计算机网络原理海明码

例题1

已知海明码的关系式

S0=a2+a3+a4+a6

S1=a1+a4+a5+a6

S2=a0+a3+a4+a5

请填充下述S2S1S0值与错误位置的对应表

S2S1S0 | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111

---------------------------------------------------------

错码位置| 无错

解答：

先看001, 对应S2S1S0就是S0=1，即S0出错，而S0=a2+a3+a4+a6，就看S0的四项里哪一项S1和S2里没有，很明显是a2，所以001下面填a2.

看010, S1错，S1=a1+a4+a5+a6，S1里哪一项S0和S2里没有？是a1，所以010下面填a1

看011，S1和S0都错，那S1和S0里都有哪一项呢？a4和a6，但是S2无错，S2里也有a4，没有a6，所以是a6错，011下面填a6

100,101,110同

看111，S2、S1和S0都错，那么哪一项s2,s1和s0里都有呢？a4，所以111下面填a4

例题2

在海明码编码方法中，若冗余位为3位，且与错码位置的对应关系为

S2S1S0 111 110 101 011 100 010 001 000

错码位置a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 无错

则S1的监督关系式为( )。

A. S1=a1+a3+a5+a6

B. S1=a2+a3+a4+a6

C. S1=a1+a3+a4+a5

D. S1=a1+a2+a5+a6

解析：

S2S1S0 111 110 101 011 100 010 001 000

错码位置a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 无错

则S1的监督关系式为

我们通过查看S1不难发现，当S2S1S0为000时无错，则S1的对应关系必为1，题中S2S1S0就是S1=1，即S1出错。上面A6(111)A5(110)A3(011)A1(010)中间的S1均为1，a6,a5,a3,a1中任何一位出错，均可使s1为1，由此可得监督关系式为：S1=a1+a3+a5+a6

对于此题，我们可以变相的出题，如先看001, 对应S2S1S0就是S0=1，即S0出错，而S0=a0+a3+a4+a6

这样明白了吗？只要根据题目要求找到S对应的1便能能处理问题。这样应该比较简单，也不必记忆别的。

例题3

使用海明码进行前向纠错，如果冗余位为4位，那么信息位最多可以用到11位。

解析：

海明码的信息位，海明码是一种可以纠正一位差错的编码。它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。它必需满足以下关系式：2^ r>=k+r+1 式中k 为信息位位数r为增加冗余位位数

代入公式，2^4 >=k+4+1 不难求解出k<=11

这里公式记忆是问题的关键，如果不知道这个公式2^ r>=k+r+1单凭空想是解决不了问题的。如此反过来求冗余位也方便。

例题4

使用海明码进行纠错，7位码长（X7X6X5X4X3X2X1），其中4位数据，监督关系式为：

c0 = x1+x3+x5+x7

c1 = x2+x3+x6+x7

c2 = x4+x5+x6+x7

如果接收到的码字为1000101，那么纠错后的码字是（58）

解答:

接收到的码字为1000101，代入关系式。得X7=X3=X1=1，X6=X5=X4=X2=0。

得出：C2=1，C1=0，C0=1，得C2C1C0=101，代入8421码，等于5，可知第五位出错。

纠错后的码字为：1010101

从左往右1000101分别对应X7X6X5X4X3X2X1,将x1—x7带入

c0 = x1+x3+x5+x7

c1 = x2+x3+x6+x7

c2 = x4+x5+x6+x7

运算，即可得C2=1，C1=0，C0=1，对应101等于5，可知第五位出错。注意，上面的加号是异或的符号。

例题5

已知海明码的监督关系式为：

S2=a2+a3+a4+a6

S1=a1+a4+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a5

接收端收到的码字为a6a5a4a3a2a1a0=1010100，问在最多一位错的情况下发送端发送的码字是什么？（写出推演过程）。

解答：

根据海明码监督关系式得到下表：

S2S1S0 000 001 010 011 100 101 110 111

错码位置无错a0 a1 a5 a2 a3 a6 a4

发送的码字为：1010100，代入关系式得：a6=a4=a2=1，a5=a3=a1=a0=0

将a6a5a4a3a2a1a0=1010100代入监督关系式得(其中’+’表示异或运算)：

S2=a2+a3+a4+a6=1+0+1+1=1

S1=a1+a4+a5+a6=0+1+0+1=0

S0=a0+a3+a4+a5=0+0+1+0=1

查表得知收到的比特序列101，根据S2S1S0值与错误位置对应表序列为a3

即，发送的端发送的码字是：1011100

例题6

若海明码的监督关系式为：

S0=a0+a3+a4+a5

S1=a1+a4+a5+a6

S2=a2+a3+a5+a6

接收端收到的码字为：a6a5a4a3a2a1a0=1010100

那最多一位错的情况下发送端的发送信息位是什么?

解答：按监督关系式

S0=0+0+1+0=1

S1=0+1+0+1=0

S2=1+0+0+1=0

得出S2S1S0=001 根据值与错码位置的对应关系所以a0错误，发送端的发送信息应为1010101。

已知：信息码为："0010"。海明码的监督关系式为：(推导过程略) S2=a2+a4+a5+a6

S1=a1+a3+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a6

求：海明码码字。

注:如果K=4,那么

s0=a0+a1+a3+a4+a6

s1=a0+a2+a3+a5+a6

s2=a1+a2+a3+a7

s3=a4+a5+a6+a7

解：1)由监督关系式知冗余码为a2a1a0。

2)冗余码与信息码合成的海明码是："0010a2a1a0"。

设S2=S1=S0=0,由监督关系式得：

a2=a4+a5+a6=1

a1=a3+a5+a6=0

a0=a3+a4+a6=1

因此，海明码码字为："0010101"

例题8

已知：海明码的监督关系式为：

S2=a2+a4+a5+a6

S1=a1+a3+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a6

接收码字为："0011101"(n=7)

求：发送端的信息码。

解：1)由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。

2)由监督关系式可构造出下面错码位置关系表：

S2S1S0 错码位置

000 无错

001 a0

010 a1

100 a2

011 a3

101 a4

111 a6

3)由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。

4)纠错--对码字的a3位取反得正确码字："0 0 1 0 1 0 1"

5)把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码："0010"

方法二：(不用查表，方便编程)

1)海明码的生成（顺序生成法）。

例3.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 "(k=8)

求：海明码码字。

解：1)把冗余码A、B、C、…，顺序插入信息码中，得海明码

码字:" A B 1 C 1 0 0 D 11 0 0 "

码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12

其中A,B,C,D分别插于2k位(k=0,1,2,3)。码位分别为1,2,4,8。

2)冗余码A,B,C,D的线性码位是：(相当于监督关系式)

A->1,3,5,7,9,11；

B->2,3,6,7,10,11；

C->4,5,6,7,12；(注5=4+1；6=4+2；7=4+2+1；12=8+4)

D->8,9,10,11,12。

3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为

0)：

A=∑(0,1,1,0,1,0)=1

B=∑(0,1,0,0,1,0)=0

C=∑(0,1,0,0,0)=1

D=∑(0,1,1,0,0)=0

4)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"

2)海明码的接收。

例4.已知：接收的码字为："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8)

求：发送端的信息码。

解：1)设错误累加器(err)初值=0

2)求出冗余码的偶校验和，并按码位累加到err中：

A=∑(1,0,1,0,1,0)=1err=err+20=1

B=∑(0,0,0,0,1,0)=1err=err+21=3

C=∑(1,1,0,0,0)=0err=err+0=3

D=∑(0,1,1,0,0)=0err=err+0=3

由err≠0可知接收码字有错，

3)码字的错误位置就是错误累加器(err)的值3。

4)纠错--对码字的第3位值取反得正确码字：

"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"

5)把位于2k位的冗余码删除得信息码："1 1 0 0 1 1 0 0"

例题9

海明码的监督关系式为：

P1位负责校验海明码的第1、3、5、7、…（P1、D1、D2、D4、…）位，（包括P1自己）

P2负责校校验海明码的第2、3、6、7、…（P2、D1、D3、D4、…）位，（包括P2自己）

P3负责校校验海明码的第4、5、6、7、…（P3、D2、D3、D4、…）位，（包括P3自己）

校验位监督那些位是规定好的,还是可以有什么规律推出来的。

我的意思是为什么P1位负责校验海明码的第1、3、5、7、…（P1、D1、D2、D4、…）位，（包括P1自己）而不是第 1 2 3 4 5位呢?

P1,P2,P3监督哪一位，可由自己定义的

假设信息位是D1 D2 D3 D4，监督位是P1 P2 P3，即海明码是D1 D2 D3 D4 P1 P2 P3。

则监督式为：

P1=D4+P2+P3

P2=D2+D3+P3

P3=D1+D3+P1

接受方校验时，进行如下计算：

S1= P1+D4+P2+P3

S2= P2+D2+D3+P3

S3= P3+D1+D3+P1

这里的加法是异或加法，即：1+1=0，0+0=0，1+0=1，0+1=1

仅在有一位错的情况下，可根据S1 S2 S3来判断是哪一位错。如S1S2S3=000，则无错，若S1S2S3=001，表示D1错。

通常在设计海明码时，可以先定义监督关系，再根据监督关系求监督式。也可以先定义监督式，再根据监督式列出监督关系。

那么在上面的例子中，是如何由监督关系来求出监督式的呢？

我们先观察监督关系表，不难发现，S1=1所对应的错误位是D4 P1 P2 P3。这表明：D4 P1 P2 P3中仅有一位错时，应使S1=1，所以我们令P1=D4+P2+P3，S1= P1+D4+P2+P3。