损失和风险

第三章效用、损失和风险

(Utility,Loss and Risk)

本章主要参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184

§3—1 效用的定义和公理系统

一、引言

·为什么要引入效用

决策问题的特点：自然状态不确定——以概率表示；

后果价值待定：以效用度量。

1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；

2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。

例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钱的边缘价值问题。

例二：

上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义

有人认为打赌不如礼品,即

*由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策的人偏好次序(preference order)的问题

*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。

* 除风险偏好之外，还时间偏好。 i, 折扣率 ii,其他而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).

Daniel Bernoulli 在1738年指出：

若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。 二、效用的定义 1.符号 i,A B(即APB)读作A 优于B ：(Prefer(ed) A to B) A

B(即ARB) A 不劣于B

A ～B(即AIB) A 无差别于

B (Indifference) ii, 展望(prospect): 可能的前景 即各种后果及后果出现概率的组合 P=(p c 11,;…;,;p c i i …p c n n , ) 既考虑各种后果 (consequence)

又考虑了各种后果的概率(probability or likelihood)分布 所有P 的集合记作p iii,抽奖(lottery)与确定当量 若 C 1 ( p C ,2 ; (),13-p C )

则称 确定性后果C 1 为抽奖 ( p C ,2 ; (),13-p C ) 的确定当量 2.效用的定义(A)

在集合p 上的实值函数u ，若它和p 上的优先关系一致，即: 若 p p 12,∈p , p 1p 2 iff u(p 1)≥u(p 2)

则称u 为效用函数

三、效用存在性公理理性行为公理

Von Neumann-Morenstern, 1994 [169] ·公理1 连通性 (Connectivity)又称可比性

p p

12

,∈p, 则p1p2 or p1p2 or p2p1·公理2 传递性 (Transitivity)

p p p

123

,,∈p, 若p1p2,p2p3则p1p3·公理3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变)

若p p p

123

,,∈p, p1p2且 0 1

则对任何p

3∈p ,必有p

1

+(1-)p

3

p

2

+(1-)p

3

或者表达成：p

1p

2

, 则p

1

+(1-)p

2

p

1

+(1-)p

2

即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。

·公理4 连续性公理 ---- 偏好的有界性

若p

1p

2

p

3

则存在 01, 01,

使p

1+(1-)p

3

p

2

p

1

+(1-)p

3

由p

1+(1-)p

3

p

2

可知p

3

不是无穷劣,即 u(p

3

)

由p

2p

1

+(1-)p

3

可知p

1

不是无穷优, 即 u(p

1

)

p

3

即使是死亡，亦不至于无穷劣

例：i,过马路

若死亡为无穷劣，则不能过马路

ii,狂犬病疫苗

上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.

例：Allais 悖论（Paradox 〕

例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Svage回答

Savage的回答是A组宁择i，

B组宁择ii，

Allais指出：B组的i, ii, 均以的$500,000 取代的 $0，即与A组的i,ii,相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。

Savage当时语塞。

·效用的公理化定义

在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使

i, p

i p

j

当且仅当 u(p

i

) ＞u(p

j

)

ii. u(α, p

i ; 1-α, p

j

)= αu(p

i

) +(1-α)u(p

j

)

iii, 对满足上述条件的u

1 ,u

2

必有u

1

(p

i

) =b u

2

( p

i

)+c , 其中 b, c ∈R1,

b＞0

则u(P)称为(基数)效用函数

*关于线性：将ii. u(α, p

i ; 1-α, p

j

)= αu(p

i

) +(1-α)u(p

j

) 推广

到一般,

若p

i ∈p ;λ

i

≥0 , i=1,2,…m; λ

i

i

∑=1; 则 u(

i

m

=

∑

1

λ

i

p

i

)=

i

m

=

∑

1

λ

i

u(p

i

)

四、基数效用与序数效用(Cardinal & Ordinal Utility) 基数：实数：1，2，3,π

序数：第一，二，…，4，3，2，1

·区别：

1.基数效用定义在展望集p上(考虑后果及其概率分布),是实数;

序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是整正数

2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)

原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, πb+c; 其中 b, c ∈R1, b＞0. 而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变换为

16,9,4,1;或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.

·序数效用的存在性公理

1.连通性(可比)

2.传递性

3.对任何确定的后果x，优势集与劣势集均为闭集。(教材：P29 §

§效用函数的构造

一、离散型的概率分布

后果元素有限

·各后果效用设定的步骤 NM法

由公理4: 若p

1p

2

p

3

,则可找到 0<α<1, 使p

2

αp

1

+(1-α) p

3

第一步：

选定C

1, C

2

C , 使C

2

C

1

令 u(C

1)=0, u(C

2

)=1

所选择的C

1、C

2

应使比较易于进行.

第二步：对C

2C

3

C

1

,求α(0<α<1), 使C

3

αC

2

+(1-α)C

1

则 u(C

3)=u(αC

2

+(1-α)C

1

)= αu(C

2

)+(1-α)u(C

1

)

第三步：若C

4C

1

, 求α(0<α<1), 使C

1

αC

2

+(1-α) C

4

则u(C

1)=u(αC

2

+(1-α) C

4

)=αu(C

2

)+(1-α)u( C

4

)

u( C

4

)=α/(α-1)

第四步：若C

5C

2

, 求α(0<α<1), 使C

2

αC

5

+(1-α)C

1

则u(C

2)=u(αC

5

+(1-α)C

1

)= αu(C

5

)

u(C

5

)=1/α第五步：一致性校验

设C

5C

4

C

3

且C

5

,C

4

,C

3

已知，

由C

4αC

5

+(1-α)C

3

求得u’(C

4

)

若u’(C

4) 与已知的 u(C

4

) 不符，则反复进行二、三、四步，直到一

致性校验通过. 例

设C

2C

3

C

4

C

1

一、u(C

1)=0, u(C

2

)=1

二、C

3C

2

+C

1

u(C

3

)=

三、C

4C

2

+C

1

u (C

4

)=

校验设C

3C

2

+C

4

u’(C

3

)=≠

重复二、三、若u (C

3) 不变 u (C

4

)= 则通过校验.

二、连续型后果集

·当C为连续变量时,u(c)是光滑的，因此可分段构造，求特征点的效用，再连成光滑曲线

例1.每天学习时间的效用曲线

在10～12小时／日处效用最大

8小时／日处效率最高(效用／小时)

例2.见讲义P31之例

·注意：效用的唯一性(在正线性变换下唯一)使效用的值域为整个实轴，而不必限于[0,1]

§风险与效用

一、效用函数包含的内容

1.对风险的态度

风险厌恶(Risk Aversion)

风险中立(Risk Neutralness)

风险追求(Risk Proneness) 即有冒险倾向

以上是初期对风险的解释(Pratt C.,1964)

2.对后果的偏好强度

钱的边缘价值：设某人现有积蓄为0，增加800地的作用(价值)与有了800元后再加1200元相等,则此人的财富的价值函数是凹函数。

若他认为800元,0; ,2000),则与其说此人是风险厌恶不如说他是相对风险中立。为此有必要对确定性后果的偏好强度加以量化。

3.效用表示时间偏好十分复杂，我们在第八章再介绍。

二、可测价值函数

——确定性后果偏好强度的量化

定义：

在后果空间X上的实值函数v，对ω，x, y, z∈X有

i, ωx yz当且仅当υ(ω)-υ(x)≥υ(y)-υ(z), 且

ii, v对正线性变换是唯一确定的。

则称υ为可测价值函数

说明：i，ωx yz表示ω,x之间偏好强度之差超过y,z之间偏好强度之差, ii,由定义之ii，可测价值函数具有基数性质但与基数效用不同：VF 不反映DMer的风险态度。

iii，它定在后果空间上，能起序数效用的作用但又与OUF不同：能反映后果的偏好强度.

三、相对风险态度

设效用函数u和测价值函数v在X上都是单调递增，且连续二次可微。

1.风险的局部测度

> 0 u在x 处凹, 风险厌恶

r(x)=-u”(x)/u’(x) = 0 u在x 处线性, 风险中立

< 0 u在x 处凸, 风险追求

2.偏好强度的局部测度

>0 在x处有递减的边缘价值

m(x)=-v”(x)/v’(x)=0 在x处有不变的边缘价值

<0 在x处有递增的边缘价值

3.真正的(相对)风险态度的定义

若m(x)＜r(x)称为在X'区内相对风险厌恶

m(x)=r(x)称为在X'内相对风险中立

m(x)=r(x)称为在X'内相对风险追求

四、风险酬金

k E(x)-S

这是决策人为了避免风险而顾意损失的金额

k=f(v,P)

五、钱的效用

1.性质

i, 单调递增：愈多愈好

有界：全世界财富总量不足$1016, u(10100)与u(1090)几乎无差异

ii, x较小(相对于决策人资产而言)时,u(x)近乎线性

iii, x>0时u(x)通常是凹的递减的边缘价值

风险厌恶

x>0与x<0的形状不同, 负债较多有追求风险的倾向.

2.钱的效用曲线的构成

设某人现有1000元存款(某商店有资产10万，企业有1000万等等) i, NM法(见§

利用x

2～αx

1

+(1-α)x

3

ii,修正的NM法

利用x

2～x

1

+x

3

例: 设u(0)=0), u(1000)=1

有300～<0>+<1000> u(300)=

又125～<0>+<100> u(125)= 550～<300>+<1000> u(550)= 由0～+<500>

设 a=-250

则u(-250)=-u(500)=

-250～+<0> 原因：i,价值函数是S 型

ii,在一定范围内相对风险态度不变 iii,负债到一定程度以上有冒险倾向 Friedmann-Savage 效用曲线(1948):

§ 损失、风险和贝叶斯风险

一、损失函数L

有些文献采用损失函数进行分析 ∵u(c)=u(θ,a)

∴l(θ,a)-u(θ,a) 则损失函数与效用作用相同 为了使损失值非负，可取

l(θ,a)= A

a Sup Sup ∈Θ∈θu(θ,a)-u(θ,a)

二、风险函数

自然状态集 Θ -----参数空间 行动集 A -----决策空间 观察值集 X -----测度空间

决策规则 δ:x →a , δ∈? , Δ为策略空间 损失l(θ,a)=l(θ,δ(x))

由于X 是随机变量，对给定的θ，采用决策规则δ时定义风险函数 R(θ,δ)=E X θ[ l(θ,δ(x))]

=[x X ∈? l(θ,δ(x)) ]f (x |θ) dx 或 x X

∈∑ l(θ,δ(x))

p (x |θ) 三、贝叶斯风险

r(π，δ)E πR(θ,δ)

含义：θ的先验分布为π，决策规则为δ时风险函数的期望值叫贝叶斯风险 即: r(π，δ)=E π R(θ,δ)

= [x X ∈∈??θΘl(θ,δ(x)) f (x |θ) dx ] π(θ) d θ 或 x X

∈∈∑∑θΘl(θ,δ(x)) p (x |θ) π(θ)