电磁场与电磁波电子教案3

第三章 静态电磁场及其边值问题的解

3．1 真空中静电场的基本方程 3.1.1场的基本方程

由亥姆霍兹定理，矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。

一、真空中静电场的散度 高斯定理

1、真空中静电场的散度

可以证明，真空中静电场的散度为

???=??）（处电荷密度为

处无电荷

r r r E

ρερ0/0 静电场高斯定理微分形式

说明：1）电场散度仅与电荷分布有关，其大小)(r

ρ∝；

2）对于真空中点电荷，有

()0(0)E r r ??=≠

/(0)

E r q r ε??==

或（） 2、高斯定理

高斯定理的积分形式←=?∴

=

=

??=???

????0

0)()(1

)(/)()(εερεερQ s d r E Q

dv r s d r E dv

r dv r E s

v

s

v

v

讨论：1）物理意义：静电场E

穿过闭合面S 的通量只与闭合面内所包围电荷量

有关（场与所有电荷有关）；

2）静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场； 3）无电荷处，源的散度为零，但电场不一定为零。

二、真空中静电场的旋度 环路定理

???? ??-=

=

?=

??

??B A

R R l r l

R R q R dR

q

R l d e q l d E B

A

1144?402

20πεπεπε

当A 点和B 点重合时，

0=??c

l d E

静电场环路定理的积分形式

由斯托克斯公式，0=??E

环路定理的微分形式

讨论：1）物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电场力做功为零 静电场为保守场；

2）静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡场，电力线不构成闭合回路。

三、真空中静电场性质小结

1、 微分形式 积分形式

????

??????=?=??=??=????l s

l d r E Q s d r E E r E 0)(/)(0/)(00 εερ 2、静电场性质：有源无旋场，是保守场

3、静电场的源：电荷 讨论：对于静电场，恒有

0≡??E

，而 0)(≡???ψ

ψ?∝?)(r E

ψ为标量辅助函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示。 补充内容：利用高斯定理求解静电场

)(1)(ερεQ

dv v s d r E v

s

=

=

???

1、 求解关键：高斯面的选择

2、高斯面的选择原则： 1） 场点位于高斯面上 2）高斯面为闭合面

3） 在整个或分段高斯面上，E

或s d E ?为恒定值。 3、 适用范围：呈对程分布的电荷系统。

3.1.2电位函数

一、 电位函数与电位差

1、电位函数

???

?≡???≡??0)(0

?E

E 可用一标量函数表示 ?-?=E 讨论：1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数 2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向 3）在直角坐标系中，

z y x e z

e y e x E ?????-??-??-=?

??

2、电位差（电压）

电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。 电位差的计算：

???l l l B B A B A B A

A

e

e

l E e d E dl l

E dl E dl

????

????→??=

???=-?=-????=-=-?=???

为增加最快的方向 电场空间中两点间电位差为：

??=-A B

A B l d E

??

说明：1）意义：A 、B 两点间的电位差等于将单位点电荷从B 点移动到A 点过

程中电场力所做的功；

2）两点间的电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与路径无关。 3、电位参考点

电位函数不唯一，导致电场分布具有不确定性

设 ??????-?=+-?='-?=?≠+=')(c E c

为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值。 选择电位参考点的原则：

1）应使电位表达式有意义； 2）应使电位表达式最简单；

3）同一个问题只能有一个参考点； 4）电位参考点的电位值一般为零。

二、 电位函数的求解

1

Q

q

)1

1(4?4)(020Q

p Q

p r p p

Q

p Q

p

Q P r r q r d r e q

l

d E l d E -==?+=?=-????

'''

πεπε??

选取Q 点为电位参考点，则 0=Q ? ?????

?

-=

∴

Q

p p r r q 1

140πε? 若参考点Q 在无穷远处，即∞→Q r ，则

r

q r 04)(πε?=

点电荷在空间产生的电位

说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点。 2、无限长线电荷的电位

E

p 'Q

p

)ln (ln 2?20

0p Q l Q p r l r r e r E -=-?=

περ

??περ 电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，选取1=r 柱面为电位参考点，即1=Q r ，得 p l

p r ln 20

περ?-

= 无限长线电流在空间产生的电位 3、分布电荷在空间产生的电位

体电荷：?+'=v c dv R

r r )

(41)(0

ρπε?

面电荷：?+'=s

s c ds R

r r )

(41)(0

ρπε?

线电荷：?

+'=

l

l c dl R

r r )

(41)(0

ρπε?

说明：若参考点在无穷远处，则 0=c 。 综上所述，电位是一标量

电位是一相对量，与参考点的选取有关 电位差是绝对的

引入电位函数的意义：简化电场的求解——间接求解法

在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因

此可以通过先求解电位函数，再由关系?-?=E

得到电场解。

三、电位的微分方程 1、方程的建立

有源区

00E E ρρ

ε?ε????=??-???=??=-??

即 20

ρ

?ε?=- 电位的泊松方程

无源区 0ρ=

20??= 电位的拉普拉斯方程 （不同坐标系下方程的表示略） 电位的边界条件

10l ??→?

120E dl ??-=?→

2?? 12n n s

D D D

E ρεε?-===-?而

有 121

2s n n

??

εερ??-=-?? 若0s ρ= 有

2

12

1120n

n ??εε?????=?????-=?

3.1.3 电容 一、电容

1、孤立导体的电容

定义：孤立导体所带电量与其电位之比，即

U

Q

C =

电容C 只与导体几何性质和周围介质有关，与q 和?无关； 例： 空气中半径为a 的孤立导体球 a Q

C a

Q 0044πε?

πε?==

?=

2、两个带等量异号电荷导体的电容（双导体电容） 2

1??-=

Q

C

C 只与导体几何性质、导体间距和导体周围介质有关； 例： 平行板电容器电容（导体球、圆柱等） d

s d s Ed s Q C s s s 0021ερερρ??===-=

3.1.4电场能量 一、空间总电场能量

1、分布电荷总能量

空间电荷分布 )(r ρ，在空间中产生的电位为)(r

?，空间总电场能量为： ?=

v

e dv r r W )()(21

?ρ 说明：1）此公式只适用于静电场能量求解；

2） ρ?21

不表示能量密度；

3）)(r

ρ为空间中自由电荷分布；

4）积分范围为整个空间，但可退化到电荷分布区域。 2、带电导体系统总能量

若电量为q 的电荷分布在导体上，导体电位为)(r

?，空间总静电场能量为

?q W e 2

1

=

i 导体所带电量 N 个导体，∑=

i

i i e q W ?21

i 导体电位 二、 电场能量密度

}

{??????+?=??-??=??==v

s v

v

v e dv E D s d D dv

D D dv

r D dv r r W

21][21][21

)(21

)()(21?????ρ 第一项：22111

,[]D ds r D ds r r r

??∝

∝∝???∝ ,[]0s

r D d s ?→∞??→?

1()()2

e e v v W D r E r dV w dV ∴=

?=??

2

1122e w D E E ε=?= 电场能量密度

例 3.1.6 P 102

三、静电力(虚位移法)

虚功原理如下：设空间一定位形结构的带电体系，静电 能为 。假想该电荷体系的空间位形结构在静电力作 用下发生小的虚位移 ，静电力作的虚功为：

(力为广义力) 该虚功等于电荷体系能量的减少

若系统与外界电源相连，外界电源供给的能量为s dW ， 则该系统的能量关系为 s i i e dW Fdg dW =+

3.2恒定电场分析（恒定电流空间中存在的电场） 一、恒定电场基本方程

基本量 J E 、

基本方程： 有源无旋场 00=??=???c

l d E E

恒定电场空间中电荷分布不变

0=??t

ρ

由电流连续性方程， ???=??=???=??+??v s v s d J dv J dv t J 000)(

ρ

0=??J

)()(r E r J γ= ，有00)(=???=??E E

γ 均匀导电媒质，γ=常数

由 000)(02

=???

??=???=??-?=?=???γ?E E E E

二、欧姆定律

体积元：电导率γ，电场E

由欧姆定律 ??/U E d l I J d s J s E l R d l d s

γγ?=??=??=?

??()s

l = δδA =?F l δl e e e A W W W δ'

=?=-e

W

/J E E J γγ?=?=

单位矢量

讨论：1）在理想导体)(∞→γ内，恒定电场为0； 2）恒定电场可以存在于非理想导体内；

3）在导电媒质内，恒定电场E

和J 的方向同。

三、焦耳定律

在导电媒质中，电场力使电荷运动，所以电场力要做功，设电荷量V ?ρ，

运动速度为v

，则电场力在时间t ?所做的功为w ?

t v E V l d F w ???=?=?

ρ

功率 V E J t

w dP ??=??=

电场力做功，将电场能量转化为电荷运动机械能，最终以热量形式损耗掉。 导电媒质中单位体积功率损耗为

2E E J V

P p γ=?=??= ——焦耳定律的微分形式

体积为V 的导电媒质内的损耗功率为

??=v

dv J E P

——焦耳定律的积分形式

四、恒定电场边界条件

J

的边界条件

n n s

J J n

J J s d J 21210?)(0=?=?-?=??

E

的边界条件

t t l

E E n

E n E l d E 2121??0=??=??=??

电位边界条件

?????=-??=??0

21112

2???γ?γn n 讨论：

2

1

212

2

1

1

γγθθγθγθ=

?

=

tg tg tg tg 若 ∞→2γ，则 01→θ

? 在理想导体表面上，E

和J 都垂直于边界面。

静电场和性质的比较：

相同点： 不同点： 1、场性质相同，均为保守场； 1、源不同；

2、场不随时间改变； 2、存在区域不同，静电场只能

3、均不能存在于理想导体内部。 存在于导体外，恒定电场可

以存在于非理想导体内 。

静电场 恒定电场 静电比拟

E D l d E s d D l s ε==?=???00 E

J l d E s d J l

s

γ==?=???00 G

C E E J

D ????γε 3.3恒定磁场分析 3.3.1真空中恒定磁场基本方程

1、磁场基本方程

c

s

H dl J ds H J ?=????=??

00S

B ds B ?=???=?

恒定磁场性质：

1）无源场，磁感应线无头无尾且不相交；

2）有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁感应线构成闭合回路。 注意：

1）空间中任意一点的磁场的旋度只与当地的电流密度有关；

2）定理中，电流为回路所围电流的代数和，H

为回路C 内外的电流共同产生。 2、边界条件

12121212?()0

?()n n n n s t t s

e B B B B e

H H J H H J ?-==?-=-=

若0s J =，则 120t t H H -=

3.3.2 矢量磁位

一、矢量磁位的引入

0()()0B B A r A ???=?

?=???

????≡??

（T m ?） 二、库仑规范

要求：B

与()A r 间满足一一对应关系

1、矢量位的任意性

设 ()()()A r A r r

'=+?Φ ()r Φ 为任意标量场 ()()()A r A r r

'??=??+???Φ 而 ()0r ???Φ≡ 有 ()()A r A r B '??=??=

而 ()()()A r A r r '??=??+???Φ 2()()()0

A r A r r '???-??=?Φ≠ 上式表明()A r 和()A r '

为性质不同的两种矢量场，这意味着满足 ()B A r =??

的()A r 有无限多个。 2、库仑规范条件

由上所述，必须引入新的条件对()A r

进行限定。

由亥姆霍兹定理可知，矢量场的性质由起旋度和散度决定，()A r

的旋度已知，必须对其散度进行限定。

令 ()0A r ??=

库仑规范条件 注意：规范条件是人为引入的限定条件

三、矢量磁位的求解

1、矢量磁位满足的方程