一元一次方程的应用 教学设计

一元一次方程的应用

【教学目标】

（一）知识与技能

1．知道一元一次方程解简单应用问题的方法和步骤，并会列出一元一次方程解简单的应用题；

2．从不同的实际问题中分析数量关系，会从各种实际问题中恰当地把握不同形式的等量关系。

（二）过程与方法

1．通过运用方程解决实际问题，体会运用方程解决实际问题的一般过程。提高分析问题和解决问题的能力。

2．让学生独立思考、积极探究，从而发现解决问题的最佳方案。

（三）情感态度价值观：

通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情。

【教学重难点】

1．重点：一元一次方程解应用题的方法和步骤；用列方程的方法解决各类不同的实际问题。

2．难点：弄清问题，合理地选择未知数，正确地列出方程。

【教学方法】

采用直观分析法，引导发现法及尝试指导法充分发挥学生的主体作用。

【教学准备】

投影仪。

【课时安排】

4课时

【教学过程】

【第一课时】

一、情境导入

今问鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各有多少只？

此题用列方程的方法解非常简单，因为每只鸡有一个头，两只足，每只兔子有一个头、四只足。假设次笼中有鸡x 只，则有兔（35－x ）只，有鸡足2x 只，兔足4（35－x ），那么根据已知条件：鸡足+兔足=94，得2x+4（35－x ）=94，这样就列出了方程，解方程即可求出x=23，35－x=12。既有鸡23只，兔12只。

此题用算术法解要比上述解法难得多。首先得考虑：如果鸡和兔都长两只足，那么笼中应有35×2=70只足，94－70=24那么说明，这24只足是少算进去的兔足，又因为每只兔有4只足，我们把每只兔子少算了两只足，因为24÷2=12可知笼内有12只兔子。有鸡35－12=23只，具体写出算式就是：

笼内有兔子的只数=2

1（94－35×2）=12（只） 笼中有鸡的只数=35－12=23（只）

我们把设未知数列方程解应用题的方法叫做代数方法。把不设未知数用算术式求解的方法，叫做算术方法。随着学习的深入，接触到的问题越来越复杂，你将逐步体会到代数方法的优越性，感到列方程解应用题的简捷美。

二、例题讲解

例1：某校七年级同学参加这一次公益活动，其中15%的同学去做保护环境的宣传，剩下的170名同学去植树、种草。七年级共有多少名同学参加这次公益活动？

怎样用方程来解决这个问题呢？

列方程解决实际问题，关键是找出含有所求数量的等量关系。本题中的等量关系是：做保护环境宣传的人数+植树种草的人数=七年级参加公益活动的人数。 如果我们设七年级共有名同学参加这次公益活动，请同学们填写下表：

做环保宣传的同学/名

植树种草的人/名 参加公益活动的同学/名

在这个等量关系中，参加保护环境宣传的人数和七年级参加公益活动的总人数都是未知数，已知参加保护环境宣传的人数是参加公益活动总人数的15%，所以我们设七年级共有x 名同学参加公益活动，那么参加保护环境宣传的人数可表示为（15%x ）。

根据等量关系书写解答全过程（15%x+170=x ）。

然后按教科书写出解答全过程。

三、提出问题，共同探究

问题：大、小两台拖拉机一天共耕耘地面积是19公顷，其中，大拖拉机耕地的面积比小拖拉机耕地面积的2倍还多1公顷。这两台拖拉机一天各耕地多少公顷？

一起探究：

1．本题中已知量有哪些？

答：（1）大、小两台拖拉一天耕地19公顷。

（2）大拖拉机耕地的面积比小拖拉机耕地面积的2倍还多1公顷。

2．求什么？

3．本题中含有的所求数量的等量关系是什么？

答：拖拉机一天耕地公顷数+小拖拉机一天耕地公顷数=19。

4．若设小拖拉机一天耕地x 公顷，那么能求出大拖拉机一天的耕地面积，进而列出方程求得x 吗？谈谈你的认识和做法。

用投影展示学生解题过程。

解：设小拖拉机一天耕地x 公顷，依题意，列方程：

解这个方程，得。

故或19－6=13．

答：小拖拉机一天耕地6公顷，大拖拉机一天耕地13公顷。

5．若本题设大拖拉机耕地x 公顷，那么该选项哪个等量关系列方程比较好呢？请你试一试，并比较两种解法。

解法二：等量关系为：

大拖拉机一天耕地公顷数=2×小拖拉机一天耕地公顷数+1。

即

显然解法一简便。

通过上面问题的解答，你能说出列一元一次方程解运用问题的一般步骤吗？

一般步骤如下：

1．认真审题，找出能够表达题目含义的等量关系；

2．分析等量关系中，已知量与未知量的关系，适当设未知数x ；

3．将等量关系中，其余的未知量用含x 的代数式表示，再根据等量关系，列出方程；

4．解这个方程；

5．检验答案是否合理、正确（不必写出来）。最后写答案。

四、课堂小结

本节课主要分析了一元一次方程应用题的方法和步骤。要掌握列方程解应用题的本领，首先分析题意时，必须明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间又什么关系，然后找出能表

2119x x ++=6x =2126113x +=?+=2(19)1x x =-+

示题目含义的等量关系。

【第二课时】

一、复习回顾

1．列一元一次方程解应用问题的一般步骤是什么？

2．行程问题中的基本数量关系是什么？

路程=速度×时间。

3．相遇问题或追及问题中所走路程的关系？

（1）相遇问题：双方所走路程之和=全部路程；

（2）追及问题：快速行径路程=慢速行径路程。（同地不同时）

二、试着做做

A 、

B 两地间的公路长为375km ，一辆轿车和一辆公共汽车分别从A 、B 两地同时出发沿公路相向而行，轿车的平均速度为90km/h ，公共汽车的平均速度为60km/h ，它们出发后多少小时在途中相遇？

（1）本题是路程问题，从路程上分析，等量关系是：

轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=375

（2）①两车同时出发，相遇时，两车所行驶的时间相同，这个时间正是题目要求的问题。 设两车出发后xh 相遇，则轿车行驶了90xkm ，公共汽车行驶了60xkm 。

有关行程问题可借助“线段图”分析。

②根据以上等量关系，列方程：

（3）请同学们写出本题的求解过程。

共同探讨

在上述问题中，如果公共汽车先出发0.5h 后轿车再出发，其他条件均不变，那么，轿车出发后多少小时两车相遇？

此问题的等量关系仍是：

轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=375

设轿车出发后x 小时两车相遇，画示意图。

列方程：

9060375x x +

=9060(0.5)375x x ++=

解方程，得=2.3

答：轿车出发后2.3小时两车相遇。

三、例题讲解

例2：一项工作，小李单独做需要6h 完成，小王单独做需要9h 完成。如果小李先做2h 后，在由两人合作，那么还需几小时才能完成？

分析：如果设还需两人合作x h 才能完成，那么有下面分析图

解：设两人合作x h 才能完成。依题意，

四、课时小结

本节课我们探究了用一元一次方程解决行程问题，不同的问题，所建立的等量关系不同，我们可以借助“线段图”帮助寻找等量关系，一般地行程问题有一些等量关系。

1．三个基本量之间的关系：路程=速度×时间；

2．相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=A 、B 两地点的距离。

【第三课时】

一、试着做做

某企业2011年的生产总值为95930万元，比2010年增长了7.3%。2010年该企业的生产总值为多少万元？（精确到1万元）

1．找出本题中的等量关系： 2．设该企业2010年的生产总值为x 万元，填表

2010年的生产总值

2010~2011年间的增长产量 2011的生产总值 x

3．列出的方程是

x 1112()x 1669

?++=5x 12

=

4．求解这个方程。

二、例题讲解

例3：某期3年国债，年利率5.18%；这期国债发行时，3年期定期存款的年利率5%。小红的爸爸有一笔钱，如果用来买这期国债比存3年期定期存款到期后可多得利息43.2元，那么这笔钱为多少元？

解：设这笔钱是x元。依题意，得

x×5.18%×3－x×5%×3=43.2

解得

x =8000

答：这笔钱是8000元。

本课时是“增长率”的相关问题，其本质特征仍然是“各分量之和=总量”的数量关系，因此，所展现内容的认知结构基本是相同的。教学中，应更加充分的放手让学生自己来做。

1．从引例和实例出发，让学生在探索中发现问题，提出问题，分析和解决问题，获得进一步的体验、感受、经验，提高用方程解决实际问题的能力。

2．本节揭示的数量关系是：“原有数量+增长数量=现有数量”。

3．引例创设了学生自主学习的情景，并用“设问”的方式给出了一系列的问题，建议教学中引导学生积极展开自主学习与恰当的合作交流。

三、课时小结

本节课我们探究了用一元一次方程解决增长率问题，不同的问题，所建立的等量关系不同，我们可以借助“线段图”帮助寻找等量关系，一般的行程问题有一些等量关系。

三个基本量之间的关系：“原有数量+增长数量=现有数量”

【第四课时】

一、一起探究

某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克。如果每公顷施肥400kg，那么余下化肥800kg；如果每公顷施肥500kg，那么余下化肥300kg。这块麦田是多少公顷？现有化肥多少千克？

1．设这块麦田为x公顷，由“如果每公顷施肥400kg，那么余下化肥800kg”可得表示化肥的代数式是怎样的？由“每公顷施肥500kg，那么余下化肥300kg”可表示化肥数的代数式又是怎样的？这两个代数式应有怎样的关系？将结果填写在下面的横线上：

2．设现有化肥y kg，据题意，可列方程：

3．请解以上方程。

二、例题讲解

例4：某校七年级学生进行了一次徒步行走活动。带队教师和学生们以4km/h的速度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶。如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少时间才追上队伍？此时，队伍已行走了多远？

分析：小王追上队伍，就是小王和队伍走过的路程相等。

小王骑车行驶的路程=队伍行走的路程

解：设小王要用x h才能追上队伍，这时队伍行走的时间为（1/3+x）h。依题意，得12x=4（1/3+x）

解得

x =1/6

12x=12×1/6=2

答：小王1/6h可追上队伍，此时，队伍已行走了2km。

本课时内容主要是揭示用“同一个量的不同表示”来列方程，进而解决实际问题的过程。

教学中，应关注这些内容与前面所学的不同点，有意识地引导学生多角度的分析和解决问题，发展学生的思维能力。

引例是“盈亏”问题，应在教师的引导下，让学生独立完成。对于“一起探究”中的第2个问题，应进行适当的铺垫，可分设几问，比如：化肥为y kg时，由“每公顷施肥400kg，余下800kg”，用含y的代数式表示麦田公顷数是什么？由“每公顷施肥500kg，缺少300kg”，用含y的代数式表示麦田公顷数又是什么？二者之间有什么关系？怎样列关于y的方程？

四、课时小结

利用方程解决实际问题的关键是寻求等量关系，本节课解决的几个问题都是借助同一个数量的两种不同办事方式来列方程的。这种等量关系比较隐晦，关键是抓住变化中的不变量是什么。对于较复杂的问题可以借助图形进行分析。有些问题用间接设元法比较简单。