高中数学__数列全套导学案_新人教A版必修5
§1.1数列的概念 (1
学习目标
1. 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;
2. 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;
3. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式.
一、预习案
(预习教材P 1~ P 6,找出疑惑之处
复习1:函数3x y =,当x 依次取1,2,3,…时,其函数值有什么特点?
复习2:函数y =7x +9,当x 依次取1,2,3,…时,其函数值有什么特点?
二、探究案
探究点1:数列的概念
(一基础知识探究
⒈数列的定义: 的一列数叫做数列.
⒉数列的项:数列中的都叫做这个数列的项.
反思:
⑴如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们是相同的数列?
⑵同一个数在数列中可以重复出现吗?
3. 数列的一般形式:123,,,,,n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第项.
4. 数列的通项公式:如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用来表示,那么
n a 就叫做这个数列的通项公式.
反思:
⑴所有数列都能写出其通项公式?
⑵一个数列的通项公式是唯一?
⑶数列与函数有关系吗?如果有关,是什么关系?
5.数列的分类:
1根据数列项数的多少分数列和数列;
2根据数列中项的大小变化情况分为数列,
数列,数列和数列.
(二知识综合应用探究
探究点2
例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
⑴ 1,-1
2,1
3
,-1
4
;
⑵2, 0, 2, 0.
变式:写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
⑴1
2,4
5
,9
10
,16
17
;
⑵ 1,-1, 1,-1;
小结:要由数列的若干项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中的项的构成规律,将项表示为项数的函数关系.
例2已知数列2,7
4,2,…的通项公式为
2
n
an b
a
cn
+
=,求这个数列的第四项和第五项.
变式:已知数列5,11,17,23,29,…,则55是它的第项.
小结:已知数列的通项公式,只要将数列中的项代入通项公式,就可以求出项数和项.
当堂检测
1. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
⑴ 1, 13,15, 17
; ⑵ 1,2,3,2 .
2. 写出数列2{}n n -的第20项,第n +1项.
三、总结提升
※学习小结
1. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式;
2. 会用通项公式写出数列的任意一项.
※知识拓展
数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.
思考:设(f n =1+12+13+…+131n -(n ∈*N 那么(1(f n f n +-等于(
A. 132n +
B.11
331n n ++ C. 113132n n +++ D. 11
1
33132n n n ++++
学习评价
自我评价你完成本节导学案的情况为( .
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分:
1. 下列说法正确的是( .
A. 数列中不能重复出现同一个数
B. 1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列
C. 1,1,1,1…不是数列
D. 两个数列的每一项相同,则数列相同
2. 下列四个数中,哪个是数列{(1}n n +中的一项( .
A. 380
B. 392
C. 321
D. 232
3. 在横线上填上适当的数:
3,8,15, ,35,48.
4.数列(1
2{(1}n n --的第4项是 .
5. 写出数列121-
⨯,122⨯,123-⨯,124⨯的一个通项公式 . 训练案
1. 写出数列{2n }的前5项.
2. (1写出数列
2212-,2313-,2414-,2515-的一个通项公式为 .
(2已知数列3,7,11,15,19,… 那么311是这个数列的第项.
§2.1数列的概念与简单表示法(2
学习目标
1. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;
2. 会由递推公式写出数列的前几项,并掌握求简单数列的通项公式的方法. 学习过程
一、课前准备
(预习教材P 31 ~ P 34 ,找出疑惑之处
复习1:什么是数列?什么是数列的通项公式?
复习2:数列如何分类?
二、新课导学
※学习探究
探究任务:数列的表示方法
找每层的钢管数n a 与层数n 之间有何关系?
问题:观察钢管堆放示意图,寻
1. 通项公式法:
试试:上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的一个通项公式是 .
2. 图象法:
数列的图形是 ,因为横坐标为数,所以这些点都在y 轴的侧,而点的个数取决于数列的 .从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
3. 递推公式法:
递推公式:如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项,且任一项n a 与它的前一项1n a -(或前n 项间的关
系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
试试:上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间关系的一个递推公式是 .
4. 列表法:
试试:上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的用列表法如何表示?
反思:所有数列都能有四种表示方法吗?
※典型例题
例1 设数列{}n a 满足1111
1(1.n n a a n a -=⎧
⎪
⎨=+>⎪⎩
写出这个数列的前五项.
变式:已知12a =,12n n a a +=,写出前5项,并猜想通项公式n a .
小结:由递推公式求数列的项,只要让n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.
例2 已知数列{}n a 满足10a =,12n n a a n +=+, 那么2007a =( . A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D. 22004
变式:已知数列{}n a 满足10a =,12n n a a n +=+,求n a .
小结:由递推公式求数列的通项公式,适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※动手试试
练1. 已知数列{}n a 满足11a =,223
a =
,且111120n n n n n n a a a a a a -+-++-= (2n ≥,求34,a a .
练2.(2005年湖南已知数列{}n a 满足10a =,
13
31
n n n a a a +-
=
+ (*n N ∈,则20a =( .
A .0 B.-3 C.3 D. 32
练3. 在数列{}n a 中,12a =,1766a =,通项公式是项数n 的一次函数. ⑴求数列{}n a 的通项公式; ⑵ 88是否是数列{}n a 中的项.
三、总结提升※学习小结
1. 数列的表示方法;
2. 数列的递推公式.
※知识拓展
n 刀最多能将比萨饼切成几块? 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块,以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块,两刀最多能切成4块,而三刀最多能切成7块(如图.请你帮他算算看,四刀最多能将饼切成多少块?n 刀呢? 解析:将比萨饼抽象成一个圆,每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多
只能有一个交点,所以第n 刀最多与前n -1刀的切痕都各有一个不同的交点,因此第n 刀的切痕最多被前n -1刀分成n 段,而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n 刀切下去最多能使饼增加n 块. 记刀数为1时,饼的块数最多为1a ,……,刀数为n 时,饼的块数最多为n a ,所以n a =1n a n -+. 由此可求得n a =1+2
1(+n n .
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为( .
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分: 1. 已知数列130n n a a +--=,则数列{}n a 是( .
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 摆动数列
D. 常数列
2. 数列{}n a 中,2293n a n n =-++,则此数列最大项的值是( . A. 3 B. 13 C. 131
8 D. 12
3. 数列{}n a 满足11a =,12n n a a +=+(n ≥1,则该数列的通项n a =( . A. (1n n + B. (1n n - C.
(12
n n + D.
(12n n -
4. 已知数列{}n a 满足113
a =,1(12n n n a a -=- (n ≥2,则5a =
.
5. 已知数列{}n a 满足112
a =
,111n n
a a +=-
(n ≥2,
则6a = .
课后作业
1. 数列{}n a 中,1a =0,1n a +=n a +(2n -1 (n ∈N ,写出前五项,并归纳出通项公式.
2. 数列{}n a 满足11a =,12(2
n n n a a n N a +=∈+,写出前
5项,并猜想通项公式n a .
§2.2等差数列(1
学习目标
1. 理解等差数列的概念,了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列;
2. 探索并掌握等差数列的通项公式;
3. 正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
学习过程
一、课前准备
(预习教材P36 ~ P39 ,找出疑惑之处
复习1:什么是数列?
复习2:数列有几种表示方法?分别是哪几种方法?
二、新课导学
※学习探究
探究任务一:等差数列的概念
问题1:请同学们仔细观察,看看以下四个数列有什么共同特征?
① 0,5,10,15,20,25,…
② 48,53,58,63
③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5
④ 10072,10144,10216,10288,10366
新知:
1.等差数列:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它一项的等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的,常用字母表示.
2.等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列,
这时数叫做数和的等差中项,用等式表示为A=
探究任务二:等差数列的通项公式
问题2:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么?
若一等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则据其定义可得:
21a a -= ,即:21a a =+
32a a -=
, 即:321a a d a =+=+
43a a -= ,即:431a a d a =+=+ ……
由此归纳等差数列的通项公式可得:n a =
∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项1a 和公差d ,便可求得其通项n a .
※典型例题
例1 ⑴求等差数列8,5,2…的第20项;
⑵ -401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?
变式:(1求等差数列3,7,11,……的第10项.
(2100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.
小结:要求出数列中的项,关键是求出通项公式;要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是要看是否存在一正整数n 值,使得n a 等于这一数.
例2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+,其中p 、q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是多少?
变式:已知数列的通项公式为61n a n =-,问这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什
么?
小结:要判定{}n a 是不是等差数列,只要看1n n a a --(n ≥2是不是一个与n 无关的常数.
※动手试试
练1. 等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式和第20项.
练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==, 求数列的首项与公差.
三、总结提升※学习小结
1. 等差数列定义: 1n n a a d --= (n ≥2;
2. 等差数列通项公式:n a =1(1a n d +- (n ≥1.
※知识拓展
1. 等差数列通项公式为1(1n a a n d =+-或(n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式,可知其为一次函数,图象上表现为直线1(1y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.
2. 若三个数成等差数列,且已知和时,可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列,可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为( .
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分:
1. 等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( .
A. 92
B. 47
C. 46
D. 45
2. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+,则此数列是( . A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列
D.公差为n的等差数列
3. 等差数列的第1项是7,第7项是-1,则它的第5项是(.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
4. 在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则∠B= .
5. 等差数列的相邻4项是a+1,a+3,b,a+b,那么a=,b= . 课后作业
1. 在等差数列{}
n
a中,
⑴已知
12
a=,d=3,n=10,求n a;
⑵已知
13
a=,21
n
a=,d=2,求n;
⑶已知
112
a=,627
a=,求d;
⑷已知d=-1
3,
7
8
a=,求1a.
2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm,75cm,把梯形的两腰各6等分,用平行木条连接各分点,构成梯形架的各级,试计算梯形架中间各级的宽度.
§2.2等差数列(2
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式;
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
学习过程一、课前准备
(预习教材P 39 ~ P 40,找出疑惑之处复习1:什么叫等差数列?
复习2:等差数列的通项公式是什么?
二、新课导学※学习探究
探究任务:等差数列的性质
1. 在等差数列{}n a 中,d 为公差, m a 与n a 有何关系?
2. 在等差数列{}n a 中,d 为公差,若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+,则m a ,n a ,p
a ,q a 有何关系?
※典型例题
例1 在等差数列{}n a 中,已知510a =,1231a =,求首项1a 与公差d .
变式:在等差数列{}n a 中, 若56a =,815a =,求公差d 及14a .
小结:在等差数列{}n a 中,公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m n a a d
m n
-=-求出.
例2 在等差数列{}n a 中,23101136a a a a +++=,求58a a +和67a a +.
变式:在等差数列{}n a 中,已知234534a a a a +++=,且2552a a = ,求公差d .
小结:在等差数列中,若m +n =p +q ,则 m n p q a a a a +=+,可以使得计算简化.
※动手试试
练1. 在等差数列{}n a 中,14739a a a ++=,
25833a a a ++=,求369
a a a ++的值.
练2. 已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少个相同项?
三、总结提升※学习小结
1. 在等差数列中,若m +n =p +q ,则m n p q a a a a +=+
注意:m n m n a a a ++≠,左右两边项数一定要相同才能用上述性质. 2. 在等差数列中,公差m n a a d m n
-=-.
※知识拓展
判别一个数列是否等差数列的三种方法,即: (11n n a a d +-=; (2(0n a pn q p =+≠; (32n S an bn =+.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为( .
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测(时量:5分钟满分:10分计分:
1. 一个等差数列中,1533a =,2566a =,则35a =( . A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49
2. 等差数列{}n a 中16a a +=,41a =,则12a 的值为( . A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 等差数列{}n a 中,3a ,10a 是方程2350x x --=,则56a a +=( . A. 3 B. 5 C. -3 D. -5
4. 等差数列{}n a 中,25a =-,611a =,则公差d = .
5. 若48,a ,b ,c ,-12是等差数列中连续五项,则a = ,b = ,c = .
课后作业
1. 若 12530a a a +++= , 671080a a a +++= , 求111215a a a +++ .
2. 成等差数列的三个数和为9,三数的平方和为35,求这三个数.
§2.3 等差数列的前n项和(1
学习目标
1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;
2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 学习过程
一、课前准备
(预习教材P42 ~ P44,找出疑惑之处
复习1:什么是等差数列?等差数列的通项公式是什么?
复习2:等差数列有哪些性质?
二、新课导学
※学习探究
探究:等差数列的前n项和公式
问题:
1. 计算1+2+…+100=?
2. 如何求1+2+…+n=?
新知:
2019-2020年高中数学《2.4等比数列》导学案 新人教A版必修5
2019-2020年高中数学《2.4等比数列》导学案 新人教A 版必修5 【学习目标】 1.理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一 2.探索并掌握等比数列的通项公式。 【研讨互动 问题生成】 1. 等比数列定义 2. 等比数列通项公式 3. 等比中项 【合作探究 问题解决】 1．公比q 是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。 2．当首项等于0时，数列都是0。当公比为0时，数列也都是0。所以首项和公比都不可以是0。 3．当公比q=1时，数列是怎么样的，当公比q 大于1，公比q 小于1时数列是怎么样的？ 4．等比数列和指数函数的关系 5.思考：是否成立呢？成立吗？ 成立吗？ 6.思考：如果是两个等比数列，那么是等比数列吗？ 如果是为什么？是等比数列吗？ 7.思考：在等比数列里，如果n p q m n p q a a a +=+=m ，a 成立吗？ 如果是为什么？ 【点睛师例 巩固提高】 例：已知等比数列，， （1）求通项； （2）若，数列的前项的和为，且，求的值 【要点归纳 反思总结】 1.等比数列的通项公式 2.等比数列的性质 【多元评价】 自我评价: 小组成员评价: 小组长评价: 学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】 1. 若等比数列的首项为4，公比为2，则其第3项和第5项的等比中项是______． 2. 在等比数列｛a n ｝中，
(2)若S 3=7a 3，则q ＝______； (3)若a 1＋a 2＋a 3＝-3，a 1a 2a 3＝8，则S 4=____． 3. 在等比数列｛a n ｝中， (1)若a 7·a 12=5，则a 8·a 9·a 10·a 11=____； (2)若a 1＋a 2＝324，a 3+a 4＝36，则a 5＋a 6＝______； (3)若q 为公比，a k ＝m ，则a k ＋p ＝______； (4)若a n ＞0，q=2，且a 1·a 2·a 3…a 30=230 ，则a 3·a 6·a 9…a 30=_____． 4. 一个数列的前n 项和S n ＝8n -3，则它的通项公式a n ＝____． 5. 已知等比数列中，，，那么它的前5项和=__________。 6. 等比数列的通项公式是，则=__________。 7. 在等比数列中，，则=__________。 8..数列m ，m ，m ，…一定[ ] A.是等差数列，但不是等比数列 B ．是等比数列，但不是等差数列 C ．是等差数列，但不一定是等比数列 D ．既是等差数列，又是等比数列 9.已知，，，是公比为2的等比数列，则等于（ ） A ．1 B ． C ． D ． 10.已知是等比数列，且，252645342=?+?+?a a a a a a ，那么 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．25 11.在等比数列中，已知，，则该数列前5项的积为（ ） A ． B ．3 C ．1 D ． 12. 一个三角形的三内角既成等差数列，又成等比数列，则三内角的公差等于（ ） A ． B ． C ． D ． 13.各项均为正的等比数列中，，那么当时，该数列首项的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2
2019-2020学年高中数学 第二章 数列 第十四课 等比数列的通项公式导学案 新人教A版必修5.doc
2019-2020学年高中数学 第二章 数列 第十四课 等比数列的通项 公式导学案 新人教A 版必修5 一、课标要求 探索并掌握等比数列的通项公式. 二、先学后讲 1.在数列{n a }中，若 1 ____,()n n a n N a ++=∈， 为常数，则数列{n a }是等比数列． 2.等比数列的通项公式为____________n a =，_____________________= 3.若,,a G b 成等比数列，则称G 为,a b 的 ，即______G = 4. 在等差数列中，等差中项唯一，在等比数列中等比中项是互为相反数的两个值，即 G =这一点同学们务必记熟，再就是任意两个实数间都有一个等差中项存在，但任 意两个实数间未必存在等比中项，如0和任一实数，或一正一负数之间都不存在等比中项． 三、合作探究 1.等差中项问题 例1 (1)已知数列1,,9a 成等比数列，求a 的值. (2)在正项等比数列｛a n ｝中, 已知261,9a a ==,求4a 【思路分析】(1)可根据等比数列定义求解，也可以根据等比中项公式求解.(2)可先求出 1,a q ，再根据通项求解，也可以根据等比中项公式求解. 【解析】(1)方法一：∵1,,9a 成等比数列，∴ 9 1a a =解得3a =±. 方法二：∵1,,9a 成等比数列，∴3a =±. (2) 方法一：∵261,9a a ==,∴15 119 a q a q =??? =??, ∴121 3a q q =???=??∴341133a a q ==?= 方法二：∵4a 是26,a a 的等比中项，0n a >且261,9a a == ，∴43a = 【点评】（1）这两种方法其实就是一种方法，你体会到了？（2）方法一用到了整体的思想，方法二是用等比中项来求解，方法简单，但易出错！ ☆自主探究 1.已知数列5,,125G 成等比数列，求此数列.
2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式教案 新人教A版必修5.doc
2019-2020学年高中数学第二章数列 2.4 等比数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式教案新人教A版必修5 2.4.1 等比数列的概念及通项公式 （共 1 课时） 一、知识与技能 1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列; 2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式; 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知 识解决相应的实际问题; 4.体会等比数列与指数函数的关系. 二、过程与方法 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学; 2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动; 3.密切联系实际，激发学生学习的积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的 探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力; 2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系， 激发学生学习的兴趣. 教学重点 1.等比数列的概念; 2.等比数列的通项公式. 教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系; 2.等比数列与指数函数的关系. 导入新课 师现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、
再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？ 生一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，… 师非常好的一个例子！ 现实生活中，我们会遇到许多这类的事例. 教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型. 师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？ 生通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列： 1，2，4，8，…① 教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 师这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？生思考、讨论，用现代语言叙述. 师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？ 生发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1， 2 1 ， 4 1 ， 8 1 ， 16 1 ，…②教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题. 一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?
高中数学 《数列通项公式求法》导学案 新人教A版必修5
"高中数学必修5 《数列通项公式求法》导学案 " 【学习目标】 1.会在各种条件下，选用适当的方法求数列的通项公式。 2.掌握定义法、公式法、累加法、累乘法、构造数列法在求通项公式中的应用。 【重点难点】 重点：由递推公式求数列的通项公式 难点：累加法、累乘法、构造数列法 【学习过程】 知识点一：定义法（教材链接：等差数列和等比数列的定义） 直接用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数 列{}n a 的通项公式. 例2.已知数列{} n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且有332-=n n a S ， （1）求数列{}n a 的通项公式。 （2）设数列{}n b 的通项公式是1 33log log 1+?= n n n a a b ，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正整数n ，总有n T <1. 知识点三：由递推式求数列通项 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+（教材链接：第37页等差数列通项公式的探究）
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+（教材链接：第50页等比数列通项公式的探究） 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：通过对系数q 的分解，把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1。 例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 类型4 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。（教材链接：第69页第6题） 解法：通过对系数p 的分解，转化为)(112n n n n ka a h ka a -=-+++，得等比数列}{1--n n ka a ，比较系数得q hk p k h =-=+,，可解得k h ,。
新人教A版必修5高中数学第二章2.1数列的概念与简单表示法(一)导学案
§2.1 数列的概念与简单表示法(一) 课时目标 1．理解数列及其有关概念； 2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式． 1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }． 3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 一、选择题 1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n 答案 B 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋－n ＋1 2 ，则该数列的 前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2，0 D ．2,0,2,0 答案 A 3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( ) A ．a n ＝1 2[1＋(－1)n －1] B ．a n ＝1 2 [1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)
D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋1 2 [1＋(－1)n －1] 答案 D 解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可． 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项 答案 C 解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2 －n ＋1 B ．a n ＝n n －2 C ．a n ＝n n ＋ 2 D ．a n ＝n 2＋1 答案 C 解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C. 6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1 2n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2 D.12n ＋1－12n ＋2 答案 D 解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1 2n ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋1 2n ＋2 ， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1 2n ＋2 . 二、填空题 7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝??? ?? 3n ＋ n 为正奇数4n － n 为正偶数 .则 它的前4项依次为____________． 答案 4,7,10,15
人教a版必修5学案：2.2等差数列(含答案)
2.2 等差数列 自主学习 知识梳理 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母________表示． 2．等差中项 如果A ＝a ＋b 2 ，那么A 叫做a 与b 的____________． 3．等差数列的单调性 等差数列的公差________时，数列为递增数列；________时，数列为递减数列；________时，数列为常数列． 4．等差数列的通项公式 a n ＝________________，当d ＝0时，a n ＝________，a n 是关于n 的________函数；当d ≠0时，a n ＝____________，a n 是关于n 的________函数，点(n ，a n )分布在一条以______为斜率的直线上，是这条直线上的一列________的点． 5．等差数列的性质 (1)若{a n }是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k 、l 、m 、n ∈N *)，则____________． (2)若{a n }是等差数列且公差为d ，则{a 2n }也是________，公差为________． (3)若{a n }是等差数列且公差为d ，则{a 2n －1＋a 2n }也是____________，公差为________． 自主探究 如果等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，你能用两种方法求其通项吗？ 对点讲练 知识点一 等差数列的通项公式 例1 若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.
新人教A版必修5高中数学数列题学案
般阳中学高中数学 数列题学案 新人教A 版必修5 一、选择题 1、数列?--,9 24 ,715,58,1的一个通项公式是 A ．1 2)1(3++-=n n n a n n B ．1 2) 3()1(++-=n n n a n n C ．1 21)1()1(2--+-=n n a n n D ．12)2()1(++-=n n n a n n 2、已知数列｛a n ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A 1 B 2 C 3 D 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( ) A 4- B 4± C 2- D 2± 4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10- 5、等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为 （ ） A ．－2 B ．1 C ．－2或1 D ．2或－1 6、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）． A ． 2 45 B ．12 C ． 4 45 D ．6 7、n S 等差数列}a {n 的前n 项和，已知 5935 5,9a S a S ==则（ ）． A ．1 B ．1- C ．2 D ． 1 2 8、若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足5 524-+= n n B A n n ，则1313a b 的值为（ ） A . 5160 B. 6051 C.2019 D.87
9.等比数列{}n a 中,0n a >,a 5a 6=9,则313233310log log log log a a a a +++???+=( ) A.12 B.10 C.8 D.32log 5+ 10.数列{}n a 的通项公式1 1++= n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9 A 98 B 99 C 96 D 97 11. 等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若 231n n S n T n = +,则n n a b =（ ） A 23 B 2131n n -- C 2131 n n ++ D 2134n n -+ 12．已知数列{}n a ，1 ()(2) n a n N n n += ∈+，那么1120是这个数列的第（ ）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题： 13. 若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2 -3x-5=0的两根，则a 5+a 8= . 14．等差数列{}n a 中，123420,80a a a a +=+=，则10S =_______. 15.在数列{}n a 中，1 1a =，132n n a a -=+(2n ≥)，则n a ＝___________． 16. 设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和是12,前三项的积是48，则它的首项是__________. 三、解答题 17.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数. 18.已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 令n n n b a =?３ *(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和的公式.
新人教A版必修5高中数学第二章2.4等比数列(二)导学案
§2.4 等比数列(二) 课时目标 1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式． 2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题． 1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k . 2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． 3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n a n }，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1 q 1 ，q 1q 2， q 2 q 1 ，|q 1|. 一、选择题 1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C 解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1， ∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10 . ∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11. 2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B 解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2. 3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的 等差中项，则a m ＋c n ＝( )
新人教A版必修5高中数学第二章2.2等差数列(二)导学案
§2.2 等差数列(二) 课时目标 1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式． 2．熟练运用等差数列的常用性质． 1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项 a n (m ≠n )，则a m －a n m －n ＝d . 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与 a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q . 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－1 2 a 8 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 C 解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80， ∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝1 2 (2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝1 2 a 6＝8. 2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－3 3 D ．－ 3 答案 D
解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3 . ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π 3 ＝tan 2π 3＝－ 3. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 答案 B 解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0， ∴m ＝8. 4．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7 等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C 解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12， ∴a 4＝4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28. 5．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A ．－182 B ．－78 C ．－148 D ．－82 答案 D 解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99 ＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33 ＝－82. 6．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2
高中数学《2.2等差数列》导学案 新人教A版必修5
2．2 等差数列 【学习目标】 1. 通过实例，理解等差数列的概念； 2. 探索并掌握等差数列的通项公式； 3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等 差数列与一次函数的关系。 【研讨互动 问题生成】 1.等差数列的概念 2.等差数列的通项公式 【合作探究 问题解决】 ⑴在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列 q pn a n +=与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系。 【点睛师例 巩固提高】 例1.⑴求等差数列8，5，2，…的第20项. ⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？ 例3． 已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗?
【要点归纳 反思总结】 ①等差数列定义：即d a a n n =--1(n ≥2) ②等差数列通项公式：=n a d n a )1(1-+(n ≥1) 推导出公式：d m n a a m n )(-+= 【多元评价】 自我评价: 小组成员评价: 小组长评价: 学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】 1.在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于 ( ) A.40 B.42 C.43 D.45 2.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则 1112 13 a a a ++=( ) A ．120 B ．105 C ．90 D ．75 3.已知等差数列2,5,8，……，该数列的第3k （k ∈N ＊）项组成的新数列｛b n ｝的前4项是 。｛b n ｝的通项公式为 。 4．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为-2，公差为4的等差数列。若a n =b n ,则n 的值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 5．关于等差数列，有下列四个命题中是真命题的个数为( ) （1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数（2）若有两项是无理数，则其余各项都是无理数 （3）若数列{a n }是等差数列，则数列{ka n }也是等差数列（4）若数列{a n }是等差数列，则数列{a 2 n }也是等差数列 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6．在等差数列{a n }中,a m =n, a n =m,则a m+n 的值为（ ） （A ）m+n （B ） )(2 1n m + （C ） )(2 1n m - （D ）0 7.在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为 （ ） （A ）30 （B ）27 （C ）24 （D ）21
高中数学第二章数列2.4等比数列二导学案新人教A版必修5
2.4等比数列（二） 【教学目标】 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法． 【教学过程】 一、创设情景 教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4等比数列（二）》课件“复习回顾”部分，对等比数列的定义和通项公式进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容. 二、自主学习 教材整理等比数列的性质 阅读教材P51例4～P53，完成下列问题． 1．“子数列”性质 对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k. 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m·a n＝a2k.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝…. 3．两等比数列合成数列的性质 若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a 2n }{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫a n b n 也为等比数列． 三、合作探究 问题1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . 等比数列也有类似变形吗？ 提示：在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得 a n a m ＝a 1q n －1a 1q m －1＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)． 问题2我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？ 提示：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 则a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝ a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定． 问题3等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；
高中数学人教A版必修5《等比数列》教案
《等比数列》教案 教学目标: 1、通过实例，理解等比数列的概念 2、探索并掌握等比数列的通项公式 3、通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。 教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点：等比数列与其对应函数的关系。 教学过程： 一 、复习旧知： 1、等比数列的定义及通项公式 2、等差数列的通项公式与一次函数之间的关系 二、探究新知 1、(1)有人说：如果能将一张厚度为 的报纸对折、再对折。。。对折50次后，报纸的厚度超过了地球与月球间的距离，你信吗？ 每次对折后报纸的厚度依次构成数列: (2)《庄子》一书中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭！” （3）某人年初向银行贷款1万元，如果贷款年利率是6%，那么，5年内各年末应该还款总额依次为：1×1.06, 1×1.062, 1×1.063，1×1.064, 1×1.065 结合实例分析上述几个数列的共同特点。 mm 050、. 2050 ...... 2050 ,2050.2050......2050,20502,050 2,05050325032⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯、、、、、、、、 (32) 1,161,81,41,21,1
2、探究等比数列的定义 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这 个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示 (q ≠0)． 3、类比等差数列探究等比数列的通项公式 （一）不完全归纳法 （二）累乘法 4、探究通项公式与指数函数间的关系 思考：教材第50页的探究题 课后探究：当 满足什么条件时， 等比数列 是递增数列、递减数列？ 三、例题精析 例1：在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝16，求a n ； (2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝ ，求a n . 变式训练： 变式训练：已知数列 满足 ， （1）求证：数列 是等比数列 （2）求 的表达式. 四、课堂练习 1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 2等于( ) A ．16 B.16或－16 C.32 D.32或－32 2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( ) 3 20 【例1】 在等比数列{a n }中,已知a 5-a 1=15,a 4-a 2=6,求a n . 分析:设公比q,列出关于a 1和q 的方程组来求解. 解:设等比数列{a n }的公比为q, 则有 a 5-a 1=a 1q 4-a 1=15,a 4-a 2=a 1q 3-a 1q =6,①② 由①÷②,得q=12或q=2. 当q=12时,a 1=-16. 当q=2时,a 1=1. 故a n =-16· 12 n -1或a n =2n-1. 【例2】 已知数列{a n }满足lg a n =3n+5,求证:{a n }是等比数列. 分析:可由lg a n =3n+5求出a n ,再证明a n+1a n 是与n 无关的常数. 证明:∵lg a n =3n+5,∴a n =103n+5. ∴a n+1=103(n+1)+5=103n+8. ∴a n+1a n =103n+810 3n+5=1 000. ∴数列{a n }是等比数列. {}n a 12,111+==+n n a a a {}1+n a {}n a q a 1和{}n a
高中数学 2.2 等差数列教案 新人教A版必修5
等差数列 教学目标： 1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。 2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力 3.情感目标： ①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。 ②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合 作交流的意识。 ③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。 教学重点： 教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用。准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件。通项公式是研究一个数列的重要工具。 教学难点： （1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 （2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。 学情分析： 高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、情景引入： 1．观察梯田图片让学生对等差数列有一个直观的认识。 2．由生活中具体的数列实例引入 （1）在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，你能预测出下一次的大致时间吗？ 1682，1758，1834，1910，1986，（）
（2）你能根据规律在（）内填上合适的数吗？ 1，4，7，10，（），16，… 2， 0， -2， -4， -6，（）… 引导学生观察：以上3个数列有何规律? 引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列. （板书课题） 二. 新课探究，推导公式 1.学生自主归纳等差数列的概念． 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 强调： ①“从第二项起”满足条件； ②公差d一定是由后项减前项所得； ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数”）； 问1：以上数列的公差是多少？ 问2：你能用数学符号描述等差数列的概念吗？ 符号表示：an+1-an=d(n≥1) ［练习一］判断下列各组数列中哪些是等差数列？ (1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10 (2) 5，5，5，5，5，5，… (3) x, 3x, 5x, 7x, 9x … 通过练习，加深对概念的理解,由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0 生活中的等差数列 问3：某电影院第一排有8个座位，以后每排比前一排多2个，请问，第25排有多少个座位？ 若逐次写项比较麻烦，引导学生自主去思考怎样有效解决这个问题？要是有通项公式多好啊！ 2．学生自主探究等差数列通项公式 适当引导，充分调动学生积极性，分组探讨，展示成果 如果等差数列｛a n｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义可得： a2- a1=d 即：a2=a1+d a3–a2=d 即：a3=a2+d = a1+2d a4–a3=d 即：a4=a3+d = a1+3d ……
【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：2.4 等比数列(一) Word版含答案
2．4 等比数列(一) [学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简洁应用.2.把握等比中项的概念并会应用.3.把握等比数列的通项公式了解其推导过程． [学问链接] 下列推断正确的是________． (1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列； (2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列； (3)等差数列的公差d 可正可负，且可以为零； (4)在等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 答案 (1)(3)(4) [预习导引] 1．等比数列的概念：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比中项的概念：假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab . 3．等比数列的通项公式：已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，该等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n － 1. 要点一 等比数列通项公式的基本量的求解 例1 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ； (2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝20 3 ，求a n . 解 (1)由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3， a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ a 1q 3＝2， a 1q 6＝8， ①② 由 ②① 得q 3＝4，从而q ＝3 4，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝1 2 ，所以a n ＝a 1q n －1＝253 2n -. (2)法一 由于⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ③④ 由④③得q ＝1 2，从而a 1＝32，又a n ＝1 所以32×⎝⎛⎭ ⎫12n －1 ＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 法二 由于a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝1 2. 由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6. (3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2 q ，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝1 3，q 2＝3. 当q ＝1 3时，a 1＝18， ∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1 ＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝2 9 ×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝1 3时，a n ＝2×33－n ； 当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是依据条件，建立关于a 1和q 的方程组，求出a 1和q . 跟踪演练1 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝2 3，求项数n . (2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n . 解 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98⎝⎛⎭⎫23n －1 ， 即⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎝⎛⎭⎫233，得n ＝4.
高中数学 第2章 数列 2.2 等差数列 第2课时 等差数列的性质学案 新人教A版必修5-新人教A版
第2课时 等差数列的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点) 2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点) 1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养． 2．借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养． 1．等差数列的图象 等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是一个固定常数；当d ≠0时，a n 相应的函数是一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 思考：由上式可得d ＝a n －a 1n －1，d ＝a n －a m n －m ，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ [提示] 等差数列的通项公式可以变形为a n ＝nd ＋(a 1－d )，是关于n 的一次函数，d 为斜率，故过两点(1，a 1)，(n ，a n )直线的斜率d ＝ a n －a 1n －1，当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时有d ＝a n －a m n －m . 2．等差数列的性质 (1){a n }是公差为d 的等差数列，若正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ． ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N * )时，a m ＋a n ＝2a k . ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n ＝ a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{a n }是公差为d 的等差数列，则 ①{c ＋a n }(c 为任一常数)是公差为d 的等差数列； ②{ca n }(c 为任一常数)是公差为cd 的等差数列； ③{a n ＋a n ＋k }(k 为常数，k ∈N * )是公差为2d 的等差数列． (4)若{a n }，{b n }分别是公差为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n ＋qb n }(p ，q 是常数)是公差为pd 1＋qd 2的等差数列．