小学奥数专题之-几何专题

小学奥数几何专题

1、（★★）如图，已知四边形ABCD 中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD 与AD

垂直，则四边形的面积等于多少？

[思 路]：显然四边形ABCD 的面积将由三角形ABD 与三角形BCD 的面积求和得到．三角

形ABD 是直角三角形，底AD 已知，高BD 是未知的，但可以通过勾股定理求

出，进而可以判定三角形BCD 的形状，然后求其面积．这样看来，BD 的长度

是求解本题的关键．

解：由于BD 垂直于AD ，所以三角形ABD 是直角三角形．而AB=13，DA=12，由

勾股定理，BD 2=AB 2－AD 2=132—122=25=52，所以BD=5．三角形BCD

中BD=5，BC=3，CD=4，又32十42=52，故三角形BCD 是以BD 为斜边的

直角三角形，BC 与CD 垂直．那么：

ABCD S 四边形=ABD S ?+BCD S

?=12×5÷2+4×3÷2=36．．

即四边形ABCD 的面积是36．

2、（★★）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中

2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________

平方米；

[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左

侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是 9×2=18。

3．（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积

之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？

[思 路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。

解：粗线面积：黄面积=2：3

绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总

共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，

7

9

4、（★★）求下图中阴影部分的面积：

【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

所以阴影面积：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

5、（★★）下图中阴影部分的面积是多少厘米2？

分析与解：本题可以采用一般方法，也就是分别计算两块阴影部分面积，再加起来，但不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法，将左上角一块阴影部分（弓形）翻折到半圆的右上角（以下图中虚线为折痕），把两块阴影部分合在一起，组成一个梯形（如下图所示），这样计算就很容易。

本题也可看做将左上角的弓形绕圆心旋转90°，到达右上角，得到同样的一个梯形。

6、（★★）如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?

【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L

2

-1)×单位正方形面

积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7

2

-1)×1=6.5(平方厘米)

方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，

②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．

7（★★），已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?

【分析与解】 方法一：因为CEFG 的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设

正方形CEFG 的边长为x ，有：

=1010=100,ABCD S ?正方形2

=x ,S 正方形CEFG 21110x-x =DG GF=(10-x)x=,222DGF S ?? 又1=1010=50,2

ABD S ???2

110x+x =(10+x)x=.22BEF S ? 阴影部分的面积为:

DGF ABD BEF ABCD CEFG S S S S S ???++--正方形正方形

22

2

1010100505022x x x x x -+=++--=(平方厘米). 方法二：连接FC ，有FC 平行与DB ，则四边形BCFD 为梯形．

有△DFB 、△DBC 共底DB ，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC 的面积

11010502

??=(平方厘米)． 阴影部分△DFB 的面积为50平方厘米．

8、（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平

方厘米？

[方法一]：

[思 路]：整体看待面积问题。

解：不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1，

所以，总计9×2+7×4=18+28=46。

[方法二]：

[思 路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积

解：从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=64，但

总共粘合了18个面，这样就减少了18×1=18，所以剩下的表面积是64-18=46。

[方法三]：直接数数。

[思 路]：通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1，这样总共的表面

积就是46。

9、（★★）一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯内侧的底面积是72cm2，在这个杯中放进棱长6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？

解：水的体积为72×2.5=180（cm3），放入铁块后可以将水看做是底面积为72-6×6=32（cm2）的柱体，所以它的高为

180÷32=5（cm）。

10、（★★）有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米. （06年三帆中学考试题）

【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），

每切一次增加2个面：2平方米。所以表面积：6＋2×9＝24（平方米）

二：提高题

11、（★★★）图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一

边的中点。已知正方形的边长为10，那么阴影部分面积是多少？（π取3.14.）

[方法一]：阴影面积的“加减法”。

[思路]：因为阴影部分面积不是正规图形，所以通过整个面积减去空白部分面积来求解。

解：过P点向AB作垂线，这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形，这样阴影面积=整个面积-空白面积=（正方形ABCD+半圆）—（三角形+梯形）

=（10×10+π×5×5÷2）-[15×5÷2+（5+15）×5÷2]

=51.75

[总结]：这种方法是小升初中最常用的方法，一定要学会这种处理思路。

[方法二]：面积的“加减法”和“切割法”综合运用

[思路]：出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形2。1/4圆，所以我们可以先把面积补上再减去补上的面积

解：S1=正方形-1/4圆=5×5-1/4×π×5×5

上面阴影面积=三角形APE-S1=15×5÷2-5×5-1/4×π×5×5

下面阴影面积=三角形QPF-S2=

所以阴影面积=（15×5÷2-5×5-1/4×π×5×5）+（10×5÷2-5×5-1/4×π×5×5）=51.75

[方法三]：面积的“切割法”

[思路]：出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形2。1/4圆，这样可以考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形

解：半叶形S1=正方形-1/4圆=5×5-1/4×π×5×5

上面阴影面积=三角形ADP+S1=10×5÷2+5×5—1/4×π×5×5

下面阴影面积=三角形QPC+S2=5×5÷2+5×5—1/4×π×5×5

阴影面积=（10×5÷2+5×5—1/4×π×5×5）+（5×5÷2+5×5—1/4×π×5×5）=51.75

12、（★★★）如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM 的面积与三角形DCM的面积之差是多少？

[方法一]：

[思 路]：公共部分的运用，这是小升初的常用方法，熟练找出公共部分是解题的关键。

解: GC=7，GD=10推出HE=3；

BC=4，DE=2

阴影BCM 面积-阴影MDE 面积=(BCM 面积+空白面积)-(MDE 面积+空白面积)=三角形BHE

面积-长方形CDEH 面积=3×6÷2-3×2=3

[总 结]：对于公共部分要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,达到解题的目

的.

[拓 展]：如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD 的长度?

[方法二]：

[思 路]：画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC 和DE 均为已知的，所以关键问题在于

求CM 和DM ．这两条线段之和CD 的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可

以了，这恰好可以利用平行线BC 与DE 截成的比例线段求得．

解: GC=7，GD=10 知道CD=3；

BC=4， DE=2 知道BC:DE=CM:DM 所以CM=2，MD=1。

阴影面积差为:4×2÷2-1×2÷2=3

[方法三]：连接BD

S BCM ?—S DEM ?=S BCD ?—S BDE ?=(3×4—2×3)÷2=3．

13．（★★★）如图所示，在三角形ABC中，DC＝3BD，DE＝EA。若三角形ABC的面积是1，则阴影部分的面积是多少？

[方法一]：

[思路]：阴影面积是两个不在一起的图形，我们先要通过等量代换，把两个图形拼成一个整体

解：连接FD，因为AE=DE，所以S1=S3，S2=S4，S1+S2=S3+S4，即三角形AFC=三角形FCD，阴影面积等于S3+S4的面积。

又因为DC＝3BD，三角形FDC=3×三角形BDF，这样我们就可以设三角形DFB为1份，则

三角形FDC=3份，三角形AFC=三角形FCD=3份，这样总共面积分成7份，

所以阴影面积为1÷7×3=3/7

[方法一]：

14、（★★★）如图，在△ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若△AED 的面积是2平方厘米，那么△ABC的面积是多大？

[分析]连结EC，如图，因为AC＝3AD，△AED 与△A EC中AD，AC边上的高相同，所以△AEC 的面积是△AED面积的3倍，即△AEC面积是6平方厘米，用同样方法可判断△ABC 的面积且△AEC面积的四倍，所以△ABC的面积是6×4＝24（平方厘米）。

15（★★★）从一块正方形木板锯下宽为1

2

米的一个木条以后，剩下的面积是

65

18

平方米．问

锯下的木条面积是多少平方米?

【分析与解】我们画出示意图(a)，则剩下的木块为图(b)，将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图(c)．

我们称AB为长，AD为宽，有长与宽的差为1

2

，所以图(c)中心的小正方形边长为

1

2

，于是

大正方形AEHK的面积为65

18

×4+

1

2

×

1

2

=

529

36

=

23

6

×

23

6

，所以AK长为

23

6

．

即，长+宽=23

6

，已知：长-宽=

1

2

，得长=

13

6

，于是锯去部分的木条的面积为

13

6

×

1 2=

13

12

=1

1

2

(平方米)．

16、（★★★）将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_____。

[分析] 如图，连接CD、BF，则

三角形ADC的面积＝三角形ABC的面积＝1；

三角形BDE的面积＝三角形BCD的面积×2 ＝(1+1)×2 ＝4；

三角形CDF的面积＝三角形ADC的面积×3 ＝3；

三角形BCF的面积＝三角形ABC的面积×3 ＝3；

三角形BEF的面积＝三角形BCF的面积×2 ＝6；

三角形DEF的面积＝三角形ABC的面积+三角形ADC的面积+三角形BDE的面积+三角形CDF的面积+三角形BCF的面积+三角形BEF的面积＝1+1+4+3+3+6 ＝

18。

17、（★★★）如图，已知AE＝AC/5，CD＝BC/4，BF＝AB/6，那么

DEF

ABC

三角形的面积三角形的面积

等

于多少？

[分析]这道题与例34很相像，但不同的是没有一个现成的单位面积。要求出这样一个比例，要求我们自己开发一个单位面积。可不可以就用大三角形的面积做单位面积呢？

如图，连接AD，那么

S△CDE＝S△ACD×4/5＝S△ABC×1/4×4/5＝S△ABC×1/5

同理，连接BE，那么

S△AEF＝S△ABE×5/6＝S△ABC×1/5×5/6＝S△ABC×1/6

连接CF，那么

S△BDF＝S△BCF×3/4＝S△ABC×1/6×3/4＝S△ABC×1/8所以

DEF

ABC

三角形的面积

三角形的面积

＝1－1/5－1/6－1/8＝

61

120

18、（★★★）如图，已知D是BC中点，E是CD中点，F是AC中点。三角形ABC由①~⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米。那么三角形ABC的面积是多少？

[分析]仔细观察图形，我们可以发现②和⑤这两个三角形形状是一样的，并且EF是△ACD的中位线，也就是EF：AD＝1：2。那么②和⑤底和高的比都是2：1（形状相同，高之比和底之比是一样的），面积比自然就是4：1了。

②与⑤的面积比为4：1，并且相差6平方厘米，所以

⑤的面积＝6÷（4－1）＝2（平方厘米）

②的面积＝2×4＝8（平方厘米）

③与④的面积均为⑤的二倍，②的一半，即4平方厘米；

⑥的面积为④＋⑤，即4＋2＝6（平方厘米）

①的面积为②＋③＋④＋⑤＋⑥，即8＋4＋4＋2＋6＝24（平方厘米）

大三角形的面积为①的二倍，即

24×2＝48（平方厘米）。

19、（★★★）在ΔABC中BD：DC=2:1,AE：EC=1:3 求BO：OE。

[分析]:解法一，用按比例分配的方法，观察线段BE正好被AD分成BO与OE两部分，求这两部分的比，可以AD为底，B，E为顶点构造两个三角形，BAD与EAD，这样就可以面积比与线段比之间架一座桥。因为三角形BAD的三个顶点都在三角形ABC的边上，因此把三角形ABC的面积看作单位

O

A

B D

C

E

“1”，就可以用32来表示ABD 的面积，用AE 的长占AC 的1/4，CD 的长占CB 的1/3，3141 =12

1来表示AED 的面积。

因为：S ΔABD ：S ΔAED=32：12

1=8：1，所以BO ：OE=8：1。 解法二：这幅图形一看就感觉它是燕尾定理的基本图，但2个燕尾似乎少了一个，因此

应该补全，所以第一步我们要连接OC ，因为AE:EC=1:3 (条件)

所以S ΔAOE/S ΔCOE=1:3 若设S ΔAOE=x,则S ΔCOE=3x

S ΔAOC=4x,根据燕尾定理 S ΔAOB ：S ΔAOC=BD ：DC=2:1

所以S ΔAOB=8x BO ：OE=S ΔAOB ：S ΔAOE=8x ：x=8:1。

20、（★★★）角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2，CD ＝2,CB=3,AM=BM ，那么三角形AMN

（阴影部分）的面积是多少？

[分析]:可以连接NB ，由燕尾定理及条件可知CAN ：ABN ＝2：1，不妨设ANM 为1份，则ANB

为两份，CAN 就是4份，CND 也是4份，全图就是10份，阴影就占全图的10

1

21（★★★）在图中，直线CF 与平行四边形ABCD 的AB 边相交于E 点，如果三角形BEF 的

面积为6平方厘米，求三角形ADE 的面积是多少？

[分析]:连结AC ，因为AB 平得CD ，AE 是三角形ADE ，ACE 的公共底边，所以三角形ADE 与

三角形ACE 的面积相等。又因为BC 平行于AF ，AF 是三角形AFC 与三角形ABF 的公

共底边，所以三角形ACF 与三角形ABF 的面积相等。从图中还可看出，三角形ACF 的

面积＝三角形ACE 的面积+三角形AEF 的面积，三角形ABF 的面积＝三角形BEF 的面

积+三角形AEF 的面积。从上面两个等式可以得到三角形ACE 的面积＝三角形BEF 的

面积，而三角形BEF的面积为6平方厘米，所以三角形ACE的面积也为6平方厘米，再根据三角形ADE与三角形ACE的面积相等可得三角形ADE的面积为6平方厘米。所以三角形ADE的面积为6平方厘米。

22、（★★★）图中的四边形土地总面积为52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其

中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

[分析]:我们不妨把四个小三角形看成四个元素，而不是整体的一部分。

如图，四个小三角形面积中，两个是我们已知的，另两个未知。已知的两个三角形有共同的底边，

所以它们的高之比就等于面积比6：7；

S1与S2同样有共同的底边，并且它们的高分别与面积为6和7的两个小三角形相同，

也就是同样有6：7的关系。这样S1：S2＝6：7；

这样，原来的问题就变成一个和倍问题了。很容易知道

S1＝(52－6－7)÷(6＋7)×6＝18（公顷）

S2＝(52－6－7)÷(6＋7)×7＝21（公顷）

这样四个三角形的面积分别为6、7、18、21，最大的一个为21。

23、（★★★）如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. （06年清华附中入学测试题）

【解】根据定理：

ABC BED ??=3211??=6

1，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。

24、（★★★）四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面

积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.