立体几何10道大题

立体几何练习题

1.

四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面⊥SBC 面ABCD ，已知

45=∠ABC ，2=AB ，22=BC ，3==SC SB .

（1）设平面SCD 与平面SAB 的交线为l ，求证：AB l //； （2）求证：BC SA ⊥；

（3）求直线SD 与面SAB 所成角的正弦值.

2.

。

如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，，AD=AC=1，O 为

AC 的中点，PO

平面ABCD ，PO=2，M 为PD 的中点。

（1）证明：PB

如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=?，2BC AD =，

△PAB 与△PAD 都是等边三角形． （1）证明：CD ⊥平面PBD ；

（2）求二面角C PB D --的平面角的余弦值．

4.

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；

|

（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；

（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

5.

如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面ABCD平面ABPE AB

AD AE

==，AE AB

⊥，且

==，1

=，且2

AB BP

AE BP．

//

（1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN⊥平面ABCD若存在，请证明；若不存在，请说明理由；

--的余弦值.

（2）求二面角D PE A

6.

]

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．

（1）求证：AB⊥BC；

（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．

7.

在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．

（1）求证AB⊥面VAD；

（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

。

8.

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．

（Ⅰ）求证：EF∥BC；

（Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．

9.

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点．

（Ⅰ）求证：PB ⊥DM ；

、

（Ⅱ）求BD 与平面ADMN 所成的角．

10.

如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形

ACFE

为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；

（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.

{

立体几何试卷答案

（2）证明：连接AC ，

45222ABC AB BC ∠===，，，

由余弦定理得2AC =，AC AB ∴= 6分 取BC 中点G ，连接,SG AG ，则AG BC ⊥.

,,,SB SC SG BC SG AG G =∴⊥=

BC ∴⊥面,.SAG BC SA ∴⊥ …………………8分

（Ⅲ）如图，以射线OA 为x 轴，以射线OB 为y 轴，以射线OS 为z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -,

B y

S

$

C

A

D

2、试题解析：（1）证明：

为AC 的中点，即O 为BD 的中点，且 M 为PD 的中点，

又平面ACM ，

平面ACM,

所以PB

1）证明见解析；（2）

3

试题解析：（1）证明：过P 作PO ⊥平面ABCD 于O ，连OA ．

依题意PA PB PD ==，则OA OB OD ==．又△ABD 为Rt ?，故O 为BD 的中点．

∵PO ?面PBD ，∴面PBD ⊥面ABCD ．在梯形ABCD 中，222

CD DB CB +=， -

4.【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC．

又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．…（Ⅱ）证明：∵PC⊥AD，

∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，∴∠DCA=∠BAC=，

又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形，

∴DC=AC=（AB）=2AB．

连接BD，交AC于点M，则==2．

连接EM，在△BPD中， ==2，∴PD∥EM，

[

又PD?/平面EAC，EM?平面EAC，∴PD∥平面EAC．…

（Ⅲ）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）

设=（x ，y ，1）为平面AEC 的一个法向量，则⊥，⊥，

∵=（3，3，0），

=（0，2，1）， ∴解得x=

，y=﹣

，∴

=（

，﹣

，1）．

设=（x′，y′，1）为平面PBC 的一个法向量，则⊥

，

⊥

，

又=（3，0，0），

=（0，﹣3，3）， ∴

，解得x′=0，y′=1，∴

=（0，1，1）．

（取PB 中点为F ，连接AF 可证

为平面PBC 的一个法向量．）

(

∵cos ＜

，

＞=

|=

，

∴平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值为..…

注：以其他方式建系的参照给分．

5.（1）详见解析；（2）

23

. 试题分析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，证明MN ⊥平面ABCD ，从而

MN 即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.

试题解析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则MN ⊥平面ABCD ， ∵M 为PD 中点，N 为BD 中点，∴MN 为PDB ?的中位线，∴//MN PB ， 又∵平面ABCD ⊥平面ABPE ，平面ABCD

平面ABPE AB =，BC ?平面

ABCD ，BC AB ⊥，

|

6【解答】（本小题满分14分）

（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…

因AA1=AB，则AD⊥A1B 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，

且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B。

得AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，所以AD⊥BC．…

因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，

则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC．

（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，

则CD是AC在平面A1BC内的射影

`

∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…

在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点

∴，且，∴…

过点A作AE⊥A1C于点E，连DE

由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A

∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…

且直角△A1AC中：

又，∴，

且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角

∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…

$

7.【解答】证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，

则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．

又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD．

（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．

设正方形ABCD的边长为a，

则在Rt△ABF中，AB=a，AF=a，tan∠AFB=

故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为．

8. 【解答】（本小题满分12分）

!

证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形

∴AD∥BC，且BC?面ADEF，AD?面ADEF，

∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，∴EF∥BC．

解：（Ⅱ）∵FO⊥面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥OB

又∵OB⊥AO，以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，

y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．

又∵BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：

B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），

F（0，0，），E（﹣，﹣，），

)

向量=（﹣，，），向量=（﹣，﹣1，0），向量

，

设面BCFE的法向量为：，

，得到，

令时， =（﹣1，，1），

面AOF的一个法向量，

设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为θ，

则cosθ===，∴sinθ=．

故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为．…

9

9

[

如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，

则A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）（Ⅰ）因为=0所以PB⊥DM．

（Ⅱ）因为=0所以PB⊥AD．

又PB⊥DM．

因此的余角即是BD与平面ADMN．

所成的角． 因为

所以

=

因此BD 与平面ADMN 所成的角为

．

10. 试题解析：（1）证明：在梯形ABCD 中，

∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，∴2AB =， ∴2

2

2

2cos603AC AB BC AB BC =+-??=， ∴2

2

2

AB AC BC =+，∴BC AC ⊥， ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BC ?平面ABCD ，

∴BC ⊥平面ACFE .

（2）由（1）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴发建立如图所示空间直角坐标系，

令(03)FM λλ=≤≤，则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ， ∴(3,1,0),(,1,1)AB BM λ=-=-.设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量，

由1100

n AB n BM ??=???=??，得300x y x y z λ?+=??-+=??，取1x =，则1(1,3,3)n λ=，

∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量， ∴122212||cos ||||13(3)1(3)4

n n n n θλλ?=

==++-?-+.

∵03λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ7

， 当3λ=cos θ有最大值

1

2

，∴71cos ]72θ∈.