(人教版)高中数学必修四教案

第一章三角函数

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入大于360?角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（.

二、教学重、难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.

难点: 终边相同的角的表示.

三、学法

回忆-观察-讲解-归纳-推广.

四、教学设想

【创设情境】

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25

小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360

??

~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.

【探究新知】

1．初中时，我们已学习了0360

??

~角的概念，它是如何定义的呢？

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的

端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.

2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.

如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图1.1.3(2)中，正角210α?=，负角150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.

3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.

角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

如教材图1.1-4中的30?角、

210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一

个象限,称为非象限角.

4.练习:

(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几? 7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.

[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果32?-的终边是OB ,那么328,??-角的终边都是OB ,而328321360???=-+?,39232(1)360???-=-+-?.

设{|32360,}S k k Z ββ??==-+?∈,则328,392??-角都是S 的元素,32?-角也是S 的元素.因此,所有与32?-角终边相同的角,连同32?-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与32?-角终边相同.

一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合

{|360,}S k k Z ββα?==+?∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.

6例题讲评

例1. 例1在0360??~范围内，找出与95012'?－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360??－是指0360β??≤<）

例2.写出终边在y 轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α?-≤

720?<的元素β写出来.

7.练习 教材6P 第3、4、5题.

注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍.

8.学习小结

(1) 你知道角是如何推广的吗?

(2) 象限角是如何定义的呢?

(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x 轴、

y 轴、直

线y x =上的角的集合.

五、评价设计

作业：习题1.1 A 组第1,2,3题．

1.1.2弧度制

一、教学目标：

（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.

二、教学重、难点

重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.

难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.

三、教学设想

【创设情境】

有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.

【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.

弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.

2.弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,

角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与

圆交于点B .请完成表格.

我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来y x A αO B

决定.

4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?

角α的弧度数的绝对值是：r

l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π?=填空:

1___rad ?=,1___rad =度

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.

6.例题讲解

例1.按照下列要求,把'6730?化成弧度:

(1) 精确值；

(2) 精确到0.001的近似值.

例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π?=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.

7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于

这个实数的角）与它对应.

8.例题讲评 例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:

(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12

S lR =.

其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85?的大小.

注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.

9.练习 教材10P .

五、作业：习题1.1 A 组第7,8,9题．

1.2 任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数(一)

一、教学目标：

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；

二、教学重、难点

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.

三、教学设想

第一课时 任意角的三角函数（一）

【创设情境】

提问：锐角O

借助右图直角三角形，复习回顾.

引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那

么它的终边在第一象限.在α的终边上任

取一点(,)P a b ,它与原点的距离

0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长

度为b .则sin MP b OP r α=

=; cos OM a OP r α==; tan MP b OM a

α==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM a

α==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那

么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.

【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.

2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?

如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)

P x y,那么:

(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,即sin y

α=；

（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,即cos x

α=；

（3）y

x 叫做α的正切(tangent),记做tanα,即tan(0)

y

x

x

α=≠.

注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)

P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.

3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?

前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅

与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r=,那么

sin α=

,cos α=, tan y x

α=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.

4.例题讲评

例1.求53

π的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.

教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:

如例2:设3,4,x y =-=-

则5r ==.

于是 4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3

y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题

6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：

7．例题讲评

例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{

tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限

角.

8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?

显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: sin(2)sin k απα+= cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈)

tan(2)tan k απα+= 9.例题讲评 例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:

(1)cos250?; (2)sin()4π

-; (3)tan(672)?-; (4)tan3π 例5.求下列三角函数值:

(1)'sin148010?; (2)9cos 4π; (3)11tan()6

π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0?到360?)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.

10.巩固练习17P 第4,5,6,7题

五、评价

1．作业：习题1.2 A 组第1,2题．

2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.

第二课时任意角的三角函数（二）

【复习回顾】

1、三角函数的定义；

2、三角函数在各象限角的符号；

3、三角函数在轴上角的值；

4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；

5、三角函数的定义域.

要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.

【探究新知】

1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？

2．[边描述边画]

以单位长度1为半径画一个圆，这个圆

就叫做单位圆（注意：这个单位长度不

一定就是1厘米或1米）.当角α为第一

象限角时，则其终边与单位圆必有一个

交点(,)

P x y，过点P作PM x

⊥轴交x轴于

点M，则请你观察:

根据三角函数的定义：|||||sin|

OM xα

==

==；|||||cos|

MP yα

随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？

3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？

（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：

当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有

==

cos

OM xα

同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向

时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有

==

MP yα

sin

4.像MP OM

、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.

5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?

如上图,过点(1,0)

A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设

它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有

tan y AT x

α== 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.

6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？

（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？

7.例题讲解

例1．已知42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.

处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.

8.练习19P 第1,2,3,4题

9学习小结

(1)了解有向线段的概念.

(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

(3)体会三角函数线的简单应用.

【评价设计】

1． 作业：

比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)

(1)sin15?、tan15? （2）'cos15018?、cos121? （3）5π、tan 5π

2．练习三角函数线的作图.

1.2任意角的三角函数

1.2.2同角三角函数的基本关系

一、教学目标：

1、知识与技能

(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；

（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；

（7）掌握恒等式证明的一般方法.

二、教学重、难点

重点：公式1cos sin 22=+αα及αα

αtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.

难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.

三、教学设想 【创设情境】

与初中学习锐角三角函数一样，本节课我

们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各

不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之

间的互相转化．

【探究新知】

1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标

来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗?

如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=. 根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα

=. 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.

2. 例题讲评

例6.已知3sin 5

α=-,求cos ,tan αα的值.

sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.

3. 巩固练习23P 页第1,2,3题

4.例题讲评

例7.求证:cos 1sin 1sin cos x x x x

+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.

5.巩固练习23P 页第4,5题

6.学习小结

（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γ

βαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．

五、评价设计

(1)

作业：习题1.2A 组第10,13题. (2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关

系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.

第二章 平面向量

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念

教学目标：

1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；

掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的

本质区别.

3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事

物的数学本质的能力.

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.

教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， A

B C

D

设问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.

分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

二、新课学习：

（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

1、数量与向量有何区别？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

（三）探究学习