元二次方程的求根公式吗？“共轭虚根定理”的前提是什么，结论是什么？

① 实系数一元二次方程：02

=++c bx ax )0,,,(≠∈a R c b a

ⅰ．当042

≥-=?ac b 时?

有两个实数根：12,2

b x x -=；

ⅱ．当042

<-=?ac b 时?有一对共轭虚根：

12,x x =；

② 无论0≥?还是0

??

?

=

?-=+a c

x x a b x x 2121

注意：（1）实系数一二次方程2

0(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠中，以下公式和定理适用．．： 求根公式；利用判别式判断根的情况与个数；韦达定理；共轭虚根定理（即虚根成对出现）

（2）虚系数一元二次方程中：仅韦达定理．．．．可用； （3）已知12x x 、是一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠的两根，则 ⅰ．若12||(0)x x p p -=>，则2212120()4x x x x p ?≥??

+-=?或22

12120

4()x x x x p

?，则22212120

2||x x x x p ?≥??++=?

或1210||||2||x x x p ?

矩阵

1．矩阵：由n m ?个数ij a （m i ,,3,2,1 =；n j ,,3,2,1 =）按顺序排成的m 行、n 列矩

形数表叫做矩阵，记为：?????

?

? ??=mn m m m ij n n a a a a a a a a a a a a a A 32122322211131211，简记为：()

n

m ij

a A ?=，读做：矩阵A .

2．元素：矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，记为ij a 。

3．单位矩阵：主对角线上元素均为1，其余元素均为0的方矩阵，叫做单位矩阵，记为I 。

例如：2阶单位矩阵：????

??1001；3阶单位矩阵：????

? ??100010001。 4．负矩阵：将矩阵()

n

m ij

a A ?=中每一个元素ij a 变为其相反数ij a -，所得的矩阵称为矩阵A 的负矩阵，记为：()

n

m ij

a A ?-=-。

5．零矩阵：所有的元素都为0的矩阵，称为零矩阵。

6．相等矩阵：若两个矩阵是同类型，即()

n

m ij

a A ?=，()

n

m ij

b B ?=，当且仅当它们对应位置的元素

都相等，即ij ij b a =时，则称这两个矩阵相等，记做：B A =。 7．矩阵的和（差）：两个同类型矩阵()

n

m ij

a A ?=、()

n

m ij

b B ?=对应位置上的元素相加（减），设

ij ij ij c a b =±，所得到的矩阵()

n

m ij

c C ?=称为矩阵A 、B 的和，记做：C A B =±。

注：矩阵相等、矩阵加减运算，前提条件是两矩阵的行数与列数相同。

矩阵加法运算律：① 交换律：A B B A +=+ ② 结合律：()()A B C A B C ++=++； 8．数与矩阵相乘：设k 为任意实数，将矩阵()

n

m ij

a A ?=的所有元素都与α相乘得到的矩阵

1112131212223

212

3

n n ij

m m m mn ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ??

? ?

?

???

叫做矩阵A 与实数k 的乘积矩阵，记作：()

n

m ij a A ?=αα。

注：实数与矩阵的乘法运算律：如果A 、B 是两个同类矩阵，m 、n 是任意实数，那么： ① 实数关于矩阵加法的分配律：()m A B mA mB +=+； ② 矩阵关于实数加法的分配律：()m n A mA nA +=+； ③ 实数关于实数与矩阵乘法的结合律：()()mn A m nA =； 9．矩阵的乘积：当且仅当矩阵()

n

m ij

a A ?=的列数n 与矩阵()

q

p ij

b B ?=的行数p 相等时，定义矩阵

()q m ij c C ?=的任意一个元素pj in j i j i j i ij b a b a b a b a c ?++?+?+?= 332211，则称矩阵C 是矩阵

A 与矩阵

B 的乘积，记作：AB

C =。

注：两个矩阵进行乘法运算，必须是左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，其核心为：“左行乘右列”。 矩阵变换:要“左乘”变换矩阵

① 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵；② 若0=AB ，一般不能推出0=A 或者0=B ； ③ 若AC AB =，即使A 是非零矩阵，也不一定有C B =；④ 矩阵乘法不满足交换律，即AB 与BA 一般不相等。

行列式

1．二阶行列式：

2

2

11b a b a ，其展开式为：1221b a b a -。

2．设二元一次方程组：??

?=+=+2

221

11c y b x a c y b x a ，其中1a 、2a 、1b 、2b 是未知数x 、y 的系数，且不全为零，1c 、2c 是常数项，设22

1

1b a b a D =

，22

1

1

b c b c D x =，2

2

11

c a c a D y =，则方程组可整理为：???=?=?y

x D y D D x D

ⅰ、当0≠D 时，方程组有唯一解：???

?

??D D D D y x ,；

ⅱ、当0=D ，且x D 、y D 不全为零时，方程组无解； ⅲ、当0===y x D D D 时，方程组有无穷多组解。

注意：利用三阶行列式解线性方程组时：0≠D ?方程组有唯一解；

0=D ?方程组有无穷解或无解（只需知道即可）．．．．．．．．．．．．．．

3．把九个数排成三行三列的方阵称为三阶行列式，记做：33

32

31

232221

131211

a a a a a a a a a ，

按行列展开为：211233113223312213231231133221332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++。

① 余子式：把三阶行列式中某元素ij a 所在的行和列划去后所得的二阶行列式叫做该元素ij a 的余子式，记做：ij M （本质：还是行列式）。

② 代数余子式：把某元素ij a 的余子式ij M 添上相应的符号()

j

i +-1，得到()

ij j

i M +-1，叫做该元素

ij a 的代数余子式。

例如：23a 的余子式为：32

31

121123a a a a M =

；代数余子式为()

32

31

1211233

21a a a a M -

=-+；

③ 三阶行列式可以按任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；三阶行列式可以按任意一列展开成该列元素与其对应的代数余子式的乘积之和；

例如：32

3122

2113333123211233322322

11333231232221

13

1211

a a a a

a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a +-=； 23

21

13

11

323331

1311

223331

2321

12

33

32

31

232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=； 4．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为()11,y x 、()22,y x 、()33,y x ，

则ABC ?的面积公式112

23311121

ABC x y S x y x y ?=。

向量

1．向量的本质是什么？① 即有大小又有方向的量；② 向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 2．向量的性质有哪些？

① 相等向量：大小相等，方向相同的两个向量叫做相等向量，记为：（与起点，终点的位置无关）；

② 互为负向量：大小相等，方向相反的两个向量叫做互为负向量。的负向量：-； 0)(=-+a a ；

③ 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。（平行向量与大小无关） 若，都是非零向量，则// ? k = (R k ∈)；（向量平行即共线） ④ 零向量：大小为零的向量叫做零向量，记为：。 （零向量方向任意） 注：0≠0， 00=-， 0//任意向量， 0⊥任意向量；

⑤ 单位向量：大小为“1”的向量叫做单位向量。单位向量方向不确定；单位向量不唯一；单位向量之间不一定相等；若0a 是非零向量

的单位向量，则：a =

0；

⑥ 位置向量：起点在原点的向量叫做位置向量?位置向量与向量终点一一对应?位置向量的向量坐标与终点的点坐标一一对应

⑦ 判断向量垂直的依据：0a b a b a b a b ⊥??=?+=- ⑧ 判断向量平行的依据：（非零向量）

方法一：存在常数k ，使得k =? //且0>k 时，与同向；0

方法二：b a //1cos 01cos ???

?

?

??=?-=?=??=?=?=?反向

同向

π

θθθθ。

⑨ 向量a 在向量b 方向上的投影：cos a b a b

θ??=

。（投影有正负）

3．你掌握了“数与向量相乘”，“向量的数量积”的运算了吗？

① 数与向量乘积：k ?=k （结果为向量）注：若k ?=，则=或0=k 。 运算律：当m 、R n ∈时，ⅰ、a n a m a n m +=+)(； ⅱ、b m a m b a m +=+)(；

ⅲ、)()()(m n mn n m ==；

② 向量的数量积：cos ,[0,]a b a b θθπ?=??∈（结果为实数）