2014-2015第一学期《高数2》问题答疑材料

高等数学2答疑材料

以下问题是同学们在平时问到的，有些问题出现的次数比较多，有些问题不是考试重点只需要大家作为一般性的了解即可。下面我们将一一讨论大家所提及到的问题。

第七章向量代数与空间解析几何

1、什么是单位向量，向量平行，垂直，共线的条件是什么？

答：长度为1的向量叫单位向量，单位向量的方向是任意的，所以单位向量不一定相等。a,b垂直的充要条件是：a.b=0.a,b平行的充要条件是：a*b=0。向量既有大小也有方向在计算的时候注意方向。

2、空间中直线与平面的位置关系

答：直线和直线的关系：（1）直线和直线平行；（2）直线和直线相交直线和平面有三种位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交；（3）直线与平面平行

平面和平面的关系：（1）平面和平面平行；（2）平面和平面相交

这一章同学们要掌握垂直、平行的充要条件，了解零向量，会简单的向量加减，掌握切平面方程、法线的算法。

第八章、多元函数微分法及其应用

在多元函数中大家问的多的首先是

1、什么多元函数，多元函数与一元函数的区别是什么？

答：多元函数就是含有几个自变量，一元函数只含有一个自变量，在求偏导数的时候它们的本质都是一样的，只是多元函数要稍微复杂一点而已。

2、极值点、驻点、拐点的概念和计算？

答：极值点：函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。拐点：一般的，设y=f(x）在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x）在经过点（x0,f(x0））时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x0,f(x0））为这曲线的拐点。驻点：函数的一阶导数为0的点称为函数的驻点，驻点可以划分函数的单调区间(驻点也称为稳定点，临界点。)

判断极值点的步骤：是求出一阶导数等于0的点（也就是驻点），和不可导点，然后再判断在这些点左右邻近的情形，根据左右导数符号来判断是否为极值，所以极值点不一定是驻点，驻点也不一定是极值点。只有知道函数在这一点是极值且知道在这点可导时，才能得到这点一定是驻点。而拐点是通过求二阶导数等于0和不存在的点，通过判断该点左右两侧邻近的符号来判断是否为拐点，如果知道是拐点，且二阶可导，则二阶导数一定是等于0，则根据判断极值的第二充分条件，这点是不是极值点无法判定，因此拐点和极值点也没有必然联系。

3、连续，偏导，可微之间的关系是什么？

答：同学们只需记住这几句总结的话：A.连续的函数不一定可导。B.可导的函数是连续的函数。 C.越是高阶可导函数曲线越是光滑。 D.存在处处连续但处处

不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。例：对于一元函数，可导等价于可微分，可导一定连续，连续不一定可导，例如y=|x|，在x=0时连续，但不可导。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果与先后次序无关,此时它们是相等的。

偏导数存在并且偏导数连续==>可微==>函数连续（这里的连续是指没求导的函数）偏导数存在并且偏导数连续==>可微==>偏导数存在以上所有关系倒推均不成立。函数连续与偏导数存在之间谁也推不出谁。

4、怎样判断奇函数和偶函数？

答：这个其实可以根据奇函数和偶函数的性质来区分，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

5、函数最大值和最小值的判断方法？

答：用导数判断函数的最大值和最小值。函数的导数为0的点称为函数的驻点，驻点可以划分函数的单调区间。用导数求到的，将会是函数的单调区间，然后，根据驻点，可以确定出函数的极值点。然后，比较所有的极值点，以及端点（闭区间的话），就可以得到最值了。极值点的确定：左增右减，那么该驻点为极大值点，其函数值有机会成为最大值；左减右增，那么该驻点为极小值点，其函数值有机会成为最小值。

第九章、重积分

1、如何计算二重积分、三重积分？

答：不管是算二重积分还是三重积分我们都先要明白积分区域是什么，在二重积分中，根据条件画出积分区域，把二重积分逐步转化为一重积分，得到最后的结果。在三重积分中，先画出立体简图，找出立体在某坐标面上的投影区域并画出简图，确定另一积分变量的变化范围，选择一种次序,化三重积分为三次积分。

2、旋转曲面的定义是什么

定义:曲线 C绕定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面。其中C——母线，与垂直的任一平面与旋转曲面交成一圆——维圆，过的任一平面与旋转曲面交成一圆——经线（子午线）注：旋转曲面的母线不唯一，它的任一经线均是其母线。

在这一章中，大家一定要掌握二重积分的算法，必要的时候可以用对称性或者极坐标来算二重积分，通过做练习题来巩固这些方法。

第十章、曲线积分与曲面积分

1、曲面积分的定义

设Σ为光滑曲面，函数f(x,y,z)在Σ上有界，把Σ任意地分成n个小曲面ΔS,在每个小曲面ΔSi上任取一点(Xi,Yi,Zi) 作乘积f(Xi,Yi,Zi)dS，并求和Σf(Xi,Yi,Zi)dS ，记λ=max(ΔS的直径) ，若f(Xi,Yi,Zi)dS当λ→0时的极限存在，且极限值与Σ的分法及（Xi,Yi,Zi）在Σ上的取法无关，则称极限值为f（x,y,z）在Σ上对面积的曲面积分，也叫做第一类曲面积分。即为∫∫f(x,y,z)dS；其中f(x,y,z)叫做被积函数，Σ叫做积分曲面，dS叫做面积函数。

2、应用格林公式的难点是什么？

答：首先大家要明白格林公式的概念是什么，条件是：L封闭的曲线，分段光滑有向；P，Q具有一阶连续偏导数。如果满足条件直接应用就行了。

第十一章、无穷级数

1、如何计算级数的收敛域？

答：通过收敛半径的公式可以得到级数的收敛半径（如果是隔了一项的不能直接用收敛半径公式，具体怎么做书上有例题请大家查看），当x等于端点值是观察原级数是瘦脸的还是发散的决定函数收敛域的开闭区间。

2、柯西审敛的原理是什么

答：数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立

将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：

函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立

在级数这一章中大家要明白是如何求出收敛域，如何判断级数的收敛性的，会写级数的通项。

第十二章、微分方程

1、怎么学习微分方程

答：首先理解好微分方程的基本概念，微分方程的定义，初始条件，微分方程的阶通解和特解。

一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的、叫做偏微分方程。微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.

特解: 确定了通解中任意常数以后的解初始条件: 用来确定特解的条件初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一个就是一阶微分方程，三种可解的类型，可分离变量的方程，还有齐次方程，还有一阶线性微分方程，这三种方程你要确实掌握，不管给了你什么样的题，你应该能够准确的做出来。另外是二阶线性微分方程，怎么求出它的通解，特别对于二阶线性常数非齐次微分方程，它的形式应该是什么？最重要的是要多做题