小学奥数几何难题

小学奥数几何难题

类型一：旋转、对称类

（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）

在ABC △中，9cm AB AC ==，120BAC ∠=?．点P 在边BC 上使得6cm CP =，点Q 在边AC 上使得CPQ APB ∠=∠．请求出三角形BPQ 的面积．

【考点】 图形对称

【答案】 13.52cm 【分析】 方法一：过A 点作AO BC ⊥交BC 于点O ，作P 、Q 关于AO 的对称点'P 、'Q ，

连接''P Q 、'AP 、'P Q ，如下图所示：

∵CPQ APB ∠=∠，又'APB AP C ∠=∠，∴'CPQ CP A ∠=∠，∴'PQ P A ∥，∴'APQ P PQ S S =，∴'APC P QC S S =，又∵'P O PO =，∴'CP BP =，∴'CP BP =，∴'BPQ P QC APC S S S ==△△△．∵30C ∠=?，∴ 4.5AO =，又∵6CP =，∴

APC S △6 4.5213.5=?÷=，∴13.5BPQ S =△．

方法二：（供参考）作AD BC ⊥交BC 于点D ，作QE BC ⊥交BC 于点E ．

∵APB QPC ∠=∠，ABP QCP ∠=∠，∴CQP BAP △∽△，又AD 、QE 分别是ABP △、QCP △的高，于是有：

BP AD

CP QE

=

，即BP QE CP AD ?=?．而又226 4.5213.5BPQ S BP QE CP AD =?÷=?÷=?÷=△．

【总结】 本题没有边之间的比例，只有角度相等，因此尝试做对称来构造出平行线，

解决问题．

如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC △的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．

【考点】 图形旋转 【答案】 27.22cm

【分析】 如下图所示，连接PR ，根据题意有：7963

1311143

APR ABC ABC S S S =?

?=△△△，61313213BPQ ABC ABC S S S =?

?=△△△，211

11211

CQR ABC ABC S S S =??=△△△． 那

么

有

：

PQR ABC APR BPQ CQR S S S S S =---△△△△△633111431311ABC S ?

?=--- ???

△34143ABC S =△，

因此

68

2143

PQRS PQR ABC S S S ==

△△正方形，

APSR BPQ CQR S S S ++△△681143ABC S ?

?=- ???

△75143ABC S =

△． 如下图所示，将BPQ △以P 点为中心，逆时针旋转90?，至OPS △位置，同样的将CQR △以R 点为中心，顺时针旋转90?，至OSR △位置．因为BQ CQ =，90PSO RSO PQB RQC ∠+∠=∠+∠=?，所以两个阴影三角形恰好构成完整的

四边形SPOR ．连接AO ，因为90OPS APS BPQ APS ∠+∠=∠+∠=?，所以APO △为直角三角形，同理ARO △也是直角三角形．有APSR BPQ CQR

S S S ++△△APSR OPS ORS APOR APO ARO

S S S S S S ++==+△△△△11

76923022=??+??=，因此

752143

301435

ABC S ?=÷

=△，

214368136

51435

PQRS S ?=

?=

正方形27.2=2cm ．

【总结】 正方形中的旋转问题．

类型二：勾股、弦图类

（2011年日本算术奥林匹克大赛高小预赛）

ABC △是直角三角形．在边AB 、BC 、CA 上分别取点D 、E 、F ，使得

AD AF =FC =EC =．当DEF △成为等腰直角三角形、3cm BE =、1cm DB =时，求

ABC △的面积．

【考点】 勾股定理

【答案】 24 【分析】 作FG BC ⊥交BC 于点G ，易知DBE △和EGF △完全相同（∵

DEB ∠FEG +∠90=?，∴DEB EFG ∠=∠，又∵DE FE =，∴

DEB EFG △≌△．）

∴有1EG DB ==cm ，3FG EB ==cm ，又∵FG AB ∥，F 是AC 的中点，∴G 也是BC 中点，即4CG BG ==cm ，∴5CE CF AF AD ====cm ．因此有ABC S △2BC AB =?÷86224=?÷=2cm ．

【总结】 本题其实是弦图的应用：

图中即构成了一个标准的弦图．其实很多时候出现等腰直角三角形就可以考虑构造弦图来解决问题．

如图，P 是正方形ABCD 外面的一点，12PB =厘米，APB △的面积是90平方厘米，CPB △的面积是48平方厘米．请问：正方形ABCD 的面积是多少平方厘米？

【考点】 勾股与弦图 【答案】 289平方厘米

【分析】 将BP 反向延长如下图所示构造弦图，

以BP 为底，PAB △的高是AF ，于是有：

PAB S △2PB AF =?÷12290AF =?÷=，即15AF =厘米，同理有8CG =厘

米．因此22158ABCD S =+正方形=289平方厘米．

【总结】 本题构造弦图是关键点！

（2011年华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛武汉卷）

如图，点P 在直角ABC △内，且BA BC =，10PB =厘米，ABC △的面积是60平方厘米，BPC △的面积是30平方厘米，求ABC △的面积．

【考点】 勾股与弦图 【答案】 90平方厘米

【分析】 如下图所示构造弦图：

以BP 为底，ABP △的高为AF ，有：2ABP S BP AF =?÷△10260AF =?÷=，即12AF =厘米，同理有6CG =厘米，因此22126180ABCD S =+=正方形平方厘米，所以180290ABC S =÷=△平方厘米．

【总结】 本题和上一题本质相同，不过是点P 的位置发生了改变．

（2011年日本算术奥林匹克大赛高小决赛）

下图是一个面积为182cm 、7CD =cm 的四边形ABCD ．其两条对角线BD 和AC 在四边形ABCD 的内部相交，当10BD =cm ，AC BC =，90BCA ∠=?时，求ACD △的面积．

【考点】 勾股定理 【答案】 7.5平方厘米

【分析】 作DE BC ⊥，交BC 延长线于点E ，设AC BC a ==，CE b =，DE c =．

根据勾股定理：22249b c CD +==，()2

22100c a b BD +==+，两式想减，结

合平方差公式得：2251a ab +=……①

又ABCD ABC ADC S S S =+正方形△△222a ab =÷+÷18=，整理得236a ab +=……② ①-②得：15ab =，21527.5ACD S ab =÷=÷=△平方厘米．

【总结】 本题貌似上两题类似，实则不然．上面两题告诉我们的是两个小三角形的面

积，而此题是整个的面积．因为题中出现两个长度，不好构造弦图，因而转化为做垂线利用勾股定理解决问题．

自ABC △内部一点P 向AB 、BC 、CA 作垂线，垂足依次为F 、D 、E ，以AF 、FB 、

BD 、DC 、CE 、EA 为边长分别向外作正方形，如下图所示，这六个正方形的面积依

次记为1S 、2S 、3S 、4S 、5S 、6S ．如果652S S -=，431S S -=，那么试求12S S -的值．

【考点】 勾股定理

【答案】 3

【分析】 连接AP 、BP 、

CP ，其长度分别记为a 、b 、c ，另记AF m =，BF n =，BD p =，CD q =，CE r =，AE s =，如下图所示：

∵652S S -=，即222s r -=，又∵222a s PE =+，222c r PE =+，两式相减得22222

a c s r -=-=．同理有

22221

c b q p -=-=，因而

12S S -22m n =-22a b =-()()

2222a c c b =-+-213=+=．

【总结】 正方形面积很容易和平方结合起来，而垂线则要想到勾股定理．

类型三：等积变化类

如下图，大正方形被分成了面积相等的五块，若AB 长为3.6厘米，则大正方形的面积为多少平方厘米？

【考点】 等积变化模型 【答案】 1134平方厘米

【分析】 连接CG 、AH 、AD ，过点G 作MN DE ⊥交ED 于点M ，交FC 于点N ．如

下图所示：

设正方形边长为a ，那么每一块的面积都是215a ，即有2

5GM AF a ==，所以

3

5

GN AC a

==，有

2

3319

55250

ACG S a a a =??=△，又

225ACHG ABHG BCH S S S a =+=△，所以2222911

55050

CHG S a a a =-=△，所以

:GH HD

:CHG CDH

S S =△△22

111:505

a a =

11:10=．同样的，22

3133

52510GDA ACDG ACD S S S a a a a =-=-??=△△，所

以有

：22

113111*********

AHG ADG S S a a =?

=?=△△，所以有：ABH ABHG AHG S S S =-△△22111

570

a a =-2

370

a =，

因

此

::ABH BCH AB BC S S =△△2231:3:14705a a =

=，也即339

3.651785

AB a a =?==，即34a =，所以正方形面积为2a =2341156=平方厘米．

【总结】 如何从五块面积都相等这个条件中提取出更多的信息是解决本题的关键．一

般来说等积变化都是用于解决线段比例和面积比例相互转化问题，通常看到线段间的比例、等分点、面积相同的若干块等都可以考虑用到等积变化模型．